Exercícios de Exame — Funções: problemas com calculadora gráfica

Uma sonda meteorológica, com um paraquedas, é largada de um balão e cai segundo uma trajetória vertical até chegar ao solo.

Admita que, no seu movimento de queda, \(t\) segundos após ser largada, a distância da sonda ao solo, em metros, é dada por

Determine, recorrendo à calculadora, quanto tempo demorou a sonda a percorrer \(\frac23\) do comprimento da sua trajetória de queda.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

Como interpretar. O comprimento da trajetória é a altura inicial, \(y(0)\). Ter percorrido \(\frac23\) dessa trajetória significa que a sonda está a \(\frac13\) de \(y(0)\) do solo.

1.º — Comprimento da trajetória

\(y(0)=3000-320\left(e^{0}-1\right)-0=3000\) metros

2.º — Equação

\(y(t)=\tfrac13\times3000 \Leftrightarrow 3000-320\left(e^{-\frac{7}{40}t}-1\right)-56t=1000\)

3.º — Calculadora

Representam-se \(y_1=3000-320\left(e^{-\frac{7}{40}x}-1\right)-56x\) e \(y_2=1000\), com \(x\geq0\), e determina-se o ponto de intersecção.

Ponto de intersecção: \((41{,}42\,;\,1000)\).

A sonda demorou, aproximadamente, \(41{,}4\) segundos.

Na figura, está representado um cone reto, com raio da base \(r\) e apótema \(a\), sendo \(r\) e \(a\) dois números reais positivos, com \(r\lt a\). Estão também representados, na base do cone, dois pontos, \(A\) e \(B\), sendo o segmento de reta \([AB]\) um diâmetro dessa base.

Designando por \(x\) o quociente entre o raio da base e o apótema, sabe-se que a distância, \(d\), entre os pontos \(A\) e \(B\), pela superfície do cone, é dada pela expressão

Determine, recorrendo à calculadora, o quociente entre o raio da base e o apótema quando a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), pela superfície do cone, excede em 40% o diâmetro da base do cone.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

Como interpretar. O diâmetro da base é \(2r\); excedê-lo em 40% significa medir \(1{,}4\times2r=2{,}8r\). Dividindo a equação por \(2r\gt0\), o parâmetro \(r\) desaparece e a equação passa a ter só a incógnita \(x\).

1.º — Equação

\(\dfrac{2r}{x}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)=2{,}8r \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)=1{,}4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{1{,}4}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)=x\)

2.º — Calculadora

No intervalo \(]0,1[\), representam-se \(y_1=\dfrac{1}{1{,}4}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\) e \(y_2=x\) e determina-se o ponto de intersecção.

A abcissa do ponto de intersecção é \(x\approx0{,}523\).

O quociente entre o raio da base e o apótema é, aproximadamente, \(0{,}523\).

A Inês pretende subscrever uma conta-poupança, com a duração de 25 anos, nas condições seguintes:

• no início de cada ano, a Inês compromete-se a depositar na conta a quantia fixa de 500 euros;
• durante os 25 anos, a Inês não pode fazer levantamentos nem depósitos adicionais;
• no fim de cada ano, ao capital existente na conta, é adicionado o valor do juro, calculado à taxa de juro anual de \(j\,\%\).

O capital, \(C\), em euros, existente na conta da Inês, no final dos 25 anos, é dado, em função da taxa de juro anual, \(j\), em percentagem, por

A Inês pretende obter, no final dos 25 anos, um acréscimo de 20% relativamente ao total das quantias depositadas.

Determine, recorrendo à calculadora, a taxa de juro anual, em percentagem, que a Inês deverá negociar com o banco, de modo a concretizar o seu objetivo.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

Como interpretar. O total depositado é \(25\times500\) euros; o capital final deve ser esse total acrescido de 20%.

1.º — Capital pretendido

\(25\times500=12\,500 \qquad 12\,500\times1{,}2=15\,000\) euros

2.º — Equação

\(C(j)=15\,000 \Leftrightarrow 500\left(1+\dfrac{100}{j}\right)\left(\left(1+\dfrac{j}{100}\right)^{25}-1\right)=15\,000\)

3.º — Calculadora

Representam-se \(y_1=C(x)\) e \(y_2=15\,000\), com \(x\gt0\), e determina-se o ponto de intersecção.

Ponto de intersecção: \((1{,}375\,;\,15\,000)\).

A Inês deverá negociar uma taxa de juro anual de, aproximadamente, \(1{,}375\%\).

O paracetamol é um fármaco indicado quer para aliviar as dores leves e moderadas, quer para controlar a febre.

Admita que a concentração de paracetamol, em miligramas por litro de sangue, \(t\) horas após a administração de uma determinada dose terapêutica de paracetamol, é dada, aproximadamente, por

Admita ainda que, para produzir efeito terapêutico significativo, a concentração de paracetamol tem de ser superior a 15 miligramas por litro de sangue.

Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, após a administração da referida dose terapêutica, o paracetamol produz efeito terapêutico significativo.

Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma condição que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) para a resolução da condição;
• apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s) arredondada(s) às milésimas.

Como interpretar. O efeito é significativo enquanto \(C(t)\gt15\): procura-se o intervalo de tempo em que o gráfico de \(C\) está acima da reta \(y=15\). A duração é a diferença entre as abcissas dos dois pontos de intersecção.

1.º — Condição

\(C(t)\gt15 \Leftrightarrow 125\left(e^{-0{,}2t}-e^{-t}\right)\gt15\)

2.º — Calculadora

Representam-se \(y_1=C(x)\) e \(y_2=15\), com \(x\gt0\), e determinam-se os pontos de intersecção.

Pontos de intersecção: \((0{,}166\,;\,15)\) e \((10{,}600\,;\,15)\). A condição verifica-se para \(t\in\,]0{,}166\,;\,10{,}600[\).

3.º — Duração

\(10{,}600-0{,}166=10{,}434\) horas    \(0{,}434\times60\approx26\) minutos

O paracetamol produz efeito terapêutico significativo durante, aproximadamente, 10 horas e 26 minutos.

Admita que, de acordo com um estudo de mercado realizado pela Biclatour, empresa de fabrico de bicicletas, o número de unidades das bicicletas Ciclatour que se prevê vender, em função do preço, \(p\), em centenas de euros, de cada unidade, é dado, aproximadamente, por

De acordo com este modelo, sabe-se que existe um único preço para o qual o valor total que se prevê obter com a venda das bicicletas Ciclatour é igual a 4000 centenas de euros.

Determine esse preço, recorrendo à calculadora.

Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;
• apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

Como interpretar. O valor total das vendas é o preço de cada unidade vezes o número de unidades vendidas: \(p\times N(p)\), em centenas de euros.

1.º — Equação

\(p\times N(p)=4000 \Leftrightarrow p\left(4000e^{-0{,}34p}-1{,}12p+50\right)=4000\)

2.º — Calculadora

Representam-se \(y_1=x\,N(x)\) e \(y_2=4000\), com \(2\leq x\leq10\), e determina-se o ponto de intersecção.

Ponto de intersecção: \((4{,}73\,;\,4000)\). O preço é \(4{,}73\) centenas de euros.

O preço é, aproximadamente, 473 euros.

Numa certa região, foi localizado um enxame de gafanhotos.

Admita que o número, \(G\), em milhões, de gafanhotos do enxame, \(x\) semanas após as zero horas do dia em que este foi localizado, é dado, aproximadamente, por

De acordo com o modelo, existe um único instante a partir do qual, passadas quatro semanas, o número de gafanhotos ficou reduzido a metade do número de gafanhotos existentes nesse instante.

Determine, recorrendo à calculadora, quantos dias decorreram desde as zero horas do dia em que o enxame foi localizado até esse instante.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;
• apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

Como interpretar. Se o instante procurado é \(x\), quatro semanas depois é \(x+4\). O número de gafanhotos nesse momento é metade do que havia em \(x\).

1.º — Equação

\(G(x+4)=\dfrac{G(x)}{2}\)

2.º — Calculadora

Representam-se \(y_1=G(x+4)\) e \(y_2=\dfrac{G(x)}{2}\), com \(x\geq0\), e determina-se o ponto de intersecção.

Ponto de intersecção: \((4{,}72\,;\,3{,}77)\). O instante é \(x\approx4{,}72\) semanas.

3.º — Converter para dias

\(4{,}72\times7\approx33\) dias

Decorreram, aproximadamente, 33 dias.