Prova Modelo de Matemática A — 2026
(Versão inspirada na Prova 635 — Época Especial 2025)

★ 1. Seja $(u_n)$ uma sucessão tal que $\lim u_n = 3$.

Qual das expressões seguintes pode ser termo geral de $(u_n)$?

2. Seja $(a_n)$ a progressão aritmética crescente, de termos reais, tal que $$a_{2}+a_{5}+a_{8}=36 \quad\text{e}\quad a_{2}\cdot a_{8}=108.$$ Sabe-se que $2026$ é termo da sucessão $(a_n)$. Determine a ordem desse termo.

3. Seja $f$ a função, de domínio $\;]{-\infty},\,2[$, definida por $$f(x)=x^{2}+2x+2\ln\!\big((2-x)^{2}\big),$$ e seja $g$ a função, de domínio $\;]{-\infty},\,2[$, definida por $\;g(x)=\dfrac{f(x)}{x-2}$.

Resolva os itens 3.1., 3.2. e 3.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

4. Em referencial o.n. $Oxy$, considere o trapézio retângulo $[OABC]$ tal que:

• $O$ é a origem do referencial;
• $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;
• $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;
• $[AB]$ é perpendicular a $[OA]$ e $[BC]$ é paralelo a $[OA]$;
• $\overline{OC}=6$, $\overline{OA}=14$ e $\overline{AB}=10$.

Seja $D$ um ponto do segmento $[OA]$ que verifica:

• $\vec{DC}\cdot\vec{DB}=36$;
• $\overline{OD}>\overline{DA}$.

Determine as coordenadas do ponto $D$ e a amplitude, em radianos, do ângulo $C\hat{D}B$ (valor arredondado às centésimas).

★ 5. Um investigador analisa o tempo, $x$ (em horas), que estudantes universitários dedicam semanalmente ao estudo da disciplina de Cálculo, e a respetiva nota final $y$ (de $0$ a $20$). Recolheu sete pares de dados:

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço. Escreva, na folha de respostas, cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c). A cada espaço corresponde uma só opção.

A média do número de horas semanais dedicadas ao estudo, no conjunto destes estudantes, é, com aproximação às décimas, igual a I horas. A mediana das notas é igual a II valores. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$, verifica-se uma correlação III. Com base nesse modelo, e usando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, estima-se que um estudante que dedique $10$ horas semanais ao estudo obtenha, aproximadamente, IV valores.

6. Em referencial o.n. $Oxyz$, considere o prisma reto de bases quadradas $[ABCDEFGH]$, tal que:

• a base $[ABCD]$ está contida no plano de equação $x=-2$;
• o vértice $F$ tem coordenadas $(10,\,3,\,1)$;
• o plano $CDE$ é definido pela equação $\;3y+4z-38=0$.

★ 7. O ibuprofeno é um anti-inflamatório usado quer para controlar a dor, quer para reduzir a febre. Admita que a concentração de ibuprofeno, em miligramas por litro de sangue, $t$ horas após a administração de uma determinada dose terapêutica, é dada, aproximadamente, por $$C(t)=80\,\big(e^{-0{,}3\,t}-e^{-1{,}5\,t}\big),\qquad t\geq 0.$$ Admita ainda que, para produzir efeito terapêutico significativo, a concentração de ibuprofeno tem de ser superior a $25$ miligramas por litro de sangue.

Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, após a administração da referida dose terapêutica, o ibuprofeno produz efeito terapêutico significativo. Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Na sua resposta:

• apresente uma condição que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes;
• apresente as coordenadas relevantes desses pontos arredondadas às milésimas.

8. Numa assembleia de alunos de uma escola secundária estão presentes alunos de vários anos de escolaridade. Dos alunos presentes, $30$ são do $12.^{\circ}$ ano e, destes, $12$ frequentam a disciplina de Matemática A.

9. Numa escola, todos os alunos do $11.^{\circ}$ ano frequentam pelo menos uma das disciplinas de Física ($F$) ou de Biologia ($B$). Sabe-se que:

• o número de alunos que frequentam Física é o quádruplo do número de alunos que frequentam apenas Biologia;
• o número de alunos que frequentam ambas as disciplinas é igual ao dobro do número de alunos que frequentam apenas Biologia.

Seleciona-se, ao acaso, um aluno do $11.^{\circ}$ ano dessa escola. Determine a probabilidade de esse aluno frequentar apenas Física, sabendo que frequenta a disciplina de Física. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

10. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $\;]0,\,\pi[$, definidas, respetivamente, por $$f(x)=\operatorname{sen}(2x)\cdot \cos x \qquad\text{e}\qquad g(x)=\operatorname{sen} x.$$ Determine as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos das funções $f$ e $g$.

★ 11. Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, duas vezes diferenciável, e a função $f''$, segunda derivada de $f$. Sabe-se que:

• $f''(x)\geq 0 \Leftrightarrow x \leq \tfrac{5}{2}$;
• a função $f''$ tem exatamente dois zeros: $-1$ e $\tfrac{5}{2}$;
• as retas $r$ e $s$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos de abcissas $-3$ e $2$, respetivamente.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico de $f$ tem dois pontos de inflexão, de abcissas $-1$ e $\tfrac{5}{2}$.

II. O declive da reta $r$ é maior do que o declive da reta $s$.

Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

12. Seja $w$ um número complexo, de argumento $\theta$, com $\theta\in\;]{-\pi},\,-\tfrac{\pi}{2}[$.

★ 13. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, positiva e duas vezes diferenciável, cujo gráfico tem concavidade voltada para baixo e cuja primeira derivada não se anula.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $\;g(x)=\ln\!\big(f(x)\big)$.

Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico.