Proposta de Resolução — Prova Modelo Mat A 2026
(inspirada na Época Especial 2025)
Item 1 12 pts
Pretende-se uma expressão tal que $\lim u_n = 3$.
- (A) $\dfrac{3n^{2}-1}{n^{2}+n}$: dividindo numerador e denominador por $n^{2}$, $\lim = \dfrac{3-0}{1+0}=3$. ✓
- (B) $3+(-1)^{n}$ oscila entre $2$ e $4$, não converge.
- (C) $\dfrac{n+3}{n^{2}}\to 0$.
- (D) $(-3)^{n}\cdot\dfrac{1}{n}$ diverge (em valor absoluto cresce).
Item 2 14 pts
Como $a_{2}+a_{5}+a_{8}=3a_{5}$ (média dos termos equidistantes), $3a_{5}=36 \Rightarrow a_{5}=12$.
Sendo $r$ a razão (positiva, pois a sucessão é crescente): $a_{2}=12-3r$ e $a_{8}=12+3r$.
$a_{2}\cdot a_{8}=(12-3r)(12+3r)=144-9r^{2}=108 \Rightarrow 9r^{2}=36 \Rightarrow r=2$.
Termo geral: $a_{n}=a_{5}+(n-5)\cdot 2=12+2n-10=2n+2$.
$a_{n}=2026 \Leftrightarrow 2n+2=2026 \Leftrightarrow n=1012$.
Item 3.1 14 pts
Em $\;]{-\infty},2[$, tem-se $2-x>0$, logo $\ln((2-x)^{2})=2\ln(2-x)$ e $f(x)=x^{2}+2x+4\ln(2-x)$.
$f'(x)=2x+2-\dfrac{4}{2-x}=\dfrac{(2x+2)(2-x)-4}{2-x}=\dfrac{-2x^{2}+2x}{2-x}=\dfrac{2x(1-x)}{2-x}$.
Como $2-x>0$ no domínio, o sinal de $f'$ coincide com o sinal de $2x(1-x)$.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $1$ | $2$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $f(x)$ | $\searrow$ | mín | $\nearrow$ | máx | $\searrow$ |
$f$ é estritamente decrescente em $\;]{-\infty},0]$ e em $[1,2[$, e estritamente crescente em $[0,1]$.
Mínimo relativo em $x=0$ (com $f(0)=4\ln 2$); máximo relativo em $x=1$ (com $f(1)=3$).
Item 3.2 14 pts
Assíntotas verticais. Como $f$ é contínua em $]{-\infty}, 2[$ e $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-2}$, só pode haver assíntota vertical em $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)= 4 + 4 + \lim_{x\to 2^{-}} 4\ln(2-x) = 8 + (-\infty) = -\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} (x-2)=0^{-}$.
Como o limite do numerador é $-\infty$ e o limite do denominador é $0^-$, conclui-se que:
$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} g(x)=+\infty$.
Logo, a reta de equação $x=2$ é assíntota vertical ao gráfico de $g$.
Assíntota horizontal.
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}+2x+4\ln(2-x)}{x-2}$. Para $x\to-\infty$, $\dfrac{x^{2}}{x-2}\to-\infty$, logo $g(x)\to -\infty$. Não há assíntota horizontal.
Item 3.3 14 pts
$g(0)=\dfrac{f(0)}{-2}=\dfrac{4\ln 2}{-2}=-2\ln 2 \approx -1{,}386$.
A função $f$ é contínua em $\;]{-\infty},2[$, em particular no intervalo $[1{,}8\,;\,1{,}9]$.
$f(1{,}8)=1{,}8^{2}+2\cdot 1{,}8+4\ln(0{,}2)\approx 3{,}24+3{,}6+4(-1{,}609)\approx 0{,}40$.
$f(1{,}9)=1{,}9^{2}+2\cdot 1{,}9+4\ln(0{,}1)\approx 3{,}61+3{,}80+4(-2{,}303)\approx -1{,}80$.
Como $f(1{,}9)\approx -1{,}80 \;<\; -2\ln 2 \;<\; f(1{,}8)\approx 0{,}40$, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe $c\in\;]1{,}8\,;\,1{,}9[$ tal que $f(c)=-2\ln 2 = g(0)$.
Item 4 14 pts
Tem-se $O=(0,0)$, $A=(14,0)$, $B=(14,10)$, $C=(0,6)$. Seja $D=(d,0)$ com $d\in[0,14]$.
$\vec{DC}=(-d,\,6)$ e $\vec{DB}=(14-d,\,10)$.
$\vec{DC}\cdot\vec{DB}=-d(14-d)+60=d^{2}-14d+60=36 \Leftrightarrow d^{2}-14d+24=0$.
$d=\dfrac{14\pm\sqrt{196-96}}{2}=\dfrac{14\pm 10}{2}$, logo $d=12$ ou $d=2$.
Como $\overline{OD}>\overline{DA}$, $d>7$, pelo que $d=12$.
Cálculo do ângulo:
$\vec{DC}=(-12,6)$, $\|\vec{DC}\|=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$.
$\vec{DB}=(2,10)$, $\|\vec{DB}\|=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$.
$\cos(C\hat{D}B)=\dfrac{36}{6\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{26}}=\dfrac{36}{12\sqrt{130}}=\dfrac{3}{\sqrt{130}}$.
$C\hat{D}B=\arccos\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{130}}\right)\approx 1{,}30$ rad.
Item 5 12 pts
$\bar{x}=\dfrac{4+5{,}5+7+8+9{,}5+11+13}{7}=\dfrac{58}{7}\approx 8{,}3$ horas. I = a) 8,3
Os 7 valores de $y$ ordenados: $9{,}2;\,11{,}0;\,12{,}7;\,\mathbf{13{,}5};\,15{,}1;\,16{,}4;\,17{,}8$. A mediana é $13{,}5$. II = b) 13,5
Os pontos descrevem uma reta com declive positivo e dispersão muito reduzida: correlação positiva forte. III = a) positiva forte
Recta de regressão (calculadora): $y\approx 0{,}959\,x+5{,}725$. Para $x=10$: $y\approx 9{,}59+5{,}73\approx 15{,}3$. IV = a) 15,2 (a opção mais próxima).
Item 6.1 12 pts
A reta $CD$ é a interseção do plano da base $x=-2$ com o plano $CDE: 3y+4z-38=0$.
Um ponto $(-2,y,z)$ pertence a $CD$ sse $3y+4z=38$.
- (A) $(-2,14,-1)$: $3\cdot 14+4\cdot(-1)=42-4=38$ ✓
- (B) $(-2,4,7)$: $12+28=40\ne 38$ ✗
- (C) $(10,6,5)$: $x=10\ne -2$ ✗
- (D) $(-2,8,4)$: $24+16=40\ne 38$ ✗
Item 6.2 14 pts
Aresta lateral. $F=(10,3,1)$ pertence à base $[EFGH]$ (oposta a $[ABCD]$). A aresta lateral é paralela ao eixo $Ox$, com comprimento $\;10-(-2)=12$.
Lado do quadrado. Direção de $CD$ (interseção dos planos $x=-2$ e $3y+4z=38$): como $CD$ está contida em $x=-2$, um vetor diretor tem a forma $(0,b,c)$; estando também no plano $3y+4z=38$, é perpendicular ao vetor normal $(0,3,4)$, pelo que $3b+4c=0$. Tomando $b=-4$ e $c=3$, obtém-se $\vec{CD}=(0,-4,3)$, com $\|\vec{CD}\|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$. Vetor unitário: $\dfrac{1}{5}(0,-4,3)$ ou $\dfrac{1}{5}(0,4,-3)$.
$F=(10,3,1)$ é o vértice projetado de $B$ na base oposta, logo $B=(-2,3,1)$.
O vértice $C$ está sobre o plano $CDE$ e à distância $a$ (lado do quadrado) de $B$, na direção perpendicular a $CD$ dentro da base. Direção $\vec{BC}$ perpendicular a $\vec{CD}$ no plano $x=-2$: $\dfrac{1}{5}(0,3,4)$.
Considerando $C=B+a\cdot\dfrac{1}{5}(0,3,4)=\left(-2,\,3+\dfrac{3a}{5},\,1+\dfrac{4a}{5}\right)$.
$C$ pertence ao plano $CDE$: $3\left(3+\dfrac{3a}{5}\right)+4\left(1+\dfrac{4a}{5}\right)=38$
$\Leftrightarrow 9+\dfrac{9a}{5}+4+\dfrac{16a}{5}=38 \Leftrightarrow 13+5a=38 \Leftrightarrow a=5$.
Volume: $V = a^{2}\cdot 12 = 25\cdot 12 = 300$.
Item 7 14 pts
Condição: $80(e^{-0{,}3t}-e^{-1{,}5t})>25,\; t>0$.
Equivalente a $C(t)>25$. Na calculadora, representa-se $y_{1}=80(e^{-0{,}3x}-e^{-1{,}5x})$ e $y_{2}=25$, na janela $[0,\,5]\times[0,\,50]$. Pretendem-se as abcissas dos pontos de interseção.
Da calculadora: $P_{1}\approx(0{,}356;\,25{,}000)$ e $P_{2}\approx(3{,}844;\,25{,}000)$.
Duração: $\Delta t = 3{,}844-0{,}356=3{,}488$ horas $= 3$ h $+ 0{,}488\times 60$ min $\approx 3$ h $29$ min.
Item 8.1 14 pts
Seja $N$ o número total de alunos. A interseção (12.º ano $\cap$ Mat A) tem $12$ elementos.
$P(\text{não 12.º} \cup \text{não Mat A}) = 1 - P(\text{12.º} \cap \text{Mat A}) = 1 - \dfrac{12}{N} = \dfrac{23}{27}$.
$\dfrac{12}{N}=\dfrac{4}{27} \Leftrightarrow N=\dfrac{12\cdot 27}{4}=81$.
Item 8.2 12 pts
Dos $30$ alunos do 12.º ano, $12$ frequentam Mat A e $18$ não. Selecionam-se $4$ ao acaso.
$P(\text{exatamente 2 de Mat A})=\dfrac{\,^{12}C_{2}\cdot\,^{18}C_{2}}{\,^{30}C_{4}}=\dfrac{66\cdot 153}{27\,405}=\dfrac{10\,098}{27\,405}=\dfrac{374}{1015}$.
Item 9 14 pts
Seja $x$ o número de alunos que frequentam apenas Biologia.
Como todos frequentam pelo menos uma disciplina:
- $\#(F\cap B)=2x$;
- $\#F=4x$, logo $\#(\text{apenas }F)=\#F-\#(F\cap B)=4x-2x=2x$;
- Total: $\#(\text{apenas }F)+\#(\text{apenas }B)+\#(F\cap B)=2x+x+2x=5x$.
$P(\text{apenas }F \mid F)=\dfrac{\#(\text{apenas }F)}{\#F}=\dfrac{2x}{4x}=\dfrac{1}{2}$.
Item 10 14 pts
$f(x)=g(x) \Leftrightarrow \operatorname{sen}(2x)\cos x = \operatorname{sen} x$.
Como $\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x \cos x$: $\;2\operatorname{sen}x \cos^{2}x = \operatorname{sen}x$
$\Leftrightarrow \operatorname{sen}x\,(2\cos^{2}x-1)=0$
Em $\;]0,\pi[$, $\operatorname{sen}x\ne 0$. Logo $2\cos^{2}x=1 \Leftrightarrow \cos^{2}x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Em $\;]0,\pi[$: $x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{3\pi}{4}$.
$g\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ e $g\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$.
Item 11 14 pts
De $f''(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\leq \dfrac{5}{2}$ conclui-se que $f''(x)\geq 0$ em $\;]{-\infty},\,\tfrac{5}{2}]$ e $f''(x)<0$ em $\;]\tfrac{5}{2},+\infty[$.
Proposição I: Os zeros de $f''$ são $-1$ e $\tfrac{5}{2}$. Em $x=-1$, $f''(-1)=0$, mas em vizinhanças de $-1$ tem-se $f''(x)\geq 0$ (de ambos os lados), pelo que $f''$ não muda de sinal em $-1$. Logo $x=-1$ não é abcissa de ponto de inflexão. Apenas $x=\dfrac{5}{2}$ é ponto de inflexão. A proposição I é falsa.
Proposição II: Em $\;]{-\infty},\,\tfrac{5}{2}]$, $f''\geq 0$, logo $f'$ é (não) crescente neste intervalo. Como $-3<2\leq \tfrac{5}{2}$ e ambos estão neste intervalo, $f'(-3)\leq f'(2)$, ou seja, declive de $r\leq$ declive de $s$. A proposição "declive de $r$ maior do que declive de $s$" é, portanto, falsa.
Item 12.1 12 pts
$i^{47}=i^{4\cdot 11+3}=i^{3}=-i$, logo $\arg(i^{47})=-\dfrac{\pi}{2}$.
$\arg(\bar w)=-\theta$, logo $\arg(\bar w^{3})=-3\theta$.
$\arg\!\left(\dfrac{i^{47}\bar w^{3}}{w}\right)=-\dfrac{\pi}{2}-3\theta-\theta=-4\theta-\dfrac{\pi}{2}$.
Item 12.2 14 pts
$(1+i\sqrt 3)z^{3}+16e^{i\frac{5\pi}{6}}=0 \Leftrightarrow z^{3}=-\dfrac{16e^{i\frac{5\pi}{6}}}{1+i\sqrt 3}$.
$1+i\sqrt 3 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ ; $-16e^{i\frac{5\pi}{6}}=16e^{i(\frac{5\pi}{6}+\pi)}=16e^{i\frac{11\pi}{6}}$.
$z^{3}=\dfrac{16e^{i\frac{11\pi}{6}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}=8\,e^{i\left(\frac{11\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=8\,e^{i\frac{9\pi}{6}}=8\,e^{i\frac{3\pi}{2}}$.
$z = \sqrt[3]{8}\,e^{i\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}}=2\,e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}\right)}$, $k\in\{0,1,2\}$.
| $k$ | Argumento principal | Forma algébrica |
|---|---|---|
| 0 | $\dfrac{\pi}{2}$ | $2i$ |
| 1 | $\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}\equiv -\dfrac{5\pi}{6}$ | $-\sqrt 3 - i$ |
| 2 | $\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{6}\equiv -\dfrac{\pi}{6}$ | $\sqrt 3 - i$ |
Como $\theta=\arg w\in\;]{-\pi},-\frac{\pi}{2}[$, o único valor com argumento neste intervalo é $-\dfrac{5\pi}{6}$.
Item 13 14 pts
$g(x)=\ln(f(x))$, com $f>0$ e $f'(x)\ne 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$.
$g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$.
$g''(x)=\dfrac{f''(x)f(x)-\big(f'(x)\big)^{2}}{\big(f(x)\big)^{2}}$.
O gráfico de $f$ tem concavidade voltada para baixo, logo $f''(x)<0$ em todo o domínio. Como $f(x)>0$, então $f''(x)\cdot f(x)<0$. Como $f'(x)\ne 0$, $\big(f'(x)\big)^{2}>0$, logo $-\big(f'(x)\big)^{2}<0$.
Numerador: soma de duas quantidades estritamente negativas $\Rightarrow$ numerador $<0$.
Denominador: $\big(f(x)\big)^{2}>0$.
Portanto $g''(x)<0$ em $\mathbb{R}$.
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