Prova Modelo de Matemática A — 2026
Prova inspirada na prova SPM 2026
Duração: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
A prova inclui 12 itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens com melhor pontuação.
Indicações:
- Nos itens de escolha múltipla, escreva a letra correspondente à opção correta.
- Nos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações.
- Quando não for pedida aproximação, apresente o valor exato.
- É permitido o uso de calculadora gráfica, exceto nos itens em que tal seja explicitamente excluído.
- Nos limites com indeterminações do tipo $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, pode ser utilizada a regra de L'Hôpital.
FORMULÁRIO
Progressões e sucessões
Soma dos $n$ primeiros termos de uma p. aritmética: $\dfrac{u_1+u_n}{2}\,n$
Soma dos $n$ primeiros termos de uma p. geométrica: $u_1\dfrac{1-r^n}{1-r}$
Trigonometria e complexos
$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a$
$(\rho\,\operatorname{cis}\theta)^n=\rho^n\operatorname{cis}(n\theta)$
Derivadas e limites notáveis
$(e^u)'=u'e^u$ ; $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$ ; $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
$(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^p}=+\infty$
★ 1. Seja $(u_n)$ a sucessão de termo geral
$$u_n=\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)^{4n}.$$
Qual é o valor de $\displaystyle\lim u_n$?
2. Seja $(a_n)$ uma progressão aritmética crescente tal que
$$a_4+a_7=30 \quad\text{e}\quad a_4a_7=216.$$
Sabe-se que $2026$ é termo da sucessão. Determine a ordem desse termo.
3. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por
$$f(x)=e^x-2x-3,$$
e a função $g$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, definida por $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$.
Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.
★ 3.1. Estude a função $f$ quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
★ 3.2. Estude a função $g$ quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados.
3.3. Mostre que a equação $f(x)=0$ tem pelo menos uma solução no intervalo $]1,2[$.
4. Em referencial o.n. $Oxyz$, considere a esfera de centro $C=(1,-2,3)$ e raio $\sqrt{14}$.
Considere ainda o plano $\alpha$ de equação
$$x-2y+2z=7.$$
Determine o centro e o raio da circunferência obtida pela interseção da esfera com o plano $\alpha$.
★ 5. Uma turma registou, durante sete semanas, o número de horas semanais de estudo autónomo de um grupo de alunos, $x$, e a respetiva classificação num teste, $y$.
| $x$ (h) | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (valores) | 8 | 9 | 11 | 12 | 15 | 16 | 18 |
Complete o texto, selecionando a opção correta para cada espaço.
A média de horas de estudo é, arredondada às décimas, I. A mediana das classificações é II. A correlação linear entre as variáveis é III. Usando a reta de regressão de $y$ em função de $x$, estima-se que, para $x=7$, a classificação seja, aproximadamente, IV.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 6,4 b) 7,0 c) 8,1 |
a) 11 b) 12 c) 13 |
a) positiva forte b) negativa forte c) nula |
a) 12,9 b) 13,5 c) 14,2 |
6. Em referencial o.n. $Oxyz$, considere o prisma reto de bases quadradas $[ABCDEFGH]$, com
$$A=(0,0,0),\quad B=(0,4,0),\quad D=(0,0,4),\quad E=(6,0,0).$$
Os vértices $E,F,G,H$ obtêm-se de $A,B,C,D$, respetivamente, por translação de vetor $(6,0,0)$.
★ 6.1. Qual dos pontos seguintes pertence à reta $CG$?
★ 6.2. Determine uma equação do plano $BDE$ e a distância do ponto $A$ a esse plano.
★ 7. A concentração, em mg/L, de uma substância no sangue, $t$ horas após a sua administração, é modelada por
$$C(t)=60\left(e^{-0,2t}-e^{-1,1t}\right),\qquad t\geq 0.$$
Admita que a substância produz efeito terapêutico enquanto $C(t)>18$.
Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo a substância produz efeito terapêutico. Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.
Na sua resposta, indique a condição usada, os pontos relevantes de interseção e uma representação gráfica adequada.
8. Numa escola, há $28$ alunos do 12.º ano envolvidos numa atividade, dos quais $11$ frequentam Matemática A.
★ 8.1. Seleciona-se, ao acaso, um aluno de um conjunto de $N$ alunos da escola. Sabe-se que a probabilidade de esse aluno não ser do 12.º ano ou não frequentar Matemática A é $\dfrac{45}{56}$.
Determine $N$.
★ 8.2. Dos $28$ alunos do 12.º ano envolvidos na atividade, selecionam-se cinco ao acaso. Qual é a probabilidade de exatamente dois dos alunos selecionados frequentarem Matemática A?
9. Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória. Sabe-se que
$$P(A)=0,6,\qquad P(B)=0,5,\qquad P(A\cup B)=0,8.$$
Determine $P(A\mid B)$.
10. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Calcule
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1-2x}{x^2}.$$
Pode utilizar a regra de L'Hôpital, caso a considere adequada.
★ 11. Seja $f$ uma função duas vezes diferenciável em $\mathbb{R}$, tal que
$$f''(x)=(x+2)(x-1)e^{-x}.$$
Estude o gráfico de $f$ quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão.
12. Seja $z$ um número complexo não nulo, de argumento $\theta$, com $\theta\in]0,\frac{\pi}{2}[$.
★ 12.1. Qual das expressões seguintes é um argumento de $\displaystyle \frac{i^{37}\,\overline z^{\,2}}{z}$?
12.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine o número complexo $w$, de argumento pertencente ao intervalo $]-\pi,-\frac{\pi}{2}[$, que é solução da equação
$$(1-i)w^3+8\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=0.$$
Apresente $w$ na forma $a+bi$, com $a,b\in\mathbb{R}$.
★ 13. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, positiva, duas vezes diferenciável, tal que $f'(x)\ne 0$ e $f''(x)<0$, para todo $x\in\mathbb{R}$.
Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por
$$g(x)=\ln(f(x)).$$
Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico.
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | Subtotal | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 3.1. | 3.2. | 5. | 6.1. | 6.2. | 7. | 8.1. | 8.2. | 11. | 12.1. | 13. | |
| 12 | 14 | 14 | 12 | 12 | 14 | 14 | 14 | 12 | 14 | 12 | 14 | 158 |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | Subtotal | |||||||||||
| 2. | 3.3. | 4. | 9. | 10. | 12.2. | |||||||
| $3\times14$ pontos | 42 | |||||||||||
| TOTAL | 200 | |||||||||||
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