Proposta de Resolução — Prova Modelo Mat A 2026
Prova inspirada na prova SPM 2026

Item 1 12 pts

Tem-se

$$u_n=\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)^{4n}=\left[\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)^{\frac{2n}{3}}\right]^6.$$

Como $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)^{\frac{2n}{3}}=e$, conclui-se que $\lim u_n=e^6$.

Item 2 14 pts

Como a sucessão é aritmética, os termos $a_4$ e $a_7$ podem ser determinados a partir da soma e do produto.

Sejam $x=a_4$ e $y=a_7$. Então

$$x+y=30,\qquad xy=216.$$

Logo, $x$ e $y$ são as soluções de $t^2-30t+216=0$, isto é, $t=12$ ou $t=18$.

Como a progressão é crescente e $4<7$, tem-se $a_4=12$ e $a_7=18$.

A razão é

$$r=\dfrac{18-12}{7-4}=2.$$

Assim,

$$a_n=a_4+(n-4)r=12+2(n-4)=2n+4.$$

Logo, $2n+4=2026\Leftrightarrow n=1011$.

Item 3.1 14 pts

Derivando, obtém-se

$$f'(x)=e^x-2.$$

Tem-se $f'(x)=0\Leftrightarrow e^x=2\Leftrightarrow x=\ln2$.

Como $e^x-2<0$ para $x<\ln2$ e $e^x-2>0$ para $x>\ln2$, a função $f$ é decrescente em $]-\infty,\ln2]$ e crescente em $[\ln2,+\infty[$.

Item 3.2 14 pts

A função $g$ é definida por

$$g(x)=\dfrac{e^x-2x-3}{x}=\dfrac{e^x}{x}-2-\dfrac{3}{x}.$$

Assíntota vertical. Como $f(0)=1-0-3=-2\ne0$, tem-se

$$\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to0^-}g(x)=+\infty.$$

Logo, $x=0$ é assíntota vertical.

Assíntota horizontal. Quando $x\to-\infty$, $\dfrac{e^x}{x}\to0$ e $\dfrac{3}{x}\to0$. Assim,

$$\lim_{x\to-\infty}g(x)=-2.$$

Logo, $y=-2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $g$ quando $x\to-\infty$.

Quando $x\to+\infty$, $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$, pelo que não há assíntota horizontal nesse sentido.

Item 3.3 14 pts

A função $f$ é contínua em $\mathbb{R}$, em particular em $[1,2]$.

Calculando:

$$f(1)=e-2-3=e-5<0,$$

pois $e<5$, e

$$f(2)=e^2-4-3=e^2-7>0,$$

pois $e^2\approx 7,389>7$.

Como $f(1)<0

Item 4 14 pts

O plano $\alpha$ tem equação $x-2y+2z-7=0$, pelo que um vetor normal é $\vec n=(1,-2,2)$, com $\|\vec n\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$.

O centro da circunferência de interseção é a projeção ortogonal de $C$ sobre $\alpha$. Para o determinar, considere-se a reta $s$ que passa por $C$ e tem a direção de $\vec n$:

$$s:\;(x,y,z)=(1,-2,3)+k(1,-2,2),\quad k\in\mathbb{R}.$$

Um ponto genérico de $s$ é $(1+k,\,-2-2k,\,3+2k)$. Substituindo na equação de $\alpha$:

$$(1+k)-2(-2-2k)+2(3+2k)-7=0\;\Leftrightarrow\;4+9k=0\;\Leftrightarrow\;k=-\dfrac49.$$

O ponto de interseção é o centro $H$ da circunferência:

$$H=\left(1-\dfrac49,\;-2+\dfrac89,\;3-\dfrac89\right)=\left(\dfrac59,-\dfrac{10}{9},\dfrac{19}{9}\right).$$

A distância de $C$ a $\alpha$ é a distância de $C$ a $H$, ou seja, $\left\|\vec{CH}\right\|$ com $\vec{CH}=H-C=\left(-\dfrac49,\dfrac89,-\dfrac89\right)$:

$$d(C,\alpha)=\overline{CH}=\sqrt{\left(-\dfrac49\right)^2+\left(\dfrac89\right)^2+\left(-\dfrac89\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16+64+64}{81}}=\sqrt{\dfrac{144}{81}}=\dfrac43.$$

Sendo $r$ o raio da circunferência, o raio da esfera é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos $r$ e $d(C,\alpha)$. Pelo Teorema de Pitágoras,

$$r^2=(\sqrt{14})^2-\left(\dfrac43\right)^2=14-\dfrac{16}{9}=\dfrac{110}{9}.$$

Item 5 12 pts

A média dos valores de $x$ é

$$\bar x=\dfrac{3+4+5+6+8+9+10}{7}=\dfrac{45}{7}\approx6,4.$$

Logo, I = a).

Os valores de $y$ já se encontram ordenados. Como há 7 valores, a mediana é o 4.º valor, isto é, $12$. Logo, II = b).

Os pontos apresentam uma tendência crescente muito marcada, pelo que a correlação é positiva forte. Logo, III = a).

Com calculadora, a reta de regressão de $y$ em função de $x$ é aproximadamente

$$y=1,411x+3,644.$$

Para $x=7$:

$$y\approx1,411\cdot7+3,644\approx13,5.$$

Item 6.1 12 pts

Tem-se $C=(0,4,4)$ e $G=(6,4,4)$.

A reta $CG$ é paralela ao eixo $Ox$, pelo que os pontos dessa reta têm a forma $(t,4,4)$, com $t\in\mathbb{R}$.

Item 6.2 14 pts

Os pontos são $B=(0,4,0)$, $D=(0,0,4)$ e $E=(6,0,0)$.

O plano $BDE$ interseta os eixos $Ox$, $Oy$ e $Oz$ em $E$, $B$ e $D$, respetivamente, pelo que admite a equação segmentária

$$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{4}=1.$$

Multiplicando por $12$, obtém-se

$$2x+3y+3z=12,$$

pelo que um vetor normal ao plano é $\vec n=(2,3,3)$, com $\|\vec n\|=\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{22}$.

Para a distância, determina-se o pé da perpendicular traçada de $A$ ao plano. A reta que passa por $A=(0,0,0)$ com a direção de $\vec n$ é

$$(x,y,z)=k(2,3,3),\quad k\in\mathbb{R}.$$

O ponto genérico $(2k,3k,3k)$ pertence ao plano quando

$$2(2k)+3(3k)+3(3k)=12\;\Leftrightarrow\;22k=12\;\Leftrightarrow\;k=\dfrac{6}{11}.$$

O pé da perpendicular é, então, o ponto

$$F=\left(2\cdot\dfrac{6}{11},\;3\cdot\dfrac{6}{11},\;3\cdot\dfrac{6}{11}\right)=\left(\dfrac{12}{11},\dfrac{18}{11},\dfrac{18}{11}\right).$$

A distância pedida é a distância de $A$ a $F$, ou seja, $\left\|\vec{AF}\right\|$ com $\vec{AF}=\left(\dfrac{12}{11},\dfrac{18}{11},\dfrac{18}{11}\right)$:

$$d(A,BDE)=\overline{AF}=\sqrt{\left(\dfrac{12}{11}\right)^2+\left(\dfrac{18}{11}\right)^2+\left(\dfrac{18}{11}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{144+324+324}{121}}=\sqrt{\dfrac{792}{121}}=\dfrac{6\sqrt{22}}{11}.$$

Item 7 14 pts

A condição que traduz o efeito terapêutico é

$$60\left(e^{-0,2t}-e^{-1,1t}\right)>18,\qquad t\ge0.$$

Na calculadora, representam-se os gráficos de

$$y_1=60\left(e^{-0,2x}-e^{-1,1x}\right)\quad\text{e}\quad y_2=18.$$

Os pontos de interseção são, aproximadamente,

$$P_1\approx(0,441;\,18)\quad\text{e}\quad P_2\approx(5,997;\,18).$$

A substância produz efeito terapêutico para $0,441

A duração é

$$5,997-0,441=5,556\text{ horas}.$$

Como $0,556\times60\approx33,36$, tem-se aproximadamente $5$ horas e $33$ minutos.

Item 8.1 14 pts

O acontecimento “não ser do 12.º ano ou não frequentar Matemática A” é o complementar de “ser do 12.º ano e frequentar Matemática A”.

Como há $11$ alunos do 12.º ano que frequentam Matemática A, tem-se

$$1-\dfrac{11}{N}=\dfrac{45}{56}.$$

Logo,

$$\dfrac{11}{N}=\dfrac{11}{56}\quad\Rightarrow\quad N=56.$$

Item 8.2 12 pts

Dos $28$ alunos, $11$ frequentam Matemática A e $17$ não frequentam.

Para escolher exatamente dois alunos de Matemática A e três que não frequentam Matemática A, o número de casos favoráveis é

$$\,^{11}C_2\,^{17}C_3.$$

O número total de seleções de cinco alunos é $\,^{28}C_5$.

Item 9 14 pts

Usando a fórmula da probabilidade da união,

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Assim,

$$0,8=0,6+0,5-P(A\cap B),$$

pelo que $P(A\cap B)=0,3$.

Logo,

$$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,3}{0,5}=0,6.$$

Item 10 14 pts

Quando $x\to0$, o numerador e o denominador tendem ambos para $0$.

Aplicando a regra de L'Hôpital uma primeira vez,

$$\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1-2x}{x^2} =\lim_{x\to0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2x}.$$

Obtém-se novamente uma indeterminação do tipo $\dfrac00$. Aplicando a regra de L'Hôpital uma segunda vez,

$$\lim_{x\to0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2x} =\lim_{x\to0}\dfrac{4e^{2x}}{2}=2.$$

Item 11 14 pts

Como $e^{-x}>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$, o sinal de $f''(x)$ é o sinal de $(x+2)(x-1)$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$+\infty$
$f''(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
Concavidade		para cima		para baixo		para cima

Item 12.1 12 pts

Como $37=4\cdot9+1$, tem-se $i^{37}=i$, cujo argumento é $\dfrac{\pi}{2}$.

Se $\arg z=\theta$, então $\arg(\overline z)=-\theta$ e $\arg(\overline z^{\,2})=-2\theta$.

Assim, um argumento de $\displaystyle \frac{i^{37}\overline z^{\,2}}{z}$ é

$$\dfrac{\pi}{2}-2\theta-\theta=\dfrac{\pi}{2}-3\theta.$$

Item 12.2 14 pts

Da equação dada,

$$(1-i)w^3+8\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=0,$$

resulta

$$w^3=-\dfrac{8\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}}{1-i}.$$

Como $1-i=\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}$, tem-se

$$w^3=-8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)}=-8e^{i\pi}=8.$$

As soluções de $w^3=8$ são

$$w=2e^{i\frac{2k\pi}{3}},\qquad k=0,1,2.$$

Isto dá

$$2,\qquad -1+i\sqrt3,\qquad -1-i\sqrt3.$$

O único destes números cujo argumento pertence a $]-\pi,-\frac{\pi}{2}[$ é $-1-i\sqrt3$, cujo argumento é $-\frac{2\pi}{3}$.

Item 13 14 pts

Tem-se

$$g(x)=\ln(f(x)).$$

Logo,

$$g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}.$$

Derivando novamente,

$$g''(x)=\dfrac{f''(x)f(x)-\left(f'(x)\right)^2}{\left(f(x)\right)^2}.$$

Como $f(x)>0$ e $f''(x)<0$, então $f''(x)f(x)<0$.

Além disso, como $f'(x)\ne0$, tem-se $\left(f'(x)\right)^2>0$, pelo que $-\left(f'(x)\right)^2<0$.

Assim, o numerador de $g''(x)$ é soma de duas quantidades negativas. O denominador é positivo.

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