Proposta de Resolução — Exame Matemática A
Prova 635 · 2.ª Fase · 2024

Item 1.1 12 pts

A reta paralela à reta $FC$ tem a mesma direção, $\vec{u}=(-5,-1,7)$, ou um vetor colinear.

• (A) Direção $(1,-5,0)$ — não é colinear com $(-5,-1,7)$.
• (B) Direção $(-1,5,0)$ — não é colinear.
• (C) Direção $(5,1,-7)=-1\cdot(-5,-1,7)$ ✓ colinear. Verificar se $A=(0,4,0)$ pertence: $(-10,2,14)+k(5,1,-7)=(0,4,0)$ dá $-10+5k=0\Rightarrow k=2$; então $2+2=4$ ✓ e $14-14=0$ ✓.
• (D) Direção colinear, mas com $(10,2,-14)+k(5,1,-7)=(0,4,0)$ obtém-se $k=-2$ → $2-2=0\ne 4$. Não passa em $A$.

Item 1.2 14 pts

A superfície esférica circunscrita ao cubo tem centro no ponto médio da diagonal espacial $[FC]$ e raio igual a metade dessa diagonal.

Coordenadas de $F$ (na reta $FC$, com $z=0$ pois $F$ pertence ao plano $xOy$):

$14+7k=0 \Leftrightarrow k=-2 \Rightarrow F=(-5,2,14)+(-2)(-5,-1,7)=(5,4,0)$.

Coordenadas de $C$ (na reta $FC$, com $x=0$ pois $C\in$ plano $ABC: x=0$):

$-5-5k=0 \Leftrightarrow k=-1 \Rightarrow C=(-5,2,14)+(-1)(-5,-1,7)=(0,3,7)$.

Centro: $M=\left(\dfrac{5+0}{2},\dfrac{4+3}{2},\dfrac{0+7}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{2}\right)$.

Diâmetro: $\overline{FC}=\sqrt{(5-0)^{2}+(4-3)^{2}+(0-7)^{2}}=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$.

Raio: $r=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$, logo $r^{2}=\dfrac{75}{4}$.

Item 2 14 pts

Numa p. aritmética: $u_{1}+u_{5}=u_{1}+(u_{1}+4r)=2u_{1}+4r=26 \Rightarrow u_{1}+2r=13$.

$u_{9}=u_{1}+8r=31$.

Subtraindo: $6r=18 \Rightarrow r=3$ e $u_{1}=13-6=7$.

Termo geral: $u_{n}=7+(n-1)\cdot 3=3n+4$.

$3n+4=835 \Leftrightarrow 3n=831 \Leftrightarrow n=277 \in \mathbb{N}$.

Item 3 14 pts

$A=(a,0)$, $B=(a+4,0)$, $D=(a,\log_{2a}a)$, $C=(a+4,\log_{2a}(a+4))$.

$\overline{AD}=\log_{2a}a$, $\overline{BC}=\log_{2a}(a+4)$, $\overline{AB}=4$.

Área $=\dfrac{(\overline{AD}+\overline{BC})\cdot \overline{AB}}{2}=\dfrac{(\log_{2a}a+\log_{2a}(a+4))\cdot 4}{2}=2\log_{2a}(a(a+4))$.

$2\log_{2a}(a(a+4))=4 \Leftrightarrow \log_{2a}(a^{2}+4a)=2 \Leftrightarrow a^{2}+4a=(2a)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+4a=4a^{2} \Leftrightarrow 3a^{2}-4a=0 \Leftrightarrow a(3a-4)=0$.

Como $a>1$, $a=0$ não serve. Verificar $a=\dfrac{4}{3}$: como $\dfrac{4}{3}>1$ ✓.

Item 4 12 pts

(I) Mediana de $x$: ordenando — $542{,}8;\,674{,}7;\,832{,}5;\,976{,}7;\,990{,}1;\,1109{,}2$. Como há 6 valores, mediana $=\dfrac{832{,}5+976{,}7}{2}=904{,}6$. → c)

(II) $Q_{1}=674{,}7$ (mediana dos 3 menores) e $Q_{3}=990{,}1$ (mediana dos 3 maiores). Amplitude interquartil $=990{,}1-674{,}7=315{,}4$. → a)

(III) $\dfrac{960{,}3-825{,}0}{825{,}0}\approx 0{,}164=16{,}4\%$. → b)

(IV) Coeficiente de correlação (calculadora): $r\approx 0{,}998$. → c)

Item 5 14 pts

Como $[PQ]$ é diâmetro, pelo Teorema de Tales o triângulo $[PQR]$ é retângulo em $R$. Logo $\vec{QR}\perp \vec{RP}$.

$\vec{QP}=\vec{QR}+\vec{RP}$, portanto:

$\vec{QR}\cdot\vec{QP}=\vec{QR}\cdot(\vec{QR}+\vec{RP})=\|\vec{QR}\|^{2}+\underbrace{\vec{QR}\cdot\vec{RP}}_{=0}=\|\vec{QR}\|^{2}=27$.

Logo $\|\vec{QR}\|=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.

A circunferência tem raio $3$, logo diâmetro $\|\vec{PQ}\|=6$.

No triângulo retângulo: $\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\overline{QR}}{\overline{PQ}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Como $\alpha\in\;]0,\frac{\pi}{2}[$: $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$.

Item 6.1 12 pts

$y=3x-5$ é assíntota oblíqua quando $x\to+\infty$ sse $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(g(x)-(3x-5))=0$, ou seja, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(g(x)-3x+5)=0$.

Item 6.2 14 pts

Para $g$ contínua em $0$: $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}g(x)=g(0)=f(0)=2$.

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{e^{-k}(e^{x}-1)}{-x^{2}+2x}=e^{-k}\cdot\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{e^{x}-1}{x(2-x)}=e^{-k}\cdot\lim_{x\to 0^{-}}\left(\dfrac{e^{x}-1}{x}\cdot\dfrac{1}{2-x}\right)=e^{-k}\cdot 1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{e^{-k}}{2}$.

Igualando: $\dfrac{e^{-k}}{2}=2 \Leftrightarrow e^{-k}=4 \Leftrightarrow -k=\ln 4 \Leftrightarrow k=-\ln 4=-2\ln 2$.

Item 7.1 12 pts

Múltiplos de $3$ nas faces: $\{3,6\}$, logo $P(\text{múltiplo de }3)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, e $P(\text{não múltiplo})=\dfrac{2}{3}$.

Trata-se de Bernoulli com $n=3$, $p=\dfrac{1}{3}$, $k=2$:

$P=\,^{3}C_{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\cdot\dfrac{2}{3}=3\cdot\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9}$.

Item 7.2 14 pts

Condições: 6 algarismos diferentes de $\{1,2,3,4,5,6\}$; par (termina em $2$, $4$ ou $6$); $<300\,000$ (começa por $1$ ou $2$); $2$ e $4$ adjacentes.

Caso A: começa por $2$. Como $2$ e $4$ têm de ser adjacentes e $2$ está na 1.ª posição, $4$ está na 2.ª: "$24\_\_\_\,\square$". Como $2$ e $4$ já estão usados, o algarismo das unidades par só pode ser $6$. Logo "$24\_\_\_\,6$", com $\{1,3,5\}$ a preencher 3 posições: $3!=6$.

Caso B: começa por $1$, termina em $6$. "$1\_\_\_\_6$", com $\{2,3,4,5\}$ nas 4 posições interiores e $\{2,4\}$ adjacentes. Tratando $2$-$4$ como um bloco:

• Posições do bloco nas 4 posições interiores: 3 hipóteses.
• Ordem dentro do bloco: $2$.
• Posições dos restantes $\{3,5\}$: $2!=2$.

Total: $3\times 2\times 2=12$.

Caso C: começa por $1$, termina em $4$. "$1\_\_\_\_4$". O $2$ tem de estar adjacente ao $4$, logo na 5.ª posição: "$1\_\_\_24$". Restantes $\{3,5,6\}$ em 3 posições: $3!=6$.

Caso D: começa por $1$, termina em $2$. "$1\_\_\_\_2$". O $4$ adjacente ao $2$, logo na 5.ª posição: "$1\_\_\_42$". Restantes $\{3,5,6\}$ em 3 posições: $3!=6$.

Total: $6+12+6+6=30$.

Item 8 14 pts

De $P(\bar{A})=3P(B)$: $\;1-P(A)=3P(B) \Rightarrow P(A)=1-3P(B)$.

$P(\bar{A}\cap\bar{B})=P\big(\overline{A\cup B}\big)=1-P(A\cup B)=1-\big(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\big)$

$=1-(1-3P(B))-P(B)+P(A\cap B)=2P(B)+P(A\cap B)$.

Igualando a $9\,P(A\cap B)$: $\;2P(B)+P(A\cap B)=9\,P(A\cap B) \Leftrightarrow 2P(B)=8\,P(A\cap B) \Leftrightarrow P(A\cap B)=\dfrac{P(B)}{4}$.

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1}{4}$.

Item 9 14 pts

Equação: $7{,}5\,e^{-1{,}5\,t}\,\operatorname{sen}(8{,}6\,t+1{,}6)=-0{,}5$, $\;t\in[0,1]$.

Na calculadora, representam-se $y_{1}=7{,}5\,e^{-1{,}5\,x}\,\operatorname{sen}(8{,}6\,x+1{,}6)$ e $y_{2}=-0{,}5$, e procuram-se os pontos de interseção. Pretende-se o de menor abcissa.

Da calculadora: o primeiro ponto de interseção é, aproximadamente, $(0{,}19\,;\,-0{,}5)$.

Item 10 14 pts

Proposição I. Sendo $f'$ estritamente crescente em $\;]0,+\infty[$, conclui-se que $f''(x)\geq 0$ em $\mathbb{R}^{+}$ (de facto, $f''(x)>0$ exceto, eventualmente, em pontos isolados). Logo o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima, e nunca para baixo. A proposição I é falsa.

Proposição II. Sendo $f'$ estritamente crescente em $\;]0,+\infty[$ e $f'(1)=2$, para todo $x>1$ tem-se $f'(x)>f'(1)=2>0$. Em particular, no intervalo $]1,5[$, $f'$ nunca é zero, pelo que $f$ não tem extremos relativos nesse intervalo. A proposição II é falsa.

Item 11.1 14 pts

Declive da reta $r$ tangente em $x=0$: $g'(0)=\cos 0+2\operatorname{sen}0=1+0=1$.

$s$ é paralela a $r$, logo tem declive $1$.

$s$ passa em $(4,0)$: $y-0=1\cdot(x-4) \Leftrightarrow y=x-4$.

Item 11.2 14 pts

$g''(x)=-2\operatorname{sen}(2x)+2\cos x=-2\cdot 2\operatorname{sen}x\cos x+2\cos x=2\cos x\,(1-2\operatorname{sen}x)$.

Em $\;\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\cos x>0$. Logo o sinal de $g''$ coincide com o de $1-2\operatorname{sen}x$.

$1-2\operatorname{sen}x=0 \Leftrightarrow \operatorname{sen}x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}$.

$x$	$-\dfrac{\pi}{2}$		$\dfrac{\pi}{6}$		$\dfrac{\pi}{2}$
$g''(x)$	n.d.	$+$	$0$	$-$	n.d.
$g(x)$		$\cup$	P.I.	$\cap$

Item 12 12 pts

Rotação de centro na origem e ângulo $\dfrac{\pi}{3}$: multiplicar $z$ por $e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$z\cdot e^{i\frac{\pi}{3}}=-2i\cdot\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-i-i^{2}\sqrt{3}=-i+\sqrt{3}=\sqrt{3}-i$.

Item 13 14 pts

Escrever $-1-\sqrt{3}\,i$ na forma exponencial:

$|-1-\sqrt{3}\,i|=\sqrt{1+3}=2$. Argumento: ponto no 3.º quadrante, $\arg=-\pi+\arctan(\sqrt{3})=-\pi+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}$.

Logo $-1-\sqrt{3}\,i=2\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

$w=\dfrac{2\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}}{e^{-i\frac{3\pi}{4}}}=2\,e^{i\left(-\frac{2\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}\right)}=2\,e^{i\left(-\frac{8\pi}{12}+\frac{9\pi}{12}\right)}=2\,e^{i\frac{\pi}{12}}$.

Como $w$ é uma raiz sexta de $z$: $z=w^{6}=2^{6}\,e^{i\cdot 6\cdot\frac{\pi}{12}}=64\,e^{i\frac{\pi}{2}}=64i$.

Logo $iz=i\cdot 64i=64\,i^{2}=-64$.

Item 14 14 pts

Como $f$ é par, $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Pela definição de derivada num ponto:

$f'(-a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}$ (usando $f(-a+h)=f(-(a-h))=f(a-h)$ e $f(-a)=f(a)$).

Substituindo $u=-h$ (quando $h\to 0$, $u\to 0$):

$f'(-a)=\displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{f(a+u)-f(a)}{-u}=-\lim_{u\to 0}\dfrac{f(a+u)-f(a)}{u}=-f'(a)$.

Como, por hipótese, $f'(a)=f(a)$:

$f'(-a)\cdot f'(a)=(-f'(a))\cdot f'(a)=-\big(f'(a)\big)^{2}=-\big(f(a)\big)^{2}$.

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