Exame Final Nacional de Matemática A
Prova 635 · 2.ª Fase · Ensino Secundário · 2024
Duração da Prova: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
A prova inclui 12 itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
Indicações:
- Para cada resposta, identifique o item.
- Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
- É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
- Apresente apenas uma resposta para cada item.
- Nas respostas aos itens de escolha múltipla, escreva a letra correspondente à opção correta.
- Nas respostas aos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações. Quando não é pedida aproximação, apresente o valor exato.
FORMULÁRIO
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência: $\alpha r$ ($\alpha$ — amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; $r$ — raio)
Área de um polígono regular: Semiperímetro $\times$ Apótema
Área de um sector circular: $\dfrac{\alpha r^{2}}{2}$ ($\alpha$ — amplitude em radianos; $r$ — raio)
Área lateral de um cone: $\pi r g$ ($r$ — raio da base; $g$ — geratriz)
Área de uma superfície esférica: $4\pi r^{2}$ ($r$ — raio)
Volume de uma pirâmide: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de um cone: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de uma esfera: $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ ($r$ — raio)
Progressões
P. aritmética: $S_{n}=\dfrac{u_{1}+u_{n}}{2}\times n$
P. geométrica: $S_{n}=u_{1}\times \dfrac{1-r^{n}}{1-r}$
Trigonometria
$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\,\cos b+\operatorname{sen}b\,\cos a$
$\cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b$
Complexos
$(\rho\,e^{i\theta})^{n}=\rho^{n}\,e^{in\theta}$
$\sqrt[n]{\rho\,e^{i\theta}}=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$, $k\in\{0,\ldots,n-1\}$, $n\in\mathbb{N}$
Regras de derivação
$(u+v)'=u'+v'$
$(u\cdot v)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
$(u^{n})'=n\,u^{n-1}\,u'$ ($n\in\mathbb{R}$)
$(\operatorname{sen}u)'=u'\cos u$
$(\cos u)'=-u'\operatorname{sen}u$
$(\operatorname{tg}u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$
$(e^{u})'=u'\,e^{u}$
$(a^{u})'=u'\,a^{u}\,\ln a$ ($a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$)
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
$(\log_{a} u)'=\dfrac{u'}{u\,\ln a}$ ($a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$)
Limites notáveis
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$ ($n\in\mathbb{N}$)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{p}}=+\infty$ ($p\in\mathbb{R}$)
1. Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[ABCDEFGH]$.
Sabe-se que:
- o plano $ABC$ é definido pela equação $x=0$;
- o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Oy$, e $\overline{OA}=4$;
- o ponto $F$ pertence ao plano $xOy$;
- a reta $FC$ é definida pela equação vetorial $(x,y,z)=(-5,2,14)+k(-5,-1,7),\ k\in\mathbb{R}$.
Figura 1
★ 1.1. Qual das seguintes equações vetoriais define a reta que passa no ponto $A$ e é paralela à reta $FC$?
★ 1.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo $[ABCDEFGH]$.
2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
De uma progressão aritmética $(u_{n})$, sabe-se que a soma do primeiro com o quinto termo é igual a $26$ e que o nono termo é igual a $31$.
Averigue se $835$ é termo da progressão $(u_{n})$.
3. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, parte do gráfico da função $f$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por $f(x)=\log_{2a} x$, com $a>1$, e o trapézio $[ABCD]$.
Sabe-se que:
- os pontos $A$ e $B$ pertencem ao eixo $Ox$ e têm abcissas $a$ e $a+4$, respetivamente;
- os pontos $D$ e $C$ pertencem ao gráfico de $f$ e têm abcissas $a$ e $a+4$, respetivamente.
Determine o valor de $a$ para o qual a área do trapézio $[ABCD]$ é igual a $4$.
Figura 2
★ 4. Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à remuneração base média mensal dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, por sexo, em seis anos do período de 1995 a 2020.
| Anos | Homens (€) — $x$ | Mulheres (€) — $y$ |
|---|---|---|
| 1995 | 542,8 | 416,8 |
| 2000 | 674,7 | 523,6 |
| 2005 | 832,5 | 672,0 |
| 2010 | 976,7 | 800,8 |
| 2015 | 990,1 | 825,0 |
| 2020 | 1109,2 | 960,3 |
Fonte: PORDATA (consultado em setembro de 2023).
Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço. Escreva, na folha de respostas, cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c).
A mediana da remuneração base média mensal dos homens é I euros, e a amplitude interquartil é II euros. De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a III. O coeficiente de correlação linear das variáveis $x$ e $y$, arredondado às milésimas, é IV.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 832,5 b) 854,3 c) 904,6 |
a) 315,4 b) 440,9 c) 566,4 |
a) 14,1% b) 16,4% c) 17,2% |
a) 0,874 b) 0,913 c) 0,998 |
5. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Na Figura 3, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência de equação $(x-1)^{2}+y^{2}=9$ e o triângulo $[PQR]$, inscrito na circunferência.
Seja $\alpha$ a amplitude, em radianos, do ângulo $QPR$.
Sabe-se que:
- $[PQ]$ é um diâmetro da circunferência;
- $\vec{QR}\cdot\vec{QP}=27$.
Determine o valor de $\alpha$.
Figura 3
6. Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0,+\infty[$, com $f(0)=2$, e seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, definida, para um certo valor de $k$ real, por $$g(x)=\begin{cases} f(x) & \text{se } x\geq 0 \\[3pt] \dfrac{e^{-k}(e^{x}-1)}{-x^{2}+2x} & \text{se } x<0 \end{cases}$$
★ 6.1. A reta de equação $y=3x-5$ é assíntota ao gráfico da função $g$, quando $x\to+\infty$.
Qual das seguintes igualdades é verdadeira?
★ 6.2. Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $k$, sabendo que a função $g$ é contínua em $x=0$.
7. Considere um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de $1$ a $6$.
★ 7.1. Lança-se esse dado três vezes e regista-se o número da face que ficou voltada para cima em cada lançamento.
Qual é a probabilidade de, em exatamente dois desses lançamentos, se obter, na face voltada para cima, um múltiplo de $3$?
★ 7.2. Considere todos os números naturais com seis algarismos diferentes que é possível formar usando os algarismos $1, 2, 3, 4, 5$ e $6$, inscritos nas faces do dado.
Determine quantos desses números são pares, inferiores a trezentos mil, e com os algarismos $2$ e $4$ um ao lado do outro. Um número nestas condições é, por exemplo, $142\,356$.
8. Seja $E$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A\subset E$ e $B\subset E$).
Sabe-se que:
- $0
- $P(\bar{A}\cap\bar{B})=9\,P(A\cap B)$;
- $P(\bar{A})=3\,P(B)$.
Determine o valor de $P(A\mid B)$. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
★ 9. Uma empresa que fabrica suspensões para veículos está a testar a elasticidade nas vibrações verticais de um certo tipo de mola.
Num dos testes, fixou-se uma das extremidades de uma mola numa bancada, e a extremidade livre foi alongada alguns centímetros acima da posição de equilíbrio, tendo sido depois solta.
Admita que a mola oscila numa trajetória vertical e que o deslocamento, $y$, em centímetros, da extremidade livre da mola, em relação à posição de equilíbrio, no primeiro segundo, é dado, em cada instante $t$, em segundos, por $$y(t)=7{,}5\,e^{-1{,}5\,t}\,\operatorname{sen}(8{,}6\,t+1{,}6),\quad t\in[0,\,1]$$ (o argumento da função seno está expresso em radianos).
Existem três instantes em que a extremidade livre da mola está meio centímetro abaixo da posição de equilíbrio.
Determine, recorrendo à calculadora, o primeiro desses instantes. Apresente o resultado arredondado às centésimas de segundo. Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
- represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.
★ 10. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, duas vezes diferenciável.
Relativamente à função $f$, sabe-se que:
- a função $f'$, derivada da função $f$, é estritamente crescente no intervalo $]0,+\infty[$;
- $f'(1)=2$.
Considere as proposições seguintes.
I. O gráfico da função $f$ pode ter concavidade voltada para baixo em $\mathbb{R}^{+}$.
II. No intervalo $]1,5[$, a função $f$ tem, pelo menos, um extremo.
Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.
11. Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$, cuja derivada, $g'$, é dada por $$g'(x)=\cos(2x)+2\operatorname{sen}x$$
Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.
★ 11.1. Seja $r$ a reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $0$, e seja $s$ a reta paralela à reta $r$ que intersecta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $4$.
Determine a equação reduzida da reta $s$.
11.2. Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $g$, caso este(s) exista(m).
★ 12. Considere o ponto $A$, afixo no plano complexo do número $z=-2i$.
Qual dos seguintes números complexos tem como afixo o transformado do ponto $A$ por uma rotação de centro na origem e de ângulo orientado de amplitude $\dfrac{\pi}{3}$ radianos?
13. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $$w=\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{e^{\,i\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}}.$$
O número complexo $w$ é uma das raízes sextas de um certo número complexo $z$. Determine $iz$.
★ 14. Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, par e diferenciável.
Seja $a$ um número real tal que $f'(a)=f(a)$, com $f(a)\ne 0$.
Prove que $f'(-a)\times f'(a)=-[f(a)]^{2}$.
Sugestão: na sua resposta, poderá fazer uso da definição de derivada de uma função num ponto.
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | Subtotal | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.1. | 1.2. | 4. | 6.1. | 6.2. | 7.1. | 7.2. | 9. | 10. | 11.1. | 12. | 14. | ||
| 12 | 14 | 12 | 12 | 14 | 12 | 14 | 14 | 14 | 14 | 12 | 14 | 158 | |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | Subtotal | ||||||||||||
| 2. | 3. | 5. | 8. | 11.2. | 13. | ||||||||
| $3\times 14$ pontos | 42 | ||||||||||||
| TOTAL | 200 | ||||||||||||
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