Limites e continuidade

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Limite e domínio de uma função

Consideremos a função \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{3x+x^2}{x}\). Tem-se \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Como \(\dfrac{3x+x^2}{x}=\dfrac{x(3+x)}{x}\), vem \(f(x)=3+x\) para \(x\neq 0\). Para \(x=0\) a função não está definida.

De acordo com o conceito de limite, quando \(x\) se aproxima de \(0\), por valores diferentes de \(0\), \(f(x)\) aproxima-se de \(3\). Assim:

\[ \lim_{x\to 0} f(x)=3 .\]

Repare-se que o limite de uma função num ponto não depende do valor da função nesse ponto — pode até nem existir imagem, como neste caso.

Limites laterais e existência de limite

Para estudar o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto \(a\) precisamos, por vezes, de determinar os limites laterais da função nesse ponto:

Existência de limite

Seja \(f:D_f\to\mathbb{R}\). Se \(f\) está definida à esquerda e à direita de um ponto \(a\), então o limite de \(f\) em \(a\) existe se, e só se, os limites laterais de \(f\) em \(a\) existirem e forem iguais:

\[ \lim_{x\to a} f(x)=b \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=b \]

Limites e operações

Se \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=r\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=s\), com \(r,s\in\mathbb{R}\):

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ \lim_{x\to a}\big[f(x)\pm g(x)\big]=r\pm s &&\textbf{2.}\ \lim_{x\to a}\big[k\times f(x)\big]=k\,r,\ k\in\mathbb{R}\\[.35em] &\textbf{3.}\ \lim_{x\to a}\big[f(x)\times g(x)\big]=r\times s &&\textbf{4.}\ \lim_{x\to a}\big[f(x)\big]^{\,n}=r^{\,n}\\[.35em] &\textbf{5.}\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{r}{s}\ \text{ se }\ \lim_{x\to a} g(x)\neq 0 \end{aligned} \]

Continuidade de uma função num ponto

Uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\) é contínua num ponto \(a\) do seu domínio se e só se:

\[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a) \]

Na prática, para uma função definida por ramos, estudar a continuidade num ponto \(a\) de mudança de ramo resume-se a comparar três valores:

\[ \lim_{x\to a^-} f(x)\ ,\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)\ ,\qquad f(a) \]

A função é contínua em \(a\) se, e só se, os três forem iguais.

Recorde ainda que as funções polinomiais são contínuas em \(\mathbb{R}\) e que as funções racionais são contínuas em todo o seu domínio. Por isso, numa função definida por ramos polinomiais ou racionais, só é preciso estudar o(s) ponto(s) de mudança de ramo.

Funções contínuas

Informalmente, uma função é contínua quando é possível desenhar o seu gráfico sem levantar o lápis do papel. Se, ao percorrer o gráfico, for necessário levantar o lápis num ponto que pertença ao domínio, então a função não é contínua nesse ponto.

São contínuas em todos os pontos do seu domínio — e por isso se designam simplesmente por funções contínuas:

Por exemplo, as funções racionais são contínuas em todo o seu domínio, por serem quocientes de funções polinomiais (contínuas). A função módulo também é contínua, embora não conste da lista acima.

Uma função diz-se contínua num intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

Consequência prática: numa função definida por ramos em que cada ramo é dado por uma expressão contínua, basta estudar a continuidade nos pontos de mudança de ramo — em todos os outros a função é automaticamente contínua.

Limites no infinito

Define-se \(b\) (finito ou infinito) como o limite de \(f(x)\) quando \(x\) tende para mais infinito, e escreve-se \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=b\), se \(f(x)\) tende para \(b\) quando \(x\) tende para \(+\infty\). De modo análogo se define \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)\).

Operações com limites infinitos e indeterminações

As regras operatórias dos limites continuam válidas com limites infinitos, desde que não se caia numa indeterminação. As tabelas seguintes resumem os casos.

Adição e subtração

\(+\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(+\infty\)\(+\infty\)Ind.
\(-\infty\)Ind.\(-\infty\)
\(-\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(+\infty\)Ind.\(+\infty\)
\(-\infty\)\(-\infty\)Ind.

Multiplicação

\(\times\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(+\infty\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(-\infty\)\(-\infty\)\(+\infty\)

Divisão (com \(c\neq 0\) nas tabelas)

\(c\gt 0\)\(c\lt 0\)
\(\dfrac{+\infty}{c}\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(\dfrac{-\infty}{c}\)\(-\infty\)\(+\infty\)
\(\dfrac{c}{0^{+}}\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(\dfrac{c}{0^{-}}\)\(-\infty\)\(+\infty\)
\[ \frac{c}{\pm\infty}=0\ ,\ c\in\mathbb{R} \qquad\qquad \textbf{Indeterminações: }\ \infty-\infty\ ,\quad 0\times\infty\ ,\quad \frac{0}{0}\ ,\quad \frac{\infty}{\infty} \]

Limites notáveis e regra de L’Hôpital

Perante uma indeterminação \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\) num quociente, há duas ferramentas específicas — os limites notáveis (como \(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1\)) e a regra de L’Hôpital. Ambas são tratadas, com exercícios, na ficha Limites notáveis e Regra de L’Hôpital.

1. Limites com recurso à calculadora gráfica

1

Determine os seguintes limites recorrendo à calculadora gráfica.

  1. 1.1. \(\displaystyle\lim_{x\to -1} x^2\)
  2. 1.2. \(\displaystyle\lim_{x\to 2} (x-3)\)
  3. 1.3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2x-x^2}{x}\)
1.1.

Introduzindo \(Y_1=x^2\) na calculadora e observando o gráfico e a tabela junto de \(x=-1\), verifica-se que \(x^2\) se aproxima de \(1\) quando \(x\) se aproxima de \(-1\), tanto à esquerda como à direita.

\[ \lim_{x\to -1} x^2 = (-1)^2 = 1 \]
\(\displaystyle\lim_{x\to -1} x^2 = 1\)
1.2.

Com \(Y_1=x-3\), observa-se que \(x-3\) se aproxima de \(-1\) quando \(x\) se aproxima de \(2\).

\[ \lim_{x\to 2} (x-3) = 2-3 = -1 \]
\(\displaystyle\lim_{x\to 2} (x-3) = -1\)
1.3.

Com \(Y_1=\dfrac{2x-x^2}{x}\), o valor de \(y\) aproxima-se de \(2\) quando \(x\) se aproxima de \(0\) — por exemplo, para \(x\approx 0{,}0428\) obtém-se \(y\approx 1{,}9571\). Note-se que a função não está definida em \(x=0\).

Analiticamente, levantando a indeterminação \(\frac00\):

\[ \lim_{x\to 0}\frac{2x-x^2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(2-x)}{x}=\lim_{x\to 0}(2-x)=2 \]
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2x-x^2}{x} = 2\)

2. Cálculo de limites

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Determine os seguintes limites recorrendo, se necessário, à calculadora gráfica.

  1. 2.1. \(\displaystyle\lim_{x\to 1} x^4\)
  2. 2.2. \(\displaystyle\lim_{x\to -1} x^3\)
  3. 2.3. \(\displaystyle\lim_{x\to 2} \dfrac{x+1}{x}\)
  4. 2.4. \(\displaystyle\lim_{x\to 3} \dfrac{x^2-9}{x}\)
  5. 2.5. \(\displaystyle\lim_{x\to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}\)
  6. 2.6. \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2x+5x^2}{x}\)
  7. 2.7. \(\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^2(x-1)}{2x-2}\)
2.1.

\(x\mapsto x^4\) é uma função polinomial, logo contínua em \(\mathbb{R}\): basta substituir.

\[ \lim_{x\to 1} x^4 = 1^4 = 1 \]
2.2.
\[ \lim_{x\to -1} x^3 = (-1)^3 = -1 \]
2.3.

Função racional contínua em \(x=2\), pois o denominador não se anula.

\[ \lim_{x\to 2} \frac{x+1}{x} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} \]
2.4.

Em \(x=3\) o denominador não se anula, pelo que basta substituir.

\[ \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x} = \frac{3^2-9}{3} = \frac{0}{3} = 0 \]
2.5.

Substituindo, obtém-se a indeterminação \(\frac00\). Fatoriza-se o numerador com a diferença de quadrados:

\[ \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3} =\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} =\lim_{x\to 3} (x+3) = 6 \]
2.6.

Indeterminação \(\frac00\). Coloca-se \(x\) em evidência no numerador:

\[ \lim_{x\to 0} \frac{2x+5x^2}{x} =\lim_{x\to 0} \frac{x(2+5x)}{x} =\lim_{x\to 0} (2+5x) = 2 \]
2.7.

Indeterminação \(\frac00\). Coloca-se \(2\) em evidência no denominador:

\[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-1)}{2x-2} =\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-1)}{2(x-1)} =\lim_{x\to 1} \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2} \]
\(2.1)\ 1\ \bullet\ 2.2)\ -1\ \bullet\ 2.3)\ \tfrac32\ \bullet\ 2.4)\ 0\ \bullet\ 2.5)\ 6\ \bullet\ 2.6)\ 2\ \bullet\ 2.7)\ \tfrac12\)

3. Continuidade de funções definidas por ramos

3

Estude a continuidade das funções \(f\), \(g\) e \(h\) a seguir definidas em \(\mathbb{R}\).

  1. 3.1. \(f(x)=\begin{cases} x & \text{se } x\gt -1\\ 3 & \text{se } x\leqslant -1\end{cases}\)
  2. 3.2. \(g(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{se } x\gt 0\\ 0 & \text{se } x=0\\ |x|+1 & \text{se } x\lt 0\end{cases}\)
  3. 3.3. \(h(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{x-3} & \text{se } x\neq 3\\[.4em] 1 & \text{se } x=3\end{cases}\)
3.1.

Em \(\left]-\infty,-1\right[\) e em \(\left]-1,+\infty\right[\) a função é contínua, por ser definida por funções polinomiais. Estuda-se então o ponto \(x=-1\).

\[ \lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-} 3 = 3 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+} x = -1 \]

Como os limites laterais são diferentes, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to -1} f(x)\).

Esboço: semirreta horizontal \(y=3\) para \(x\leqslant -1\), com extremo fechado em \((-1,\,3)\); reta \(y=x\) para \(x\gt -1\), com extremo aberto em \((-1,\,-1)\). Há um "salto" de amplitude \(4\) em \(x=-1\).

\(f\) é descontínua em \(x=-1\) e contínua em todo o \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
3.2.

Fora de \(x=0\) a função é contínua (ramos definidos por uma função polinomial e por uma função módulo). No ponto \(x=0\):

\[ \lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-}\big(|x|+1\big)=0+1=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+}\big(x^2+1\big)=0+1=1 \]

Logo, \(\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)=1\). Mas \(g(0)=0\).

Esboço: para \(x\lt 0\), o ramo \(y=|x|+1=-x+1\) (reta decrescente); para \(x\gt 0\), o ramo \(y=x^2+1\) (arco de parábola). Ambos "apontam" para o ponto aberto \((0,\,1)\), enquanto o ponto fechado do gráfico está em \((0,\,0)\).

Como \(\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)\neq g(0)\), \(g\) é descontínua em \(x=0\) e contínua em qualquer \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
3.3.

Efetuando a divisão de \(x\) por \(x-3\) obtém-se \(x=1\times(x-3)+3\), ou seja:

\[ \frac{x}{x-3}=1+\frac{3}{x-3} \]

Quando \(x\to 3^-\), tem-se \(x-3\to 0^-\) e \(\dfrac{3}{x-3}\to -\infty\); quando \(x\to 3^+\), tem-se \(x-3\to 0^+\) e \(\dfrac{3}{x-3}\to +\infty\). Assim:

\[ \lim_{x\to 3^-} h(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 3^+} h(x)=+\infty \]

Logo, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 3} h(x)\).

Esboço: hipérbole com assíntota vertical \(x=3\) e assíntota horizontal \(y=1\); o ramo da esquerda desce para \(-\infty\) junto a \(x=3\) e o da direita vem de \(+\infty\). O ponto \((3,\,1)\) é um ponto isolado do gráfico, pois \(h(3)=1\).

\(h\) é descontínua em \(x=3\) e é contínua em qualquer \(x\in\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

4. Esboço de gráficos e estudo da continuidade

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Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções de domínio \(\mathbb{R}\) e, para cada caso, estude a sua continuidade.

  1. 4.1. \(f(x)=\begin{cases} 3 & \text{se } x\geqslant 1\\ 4-x^2 & \text{se } x\lt 1\end{cases}\)
  2. 4.2. \(f(x)=\begin{cases} |x| & \text{se } x\lt 2\\ 1 & \text{se } x=2\\ 4-x & \text{se } x\gt 2\end{cases}\)
  3. 4.3. \(f(x)=\begin{cases} \dfrac{x-x^2}{1-x} & \text{se } x\lt 1\\[.4em] 2x-1 & \text{se } x\geqslant 1\end{cases}\)
4.1.

Em \(\left]-\infty,1\right[\) e em \(\left]1,+\infty\right[\) a função é contínua, por ser definida por funções polinomiais. No ponto \(x=1\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^-}\big(4-x^2\big)=4-1^2=3\\ \lim_{x\to 1^+} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} 3 = 3\\ f(1)&=3 \end{aligned} \]

Os três valores coincidem.

Esboço: arco da parábola \(y=4-x^2\) (concavidade voltada para baixo, vértice em \((0,\,4)\)) para \(x\lt 1\), passando por \((-2,\,0)\); a partir de \(x=1\), semirreta horizontal \(y=3\). Os dois ramos ligam-se em \((1,\,3)\) sem interrupção.

\(f\) é contínua em \(x=1\) e, portanto, contínua em \(\mathbb{R}\).
4.2.

Fora de \(x=2\) a função é contínua. No ponto \(x=2\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2^-} f(x)&=\lim_{x\to 2^-} |x| = 2\\ \lim_{x\to 2^+} f(x)&=\lim_{x\to 2^+} (4-x) = 4-2 = 2\\ f(2)&=1 \end{aligned} \]

Os limites laterais são iguais, logo \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=2\); no entanto, \(f(2)=1\neq 2\).

Esboço: gráfico de \(y=|x|\) (em "V", com vértice na origem) para \(x\lt 2\), terminando num ponto aberto em \((2,\,2)\); reta \(y=4-x\) para \(x\gt 2\), começando também num ponto aberto em \((2,\,2)\); ponto isolado fechado em \((2,\,1)\).

\(f\) é descontínua em \(x=2\) e contínua em \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
4.3.

Para \(x\lt 1\) simplifica-se o primeiro ramo:

\[ \frac{x-x^2}{1-x}=\frac{x(1-x)}{1-x}=x\ ,\qquad x\neq 1 \]

No ponto \(x=1\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^-} \frac{x(1-x)}{1-x}=\lim_{x\to 1^-} x = 1\\ \lim_{x\to 1^+} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} (2x-1) = 2\times 1-1 = 1\\ f(1)&=2\times 1-1 = 1 \end{aligned} \]

Esboço: semirreta \(y=x\) para \(x\lt 1\) e semirreta \(y=2x-1\) para \(x\geqslant 1\); as duas encontram-se no ponto \((1,\,1)\), onde o gráfico muda de declive mas não se interrompe.

\(f\) é contínua em \(x=1\) e, portanto, contínua em \(\mathbb{R}\).

5. Funções contínuas em \(\mathbb{R}\)

5
  1. 5.1. Verifique se a função \(f\) a seguir definida é contínua em \(x=0\).
    \[ f(x)=\begin{cases} x^2-x+1 & \text{se } x\leqslant 0\\ 1-x & \text{se } x\gt 0\end{cases} \]
  2. 5.2. Considere, para um certo valor de \(k\) real, as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por:
    \[ f(x)=\begin{cases} k+x & \text{se } x\lt -1\\ x^2 & \text{se } x\geqslant -1\end{cases} \qquad\text{e}\qquad g(x)=\begin{cases} x^2+3x & \text{se } x\lt k\\ 5x+8 & \text{se } x\geqslant k\end{cases} \]
    Determine, caso exista, o valor de \(k\) para o qual cada uma das funções, \(f\) e \(g\), é contínua em \(\mathbb{R}\).
5.1.
\[ \begin{aligned} f(0)&=0^2-0+1=1\\ \lim_{x\to 0^-} f(x)&=\lim_{x\to 0^-}\big(x^2-x+1\big)=0^2-0+1=1\\ \lim_{x\to 0^+} f(x)&=\lim_{x\to 0^+}(1-x)=1-0=1 \end{aligned} \]
Como \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)\), \(f\) é contínua em \(x=0\).
5.2. Função \(f\)

Em \(\left]-\infty,-1\right[\) e em \(\left]-1,+\infty\right[\), a função \(f\) é contínua por ser, nestes intervalos, definida por funções polinomiais. No ponto \(x=-1\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} f(x)&=\lim_{x\to -1^-} (k+x)=k-1\\ \lim_{x\to -1^+} f(x)&=\lim_{x\to -1^+} x^2=(-1)^2=1\\ f(-1)&=(-1)^2=1 \end{aligned} \]
\[ f \text{ é contínua em } x=-1 \iff \lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^+} f(x)=f(-1) \iff k-1=1 \iff k=2 \]
\(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\) se \(\mathbf{k=2}\).
5.2. Função \(g\)

Em \(\left]-\infty,k\right[\) e em \(\left]k,+\infty\right[\), a função \(g\) é contínua por ser, nestes intervalos, definida por funções polinomiais. No ponto \(x=k\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to k^-} g(x)&=\lim_{x\to k^-}\big(x^2+3x\big)=k^2+3k\\ \lim_{x\to k^+} g(x)&=\lim_{x\to k^+}(5x+8)=5k+8\\ g(k)&=5k+8 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} g \text{ é contínua em } x=k &\iff \lim_{x\to k^-} g(x)=\lim_{x\to k^+} g(x)=g(k)\\ &\iff k^2+3k=5k+8 \iff k^2-2k-8=0\\ &\iff k=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2} \iff k=\frac{2\pm 6}{2} \iff k=-2 \ \lor\ k=4 \end{aligned} \]
\(g\) é contínua em \(\mathbb{R}\) se \(\mathbf{k=-2}\) ou \(\mathbf{k=4}\).

6. Continuidade em \(x=1\)

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Verifique que a função definida de seguida é contínua em \(x=1\).

\[ f(x)=\begin{cases} 3 & \text{se } x\leqslant 1\\ x+2 & \text{se } x\gt 1\end{cases} \]
Passo 1 — imagem e limites laterais
\[ \begin{aligned} f(1)&=3\\ \lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^-} 3 = 3\\ \lim_{x\to 1^+} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} (x+2) = 1+2 = 3 \end{aligned} \]
Passo 2 — conclusão

Os limites laterais existem e são iguais, logo existe \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=3\), e esse valor é igual a \(f(1)\).

Como \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=f(1)=3\), a função \(f\) é contínua em \(x=1\).

7. Determinar \(k\) para \(g\) contínua

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Para um certo número real \(k\) é contínua, em \(\mathbb{R}\), a função \(g\) definida por:

\[ g(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{x+2} & \text{se } x\geqslant 1\\[.5em] -\dfrac{x}{k} & \text{se } x\lt 1\end{cases} \]

Determine o valor de \(k\).

Passo 1 — o ponto a estudar

Para \(x\geqslant 1\) o denominador \(x+2\) nunca se anula e, para \(x\lt 1\), o ramo \(-\dfrac{x}{k}\) é uma função linear (com \(k\neq 0\)). Ambos os ramos são contínuos nos respetivos intervalos, pelo que só é preciso estudar \(x=1\).

Passo 2 — limites laterais e imagem
\[ \begin{aligned} g(1)&=\frac{1}{1+2}=\frac13\\ \lim_{x\to 1^+} g(x)&=\lim_{x\to 1^+} \frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}\\ \lim_{x\to 1^-} g(x)&=\lim_{x\to 1^-} \left(-\frac{x}{k}\right)=-\frac{1}{k} \end{aligned} \]
Passo 3 — condição de continuidade
\[ g \text{ é contínua em } x=1 \iff -\frac{1}{k}=\frac13 \iff k=-3 \]

Como \(k=-3\neq 0\), o valor obtido é admissível.

\(\mathbf{k=-3}\)

8. Valores de \(k\) para \(f\) contínua

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Determine os valores reais de \(k\) para os quais a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\) por:

\[ f(x)=\begin{cases} 2x^2 & \text{se } x\geqslant k\\ x^2-2x+15 & \text{se } x\lt k\end{cases} \]

é contínua.

Passo 1 — o ponto a estudar

Em \(\left]-\infty,k\right[\) e em \(\left]k,+\infty\right[\) a função é contínua, por ser definida por funções polinomiais. Resta estudar a continuidade em \(x=k\).

Passo 2 — limites laterais e imagem
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to k^-} f(x)&=\lim_{x\to k^-}\big(x^2-2x+15\big)=k^2-2k+15\\ \lim_{x\to k^+} f(x)&=\lim_{x\to k^+} 2x^2 = 2k^2\\ f(k)&=2k^2 \end{aligned} \]
Passo 3 — condição de continuidade
\[ \begin{aligned} f \text{ é contínua em } x=k &\iff k^2-2k+15 = 2k^2\\ &\iff k^2+2k-15=0\\ &\iff k=\frac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2} =\frac{-2\pm 8}{2}\\ &\iff k=-5 \ \lor\ k=3 \end{aligned} \]
\(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\) se \(\mathbf{k=-5}\) ou \(\mathbf{k=3}\).

9. Limites laterais num gráfico

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Na figura, está representada parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\left[-5,+\infty\right[\).

Gráfico de f: um segmento de reta que sobe desde o ponto (−5, −2) até uma bola aberta em (−1, 2); a partir de uma bola fechada em (−1, −1), uma curva que desce até um mínimo e depois sobe

Pode afirmar-se que:

  • (A) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=-1\)
  • (B) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=-1\)
  • (C) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=\lim_{x\to -1^{+}} f(x)\)
  • (D) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=f(-1)\)
Passo 1 — ler os três valores no gráfico

Em \(x=-1\) há uma mudança de ramo. Há sempre três coisas a ler: os dois limites laterais e a imagem.

• À esquerda de \(-1\): o segmento sobe e termina numa bola aberta em \((-1,\,2)\). A bola é aberta, mas isso não afeta o limite — o que interessa é o valor de que \(f(x)\) se aproxima:

\(\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=2\)

• À direita de \(-1\): o segundo ramo começa numa bola fechada em \((-1,\,-1)\):

\(\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=-1\)

• Imagem: a bola fechada indica o ponto do gráfico, logo \(f(-1)=-1\).

Recorde-se: a bola aberta assinala um valor de que o gráfico se aproxima mas que não é atingido; a bola fechada assinala o ponto que pertence ao gráfico.

Passo 2 — testar cada opção

(A) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=2\neq -1\). Falsa.

(B) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=-1\). Verdadeira.

(C) \(2\neq -1\), os limites laterais são diferentes (é por isso que não existe \(\displaystyle\lim_{x\to -1} f(x)\)). Falsa.

(D) \(\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=2\) e \(f(-1)=-1\). Falsa.

Opção (B). Note-se ainda que \(f\) não é contínua em \(x=-1\): os limites laterais são diferentes, logo não existe \(\displaystyle\lim_{x\to -1} f(x)\).

10. Justificar que \(f\) não é contínua

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Na figura, está representada parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\left[-2,\,5\right]\).

Gráfico de f: um arco de parábola desde a bola fechada em (−2, −2), com máximo acima do eixo, descendo até uma bola aberta em (2, 0); e um segmento de reta desde a bola fechada em (2, −2) até (5, 2)

Justifique que a função \(f\) não é contínua em \(x=2\).

Passo 1 — o que é preciso verificar

Por definição, \(f\) é contínua em \(x=2\) se e só se \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=f(2)\). Para isso, os dois limites laterais têm de existir, ser iguais entre si e iguais a \(f(2)\). Basta que uma destas condições falhe.

Passo 2 — ler os três valores no gráfico

• O arco de parábola termina numa bola aberta em \((2,\,0)\), logo \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=0\).

• O segmento de reta começa numa bola fechada em \((2,\,-2)\), logo \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-2\) e \(f(2)=-2\).

Passo 3 — conclusão
\[ \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=0 \qquad\neq\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-2 \]

Como os limites laterais são diferentes, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)\). Ora a existência desse limite é condição necessária para a continuidade.

Como \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=0\neq -2=\lim_{x\to 2^{+}} f(x)\), não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)\); logo não pode ser \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=f(2)\) e, portanto, \(f\) não é contínua em \(x=2\).

Graficamente: para passar de um ramo ao outro é necessário levantar o lápis.

11. Descontinuidade com limite

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Em qual das opções está representada uma função que não é contínua em \(x=1\), mas existe o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)\)?

(A) Opção A: reta que sobe e termina numa bola aberta em (1, 1); o segundo ramo começa numa bola fechada em (1, 1,5) e continua a subir
(B) Opção B: reta que sobe e termina numa bola aberta em (1, 1,5); o segundo ramo começa numa bola aberta em (1, 1) e continua a subir
(C) Opção C: uma única reta que sobe, com uma bola aberta em (1, 1), e uma bola fechada isolada em (1, 2), acima da reta
(D) Opção D: reta que sobe e termina numa bola aberta em (1, 1,5); o segundo ramo começa numa bola fechada em (1, 1) e continua a subir
Passo 1 — o que se procura

São pedidas duas condições em simultâneo:

• existe \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)\), ou seja, os dois limites laterais existem e são iguais;

• \(f\) não é contínua em \(x=1\), ou seja, esse limite não coincide com \(f(1)\).

Graficamente, isso corresponde a um gráfico que não tem salto: é uma única linha com um buraco (bola aberta) em \(x=1\) e o ponto \(\big(1,f(1)\big)\) fora dessa linha.

Passo 2 — analisar cada opção

(A) \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1\) e \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=1{,}5\): há um salto, os limites laterais são diferentes e não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)\). Não serve.

(B) \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1{,}5\) e \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=1\): também há salto, logo não existe o limite. (Aqui nem sequer existe \(f(1)\), pois as duas bolas são abertas.) Não serve.

(C) Os dois ramos pertencem à mesma reta, com um buraco em \(x=1\):

\(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=1 \implies \lim_{x\to 1} f(x)=1\)

Mas a bola fechada mostra que \(f(1)=2\). Como \(1\neq 2\), a função não é contínua em \(x=1\), embora o limite exista. Serve.

(D) \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1{,}5\) e \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=1\): novamente um salto, não existe o limite. Não serve.

Opção (C): é a única em que \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)\) existe (vale \(1\)) sendo, ainda assim, \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)\neq f(1)\). Diz-se que se trata de uma descontinuidade removível: bastaria redefinir \(f(1)=1\) para a função ficar contínua.

12. Limites de quocientes com um gráfico

12

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)\) e a função \(f\), de domínio \(\left[-2,\,4\right]\), representada graficamente na figura.

Gráfico de f: linha quebrada que sobe de (−2, 0) até ao ponto (0, 2) e depois desce em linha reta, passando por (2, 0), até (4, −2)
  1. 12.1. Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)?
    • (A) \(0\)
    • (B) \(\ln(2)\)
    • (C) \(+\infty\)
    • (D) \(-\infty\)
  2. 12.2. Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)?
    • (A) \(0\)
    • (B) \(1\)
    • (C) \(+\infty\)
    • (D) \(-\infty\)
  3. 12.3. Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)?
    • (A) \(0\)
    • (B) \(1\)
    • (C) \(+\infty\)
    • (D) \(-\infty\)
  4. 12.4. Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
    • (A) \(0\)
    • (B) \(1\)
    • (C) \(+\infty\)
    • (D) \(-\infty\)
Passo prévio — o que se lê no gráfico e em \(g\)

Do gráfico de \(f\) (linha quebrada) retiram-se os valores necessários:

\(f(0)=2\ ,\qquad f(1)=1\ ,\qquad f(2)=0\)

À direita de \(2\) o gráfico está abaixo do eixo \(Ox\): \(f(x)\lt 0\) para \(x\gt 2\).

Quanto a \(g\), é contínua em \(\mathbb{R}\) (composta de funções contínuas, com \(x^{2}+1\gt 0\)), pelo que se calcula por substituição direta:

\[ g(0)=\ln(1)=0\ ,\qquad g(1)=\ln(2)\ ,\qquad g(2)=\ln(5) \]

Note-se ainda que \(x^{2}+1\geqslant 1\), logo \(g(x)\geqslant 0\), anulando-se apenas em \(x=0\).

12.1. — \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)

Em \(x=1\) o denominador não se anula (\(f(1)=1\neq 0\)), pelo que não há indeterminação:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{g(1)}{f(1)}=\frac{\ln(2)}{1}=\ln(2) \]
12.1. — Opção (B).
12.2. — \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)

Agora o denominador anula-se: \(f(2)=0\). É preciso o sinal com que \(f\) se aproxima de zero. Como \(f(x)\lt 0\) para \(x\gt 2\), tem-se \(f(x)\to 0^{-}\). O numerador tende para \(\ln(5)\gt 0\):

\[ \lim_{x\to 2^{+}}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\ln(5)}{0^{-}}=-\infty \]
12.2. — Opção (D).
12.3. — \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)

Desta vez é o numerador que se anula: \(g(0)=\ln(1)=0\). O denominador tende para \(f(0)=2\neq 0\), pelo que não há indeterminação:

\[ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{0}{2}=0 \]
12.3. — Opção (A).
12.4. — \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)

É o quociente inverso do anterior: agora é o denominador que se anula. Como \(g(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)\gt 0\) para \(x\neq 0\), tem-se \(g(x)\to 0^{+}\); e o numerador tende para \(f(0)=2\gt 0\):

\[ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty \]
12.4. — Opção (C).

Resumo do método: num quociente, começa-se sempre por calcular os limites do numerador e do denominador. Só quando o denominador tende para zero é preciso descobrir o sinal \(0^{+}\) ou \(0^{-}\) — e é o gráfico que o dá.

13. Cálculo de limites

13

Calcule o valor dos seguintes limites.

  1. 13.1. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}}\)
  2. 13.2. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{3}-x^{2}}{x^{3}+5}\)
  3. 13.3. \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(x^{3}-10x^{2}\right)\)
  4. 13.4. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x+1}{\operatorname{sen} x}\)
  5. 13.5. \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}\)
  6. 13.6. \(\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}+8}{x^{2}+x-2}\)
  7. 13.7. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x}\)
  8. 13.8. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}+3x+2}\)
  9. 13.9. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x-x^{3}}{x^{2}+2}\)

Em cada alínea a primeira coisa a fazer é a substituição direta: se não der indeterminação, o limite está calculado.

13.1.

Substituindo, \(\dfrac{1-1}{1}=\dfrac{0}{1}\) — não é indeterminação (só o numerador é nulo).

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}}=\frac{1^{3}-1}{1^{2}}=0\)
13.2.

Indeterminação \(\frac{\infty}{\infty}\). Põe-se em evidência a maior potência de \(x\) em cada termo:

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{3}-x^{2}}{x^{3}+5} =\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x^{3}\left(1+\frac{5}{x^{3}}\right)} =\frac{2-0}{1+0} \]
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{3}-x^{2}}{x^{3}+5}=2\)

(Atalho: num quociente de polinómios com \(x\to\pm\infty\) e graus iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.)

13.3.

Indeterminação \(\infty-\infty\). Põe-se \(x^{3}\) em evidência:

\[ \lim_{x\to -\infty}\left(x^{3}-10x^{2}\right) =\lim_{x\to -\infty}x^{3}\left(1-\frac{10}{x}\right) =(-\infty)\times 1 \]
\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(x^{3}-10x^{2}\right)=-\infty\)
13.4.

O numerador tende para \(0+1=1\). Quanto ao denominador: para \(x\to 0^{-}\) tem-se \(x\lt 0\) e, numa vizinhança de \(0\), \(\operatorname{sen} x\) tem o sinal de \(x\), logo \(\operatorname{sen} x\to 0^{-}\).

\[ \lim_{x\to 0^{-}}\frac{x+1}{\operatorname{sen} x}=\frac{1}{0^{-}} \]
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x+1}{\operatorname{sen} x}=-\infty\)

Cuidado: não confundir com o limite notável \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1\) — aqui o numerador tende para \(1\) e não para \(0\), pelo que nem há indeterminação.

13.5.

Indeterminação \(\frac{0}{0}\). Fatoriza-se o denominador (diferença de quadrados):

\[ \lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4} =\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4} \]
\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\frac{1}{4}\)
13.6.

Indeterminação \(\frac{0}{0}\) (ambos se anulam em \(-2\), logo ambos são divisíveis por \(x+2\)). Usa-se a soma de cubos \(a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\) e fatoriza-se o trinómio:

\[ x^{3}+8=(x+2)\left(x^{2}-2x+4\right) \qquad\text{e}\qquad x^{2}+x-2=(x+2)(x-1) \]
\[ \lim_{x\to -2}\frac{(x+2)\left(x^{2}-2x+4\right)}{(x+2)(x-1)} =\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}-2x+4}{x-1} =\frac{4+4+4}{-3} \]
\(\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}+8}{x^{2}+x-2}=\frac{12}{-3}=-4\)
13.7.

Não há indeterminação: quando \(x\to 0^{+}\), \(\ln x\to -\infty\) e o denominador tende para \(0^{+}\).

\[ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x}=\frac{-\infty}{0^{+}} \]
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x}=-\infty\)
13.8.

Substituição direta: o denominador em \(x=1\) vale \(1+3+2=6\neq 0\).

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}+3x+2}=\frac{0}{6}=0\)
13.9.

Indeterminação \(\frac{\infty}{\infty}\), com o grau do numerador maior do que o do denominador:

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{x-x^{3}}{x^{2}+2} =\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)}{x^{2}\left(1+\frac{2}{x^{2}}\right)} =\lim_{x\to +\infty}\ x\times\frac{0-1}{1+0} =(+\infty)\times(-1) \]
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x-x^{3}}{x^{2}+2}=-\infty\)

14. Quociente de uma cúbica por uma quadrática

14

Na figura, está representada, em referencial cartesiano \(Oxy\), parte do gráfico de uma função cúbica \(f\), que tem três zeros: \(-2\), \(1\) e \(3\).

Gráfico de uma função cúbica com zeros em menos 2, 1 e 3: sobe da parte inferior esquerda, tem um máximo relativo entre menos 2 e 1, um mínimo relativo entre 1 e 3, e depois sobe

Considere a função polinomial \(g\), definida por \(g(x)=x^{2}+x-2\).

  1. 14.1. Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\)?
    • (A) \(0\)
    • (B) \(1\)
    • (C) \(+\infty\)
    • (D) \(-\infty\)
  2. 14.2. Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{g(x)}\)?
    • (A) \(0\)
    • (B) \(1\)
    • (C) \(+\infty\)
    • (D) \(-\infty\)
  3. 14.3. Determine \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\), sabendo que \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{g(x)}{f(x)}=-2\).
Passo prévio — escrever \(f\) e \(g\) na forma fatorizada

Como \(f\) é uma função cúbica com zeros \(-2\), \(1\) e \(3\), existe \(a\neq 0\) tal que

\[ f(x)=a\,(x+2)(x-1)(x-3) \]

Pelo gráfico, \(f(x)\to -\infty\) quando \(x\to -\infty\), o que obriga a \(a\gt 0\). Quanto a \(g\), os seus zeros são \(-2\) e \(1\) (soma \(-1\), produto \(-2\)):

\[ g(x)=x^{2}+x-2=(x+2)(x-1) \]

O quociente simplifica-se então de forma notável, para todo o \(x\neq -2\) e \(x\neq 1\):

\[ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a\,(x+2)(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-1)}=a\,(x-3) \]

Ou seja, fora dos pontos \(-2\) e \(1\) o quociente é simplesmente uma função afim. Isto resolve as três alíneas de uma vez.

14.1.
\[ \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to -\infty} a\,(x-3)=a\times(-\infty)=-\infty \qquad (a\gt 0) \]
14.1. — Opção (D).

Sem a simplificação chegava-se ao mesmo: o grau do numerador (\(3\)) é maior do que o do denominador (\(2\)) e o quociente dos coeficientes de maior grau é \(a\gt 0\), pelo que o limite em \(-\infty\) é \(-\infty\).

14.2.

Em \(x=3\) o denominador não se anula (\(g(3)=9+3-2=10\)) e o numerador anula-se (\(3\) é zero de \(f\)):

\[ \lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{g(x)}=a\,(3-3)=0 \]
14.2. — Opção (A).
14.3. — determinar \(a\)

Do quociente simplificado, para \(x\neq -2,\,1,\,3\):

\[ \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{a\,(x-3)} \]

Usando a informação dada:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{a\,(1-3)}=\frac{1}{-2a}=-2 \iff -2a=-\frac{1}{2} \iff a=\frac{1}{4} \]
14.3. — calcular o limite pedido
\[ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=a\,(0-3)=\frac{1}{4}\times(-3)=-\frac{3}{4} \]
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=-\frac{3}{4}\)