Função inversa | Matemática A

📌 Resumo teórico

Quando é que uma função tem inversa

Uma função \(f\) é invertível se e só se for injetiva, isto é, se objetos diferentes tiverem imagens diferentes:

\[ \forall\, x_1,x_2\in D_f:\ x_1\ne x_2 \Longrightarrow f(x_1)\ne f(x_2) \]

Teste da reta horizontal: no gráfico, \(f\) é injetiva se e só se qualquer reta horizontal intersetar o gráfico no máximo num ponto.

Em particular, toda a função estritamente monótona (sempre crescente ou sempre decrescente) é injetiva. O recíproco não é verdadeiro: há funções injetivas que não são monótonas no seu domínio (por exemplo, \(f(x)=\frac1x\)).

Domínio e contradomínio da inversa

\[ D_{f^{-1}}=D'_{f} \qquad\text{e}\qquad D'_{f^{-1}}=D_{f} \]

\[ f^{-1}(b)=a \iff f(a)=b \]

Caracterizar a inversa é indicar o domínio, o conjunto de chegada e a expressão. Em termos práticos: escreve-se \(y=f(x)\), resolve-se em ordem a \(x\) e trocam-se os nomes das variáveis.

Composição

\[ \left(f^{-1}\circ f\right)(x)=x\ ,\ \forall x\in D_f \qquad \left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x\ ,\ \forall x\in D_{f^{-1}} \]

Cuidado com a notação: \(f^{-1}\) é a função inversa e não \(\dfrac{1}{f}\).

Gráficos

Os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta \(y=x\) (a bissetriz dos quadrantes ímpares). Logo:

\[ (a,b) \text{ pertence ao gráfico de } f \iff (b,a) \text{ pertence ao gráfico de } f^{-1} \]

Basta, portanto, trocar as coordenadas de um ponto para obter o ponto correspondente no outro gráfico.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): pretende-se «identificar funções invertíveis e não invertíveis, nomeadamente recorrendo aos gráficos das funções e ao teste da reta horizontal, e à sua formulação algébrica, em casos simples» e «estabelecer as relações entre o domínio e o contradomínio de funções inversas, bem como a simetria das respetivas representações gráficas, relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares».

1. Quais admitem função inversa?

Nas figuras seguintes encontram-se representadas quatro funções: \(f\), \(g\), \(h\) e \(i\).

Gráfico da função f: curva com um máximo relativo e um mínimo relativo na origem

Gráfico da função g: hipérbole com dois ramos, um no primeiro quadrante e outro no terceiro

Gráfico da função h: linha poligonal estritamente crescente

Gráfico da função i: segmento decrescente seguido de um troço constante igual a zero

Quais das funções representadas admitem função inversa?

Justifique a sua resposta.

Critério a aplicar

Uma função admite inversa se e só se for injetiva. Graficamente, usa-se o teste da reta horizontal: a função é injetiva se nenhuma reta horizontal intersetar o gráfico em mais do que um ponto.

Função \(f\)

O gráfico tem um máximo relativo e um mínimo relativo, pelo que a função sobe, desce e volta a subir. Há retas horizontais que intersetam o gráfico em três pontos (por exemplo, a reta \(y=1\)).

\(f\) não é injetiva \(\Longrightarrow\) não admite inversa.

Função \(g\)

Cada um dos ramos é decrescente e os dois ramos têm imagens de sinais contrários: o ramo da esquerda toma apenas valores negativos e o da direita apenas valores positivos. Assim, nenhuma reta horizontal interseta o gráfico em mais do que um ponto.

\(g\) é injetiva \(\Longrightarrow\) admite inversa.

Repare-se: \(g\) não é monótona no seu domínio (é decrescente em cada ramo, mas não de um ramo para o outro) e, apesar disso, é injetiva. Ser monótona é suficiente, mas não é necessário.

Função \(h\)

O gráfico é sempre «a subir»: a função é estritamente crescente. Qualquer reta horizontal interseta o gráfico, quando muito, num ponto.

\(h\) é injetiva \(\Longrightarrow\) admite inversa.

Função \(i\)

A partir da origem, o gráfico é um troço horizontal: a função é constante e igual a \(0\) num intervalo. Logo há infinitos objetos com a mesma imagem, e a reta \(y=0\) interseta o gráfico em infinitos pontos.

\(i\) não é injetiva \(\Longrightarrow\) não admite inversa.

Admitem função inversa apenas as funções \(g\) e \(h\), por serem as únicas injetivas.

2. Um valor da função inversa

Considere a função real de variável real e invertível, \(f\), definida por:

f(x)=x^{3}-2

Determine \(f^{-1}(-10)\).

Passo 1 — traduzir a notação

Pela definição de função inversa:

f^{-1}(-10)=a \iff f(a)=-10

Ou seja, procura-se o objeto cuja imagem por \(f\) é \(-10\).

Passo 2 — resolver a equação

a^{3}-2=-10 \iff a^{3}=-8 \iff a=\sqrt[3]{-8} \iff a=-2

Verificação

f(-2)=(-2)^{3}-2=-8-2=-10 \quad\checkmark

\(f^{-1}(-10)=-2\)

3. Ler a inversa num gráfico

Seja \(f\) a função afim representada, em referencial o. n. \(Oxy\), na figura ao lado.

Gráfico de uma função afim decrescente numa quadrícula, com as unidades marcadas nos dois eixos

A que é igual \(\left(f+f^{-1}\right)(4)+\left(f^{-1}\circ f\right)(0)\)?

Passo 1 — determinar a expressão de \(f\)

Lendo dois pontos da quadrícula, o gráfico passa em \((0,3)\) e em \((2,2)\). O declive é:

m=\frac{2-3}{2-0}=-\frac12

Como a ordenada na origem é \(3\):

f(x)=-\frac12 x+3

(Confirma-se na figura: o gráfico passa também em \((4,1)\) e em \((6,0)\).)

Passo 2 — a primeira parcela

Atenção: \(\left(f+f^{-1}\right)(4)\) é a soma de duas funções calculada em \(4\), ou seja, \(f(4)+f^{-1}(4)\).

f(4)=-\frac12\times 4+3=-2+3=1

Para \(f^{-1}(4)\) usa-se a definição, \(f^{-1}(4)=a \iff f(a)=4\):

-\frac12 a+3=4 \iff -\frac12 a=1 \iff a=-2

\left(f+f^{-1}\right)(4)=1+(-2)=-1

Passo 3 — a segunda parcela

Aqui não é preciso fazer contas: a composta de uma função com a sua inversa é a identidade.

\left(f^{-1}\circ f\right)(0)=f^{-1}\big(f(0)\big)=0

(De facto, \(f(0)=3\) e \(f^{-1}(3)=0\), porque \(f(0)=3\).)

Passo 4 — somar

\[ -1+0=-1 \]

\(\left(f+f^{-1}\right)(4)+\left(f^{-1}\circ f\right)(0)=-1\)

4. Simetria dos gráficos de \(f\) e \(f^{-1}\)

Na figura estão representadas duas funções, \(f\) e \(g\), definidas em \(\mathbb{R}\) e inversas uma da outra.

Os pontos \(A\) e \(C\) pertencem ao gráfico de \(f\) e os pontos \(B\) e \(D\) pertencem ao gráfico de \(g\).

Gráficos de duas funções inversas uma da outra, simétricos relativamente à bissetriz y = x, com os pontos A, B, C e D marcados

Indique as coordenadas dos pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

Passo 1 — o que se lê na figura

Da figura retiram-se apenas quatro valores:

• \(A\) tem abcissa \(-1\) e \(B\) tem abcissa \(-3\);

• \(C\) tem ordenada \(5\) e \(D\) tem ordenada \(2\).

Passo 2 — a propriedade a usar

Como \(g=f^{-1}\), os dois gráficos são simétricos em relação à reta \(y=x\). Logo, a cada ponto de um dos gráficos corresponde, no outro, o ponto com as coordenadas trocadas:

(a,b)\in\text{gráfico de } f \iff (b,a)\in\text{gráfico de } g

Passo 3 — os pontos \(C\) e \(D\)

Seja \(C=(c,5)\), ponto do gráfico de \(f\). O seu simétrico em relação a \(y=x\) é \((5,c)\), que pertence ao gráfico de \(g\) — é o ponto \(D\), que na figura é o único ponto marcado no gráfico de \(g\) com abcissa positiva.

Como \(D\) tem ordenada \(2\), vem \(c=2\).

C=(2,5) \qquad\text{e}\qquad D=(5,2)

Passo 4 — os pontos \(A\) e \(B\)

Seja \(A=(-1,a)\), ponto do gráfico de \(f\). O seu simétrico é \((a,-1)\), que pertence ao gráfico de \(g\) — é o ponto \(B\).

Como \(B\) tem abcissa \(-3\), vem \(a=-3\).

A=(-1,-3) \qquad\text{e}\qquad B=(-3,-1)

Verificação

Em linguagem de funções: \(f(-1)=-3\) e \(f(2)=5\); logo \(g(-3)=-1\) e \(g(5)=2\). Cada par de pontos é simétrico do outro relativamente à bissetriz \(y=x\), tal como se vê na figura.

\(A(-1,-3)\ ,\quad B(-3,-1)\ ,\quad C(2,5)\ ,\quad D(5,2)\)

5. Caracterizar a função inversa

Caracterize a função inversa da função definida por:

5.1. \(f(x)=3x-1\)
5.2. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)
5.3. \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\)

Caracterizar a inversa é indicar o domínio, o conjunto de chegada e a expressão. Recorde-se que \(D_{f^{-1}}=D'_{f}\) e \(D'_{f^{-1}}=D_{f}\).

5.1. — \(f(x)=3x-1\)

É uma função afim de declive \(3\ne 0\): \(D_f=\mathbb{R}\) e \(D'_f=\mathbb{R}\). Resolvendo \(y=3x-1\) em ordem a \(x\):

y=3x-1 \iff 3x=y+1 \iff x=\frac{y+1}{3}

Trocando os nomes das variáveis:

\(f^{-1}:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}\ ,\qquad f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{3}\)

5.2. — \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) e \(D'_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (a fração nunca é nula).

y=\frac1x \iff xy=1 \iff x=\frac1y \ ,\qquad y\ne 0

\(f^{-1}:\ \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,\qquad f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}\)

A função é igual à sua inversa; o seu gráfico é, por isso, simétrico relativamente à reta \(y=x\).

5.3. — domínio e contradomínio

\(D_f=\{x\in\mathbb{R}:x+2\ne 0\}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Para o contradomínio, faz-se a divisão inteira:

f(x)=\frac{x-1}{x+2}=\frac{(x+2)-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}

Como \(\dfrac{3}{x+2}\ne 0\), o valor \(1\) nunca é atingido: \(D'_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

5.3. — expressão da inversa

y=\frac{x-1}{x+2} \iff y(x+2)=x-1 \iff xy+2y=x-1

\iff xy-x=-1-2y \iff x\,(y-1)=-(2y+1) \iff x=\frac{-(2y+1)}{y-1}

Multiplicando numerador e denominador por \(-1\):

x=\frac{2y+1}{1-y}\ ,\qquad y\ne 1

\(f^{-1}:\ \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{-2\}\ ,\qquad f^{-1}(x)=\dfrac{2x+1}{1-x}\)

Verificação rápida: \(f(1)=\dfrac{0}{3}=0\) e \(f^{-1}(0)=\dfrac{1}{1}=1\ \checkmark\).

6. Composição com a inversa e derivada

Seja \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) uma função invertível e derivável em \(\mathbb{R}\) tal que:

\(f(2)=f(3)-1=3\)
\(f'(x)\ne 0\ ,\ \forall x\in\mathbb{R}\)

Considere a função \(g\) definida por \(g(x)=f^{-1}\big(f(x)+1\big)\).

6.1. Determine \(g(2)\).
6.2. Mostre que \(f\big(g(x)\big)=f(x)+1\) e conclua que \(g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f'\big(g(x)\big)}\).

6.1. — ler os dados

A igualdade \(f(2)=f(3)-1=3\) é uma cadeia de igualdades e dá duas informações:

f(2)=3 \qquad\text{e}\qquad f(3)-1=3 \iff f(3)=4

6.1. — calcular \(g(2)\)

g(2)=f^{-1}\big(f(2)+1\big)=f^{-1}(3+1)=f^{-1}(4)

Ora, \(f^{-1}(4)=a \iff f(a)=4\); como \(f(3)=4\), vem \(a=3\).

\(g(2)=3\)

6.2. — mostrar que \(f\big(g(x)\big)=f(x)+1\)

Aplicando \(f\) a ambos os membros da definição de \(g\) e usando \(\left(f\circ f^{-1}\right)(y)=y\):

f\big(g(x)\big)=f\Big(f^{-1}\big(f(x)+1\big)\Big)=f(x)+1 \qquad\blacksquare

6.2. — derivar os dois membros

A igualdade anterior é válida para todo o \(x\in\mathbb{R}\), pelo que se podem derivar os dois membros. No primeiro membro aplica-se a regra da cadeia:

\Big[f\big(g(x)\big)\Big]'=f'\big(g(x)\big)\times g'(x) \qquad\text{e}\qquad \big[f(x)+1\big]'=f'(x)

f'\big(g(x)\big)\times g'(x)=f'(x)

6.2. — concluir

Por hipótese \(f'(t)\ne 0\) para todo o \(t\in\mathbb{R}\); em particular \(f'\big(g(x)\big)\ne 0\), pelo que se pode dividir por esse valor:

g'(x)=\frac{f'(x)}{f'\big(g(x)\big)} \qquad\blacksquare

\(g(2)=3\); \(f\big(g(x)\big)=f(x)+1\) porque \(f\circ f^{-1}\) é a identidade, e derivando esta igualdade obtém-se \(g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f'\big(g(x)\big)}\).