Injetividade e função inversa

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Função injetiva

Uma função \(f\) diz-se injetiva se a objetos diferentes correspondem imagens diferentes:

\[ \forall\, x_1,x_2\in D_f\ ,\quad x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2) \]

De forma equivalente: \(f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2\).

Teste da reta horizontal. Uma função é injetiva se, e só se, qualquer reta horizontal interseta o seu gráfico no máximo uma vez. Para mostrar que uma função não é injetiva basta apresentar um contraexemplo: dois objetos diferentes com a mesma imagem.

São injetivas, por exemplo, as funções afins de declive não nulo, as funções exponenciais e as funções do tipo \(x\mapsto x^{3}\). Não são injetivas, por exemplo, as funções quadráticas e as funções módulo (em todo o \(\mathbb{R}\)).

Restrição do domínio

Uma função que não é injetiva pode passar a sê-lo se se restringir o seu domínio a um intervalo onde seja estritamente monótona. Por exemplo, \(x\mapsto x^{2}\) não é injetiva em \(\mathbb{R}\), mas é injetiva em \(\left[0,+\infty\right[\).

Função inversa

Uma função \(f\) é invertível se, e só se, é injetiva. Nesse caso, a sua inversa \(f^{-1}\) verifica:

\[ f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y \]

e, além disso,

\[ D_{f^{-1}}=D'_{f} \qquad\text{e}\qquad D'_{f^{-1}}=D_{f} \]

Das definições resultam ainda as igualdades:

\[ f^{-1}\big(f(x)\big)=x\ ,\ \forall x\in D_f \qquad\text{e}\qquad f\big(f^{-1}(x)\big)=x\ ,\ \forall x\in D_{f^{-1}} \]

Gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\)

Se o ponto \((a,\,b)\) pertence ao gráfico de \(f\), então \((b,\,a)\) pertence ao gráfico de \(f^{-1}\). Por isso:

Os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares, a reta de equação \(y=x\).

Em consequência, as interseções com \(Ox\) e com \(Oy\) trocam entre si, e uma assíntota horizontal do gráfico de \(f\) corresponde a uma assíntota vertical do gráfico de \(f^{-1}\).

Como determinar a expressão de \(f^{-1}\)

Resolve-se a equação \(y=f(x)\) em ordem a \(x\) e, no fim, trocam-se os nomes das variáveis.

Exercício resolvido

Enunciado. Considere a função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\dfrac{5x-2}{3}\). Caracterize a função \(f^{-1}\).

Sugestão de resolução. Como \(f\) é uma função afim de declive \(\dfrac53\neq 0\), é injetiva e \(D_f=D'_f=\mathbb{R}\). Logo \(D_{f^{-1}}=D'_f=\mathbb{R}\).

\[ y=\frac{5x-2}{3} \iff 3y=5x-2 \iff 5x=3y+2 \iff x=\frac{3y+2}{5} \]

Trocando os nomes das variáveis, \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x+2}{5}\). Assim:

\[ f^{-1}:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad x\mapsto \frac{3x+2}{5} \]

1. Funções injetivas

1

Considere as seguintes funções reais de variável real e, com base na observação do seu gráfico, indique as que são injetivas. Justifique a sua resposta.

  1. 1.1. \(f(x)=-2x+5\)
  2. 1.2. \(g(x)=x^{2}+4x-1\)
  3. 1.3. \(h(x)=\dfrac{3}{x-2}\), com \(x\neq 2\)
  4. 1.4. \(i(x)=|x+3|\)
  5. 1.5. \(j(x)=3^{x}-2\)
  6. 1.6. \(k(x)=x^{3}-4x\)

Para mostrar que uma função não é injetiva basta indicar dois objetos diferentes com a mesma imagem.

1.1. — injetiva

É uma função afim de declive \(-2\neq 0\); o gráfico é uma reta não horizontal, pelo que qualquer reta horizontal a interseta exatamente uma vez.

1.2. — não injetiva

É uma função quadrática; o gráfico é uma parábola de eixo vertical \(x=-2\), simétrico. Por exemplo:

\[ g(0)=-1 \qquad\text{e}\qquad g(-4)=16-16-1=-1 \]

Como \(0\neq -4\) e \(g(0)=g(-4)\), a função não é injetiva.

1.3. — injetiva

O gráfico é uma hipérbole com assíntotas \(x=2\) e \(y=0\). A função é estritamente decrescente em \(\left]-\infty,2\right[\) e em \(\left]2,+\infty\right[\); além disso, no primeiro ramo \(h(x)\lt 0\) e no segundo \(h(x)\gt 0\), pelo que os dois ramos não repetem imagens.

1.4. — não injetiva
\[ i(-4)=|-1|=1 \qquad\text{e}\qquad i(-2)=|1|=1 \]

O gráfico é um "V" com vértice em \((-3,\,0)\): há retas horizontais que o intersetam em dois pontos.

1.5. — injetiva

\(j\) obtém-se de \(x\mapsto 3^{x}\) por uma translação vertical; como \(3\gt 1\), a função é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\) e, por isso, injetiva.

1.6. — não injetiva
\[ k(x)=x^{3}-4x=x\left(x^{2}-4\right) \implies k(0)=k(2)=k(-2)=0 \]

Há três objetos distintos com a mesma imagem, logo a função não é injetiva.

São injetivas as funções \(f\), \(h\) e \(j\) (alíneas 1.1., 1.3. e 1.5.).

2. Restringir o domínio

2

Cada uma das funções seguintes tem domínio \(\left[k,+\infty\right[\). Em cada alínea, determine o menor valor possível de \(k\) para que a função seja injetiva, utilizando, sempre que necessário, a sua representação gráfica.

  1. 2.1. \(f(x)=(x+3)^{2}-5\)
  2. 2.2. \(g(x)=-(x-4)^{2}+1\)
  3. 2.3. \(h(x)=|x+2|-3\)
  4. 2.4. \(i(x)=(x-2)^{4}+1\)
  5. 2.5. \(j(x)=x^{3}-12x\)
  6. 2.6. \(l(x)=x^{3}-3x^{2}-9x\)

Procura-se o menor \(k\) a partir do qual a função é estritamente monótona: basta cortar o domínio no último ponto onde o sentido de variação muda.

2.1.

Parábola de concavidade voltada para cima e vértice em \((-3,\,-5)\). À direita do vértice a função é estritamente crescente.

\(k=-3\)
2.2.

Parábola de concavidade voltada para baixo e vértice em \((4,\,1)\). À direita do vértice a função é estritamente decrescente.

\(k=4\)
2.3.

Gráfico em "V" com vértice em \((-2,\,-3)\); à direita do vértice, \(h(x)=x+2-3=x-1\), estritamente crescente.

\(k=-2\)
2.4.

A função \(x\mapsto x^{4}\) tem mínimo em \(0\) e é estritamente crescente em \(\left[0,+\infty\right[\); aqui o mínimo ocorre em \(x=2\).

\(k=2\)
2.5.

Na calculadora gráfica observa-se que \(j\) tem um máximo relativo em \(x=-2\), com \(j(-2)=-8+24=16\), e um mínimo relativo em \(x=2\), com \(j(2)=8-24=-16\). A função é estritamente crescente em \(\left[2,+\infty\right[\).

\(k=2\)
2.6.

Na calculadora gráfica observa-se que \(l\) tem um máximo relativo em \(x=-1\), com \(l(-1)=-1-3+9=5\), e um mínimo relativo em \(x=3\), com \(l(3)=27-27-27=-27\). A partir de \(x=3\) a função é estritamente crescente.

\(k=3\)

3. Determinar a função inversa

3

Determine o domínio, o contradomínio e uma expressão analítica para a função inversa de cada uma das seguintes funções.

  1. 3.1. \(f(x)=4x-6\)
  2. 3.2. \(g(x)=3-2x\)
  3. 3.3. \(h(x)=5x^{3}-2\)
  4. 3.4. \(i(x)=\dfrac{3}{3x-1}\)
  5. 3.5. \(j(x)=\dfrac{4x}{x-3}\)
  6. 3.6. \(k(x)=\dfrac{3x-1}{2x+7}\)

Recorde-se que \(D_{f^{-1}}=D'_{f}\) e \(D'_{f^{-1}}=D_{f}\).

3.1.

\(f\) é afim de declive \(4\neq 0\): \(D_f=D'_f=\mathbb{R}\).

\[ y=4x-6 \iff 4x=y+6 \iff x=\frac{y+6}{4} \]
\(f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{4}\), com \(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\)
3.2.
\[ y=3-2x \iff 2x=3-y \iff x=\frac{3-y}{2} \]
\(g^{-1}(x)=\dfrac{3-x}{2}\), com \(D_{g^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{g^{-1}}=\mathbb{R}\)
3.3.

\(D_h=D'_h=\mathbb{R}\), pois \(x\mapsto x^{3}\) tem contradomínio \(\mathbb{R}\).

\[ y=5x^{3}-2 \iff 5x^{3}=y+2 \iff x^{3}=\frac{y+2}{5} \iff x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{5}} \]
\(h^{-1}(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x+2}{5}}\), com \(D_{h^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{h^{-1}}=\mathbb{R}\)
3.4.

O denominador anula-se em \(x=\frac13\), logo \(D_i=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac13\right\}\). Como \(3\neq 0\), a fração nunca é nula: \(D'_i=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

\[ y=\frac{3}{3x-1} \iff y(3x-1)=3 \iff 3xy=3+y \iff x=\frac{y+3}{3y} \]
\(i^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{3x}\), com \(D_{i^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) e \(D'_{i^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac13\right\}\)
3.5.

\(D_j=\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Como \(\dfrac{4x}{x-3}=4+\dfrac{12}{x-3}\), a assíntota horizontal é \(y=4\) e \(D'_j=\mathbb{R}\setminus\{4\}\).

\[ y=\frac{4x}{x-3} \iff y(x-3)=4x \iff xy-4x=3y \iff x(y-4)=3y \iff x=\frac{3y}{y-4} \]
\(j^{-1}(x)=\dfrac{3x}{x-4}\), com \(D_{j^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{4\}\) e \(D'_{j^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{3\}\)
3.6.

\(D_k=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac72\right\}\) e, pela assíntota horizontal \(y=\frac32\), vem \(D'_k=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac32\right\}\).

\[ \begin{aligned} y=\frac{3x-1}{2x+7} &\iff y(2x+7)=3x-1\\ &\iff 2xy-3x=-1-7y\\ &\iff x(2y-3)=-(7y+1)\\ &\iff x=\frac{7y+1}{3-2y} \end{aligned} \]
\(k^{-1}(x)=\dfrac{7x+1}{3-2x}\), com \(D_{k^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac32\right\}\) e \(D'_{k^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac72\right\}\)

4. Inversa e simetria dos gráficos

4

Para cada uma das funções seguintes, todas invertíveis, indique o domínio e o contradomínio de \(f^{-1}\), uma expressão analítica de \(f^{-1}\) (quando for possível obtê-la com as funções já estudadas) e descreva como se obtém o gráfico de \(f^{-1}\) a partir do gráfico de \(f\).

  1. 4.1. \(f(x)=x-4\)
  2. 4.2. \(f(x)=-\dfrac12 x+3\)
  3. 4.3. \(f(x)=3^{x}\)
  4. 4.4. \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)

Em todas as alíneas, o gráfico de \(f^{-1}\) é o simétrico do gráfico de \(f\) relativamente à reta \(y=x\), a bissetriz dos quadrantes ímpares. Basta trocar as coordenadas de cada ponto: se \((a,\,b)\) está no gráfico de \(f\), então \((b,\,a)\) está no de \(f^{-1}\).

4.1.
\[ y=x-4 \iff x=y+4 \]

\(f^{-1}(x)=x+4\); \(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\).

São duas retas paralelas de declive \(1\): o gráfico de \(f\) interseta os eixos em \((4,\,0)\) e \((0,\,-4)\); o de \(f^{-1}\), em \((-4,\,0)\) e \((0,\,4)\) — as coordenadas trocadas.

4.2.
\[ y=-\frac12 x+3 \iff \frac12 x=3-y \iff x=6-2y \]

\(f^{-1}(x)=-2x+6\); \(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\).

Repare-se que os declives, \(-\dfrac12\) e \(-2\), são inversos um do outro: é o efeito da simetria em relação a \(y=x\). O ponto \((6,\,0)\) do gráfico de \(f\) corresponde ao ponto \((0,\,6)\) do gráfico de \(f^{-1}\).

4.3.

A função \(x\mapsto 3^{x}\) é estritamente crescente, com \(D_f=\mathbb{R}\) e \(D'_f=\mathbb{R}^{+}\). Logo:

\(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}^{+}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\).

O gráfico de \(f^{-1}\) é o simétrico do de \(f\) em relação a \(y=x\): passa no ponto \((1,\,0)\) — simétrico de \((0,\,1)\) — e em \((3,\,1)\) — simétrico de \((1,\,3)\); é estritamente crescente e tem a reta \(x=0\) como assíntota vertical, que corresponde à assíntota horizontal \(y=0\) do gráfico de \(f\).

Uma expressão analítica desta inversa é a função logarítmica de base \(3\), que será estudada a seguir.

4.4.

A radiciação de índice \(3\) é a inversa da potenciação de expoente \(3\).

\[ y=\sqrt[3]{x} \iff y^{3}=x \]

\(f^{-1}(x)=x^{3}\); \(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\).

Os pontos \((8,\,2)\) e \((-1,\,-1)\) do gráfico de \(f\) correspondem a \((2,\,8)\) e \((-1,\,-1)\) no gráfico de \(f^{-1}\). O ponto \((-1,\,-1)\) fica sobre a reta \(y=x\), pelo que é comum aos dois gráficos — tal como \((0,\,0)\) e \((1,\,1)\).

5. Valores da inversa a partir de tabelas

5

As funções \(f\) e \(g\), invertíveis, estão definidas pelas tabelas seguintes.

\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(f(x)\)\(5\)\(3\)\(1\)\(-1\)\(-3\)
\(x\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)
\(g(x)\)\(-3\)\(-1\)\(1\)\(3\)\(5\)
  1. 5.1. Determine:
    • a) \(f^{-1}(1)\)
    • b) \(f^{-1}(-3)\)
    • c) \(g^{-1}(-3)\)
    • d) \(g^{-1}(5)\)
    • e) \(f^{-1}\big(g(1)\big)\)
    • f) \(f\big(g^{-1}(-1)\big)\)
    • g) \(f\big(f^{-1}(3)\big)\)
    • h) \(g^{-1}\big(g(-1)\big)\)
    • i) \(f^{-1}\big(g^{-1}(5)\big)\)
  2. 5.2. Sabendo que \(f\) e \(g\) são funções afins, determine uma expressão analítica de \(f^{-1}\) e de \(g^{-1}\).
5.1. — ler a tabela ao contrário

Para calcular \(f^{-1}(b)\) procura-se, na linha das imagens, o valor \(b\) e lê-se o objeto correspondente: \(f^{-1}(b)=a \iff f(a)=b\).

\[ \begin{aligned} &\textbf{a)}\ f^{-1}(1)=0 \ \text{ pois } f(0)=1 &&\textbf{b)}\ f^{-1}(-3)=2 \ \text{ pois } f(2)=-3\\[.35em] &\textbf{c)}\ g^{-1}(-3)=-1 \ \text{ pois } g(-1)=-3 &&\textbf{d)}\ g^{-1}(5)=3 \ \text{ pois } g(3)=5 \end{aligned} \]
5.1. — composições
\[ \begin{aligned} \textbf{e)}\ & f^{-1}\big(g(1)\big)=f^{-1}(1)=0\\ \textbf{f)}\ & f\big(g^{-1}(-1)\big)=f(0)=1\\ \textbf{g)}\ & f\big(f^{-1}(3)\big)=3\\ \textbf{h)}\ & g^{-1}\big(g(-1)\big)=-1\\ \textbf{i)}\ & f^{-1}\big(g^{-1}(5)\big)=f^{-1}(3)=-1 \end{aligned} \]

Nas alíneas g) e h) nem seria preciso fazer contas: \(f\big(f^{-1}(x)\big)=x\) e \(g^{-1}\big(g(x)\big)=x\).

a) \(0\)  •  b) \(2\)  •  c) \(-1\)  •  d) \(3\)  •  e) \(0\)  •  f) \(1\)  •  g) \(3\)  •  h) \(-1\)  •  i) \(-1\)
5.2. — expressões analíticas

Das tabelas, \(f\) tem declive \(\dfrac{3-5}{-1-(-2)}=-2\) e \(f(0)=1\); \(g\) tem declive \(\dfrac{-1-(-3)}{0-(-1)}=2\) e \(g(0)=-1\). Logo:

\[ f(x)=-2x+1 \qquad\text{e}\qquad g(x)=2x-1 \]
\[ y=-2x+1 \iff 2x=1-y \iff x=\frac{1-y}{2} \qquad;\qquad y=2x-1 \iff x=\frac{y+1}{2} \]
\(f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{2}\)  e  \(g^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2}\)

6. Equações com funções inversas

6

Sejam \(f\) e \(g\) funções reais de variável real, invertíveis, tais que \(f(4)=-3\) e \(g^{-1}(7)=2\).

Resolva as equações seguintes.

  1. 6.1. \(f^{-1}(x-2)+3=g(2)\)
  2. 6.2. \(g(2x-1)-f^{-1}(-3)=3\)
Passo prévio — traduzir os dados
\[ f(4)=-3 \iff f^{-1}(-3)=4 \qquad\text{e}\qquad g^{-1}(7)=2 \iff g(2)=7 \]
6.1.
\[ \begin{aligned} f^{-1}(x-2)+3=g(2) &\iff f^{-1}(x-2)+3=7\\ &\iff f^{-1}(x-2)=4 \end{aligned} \]

Como \(f^{-1}(-3)=4\) e \(f^{-1}\) é injetiva (por ser invertível), o objeto é único:

\[ x-2=-3 \iff x=-1 \]
\(\text{C.S.}=\{-1\}\)
6.2.
\[ \begin{aligned} g(2x-1)-f^{-1}(-3)=3 &\iff g(2x-1)-4=3\\ &\iff g(2x-1)=7 \end{aligned} \]

Como \(g(2)=7\) e \(g\) é injetiva:

\[ 2x-1=2 \iff x=\frac32 \]
\(\text{C.S.}=\left\{\dfrac32\right\}\)

7. Escolha múltipla

7
  1. 7.1. Considere a função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\), invertível, definida por \(f(x)=4x-3\).

    Qual das seguintes é a expressão analítica da função \(f^{-1}\)?

    • (A) \(f^{-1}(x)=\dfrac14 x+\dfrac34\)
    • (C) \(f^{-1}(x)=-4x+3\)
    • (B) \(f^{-1}(x)=\dfrac14 x-\dfrac34\)
    • (D) \(f^{-1}(x)=-4x-3\)
  2. 7.2. Considere a função \(f\), invertível, tal que \(f(-3)=7\).

    Qual dos seguintes é o valor de \(f^{-1}(7)\)?

    • (A) \(7\)
    • (C) \(-3\)
    • (B) \(-\dfrac13\)
    • (D) \(\dfrac17\)
7.1.

Resolve-se \(y=f(x)\) em ordem a \(x\):

\[ y=4x-3 \iff 4x=y+3 \iff x=\frac{y+3}{4}=\frac14 y+\frac34 \]

Trocando os nomes das variáveis, \(f^{-1}(x)=\dfrac14 x+\dfrac34\). As opções (C) e (D) trocam a inversa pelo simétrico do declive — repare-se que o declive de \(f^{-1}\) é o inverso do de \(f\), e não o simétrico.

Opção (A)
7.2.

Por definição de função inversa:

\[ f(-3)=7 \iff f^{-1}(7)=-3 \]

As opções (B) e (D) correspondem a confundir a função inversa com o inverso de um número: \(f^{-1}(7)\) não é \(\dfrac{1}{f(7)}\).

Opção (C)

8. Função homográfica

8

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\), definida por \(f(x)=\dfrac{4x+3}{x-5}\).

  1. 8.1. Qual é o domínio da função \(f^{-1}\)?
    • (A) \(\mathbb{R}\setminus\{-4\}\)
    • (C) \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\)
    • (B) \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\)
    • (D) \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}\)
  2. 8.2. Qual dos seguintes é o valor de \(f^{-1}(0)\)?
    • (A) \(-\dfrac34\)
    • (C) \(-\dfrac43\)
    • (B) \(\dfrac34\)
    • (D) \(\dfrac35\)
  3. 8.3. Qual das seguintes é a equação da assíntota horizontal ao gráfico de \(f^{-1}\)?
    • (A) \(y=-5\)
    • (C) \(y=5\)
    • (B) \(y=4\)
    • (D) \(y=-4\)
Passo prévio — as assíntotas do gráfico de \(f\)

Efetuando a divisão, \(\dfrac{4x+3}{x-5}=4+\dfrac{23}{x-5}\). Logo o gráfico de \(f\) tem a assíntota vertical \(x=5\) e a assíntota horizontal \(y=4\), pelo que \(D'_f=\mathbb{R}\setminus\{4\}\).

8.1.

O domínio da inversa é o contradomínio de \(f\):

\[ D_{f^{-1}}=D'_{f}=\mathbb{R}\setminus\{4\} \]
Opção (C)
8.2.

Em vez de determinar a expressão de \(f^{-1}\), basta usar a definição: \(f^{-1}(0)=a \iff f(a)=0\).

\[ \frac{4a+3}{a-5}=0 \iff 4a+3=0 \ \land\ a\neq 5 \iff a=-\frac34 \]
Opção (A)
8.3.

Como os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos relativamente à reta \(y=x\), a assíntota vertical \(x=5\) do gráfico de \(f\) transforma-se na assíntota horizontal \(y=5\) do gráfico de \(f^{-1}\).

Confirma-se pelo contradomínio: \(D'_{f^{-1}}=D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}\), e o valor que falta ao contradomínio é justamente o da assíntota horizontal.

Opção (C)

9. Invertibilidade e função inversa

9

Indique, justificando, se as funções definidas pelas expressões seguintes são ou não invertíveis. Nos casos em que a função é invertível, determine uma expressão para a respetiva função inversa e indique o seu domínio e o seu contradomínio.

  1. 9.1. \(f(x)=-4x+3\)
  2. 9.2. \(g(x)=x^{2}-3x\)
  3. 9.3. \(h(x)=x^{3}-2\)
  4. 9.4. \(i(x)=\dfrac{2x+5}{x}\)
9.1. — invertível

Função afim de declive \(-4\neq 0\), logo injetiva; \(D_f=D'_f=\mathbb{R}\).

\[ y=-4x+3 \iff 4x=3-y \iff x=\frac{3-y}{4} \]
\(f^{-1}(x)=\dfrac{3-x}{4}\), com \(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\)
9.2. — não invertível

É uma função quadrática, logo não injetiva. Um contraexemplo:

\[ g(x)=x^{2}-3x=x(x-3) \implies g(0)=0 \ \text{ e }\ g(3)=0 \]

Como \(0\neq 3\) e \(g(0)=g(3)\), a função não é injetiva e, portanto, não é invertível em \(\mathbb{R}\).

9.3. — invertível

A função \(x\mapsto x^{3}\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\), com contradomínio \(\mathbb{R}\); a translação vertical não altera a monotonia. Logo \(h\) é injetiva e \(D_h=D'_h=\mathbb{R}\).

\[ y=x^{3}-2 \iff x^{3}=y+2 \iff x=\sqrt[3]{y+2} \]
\(h^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+2}\), com \(D_{h^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{h^{-1}}=\mathbb{R}\)
9.4. — invertível

Tem-se \(D_i=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) e, escrevendo \(i(x)=\dfrac{2x}{x}+\dfrac{5}{x}=2+\dfrac{5}{x}\), conclui-se que o gráfico é uma hipérbole com assíntotas \(x=0\) e \(y=2\); logo \(D'_i=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

A função é estritamente decrescente em cada ramo e, como \(\dfrac{5}{x}\lt 0\) para \(x\lt 0\) e \(\dfrac{5}{x}\gt 0\) para \(x\gt 0\), um dos ramos toma apenas valores menores do que \(2\) e o outro apenas valores maiores: não há imagens repetidas, pelo que \(i\) é injetiva.

\[ y=\frac{2x+5}{x} \iff xy=2x+5 \iff x(y-2)=5 \iff x=\frac{5}{y-2} \]
\(i^{-1}(x)=\dfrac{5}{x-2}\), com \(D_{i^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) e \(D'_{i^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

10. Interseção dos gráficos de \(f\) e \(f^{-1}\)

10

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), invertível, definida por \(f(x)=x^{3}+4x-4\).

Determine, analiticamente, as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção dos gráficos das funções \(f\) e \(f^{-1}\).

Passo 1 — onde procurar os pontos

Os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos relativamente à reta \(y=x\). Como \(f\) é estritamente crescente (é a soma das funções crescentes \(x\mapsto x^{3}\) e \(x\mapsto 4x-4\)), os dois gráficos só se podem intersetar sobre a reta \(y=x\).

De facto, se existisse \(a\) com \(f(a)\gt a\), então, aplicando \(f\) — que é crescente — viria \(f\big(f(a)\big)\gt f(a)\gt a\), e o ponto \(\big(a,f(a)\big)\) não poderia pertencer ao gráfico de \(f^{-1}\). O mesmo se conclui se \(f(a)\lt a\).

Basta, portanto, resolver a equação \(f(x)=x\).

Passo 2 — resolver \(f(x)=x\)
\[ x^{3}+4x-4=x \iff x^{3}+3x-4=0 \]

Como \(1^{3}+3\times 1-4=0\), o número \(1\) é raiz do polinómio. Aplicando a regra de Ruffini obtém-se:

\[ x^{3}+3x-4=(x-1)\left(x^{2}+x+4\right) \]

O fator do 2.º grau não tem zeros reais, pois o binómio discriminante é \(1^{2}-4\times 1\times 4=-15\lt 0\). Assim:

\[ x^{3}+3x-4=0 \iff x-1=0 \iff x=1 \]
Passo 3 — as coordenadas

Para \(x=1\) vem \(f(1)=1+4-4=1\), o que confirma que o ponto está sobre a reta \(y=x\).

Os gráficos intersetam-se num único ponto, de coordenadas \((1,\,1)\).

11. Produto de funções invertíveis

11

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções invertíveis tais que a função \(f\times g\) também é invertível.

Sabe-se que:

  • • o ponto de coordenadas \((2,\,4)\) pertence ao gráfico da função \(f\);
  • • \((f\times g)^{-1}(6)=2\).

Mostre que a equação \(g(x)=\dfrac32\) tem exatamente uma solução.

Passo 1 — traduzir os dados

O ponto \((2,\,4)\) pertencer ao gráfico de \(f\) significa \(f(2)=4\). Por outro lado, pela definição de função inversa:

\[ (f\times g)^{-1}(6)=2 \iff (f\times g)(2)=6 \iff f(2)\times g(2)=6 \]
Passo 2 — determinar \(g(2)\)
\[ 4\times g(2)=6 \iff g(2)=\frac{6}{4}=\frac32 \]

Fica assim provado que \(x=2\) é solução da equação \(g(x)=\dfrac32\).

Passo 3 — a solução é única

Como \(g\) é invertível, é injetiva: a objetos diferentes correspondem imagens diferentes. Logo não pode existir \(x\neq 2\) com \(g(x)=g(2)=\dfrac32\).

A equação \(g(x)=\dfrac32\) tem exatamente uma solução, \(x=2\).