Proposta de Resolução
Ficha de Preparação para o Teste — Mat A · 12.º Ano · Números Complexos · outubro 2026

Grupo I — Itens de escolha múltipla

Exercício 1 — Escolha múltipla

1.1. BÁSICO

Um número é imaginário puro quando a parte real é $0$ e a parte imaginária é diferente de $0$. As potências de $i$ repetem-se de $4$ em $4$: $i^{n}=i^{r}$, sendo $r$ o resto da divisão de $n$ por $4$.

Opção (B)

1.2. BÁSICO

Passo 1 Escrever $z$ na forma algébrica:

$z$ $=(2-i)(1+2i)$ $=2+4i-i-2i^{2}$ $=2+3i+2$ $=4+3i$

Passo 2 Calcular o módulo:

$|z|$ $=\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ $=\sqrt{16+9}$ $=\sqrt{25}$ $=5$

Opção (C)

Também se pode usar $|z_1\times z_2|=|z_1|\times|z_2|$: $\;|2-i|\times|1+2i|=\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5$. A opção (B) resulta de somar as partes real e imaginária ($4+3=7$), o que não é o módulo.

1.3. INTERMÉDIO

Passo 1 Escrever $z$ na forma algébrica:

$z$ $=(k+i)(2-i)$ $=2k-ki+2i-i^{2}$ $=(2k+1)+(2-k)\,i$

Passo 2 $z$ é real se e só se a parte imaginária é nula:

$2-k=0\iff k=2$

Confirmação: para $k=2$, $z=5$. Opção (D)

Com $k=-\frac{1}{2}$ anula-se a parte real e $z=\frac{5}{2}i$ seria um imaginário puro, e não um número real.

1.4. INTERMÉDIO

Passo 1 Como $2027=4\times 506+3$, tem-se $i^{2027}=i^{3}=-i$.

Passo 2 Forma algébrica de $z$:

$z$ $=-i\left(1+\sqrt{3}\,i\right)$ $=-i-\sqrt{3}\,i^{2}$ $=\sqrt{3}-i$

Passo 3 O afixo $\left(\sqrt{3},\,-1\right)$ está no 4.º quadrante. Ângulo de referência:

$\tg\alpha=\left|\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{\pi}{6}$,  logo $\Arg(z)=-\dfrac{\pi}{6}$

Opção (A)

$\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi$ também é um argumento de $z$, mas não pertence a $\left]-\pi,\pi\right]$, por isso não é o argumento principal.

1.5. INTERMÉDIO

Passo 1 Passar $z$ para a forma algébrica:

$z$ $=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sen\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ $=1+\sqrt{3}\,i$

Passo 2 Calcular o quadrado:

$z^{2}$ $=\left(1+\sqrt{3}\,i\right)^{2}$ $=1+2\sqrt{3}\,i+3i^{2}$ $=1-3+2\sqrt{3}\,i$ $=-2+2\sqrt{3}\,i$

Opção (B)

A opção (D) aparece quando se esquece que $i^{2}=-1$ e se escreve $3i^{2}=3$. A opção (A) é $2z$, e não $z^{2}$.

1.6. DESAFIO

Se $z=a+bi$, o simétrico do seu afixo em relação ao eixo imaginário é o afixo de $w=-a+bi=-\overline{z}$. Sejam $P$ e $Q$ os afixos de $z$ e de $w$.

Como $P$ está no 2.º quadrante, $\theta\in\left]\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right[$ e a semirreta $\dot{O}P$ faz um ângulo de amplitude $\pi-\theta$ com o semieixo real negativo. A reflexão no eixo imaginário troca os dois semieixos reais, por isso a semirreta $\dot{O}Q$ faz um ângulo de amplitude $\pi-\theta$ com o semieixo real positivo, no 1.º quadrante:

$\Arg(w)$ $=\pi-\theta\in\left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[$

Exemplo: $z=-1+i$ tem $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$; $w=1+i$ tem argumento $\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{3\pi}{4}$. Opção (C)

$-\theta$ é o argumento de $\overline{z}$ (simétrico em relação ao eixo real) e $\theta-\pi$ é o argumento principal de $-z$ (simétrico em relação à origem).

1.7. DESAFIO

Passo 1 Quatro potências consecutivas de $i$ somam sempre $0$:

$i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}$ $=i^{n}\left(1+i+i^{2}+i^{3}\right)$ $=i^{n}\left(1+i-1-i\right)$ $=0$

Passo 2 A soma tem $2026$ parcelas e $2026=4\times 506+2$. As primeiras $2024$ parcelas formam $506$ grupos de quatro potências consecutivas, que somam $0$. Sobram as duas últimas:

$S$ $=0+i^{2025}+i^{2026}$ $=i^{1}+i^{2}$ $=i-1$

Opção (D): $S=-1+i$

Grupo II — Itens de resposta aberta

Exercício 2 — Operações na forma algébrica

2.1. BÁSICO

Aplicar a propriedade distributiva e substituir $i^{2}$ por $-1$:

$z_1\times z_2$ $=(3+2i)(1-2i)$ $=3-6i+2i-4i^{2}$ $=3-4i+4$ $=7-4i$

$z_1\times z_2=7-4i$

2.2. BÁSICO

Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, $\overline{z_2}=1+2i$:

$\dfrac{z_1}{z_2}=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{8}{5}i$

No denominador, $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$ é sempre um número real positivo. É por isso que se multiplica pelo conjugado.

2.3. INTERMÉDIO

Passo 1 Numerador: $\overline{z_1}=3-2i$, logo

$\overline{z_1}+z_2$ $=(3-2i)+(1-2i)$ $=4-4i$

Passo 2 Denominador: $23=4\times 5+3$, logo $i^{23}=i^{3}=-i$.

Passo 3 Dividir por $-i$, multiplicando o numerador e o denominador por $i$:

$\dfrac{4-4i}{-i}$ $=\dfrac{(4-4i)\times i}{-i\times i}$ $=\dfrac{4i-4i^{2}}{-i^{2}}$ $=\dfrac{4i+4}{1}$ $=4+4i$

$\dfrac{\overline{z_1}+z_2}{i^{23}}=4+4i$

2.4. INTERMÉDIO

Seja $w=4+4i$.

Módulo $|w|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Argumento O afixo $(4,\,4)$ está no 1.º quadrante e $\tg\theta=\dfrac{4}{4}=1$, logo $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.

$w=4\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}$

Exercício 3 — Uma equação do 2.º grau e um retângulo

3.1. BÁSICO

Passo 1 Fórmula resolvente, com $a=1$, $b=-2$ e $c=4$:

Passo 2 Como $\left(2\sqrt{3}\,i\right)^{2}=4\times 3\times i^{2}=-12$, as raízes quadradas de $-12$ são $\pm 2\sqrt{3}\,i$:

$z=\dfrac{2\pm 2\sqrt{3}\,i}{2}$ $\iff z=1+\sqrt{3}\,i\;\vee\;z=1-\sqrt{3}\,i$

Passo 3 Vértices. $A$ é o afixo da solução com parte imaginária positiva e $C$ e $D$ são os afixos de $-z_A$ e $-z_B$:

$A\left(1,\sqrt{3}\right)$, $B\left(1,-\sqrt{3}\right)$, $C\left(-1,-\sqrt{3}\right)$ e $D\left(-1,\sqrt{3}\right)$

3.2. INTERMÉDIO

Os lados $[AB]$ e $[CD]$ são verticais e os lados $[BC]$ e $[DA]$ são horizontais:

Área $=4\sqrt{3}$  e  perímetro $=4+4\sqrt{3}$

3.3. INTERMÉDIO

Módulo Os quatro números têm partes real e imaginária de valor absoluto $1$ e $\sqrt{3}$, por isso têm todos o mesmo módulo:

$\left|\pm 1\pm\sqrt{3}\,i\right|$ $=\sqrt{1+3}$ $=2$

Argumento Para $z_A=1+\sqrt{3}\,i$ (1.º quadrante): $\tg\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$, logo $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$. Os outros argumentos obtêm-se com o ângulo de referência $\dfrac{\pi}{3}$ e o quadrante de cada afixo:

$z_A=2e^{i\frac{\pi}{3}}$, $\;z_B=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$, $\;z_C=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$, $\;z_D=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

Como os quatro números têm módulo $2$, os vértices estão todos à distância $2$ da origem. Logo pertencem à circunferência de centro $O$ e raio $2$.

$z_B=\overline{z_A}$ tem o argumento simétrico, e $z_C=-z_A$ tem o argumento de $z_A$ menos $\pi$. Reconhecer estas simetrias poupa contas.

Exercício 4 — Equações em $\mathbb{C}$

4.1. INTERMÉDIO

Passo 1 Resolver a equação em ordem a $z$ (com $z\neq -3i$):

Passo 2 Escrever $z$ na forma algébrica, multiplicando pelo conjugado do denominador:

$z$ $=\dfrac{-6\,(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ $=\dfrac{-6-6i}{1^{2}+1^{2}}$ $=\dfrac{-6-6i}{2}$ $=-3-3i$

Passo 3 Calcular o módulo:

$|z|$ $=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}$ $=\sqrt{18}$ $=3\sqrt{2}$

O afixo de $z$ está à distância $3\sqrt{2}$ da origem, logo pertence à circunferência de centro na origem e raio $3\sqrt{2}$. $\blacksquare$

Verificação: $\dfrac{-3-3i+3}{-3-3i+3i}=\dfrac{-3i}{-3}=i$.  Note que $z=-3-3i\neq -3i$, por isso a solução é válida.

4.2. INTERMÉDIO

$z=-3-3i$ tem módulo $3\sqrt{2}$ e o afixo $(-3,-3)$ está no 3.º quadrante.

$\tg\alpha=\left|\dfrac{-3}{-3}\right|=1$ $\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{\pi}{4}$,  logo $\Arg(z)$ $=-\pi+\dfrac{\pi}{4}$ $=-\dfrac{3\pi}{4}$

$z=3\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}$

Erro frequente: como $\tg\theta=1$, responder $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Esse ângulo corresponde ao 1.º quadrante; o afixo de $z$ está no 3.º.

4.3. DESAFIO

Passo 1 Como a equação tem $z$ e $\overline{z}$, escreve-se $z=a+bi$, com $a,b\in\mathbb{R}$, e $\overline{z}=a-bi$:

$2z+i\,\overline{z}$ $=2a+2bi+i\,(a-bi)$ $=2a+2bi+ai-bi^{2}$ $=(2a+b)+(a+2b)\,i$

Passo 2 Dois números complexos são iguais se e só se têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária:

Passo 3 A solução é $z=-3$. Verificação: $2(-3)+i\times(-3)=-6-3i$. ✓

Passo 4 $z=-3$ é um real negativo: o afixo está no semieixo real negativo, $|z|=3$ e $\Arg(z)=\pi$.

$z=-3=3e^{i\pi}$

Exercício 5 — Três proposições falsas

Proposições I, II e III INTERMÉDIO

I. Para qualquer $n\in\mathbb{N}$:

$i^{4n+2}$ $=i^{4n}\times i^{2}$ $=\left(i^{4}\right)^{n}\times(-1)$ $=1^{n}\times(-1)$ $=-1$

$i^{4n+2}=-1$ é um número real (não nulo), e não um imaginário puro, porque a parte real é $-1\neq 0$. A proposição I é falsa.

II. O afixo de $z=-1+i$ é o ponto $(-1,\,1)$, que pertence ao 2.º quadrante. Um argumento de $-\dfrac{\pi}{4}$ corresponderia a um afixo no 4.º quadrante. De facto, $\tg\alpha=\left|\dfrac{1}{-1}\right|=1$, logo $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ e

$\Arg(z)$ $=\pi-\dfrac{\pi}{4}$ $=\dfrac{3\pi}{4}\neq-\dfrac{\pi}{4}$

A proposição II é falsa.

III. Se $1-i$ fosse o inverso de $1+i$, o produto dos dois seria $1$. Mas

$(1+i)(1-i)$ $=1^{2}-i^{2}$ $=1+1$ $=2\neq 1$

O inverso de $1+i$ é $\dfrac{1}{1+i}$ $=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}$ $=\dfrac{1-i}{2}$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$. A proposição III é falsa.

Basta uma razão por proposição. Por exemplo, na II também chegava dizer que $-\dfrac{\pi}{4}$ é argumento de números com afixo no 4.º quadrante, e o afixo de $-1+i$ está no 2.º quadrante.

Exercício 6 — Da forma trigonométrica para a forma algébrica

6.1. BÁSICO

Com $\rho=6$ e $\theta=-\dfrac{2\pi}{3}$:

$z=-3-3\sqrt{3}\,i$

6.2. INTERMÉDIO

Passo 1 Conjugado: $\overline{z}=-3+3\sqrt{3}\,i$.

Passo 2 Multiplicar por $\dfrac{i}{3}$:

$w$ $=\dfrac{i}{3}\left(-3+3\sqrt{3}\,i\right)$ $=-i+\sqrt{3}\,i^{2}$ $=-\sqrt{3}-i$

$w=-\sqrt{3}-i$

6.3. INTERMÉDIO

Módulo $|w|=\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=2$

Argumento O afixo $\left(-\sqrt{3},\,-1\right)$ está no 3.º quadrante.

$\tg\alpha=\left|\dfrac{-1}{-\sqrt{3}}\right|=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{\pi}{6}$,  logo $\Arg(w)$ $=-\pi+\dfrac{\pi}{6}$ $=-\dfrac{5\pi}{6}$

$w=2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$, com afixo no 3.º quadrante

$\dfrac{7\pi}{6}$ também é um argumento de $w$, mas o argumento principal é $-\dfrac{5\pi}{6}$, porque tem de pertencer a $\left]-\pi,\pi\right]$.

Exercício 7 — Uma potência de $1+i$

7.1. INTERMÉDIO

Passo 1 Quadrado de um binómio:

$(1+i)^{2}$ $=1^{2}+2\times 1\times i+i^{2}$ $=1+2i-1$ $=2i$  ✓

Passo 2 Como $6=2\times 3$:

$(1+i)^{6}$ $=\left[(1+i)^{2}\right]^{3}$ $=(2i)^{3}$ $=8\,i^{3}$ $=8\times(-i)$ $=-8i$

$(1+i)^{6}=-8i$

7.2. INTERMÉDIO

Passo 1 Substituir e simplificar (dividir o numerador e o denominador por $2$):

$w$ $=\dfrac{-8i}{2-2i}$ $=\dfrac{-4i}{1-i}$

Passo 2 Multiplicar pelo conjugado do denominador:

$w$ $=\dfrac{-4i\,(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ $=\dfrac{-4i-4i^{2}}{2}$ $=\dfrac{4-4i}{2}$ $=2-2i$

Passo 3 Forma trigonométrica. $|w|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; o afixo $(2,-2)$ está no 4.º quadrante e $\tg\alpha=\left|\dfrac{-2}{2}\right|=1$, logo $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ e $\Arg(w)=-\dfrac{\pi}{4}$.

$w=2-2i=2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}$

O resultado $(1+i)^{6}=-8i$ mostra que o afixo de $(1+i)^{6}$ está no semieixo imaginário negativo (não está no eixo real) e que o seu módulo é $8$ (e não $6$).

Exercício 8 — Um número complexo que depende de $k$

8.1. INTERMÉDIO

Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, $1+i$:

$z=\dfrac{k-3}{2}+\dfrac{k+3}{2}\,i$

Assim, $\Re(z)=\dfrac{k-3}{2}$ e $\Im(z)=\dfrac{k+3}{2}$.

8.2. INTERMÉDIO

Passo 1 $z$ é imaginário puro se e só se $\Re(z)=0$ e $\Im(z)\neq 0$:

$\dfrac{k-3}{2}=0\;\wedge\;\dfrac{k+3}{2}\neq 0$ $\iff k=3\;\wedge\;k\neq -3$ $\iff k=3$

Passo 2 Para $k=3$: $\;z=0+\dfrac{6}{2}\,i=3i$. O afixo está no semieixo imaginário positivo, $|z|=3$ e $\Arg(z)=\dfrac{\pi}{2}$.

$k=3$  e  $z=3i=3e^{i\frac{\pi}{2}}$

8.3. DESAFIO

$\dfrac{3\pi}{4}$ é um argumento de $z$ se e só se o afixo de $z$ está na bissetriz dos quadrantes pares, dentro do 2.º quadrante, isto é,

$\Im(z)$ $=-\Re(z)\;\wedge\;\Re(z)\lt 0$

Passo 1 Condição da bissetriz:

$\dfrac{k+3}{2}=-\dfrac{k-3}{2}$ $\iff k+3=-k+3$ $\iff 2k=0$ $\iff k=0$

Passo 2 Confirmar o quadrante: para $k=0$, $\;z=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\,i$, com $\Re(z)=-\dfrac{3}{2}\lt 0$ e $\Im(z)=\dfrac{3}{2}\gt 0$. O afixo está no 2.º quadrante e $\tg\alpha=1$, logo $\Arg(z)=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$. ✓

$k=0$

O passo 2 é indispensável: os pontos da bissetriz dos quadrantes pares que estão no 4.º quadrante têm argumento $-\dfrac{\pi}{4}$, e não $\dfrac{3\pi}{4}$.

8.4. DESAFIO

O afixo de $z$ pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se e só se $\Re(z)=\Im(z)$:

$\dfrac{k-3}{2}=\dfrac{k+3}{2}$ $\iff k-3=k+3$ $\iff -3=3$

A última condição é impossível, logo a equação não tem solução: não existe nenhum valor de $k$ para o qual o afixo de $z$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. $\blacksquare$

Interpretação geométrica: para qualquer $k$, $\Im(z)-\Re(z)=\dfrac{k+3}{2}-\dfrac{k-3}{2}=3$. Os afixos de $z$ estão todos na reta $y=x+3$, que é paralela à bissetriz $y=x$ e, por isso, nunca a interseta.

Exercício 9 — As soluções da equação $z^{3}=8i$

9.1. INTERMÉDIO

Calcula-se primeiro o quadrado e depois multiplica-se outra vez pelo número.

Para $z_1$

Para $z_2$

$z_1^{3}=8i$ e $z_2^{3}=8i$, logo $z_1$ e $z_2$ são soluções da equação

Para $z_3$ a verificação é imediata: $(-2i)^{3}=(-2)^{3}\,i^{3}=-8\times(-i)=8i$.

9.2. INTERMÉDIO

Módulos $|z_1|=|z_2|=\sqrt{3+1}=2$  e  $|z_3|=|-2i|=2$.

Argumentos Para $z_1=\sqrt{3}+i$ (1.º quadrante): $\tg\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, logo $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$.

$z_1=2e^{i\frac{\pi}{6}}$, $\;z_2=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$, $\;z_3=2e^{-i\frac{\pi}{2}}$

9.3. DESAFIO

A distância entre os afixos de dois números complexos $u$ e $v$ é $|u-v|$.

Os três lados têm o mesmo comprimento, $2\sqrt{3}$, logo o triângulo é equilátero. $\blacksquare$

Perímetro $=3\times 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

Triângulo equilátero de lado $2\sqrt{3}$ e perímetro $6\sqrt{3}$

Os três afixos estão na circunferência de centro $O$ e raio $2$, e os argumentos $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{6}$ e $\dfrac{5\pi}{6}$ diferem sucessivamente de $\dfrac{2\pi}{3}$: os três pontos dividem a circunferência em três arcos iguais.

Exercício 10 — Um quadrado no plano complexo

10.1. INTERMÉDIO

$A(2,1)$, $B(-1,2)$, $C(-2,-1)$ e $D(1,-2)$

10.2. DESAFIO

Passo 1 Comprimento dos lados (a distância entre os afixos de $u$ e $v$ é $|u-v|$):

Os quatro lados são iguais, logo $[ABCD]$ é um losango.

Passo 2 Comprimento das diagonais:

Um losango com as diagonais iguais é um quadrado. $\blacksquare$

Passo 3 Área:

Área $=\left(\sqrt{10}\right)^{2}$ $=10$   (ou $\dfrac{\overline{AC}\times\overline{BD}}{2}$ $=\dfrac{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{2}$ $=10$)

$[ABCD]$ é um quadrado de área $10$

Outra justificação: multiplicar por $i$ corresponde a uma rotação de centro $O$ e amplitude $\dfrac{\pi}{2}$. Cada vértice obtém-se do anterior por essa rotação, por isso as diagonais $[AC]$ e $[BD]$ são iguais, perpendiculares e bissetam-se em $O$.

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