Ficha de Preparação para o Teste
Matemática A · 12.º Ano · Números Complexos · outubro 2026
Ficha de preparação com itens de três graus de dificuldade. Cada alínea está marcada com o seu nível, para que possa graduar o estudo. A resolução passo a passo está numa página à parte.
Indicações gerais
- Nos itens de escolha múltipla, há uma única opção correta. Escreva apenas a letra que lhe corresponde.
- Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos efetuados e todas as justificações necessárias.
- Resolva os itens sem recorrer à calculadora. Pode usá-la apenas para confirmar resultados.
- $\Arg(z)$ designa o argumento principal de $z$, isto é, o argumento de $z$ que pertence a $\left]-\pi,\,\pi\right]$. A forma trigonométrica de $z\neq 0$ é $z=\rho\,e^{i\theta}=\rho\left(\cos\theta+i\sen\theta\right)$, com $\rho=|z|$.
- Matéria: forma algébrica (operações, potências de $i$, conjugado, simétrico, módulo, equações e plano complexo) e forma trigonométrica até à passagem entre as duas formas. A ficha não inclui operações na forma trigonométrica nem raízes de índice $n$.
Grupo I — Itens de escolha múltipla
1. Itens de escolha múltipla. Para cada item, selecione a opção correta. resolução →
1.1. BÁSICO Qual das seguintes expressões representa um número imaginário puro?
1.2. BÁSICO Qual é o módulo do número complexo $z=(2-i)(1+2i)$?
1.3. INTERMÉDIO Seja $k$ um número real e considere o número complexo $z=(k+i)(2-i)$. Para que valor de $k$ é $z$ um número real?
1.4. INTERMÉDIO Considere o número complexo $z=i^{2027}\left(1+\sqrt{3}\,i\right)$. Qual é o argumento principal de $z$?
1.5. INTERMÉDIO Considere o número complexo $z=2\,e^{i\frac{\pi}{3}}$. Qual das opções seguintes é a forma algébrica de $z^{2}$?
1.6. DESAFIO No plano complexo, o afixo do número complexo $z$ pertence ao 2.º quadrante. Seja $\theta=\Arg(z)$. O afixo do número complexo $w$ é o simétrico do afixo de $z$ em relação ao eixo imaginário. Qual é o argumento principal de $w$?
1.7. DESAFIO Qual é o valor de $S=i+i^{2}+i^{3}+\cdots+i^{2026}$?
Grupo II — Itens de resposta aberta
2. Operações na forma algébrica. resolução →
Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_1=3+2i$ e $z_2=1-2i$.
Determine, na forma algébrica $a+bi$:
2.1. BÁSICO $z_1\times z_2$
2.2. BÁSICO $\dfrac{z_1}{z_2}$
2.3. INTERMÉDIO $\dfrac{\overline{z_1}+z_2}{i^{23}}$
2.4. INTERMÉDIO Escreva na forma trigonométrica o número complexo obtido em 2.3.
3. Uma equação do 2.º grau e um retângulo. resolução →
No plano complexo, o ponto $O$ é a origem do referencial e os pontos $A$ e $B$ são os afixos das soluções da equação $z^{2}-2z+4=0$, sendo $A$ o afixo da solução que tem parte imaginária positiva.
Os pontos $C$ e $D$ são os simétricos de $A$ e de $B$, respetivamente, em relação à origem. Os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ são os vértices de um retângulo.
3.1. BÁSICO Resolva a equação, sem recorrer à calculadora, e indique as coordenadas dos vértices do retângulo $[ABCD]$.
3.2. INTERMÉDIO Determine a área e o perímetro do retângulo $[ABCD]$.
3.3. INTERMÉDIO Escreva na forma trigonométrica os números complexos cujos afixos são os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$. Conclua que os quatro vértices pertencem a uma circunferência de centro $O$ e indique o seu raio.
4. Equações em $\mathbb{C}$. resolução →
Seja $z$ um número complexo, com $z\neq -3i$, tal que $\dfrac{z+3}{z+3i}=i$.
4.1. INTERMÉDIO Mostre que o afixo de $z$ pertence à circunferência de centro na origem e raio $3\sqrt{2}$.
4.2. INTERMÉDIO Escreva $z$ na forma trigonométrica.
4.3. DESAFIO Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $2z+i\,\overline{z}=-6-3i$. Apresente a solução na forma algébrica e na forma trigonométrica.
5. Três proposições falsas. resolução →
Considere as proposições seguintes.
- I. Para qualquer número natural $n$, o número complexo $i^{4n+2}$ é um imaginário puro.
- II. Se $z=-1+i$, então $\Arg(z)=-\dfrac{\pi}{4}$.
- III. O inverso do número complexo $1+i$ é $1-i$.
INTERMÉDIO Justifique que as proposições I, II e III são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.
6. Da forma trigonométrica para a forma algébrica. resolução →
Em $\mathbb{C}$, considere o número complexo $z$. Sabe-se que $|z|=6$ e que $\Arg(z)=-\dfrac{2\pi}{3}$.
6.1. BÁSICO Escreva $z$ na forma algébrica.
6.2. INTERMÉDIO Determine, na forma algébrica, o número complexo $w=\dfrac{i}{3}\times\overline{z}$.
6.3. INTERMÉDIO Escreva $w$ na forma trigonométrica e indique o quadrante a que pertence o seu afixo.
7. Uma potência de $1+i$. resolução →
Considere, em $\mathbb{C}$, o número complexo $w=\dfrac{(1+i)^{6}}{2-2i}$.
7.1. INTERMÉDIO Mostre que $(1+i)^{2}=2i$ e use esse resultado para calcular $(1+i)^{6}$.
7.2. INTERMÉDIO Escreva $w$ na forma algébrica e na forma trigonométrica.
8. Um número complexo que depende de $k$. resolução →
Seja $k$ um número real e considere o número complexo $z=\dfrac{k+3i}{1-i}$.
8.1. INTERMÉDIO Escreva $z$ na forma algébrica, em função de $k$.
8.2. INTERMÉDIO Determine o valor de $k$ para o qual $z$ é um imaginário puro e, para esse valor, escreva $z$ na forma trigonométrica.
8.3. DESAFIO Determine o valor de $k$ para o qual $\dfrac{3\pi}{4}$ é um argumento de $z$.
8.4. DESAFIO Mostre que não existe nenhum valor de $k$ para o qual o afixo de $z$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares.
9. As soluções da equação $z^{3}=8i$. resolução →
Em $\mathbb{C}$, considere a equação $z^{3}=8i$ e os números complexos $z_1=\sqrt{3}+i$, $z_2=-\sqrt{3}+i$ e $z_3=-2i$.
9.1. INTERMÉDIO Verifique, sem recorrer à calculadora, que $z_1$ e $z_2$ são soluções da equação.
9.2. INTERMÉDIO Sabendo que $z_3$ também é solução da equação, escreva $z_1$, $z_2$ e $z_3$ na forma trigonométrica.
9.3. DESAFIO Mostre que os afixos de $z_1$, $z_2$ e $z_3$ são os vértices de um triângulo equilátero e determine o perímetro desse triângulo.
10. Um quadrado no plano complexo. resolução →
Considere o número complexo $z=2+i$. No plano complexo, os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ são os afixos de $z$, $i\,z$, $-z$ e $-i\,z$, respetivamente.
10.1. INTERMÉDIO Escreva $i\,z$, $-z$ e $-i\,z$ na forma algébrica e indique as coordenadas dos pontos $A$, $B$, $C$ e $D$.
10.2. DESAFIO Mostre que o quadrilátero $[ABCD]$ é um quadrado e determine a sua área.
Sugestão de estudo: comece pelos itens BÁSICO, avance para os INTERMÉDIO (equivalentes ao nível do teste) e termine nos DESAFIO. Consulte a resolução passo a passo só depois de uma tentativa séria.