Proposta de Resolução
Ficha de Preparação para o Teste — Mat A · 10.º Ano · Modelos Matemáticos para a Cidadania · outubro 2026

Exercício 1 — Escolha múltipla

1.1. BÁSICO

Metade dos votos validamente expressos: $2400\div 2=1200$.

A maioria absoluta exige mais de metade dos votos, ou seja, pelo menos $1201$ votos. Opção (C)

1.2. BÁSICO

Se a abstenção foi $35\%$, votaram $100\%-35\%=65\%$ dos inscritos:

$0{,}65\times 5200=3380$

(O valor $1820=0{,}35\times5200$ é o número de abstencionistas.) Opção (B)

1.3. INTERMÉDIO

Cada boletim distribui sempre $4+3+2+1=10$ pontos, qualquer que seja a ordem.

$50\times 10=500$ pontos

Opção (D)

1.4. INTERMÉDIO

No método de Sainte-Laguë, os votos dividem-se por $1,\,3,\,5,\,\ldots$

Os quatro maiores quocientes dão 2 mandatos a A e 2 mandatos a B. Opção (A)

Pelo método de Hondt, o 3.º e o 4.º mandatos seriam de A ($400$ e $266{,}67$), ficando A: 3 e B: 1. O método de Sainte-Laguë é mais favorável às listas menos votadas.

1.5. BÁSICO

$1250\times 0{,}11=137{,}50$ €

Opção (C)

1.6. INTERMÉDIO

$\dfrac{1300\times 12}{52\times 40}=\dfrac{15\,600}{2080}=7{,}50$ €

Opção (D)

A opção (B) resulta de dividir 1300 € por $4\times 40=160$ horas, como se o mês tivesse exatamente 4 semanas. Um ano tem 52 semanas, mais do que $12\times 4=48$.

1.7. DESAFIO

No cálculo por escalões, cada parte do rendimento é tributada à taxa do escalão em que se encontra. Ao passar para o 4.º escalão, só a parte que ultrapassa o limite do 3.º escalão é tributada a $26\%$.

• (A) é falsa: a parte que está nos escalões inferiores continua a ser tributada às taxas desses escalões.
• (B) é falsa: o imposto sobre o aumento é, no máximo, $26\%$ desse aumento.
• (C) é falsa: como as primeiras partes são tributadas a taxas menores, a taxa efetiva é inferior a $26\%$.

Opção (D)

Grupo I — Eleições

Exercício 2 — Associação de Estudantes

2.1. BÁSICO

Votantes: todos os que foram votar, incluindo brancos e nulos.

$312+268+250+35+15=880$

Abstencionistas: $1250-880=370$.

$\dfrac{370}{1250}\times 100=29{,}6\%$

880 votantes; abstenção de 29,6%

2.2. BÁSICO

Os votos brancos e nulos não são validamente expressos:

$312+268+250=830$

A: 37,6%; B: 32,3%; C: 30,1%

2.3. BÁSICO

Metade dos votos validamente expressos: $830\div 2=415$. Para ter maioria absoluta, uma lista precisava de pelo menos $416$ votos.

A lista mais votada, A, teve apenas $312$ votos ($37{,}6\%\lt 50\%$). Nenhuma lista obteve maioria absoluta, por isso foi necessária uma segunda volta.

A segunda volta foi disputada pelas listas A e B

2.4. INTERMÉDIO

Passo 1 Distribuir os 250 eleitores da lista C:

Passo 2 Votos de cada lista na segunda volta:

Passo 3 Votos validamente expressos: $412+398=810$.

$\dfrac{412}{810}\times 100\approx 50{,}9\%$

Vence a lista A, com 50,9% dos votos validamente expressos

2.5. DESAFIO

Seja $x$ o número de eleitores da lista C que votam em B. Os restantes, $250-x$, votam em A.

A lista B vence se tiver mais votos do que A:

$268+x\gt 562-x$ $\;\Leftrightarrow\; 2x\gt 294$ $\;\Leftrightarrow\; x\gt 147$

Como $x$ é um número natural, $x\geq 148$. Com $x=147$ haveria empate ($415$ votos para cada lista).

$\dfrac{148}{250}\times 100=59{,}2\%$

Pelo menos 59,2% dos eleitores da lista C

Exercício 3 — Destino da visita de estudo

3.1. BÁSICO

Número de alunos: $18+14+12+6=50$.

Primeiras preferências: O — 18; M — 14; P — 12; T — 6. O destino mais votado é o Oceanário.

$\dfrac{18}{50}\times 100=36\%$

50 alunos; vence o Oceanário, com 36% dos votos

3.2. BÁSICO

Em cada coluna, multiplica-se o número de votos pelos pontos da posição (4, 3, 2 ou 1):

Verificação: $104+158+144+94=500=50\times 10$.

Vence o Museu, com 158 pontos

3.3. INTERMÉDIO

Na primeira volta, ninguém tem maioria absoluta: seriam precisos $26$ votos e o mais votado tem $18$. Os dois destinos mais votados são O (18) e M (14).

Na segunda volta, cada aluno vota no destino, entre O e M, que aparece primeiro na sua ordenação:

• coluna de 18 votos (O, M, P, T): O está à frente de M → O;
• colunas de 14, 12 e 6 votos: M está à frente de O → M.

Vence o Museu, com 64% dos votos

3.4. DESAFIO

Em cada etapa, a maioria absoluta exige mais de $25$ votos.

Etapa 1 O — 18; M — 14; P — 12; T — 6. Ninguém tem maioria absoluta. Elimina-se o Teatro.

Na coluna de 6 votos (T, P, M, O), P sobe para 1.ª preferência.

Etapa 2 O — 18; M — 14; P — $12+6=18$. Ninguém tem maioria absoluta. Elimina-se o Museu.

Na coluna de 14 votos (M, P, T, O), P sobe para 1.ª preferência.

Etapa 3 O — 18; P — $18+14=32$. Como $32\gt 25$, o Parque Natural tem maioria absoluta.

Vence o Parque Natural

Com os mesmos boletins, a maioria simples escolhe O, o método de Borda e a segunda volta escolhem M e a eliminação sucessiva escolhe P. O vencedor depende do método usado!

3.5. DESAFIO

Num confronto direto, cada aluno vota no destino que coloca à frente do outro. O Oceanário só está à frente dos outros destinos na coluna de 18 votos. Nas outras três colunas ($14+12+6=32$ votos), está em último lugar.

O Oceanário perde todos os confrontos diretos

A maioria simples só tem em conta as primeiras preferências. Um destino pode vencer por ser a 1.ª escolha de um grupo grande, mesmo que seja a última escolha de todos os outros (aqui, $64\%$ dos alunos colocaram o Oceanário em último lugar).

Exercício 4 — Livro do mês

4.1. INTERMÉDIO

Pontos do livro B em cada coluna (3, 2 ou 1, conforme a posição):

$9\times2+x\times3+7\times1+5\times2=59$

$\Leftrightarrow\; 18+3x+7+10=59$ $\;\Leftrightarrow\; 3x=24$ $\;\Leftrightarrow\; x=8$

Número de sócios: $9+8+7+5=29$.

$x=8$; votaram 29 sócios

4.2. INTERMÉDIO

Verificação: $54+59+61=174=29\times(3+2+1)$.

Escolhido o livro C; ordem: C (61), B (59), A (54)

4.3. DESAFIO

Retirando A, cada coluna fica só com B e C, pela mesma ordem relativa:

• colunas de 9 e 8 votos: B à frente de C;
• colunas de 7 e 5 votos: C à frente de B.

O novo vencedor é o livro B

O livro A tinha ficado em último lugar e não ia ser escolhido. Mesmo assim, retirá-lo mudou o vencedor de C para B. No método de Borda, a presença de uma opção sem hipóteses de ganhar pode alterar a ordem entre as outras, porque mexe nos pontos que estas recebem.

Exercício 5 — Assembleia de Freguesia

5.1. BÁSICO

Votantes: $1460+1020+510+230+85+47=3352$

Abstencionistas: $5400-3352=2048$

$\dfrac{2048}{5400}\times 100\approx 37{,}9\%$

Taxa de abstenção de 37,9%

5.2. BÁSICO

Dividem-se os votos por $1,2,3,\ldots$ e atribuem-se os 9 mandatos aos 9 maiores quocientes.

Os quocientes $510$ de R e de Q estão empatados, mas ambos recebem mandato (4.º e 5.º lugares), por isso o empate não interfere. O 9.º mandato vai para o quociente $292$ de P; o seguinte seria $255$.

P: 5; Q: 3; R: 1; S: 0

5.3. INTERMÉDIO

Dividem-se os votos por $1,3,5,7,\ldots$

P: 4; Q: 3; R: 1; S: 1

Seriam afetadas as listas P e S: a lista P perde um mandato e a lista S ganha esse mandato. As listas Q e R mantêm os seus mandatos.

5.4. INTERMÉDIO

Votos validamente expressos: $1460+1020+510+230=3220$.

As listas P e Q têm uma percentagem de mandatos superior à percentagem de votos; R e S ficam abaixo.

O método de Hondt favorece as listas mais votadas (P e Q)

5.5. DESAFIO

Sem a lista S, os 9 maiores quocientes de P, Q e R são os da tabela de 5.2. O menor deles é $292$ (5.º quociente de P).

O maior quociente de S é o próprio número de votos, $v$. A lista S elege um membro se $v$ ficar entre os 9 maiores quocientes, isto é, se $v\gt 292$, ou se $v=292$, ganhando o desempate por ser a lista menos votada.

Mudar os votos de S não altera os quocientes das outras listas, e o 2.º quociente de S ($v\div 2\approx146$) não chega para mais nenhum mandato.

$292-230=62$ votos a mais

A lista S precisava de, pelo menos, 292 votos

5.6. DESAFIO

Coligação Q+R: $1020+510=1530$ votos.

A coligação elege 5 membros, enquanto Q e R, separadas, elegiam $3+1=4$. O mandato a mais vem da lista P, que desce de 5 para 4.

Coligação: 5 membros; separadas: 4 membros

Grupo II — Partilha proporcional

Exercício 6 — Divisão do lucro

6.1. BÁSICO

Investimento total: $6000+9000+15\,000=30\,000$ €. Cada sócio recebe a fração do lucro igual à sua fração do investimento.

Verificação: $900+1350+2250=4500$.

Ana: 900 €; Bruno: 1350 €; Carla: 2250 €

6.2. INTERMÉDIO

Seja $L$ o lucro do segundo ano. A Carla recebe $0{,}5L$ e a Ana recebe $0{,}2L$.

$0{,}5L-0{,}2L=2400$ $\;\Leftrightarrow\; 0{,}3L=2400$ $\;\Leftrightarrow\; L=8000$

Bruno: $0{,}3\times 8000=2400$ €

Lucro de 8000 €; o Bruno recebeu 2400 €

Exercício 7 — Computadores para as escolas

7.1. BÁSICO

O 12.º computador vai para a escola C ($146{,}67$). O quociente seguinte seria $140$, da escola D, que fica sem computador.

A: 5; B: 4; C: 3; D: 0

7.2. INTERMÉDIO

A: 4; B: 4; C: 3; D: 1

7.3. INTERMÉDIO

Total de alunos: $740+680+440+140=2000$.

Arredondando às unidades: A — 4, B — 4, C — 3, D — 1 (soma 12). É exatamente a distribuição de Sainte-Laguë.

O método de Hondt dá 5 computadores à escola A (quota $4{,}44$) e nenhum à escola D (quota $0{,}84$).

Sainte-Laguë coincide com o arredondamento; Hondt favorece a escola maior (A)

7.4. DESAFIO

Sem a escola D, os 12 maiores quocientes de A, B e C são os de 7.1. O menor é $146{,}67$ (3.º quociente de C).

O maior quociente de D é o seu número de alunos, $n$. A escola D recebe um computador se $n\gt 146{,}67$. Assim, ultrapassa o quociente de C e fica com o 12.º computador.

$n\geq 147$, ou seja, mais $147-140=7$ alunos

A escola D teria de ter, pelo menos, 147 alunos

Exercício 8 — Método de Hamilton

8.1. INTERMÉDIO

Passo 1 Divisor-padrão: total de sócios $155+100+45=300$.

$300\div 10=30$

Passo 2 Quotas:

Passo 3 Partes inteiras: $5+3+1=9$. Sobra $10-9=1$ bilhete.

Passo 4 A maior parte decimal é a do Sul ($0{,}50$), que recebe o bilhete que sobra.

Norte: 5; Centro: 3; Sul: 2

8.2. DESAFIO

Passo 1 Divisor-padrão: $300\div 11\approx 27{,}27$.

Passo 2 Quotas (é mais rigoroso calcular $\text{sócios}\times\frac{11}{300}$):

Passo 3 Partes inteiras: $5+3+1=9$. Sobram $11-9=2$ bilhetes.

Passo 4 Maiores partes decimais: Norte ($0{,}68$) e Centro ($0{,}67$). O Sul ($0{,}65$) não recebe nenhum bilhete extra.

Norte: 6; Centro: 4; Sul: 1

Com 10 bilhetes o Sul recebia 2 e, com 11, recebe apenas 1: perde um bilhete quando há mais bilhetes para distribuir.

Este fenómeno é conhecido como paradoxo do Alabama. Foi detetado em 1880, nos EUA, quando se recalculou a distribuição dos lugares do Congresso pelos estados.

8.3. DESAFIO

No método de Hondt, passar de 10 para 11 bilhetes acrescenta apenas o quociente seguinte da lista ordenada. Os 10 lugares já atribuídos mantêm-se, por isso nenhum núcleo pode perder bilhetes.

Com Hondt, nenhum núcleo perde bilhetes

Grupo III — Salários e IRS

Exercício 9 — Recibo de vencimento do Rui

9.1. BÁSICO

(1) 126,00 €; (2) 151,80 €; (3) 184,92 €; (4) 1506,00 €; (5) 336,72 €; (6) 1169,28 €

9.2. BÁSICO

$1380\times 14=19\,320$ €

Remuneração-base anual: 19 320 €

9.3. INTERMÉDIO

$\dfrac{1380\times 12}{52\times 40}=\dfrac{16\,560}{2080}\approx 7{,}96$ €

Cada hora de trabalho vale cerca de 7,96 €

9.4. INTERMÉDIO

Com um acréscimo de $25\%$, cada hora extraordinária vale $125\%$ da hora normal:

$7{,}96\times 1{,}25=9{,}95$ €

$6\times 9{,}95=59{,}70$ €

O Rui recebeu 59,70 € ilíquidos pelas horas extraordinárias

Exercício 10 — Tabela de retenção na fonte

10.1. INTERMÉDIO

Como $1680\in\,]1123\,;\,1765]$, usa-se a taxa de $26\%$ e a parcela a abater de $186{,}66$ €. A Sofia não tem dependentes.

Retenção: $1680\times 0{,}26-186{,}66$ $=436{,}80-186{,}66$ $=250{,}14$ €

Taxa efetiva: $\dfrac{250{,}14}{1680}\times 100\approx 14{,}9\%$

Segurança Social: $1680\times 0{,}11=184{,}80$ €

Salário líquido: $1680-184{,}80-250{,}14$ $=1245{,}06$ €

Retenção: 250,14 €; taxa efetiva: 14,9%; salário líquido: 1245,06 €

10.2. INTERMÉDIO

Como $1960\in\,]1765\,;\,2057]$, usa-se a taxa de $32{,}75\%$, a parcela a abater de $305{,}80$ € e 2 dependentes.

$1960\times 0{,}3275=641{,}90$

$641{,}90-305{,}80-2\times 21{,}43$ $=641{,}90-305{,}80-42{,}86$ $=293{,}24$ €

Taxa efetiva: $\dfrac{293{,}24}{1960}\times 100\approx 15{,}0\%$

Retenção: 293,24 €; taxa efetiva: 15,0%

10.3. DESAFIO

As duas linhas dão a mesma retenção, 272,24 €

Sem a parcela a abater, um aumento de 1 € (de 1765 € para 1766 €) faria a retenção saltar de $1765\times0{,}26=458{,}90$ € para $1766\times0{,}3275\approx578{,}37$ €. O trabalhador receberia menos, apesar de ganhar mais.

A parcela a abater faz com que a taxa mais alta só pese, na prática, sobre a parte da remuneração acima do limite. Assim, a retenção cresce sem saltos quando se muda de linha.

10.4. DESAFIO

Seja $R$ a remuneração mensal. Testa-se a linha de $26\%$, com 1 dependente:

$0{,}26R-186{,}66-21{,}43=195{,}43$

$\Leftrightarrow\; 0{,}26R=403{,}52$ $\;\Leftrightarrow\; R=1552$

Como $1552\in\,]1123\,;\,1765]$, o valor é coerente com a linha usada.

As outras linhas não servem. Com a linha de $18\%$ obtinha-se $R=\frac{195{,}43+96{,}82+21{,}43}{0{,}18}\approx1742{,}67$, que não pertence a $]1001\,;\,1123]$. Com a linha de $32{,}75\%$ obtinha-se $R=\frac{195{,}43+305{,}80+21{,}43}{0{,}3275}\approx 1595{,}91$, que não pertence a $]1765\,;\,2057]$.

A remuneração mensal da Carla é 1552 €

Exercício 11 — Do salário líquido ao salário-base

11.1. INTERMÉDIO

Seja $S$ o salário-base. Os descontos são $11\%+13\%=24\%$ de $S$, logo o Tiago fica com $76\%$ de $S$, mais o subsídio de refeição:

$0{,}76S+132=1272$

$\Leftrightarrow\; 0{,}76S=1140$ $\;\Leftrightarrow\; S=1500$

Verificação: $1500-165-195+132=1272$.

O salário-base do Tiago é 1500 €

11.2. DESAFIO

Novo salário-base: $1500\times 1{,}04=1560$ €

Os descontos passam a ser $11\%+14\%=25\%$, logo o Tiago fica com $75\%$ do salário-base:

$0{,}75\times 1560+132$ $=1170+132=1302{,}00$ €

$\dfrac{1302-1272}{1272}\times 100\approx 2{,}4\%$

O salário líquido aumenta 30 €, ou seja, cerca de 2,4% (menos de 4%)

Isto acontece porque a taxa de retenção também subiu e porque o subsídio de refeição não aumentou.

11.3. DESAFIO

Salário líquido pretendido: $1272\times 1{,}04=1322{,}88$ €

$0{,}75S+132=1322{,}88$ $\;\Leftrightarrow\; 0{,}75S=1190{,}88$

$\Leftrightarrow\; S=1587{,}84$

$\dfrac{1587{,}84-1500}{1500}\times 100\approx 5{,}9\%$

O salário-base teria de aumentar cerca de 5,9%

Exercício 12 — IRS anual da Inês

12.1. BÁSICO

Rendimento bruto anual: $1550\times 14=21\,700$ €

Rendimento coletável: $21\,700-4104=17\,596$ €

Rendimento bruto: 21 700 €; rendimento coletável: 17 596 €

12.2. INTERMÉDIO

Como $17\,596$ está entre $16\,472$ e $21\,321$, aplica-se o 4.º escalão: taxa de $26\%$ e parcela a abater de $1441{,}20$ €.

Coleta: $17\,596\times 0{,}26-1441{,}20$

$=4574{,}96-1441{,}20=3133{,}76$ €

Imposto: $3133{,}76-610=2523{,}76$ €

Coleta: 3133,76 €; imposto a pagar: 2523,76 €

12.3. INTERMÉDIO

Retenção mensal, pela tabela do exercício 10 ($1550\in\,]1123\,;\,1765]$, sem dependentes):

$1550\times 0{,}26-186{,}66$ $=403-186{,}66=216{,}34$ €

Retido no ano: $14\times 216{,}34=3028{,}76$ €

Foi retido mais do que o imposto devido:

$3028{,}76-2523{,}76=505{,}00$ €

A Inês recebe um reembolso de 505,00 €

12.4. INTERMÉDIO

$\dfrac{2523{,}76}{21\,700}\times 100\approx 11{,}6\%$

Taxa efetiva de IRS: 11,6%

Exercício 13 — Como funcionam os escalões

13.1. DESAFIO

Divide-se $17\,596$ € pelos escalões que ocupa:

3133,76 €, o mesmo valor obtido com a parcela a abater

A parcela a abater ($1441{,}20$ €) é precisamente o que se «desconta» por as primeiras partes do rendimento pagarem menos de $26\%$. É apenas um atalho para o cálculo escalão a escalão.

13.2. DESAFIO

Aumento do imposto: $2926{,}80-2824{,}96=101{,}84$ €

O rendimento coletável aumentou $400$ €, mas o imposto só aumentou $101{,}84$ €. Depois de pagar o imposto, o Pedro fica com mais $400-101{,}84=298{,}16$ €.

Escalão a escalão, só os $328$ € acima de $16\,472$ € pagam $26\%$:

$72\times0{,}23+328\times0{,}26$ $=16{,}56+85{,}28=101{,}84$ €

O Pedro não tem razão: ganharia mais 298,16 € depois do imposto

13.3. DESAFIO

$\dfrac{3133{,}76}{17\,596}\times 100\approx 17{,}8\%$

A coleta corresponde a 17,8% do rendimento coletável

A taxa de $26\%$ só se aplica aos últimos $1124$ €. A maior parte do rendimento ($16\,472$ €) é tributada a $13{,}25\%$, $18\%$ e $23\%$, por isso a percentagem global fica bem abaixo de $26\%$.

Exercício 14 — Tributação conjunta ou separada?

14.1. DESAFIO

Separada

Conjunta

Poupança: $8140{,}03-6997{,}60=1142{,}43$ €

A tributação conjunta é mais vantajosa: poupam 1142,43 €

14.2. DESAFIO

Na tributação separada, parte do rendimento da Rita é tributada a taxas altas ($32{,}75\%$ e $37\%$). Ao dividir a soma por 2, cada metade fica no 4.º escalão. Assim, nenhuma parte do rendimento passa a ser tributada acima de $26\%$, e o casal aproveita melhor os escalões mais baixos.

Se ambos tivessem $19\,000$ €:

Não haveria diferença: com rendimentos iguais, as duas opções dão a mesma coleta

A tributação conjunta só reduz o imposto quando os rendimentos dos dois são diferentes, e a vantagem é tanto maior quanto maior for essa diferença.

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