Ficha de Preparação para o Teste
Matemática A · 10.º Ano · Modelos Matemáticos para a Cidadania · outubro 2026

1.1. BÁSICO Numa eleição houve 2400 votos validamente expressos. Qual é o número mínimo de votos de que um candidato precisa para vencer com maioria absoluta?

1.2. BÁSICO Num concelho com 5200 eleitores inscritos registou-se uma taxa de abstenção de 35%. Quantos eleitores votaram?

1.3. INTERMÉDIO Numa votação com quatro candidatos usou-se o método de Borda: cada eleitor ordena os quatro candidatos e atribui 4 pontos ao 1.º, 3 ao 2.º, 2 ao 3.º e 1 ao 4.º. Se foram entregues 50 boletins válidos, qual é a soma dos pontos obtidos por todos os candidatos?

1.4. INTERMÉDIO Duas listas, A e B, obtiveram 800 e 500 votos, respetivamente. Distribuindo 4 mandatos pelo método de Sainte-Laguë, obtém-se:

1.5. BÁSICO O salário-base de um trabalhador é 1250 €. O desconto para a Segurança Social corresponde a 11% do salário-base. O valor desse desconto é:

1.6. INTERMÉDIO A remuneração mensal da Leonor é 1300 € e ela trabalha 40 horas por semana. Considere que o valor de cada hora de trabalho é dado por $\dfrac{\text{remuneração mensal}\times 12}{52\times \text{n.º de horas semanais}}$. O valor de cada hora de trabalho da Leonor é:

1.7. DESAFIO O IRS é calculado por escalões. O rendimento coletável de um contribuinte aumentou e passou do 3.º escalão (taxa normal de 23%) para o 4.º escalão (taxa normal de 26%). Qual das afirmações é verdadeira?

2.1. BÁSICO Determine o número de alunos que votaram e a taxa de abstenção.

2.2. BÁSICO Determine a percentagem de votos validamente expressos obtida por cada lista.

2.3. BÁSICO O regulamento exige maioria absoluta dos votos validamente expressos. Caso nenhuma lista a obtenha, realiza-se uma segunda volta entre as duas listas mais votadas. Justifique que foi necessária uma segunda volta e indique as listas que a disputaram.

2.4. INTERMÉDIO Na segunda volta, os alunos que tinham votado na lista C distribuíram-se assim: 40% votaram na lista A, 52% votaram na lista B e os restantes votaram em branco. Os outros alunos mantiveram o seu voto (incluindo os brancos e os nulos). Determine a lista vencedora e a percentagem de votos validamente expressos que obteve.

2.5. DESAFIO Admita agora que, na segunda volta, todos os alunos que tinham votado na lista C votaram na lista A ou na lista B e que os restantes alunos mantiveram o seu voto. Determine a percentagem mínima dos eleitores da lista C que teriam de votar na lista B para que esta lista vencesse a eleição.

3.1. BÁSICO Quantos alunos votaram? Considerando apenas as primeiras preferências, indique o destino vencedor por maioria simples e a respetiva percentagem de votos.

3.2. BÁSICO Determine o destino vencedor pelo método de Borda (4 pontos para a 1.ª preferência, 3 para a 2.ª, 2 para a 3.ª e 1 para a 4.ª).

3.3. INTERMÉDIO Suponha que se exigia maioria absoluta e que, não a havendo, se fazia uma segunda volta entre os dois destinos mais votados como primeira preferência. Admitindo que cada aluno mantinha a sua ordem de preferências, determine o destino vencedor e a percentagem de votos que obteria.

3.4. DESAFIO Considere agora o método de eliminação sucessiva, descrito a seguir.

Determine o destino vencedor por este método, apresentando a contagem em cada etapa.

3.5. DESAFIO O Oceanário é o destino vencedor por maioria simples. Mostre que, num confronto direto (só entre dois destinos) com qualquer um dos outros três, o Oceanário perderia. O que pode concluir sobre o método da maioria simples?

4.1. INTERMÉDIO Sabendo que o livro B obteve 59 pontos, determine o valor de $x$ e o número de sócios que votaram.

4.2. INTERMÉDIO Determine o livro escolhido pelo método de Borda e ordene os três livros pela pontuação obtida.

4.3. DESAFIO Antes da contagem, soube-se que o livro A estava esgotado e foi retirado da votação. Os boletins mantêm a ordem relativa dos livros B e C, que recebem agora 2 pontos (1.º lugar) e 1 ponto (2.º lugar). Determine o novo vencedor e comente o resultado, tendo em conta que o livro A tinha ficado em último lugar.

5.1. BÁSICO Determine a taxa de abstenção nesta eleição.

5.2. BÁSICO Determine a distribuição dos 9 mandatos pelo método de Hondt.

5.3. INTERMÉDIO Determine a distribuição dos 9 mandatos pelo método de Sainte-Laguë. Que listas seriam afetadas pela mudança de método?

5.4. INTERMÉDIO Com a distribuição obtida pelo método de Hondt, compare, para cada lista, a percentagem de votos validamente expressos com a percentagem de mandatos. Que listas são favorecidas por este método?

5.5. DESAFIO Admita que as listas P, Q e R mantinham a sua votação. Quantos votos, no mínimo, deveria ter obtido a lista S para eleger um membro pelo método de Hondt? Considere que, em caso de empate no último mandato, este é atribuído à lista menos votada.

5.6. DESAFIO As listas Q e R ponderaram concorrer coligadas, numa única lista com a soma dos seus votos. Admitindo a mesma votação, mostre que, pelo método de Hondt, a coligação elegeria mais membros do que as duas listas separadas.

6.1. BÁSICO No primeiro ano, o lucro foi de 4500 €. Quanto recebeu cada sócio?

6.2. INTERMÉDIO No segundo ano, a Carla recebeu mais 2400 € do que a Ana. Determine o lucro desse ano e a parte que coube ao Bruno.

7.1. BÁSICO Determine a distribuição dos computadores pelo método de Hondt.

7.2. INTERMÉDIO Determine a distribuição dos computadores pelo método de Sainte-Laguë.

7.3. INTERMÉDIO A quota exata de cada escola é o número de computadores que lhe caberia numa partilha exatamente proporcional, $\dfrac{\text{n.º de alunos da escola}}{\text{n.º total de alunos}}\times 12$. Calcule as quotas exatas, arredondadas às centésimas, e indique qual dos dois métodos conduz à distribuição que se obtém arredondando cada quota às unidades. Qual dos métodos favorece a escola maior?

7.4. DESAFIO Mantendo-se o número de alunos das outras escolas, quantos alunos, no mínimo, teria de ter a escola D para receber um computador pelo método de Hondt?

8.1. INTERMÉDIO Inicialmente, a associação recebeu 10 bilhetes. Determine a distribuição pelo método de Hamilton.

8.2. DESAFIO Pouco depois, a associação recebeu mais um bilhete, ficando com 11. Refaça a distribuição pelo método de Hamilton e mostre que o núcleo Sul fica com menos bilhetes do que antes, apesar de haver mais bilhetes para distribuir.

8.3. DESAFIO Mostre que, se fosse usado o método de Hondt, nenhum núcleo perderia bilhetes ao passar de 10 para 11 bilhetes.

9.1. BÁSICO Determine os valores de (1) a (6).

9.2. BÁSICO Admita que o Rui recebe o vencimento-base 14 vezes por ano (12 meses e os subsídios de férias e de Natal). Determine a sua remuneração-base anual.

9.3. INTERMÉDIO Determine o valor de cada hora de trabalho do Rui, usando a expressão $\dfrac{\text{remuneração mensal}\times 12}{52\times \text{n.º de horas semanais}}$.

9.4. INTERMÉDIO Em abril, o Rui fez 6 horas extraordinárias, cada uma paga com um acréscimo de 25% sobre o valor da hora normal. Usando o valor da hora normal arredondado aos cêntimos, determine o montante ilíquido que o Rui recebeu pelas horas extraordinárias.

10.1. INTERMÉDIO A Sofia não é casada, não tem dependentes e a sua remuneração mensal é 1680 €. Determine o valor da retenção na fonte, a taxa efetiva de retenção (em percentagem da remuneração) e o salário líquido da Sofia, sabendo que desconta 11% para a Segurança Social.

10.2. INTERMÉDIO O Marco é casado, a mulher também tem rendimentos (dois titulares), têm dois filhos (dependentes) e a remuneração mensal do Marco é 1960 €. Determine o valor da retenção na fonte do Marco e a taxa efetiva de retenção.

10.3. DESAFIO Para uma remuneração de exatamente 1765 €, calcule a retenção (sem dependentes) usando a linha da taxa de 26% e também a linha da taxa de 32,75%. O que observa? Explique qual é o papel da parcela a abater.

10.4. DESAFIO A Carla não é casada e tem um dependente. No recibo de vencimento de maio, a retenção na fonte foi de 195,43 €. Determine a remuneração mensal da Carla.

11.1. INTERMÉDIO Determine o salário-base do Tiago.

11.2. DESAFIO No mês seguinte, o salário-base do Tiago aumentou 4% e, por isso, a taxa de retenção na fonte passou a ser 14%. Admitindo que o subsídio de refeição se manteve, mostre que o salário líquido aumentou menos de 4%.

11.3. DESAFIO Com a taxa de retenção de 14%, qual deveria ter sido o aumento percentual do salário-base para que o salário líquido (com o mesmo subsídio de refeição) aumentasse exatamente 4%?

12.1. BÁSICO Determine o rendimento bruto anual e o rendimento coletável da Inês.

12.2. INTERMÉDIO Determine a coleta e o imposto a pagar pela Inês.

12.3. INTERMÉDIO Determine o valor retido na fonte ao longo do ano e averigúe se a Inês vai receber reembolso ou ter de pagar imposto. Indique o valor.

12.4. INTERMÉDIO Determine a taxa efetiva de IRS da Inês, isto é, a percentagem do rendimento bruto anual que corresponde ao imposto a pagar.

13.1. DESAFIO Calcule, escalão a escalão, o imposto correspondente ao rendimento coletável da Inês (17 596 €) e confirme que obtém a coleta calculada em 12.2 com a parcela a abater.

13.2. DESAFIO O Pedro tinha um rendimento coletável de 16 400 € e recusou um aumento que o faria passar para 16 800 €, porque «ia mudar de escalão e acabaria por perder dinheiro». Calcule a coleta antes e depois do aumento e mostre que o Pedro não tem razão.

13.3. DESAFIO A Inês está no escalão com taxa normal de 26%. Calcule a percentagem do rendimento coletável que a coleta representa e explique por que razão é bastante inferior a 26%.

14.1. DESAFIO Determine a coleta total do casal em cada uma das opções e indique qual é a mais vantajosa e quanto poupam.

14.2. DESAFIO Explique por que razão a opção vantajosa reduz o imposto. Se a Rita e o Paulo tivessem, cada um, um rendimento coletável de 19 000 €, haveria diferença entre as duas opções? Justifique.