Ficha de Treino — Matemática A
10.º Ano · Revisões Globais · junho 2026

1.1. BÁSICO Os pontos $A(1,2,3)$ e $B(5,-2,1)$ são extremos de um segmento. As coordenadas do ponto médio de $[AB]$ são:

1.2. BÁSICO Em $\mathbb{R}$, o conjunto-solução da inequação $x^{2}\leq 4x$ é:

1.3. INTERMÉDIO Uma amostra de dados quantitativos tem média $\bar{x}=20$ e variância $16$. Considera-se uma nova variável definida por $y=3x-5$. A média e o desvio-padrão de $y$ são, respetivamente:

1.4. INTERMÉDIO Qual é o domínio da função real de variável real definida por $$f(x)=\dfrac{\sqrt{5-x}}{x^{2}-x-6}\,?$$

1.5. INTERMÉDIO Num referencial o.n. $Oxyz$, a condição $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-6y-2z+5=0$$ define uma superfície esférica de centro $C$ e raio $r$. Então:

1.6. INTERMÉDIO Num referencial o.n. $Oxy$, considere os vetores $\vec{u}=(2,-3)$ e $\vec{v}=(m+1,\,m-4)$, com $m\in\mathbb{R}$. O valor de $m$ para o qual $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares é:

1.7. DESAFIO Para que valor de $k$ é a reta de equação $y=k$ tangente ao gráfico da função definida por $f(x)=x^{2}-2x+3$?

1.8. DESAFIO No referencial o.n. $Oxyz$, o plano de equação $z=k$ interseta a superfície esférica $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=25$ segundo uma circunferência de raio $3$. Os valores possíveis de $k$ são:

2.1. BÁSICO Numa turma de $15$ alunos, a distribuição das classificações de um teste (em valores) foi:

(a) Determine a média das classificações.
(b) Indique a moda e a mediana.
(c) Determine a percentagem de alunos com classificação igual ou superior a $15$ valores.

2.2. INTERMÉDIO Uma amostra de $9$ valores tem média $\bar{x}=12$ e desvio-padrão $s=2$.

(a) Considere a nova variável $y=-3x+50$. Indique, justificando, a média e o desvio-padrão de $y$.
(b) Acrescenta-se à amostra um décimo valor, igual a $2$. Determine a média da nova amostra de $10$ valores.
(c) Indique, justificando sem efetuar cálculos adicionais, se o desvio-padrão da amostra de $10$ valores é maior, menor ou igual ao da amostra inicial.

2.3. INTERMÉDIO Numa estufa experimental, registou-se a concentração de $\text{CO}_2$ ($x$, em centenas de ppm) e a taxa de crescimento de uma planta ($y$, em mm/dia), em $6$ ensaios:

(a) Indique as coordenadas do centro de gravidade da nuvem de pontos.
(b) Recorrendo à calculadora, determine a equação reduzida da reta de regressão de $y$ em $x$ e o coeficiente de correlação linear $r$. Classifique a correlação.
(c) Determine, segundo o modelo, a concentração de $\text{CO}_2$ (em ppm) para a qual a taxa de crescimento prevista é de $10$ mm/dia. Comente a fiabilidade desta estimativa.

2.4. DESAFIO De um estudo bivariado, sabe-se apenas que a reta de regressão de $y$ em $x$ tem equação $y=2{,}5x+4$ e que a média dos valores de $x$ é $\bar{x}=6$.

(a) Determine a média $\bar{y}$ dos valores de $y$.
(b) Um dos pontos da amostra é $(8\,;\,25)$. Determine o resíduo (erro de previsão) do modelo nesse ponto.
(c) Sabendo ainda que o desvio-padrão de $x$ é $s_x=2$ e o de $y$ é $s_y=5{,}5$, determine o coeficiente de correlação linear $r$, recorrendo à relação $b=r\cdot\dfrac{s_y}{s_x}$, em que $b$ é o declive da reta. Apresente o resultado arredondado às milésimas.

2.5. DESAFIO Dois investigadores analisaram, de forma independente, a mesma nuvem de $8$ pontos $(x_i,y_i)$. O primeiro obteve coeficiente de correlação linear $r=0{,}97$. O segundo, por engano, trocou os papéis das variáveis.

(a) Indique, justificando, o valor do coeficiente de correlação obtido pelo segundo investigador.
(b) Em geral, a reta de regressão de $y$ em $x$ e a reta de regressão de $x$ em $y$ são a mesma reta? Justifique e indique um ponto por onde ambas passam necessariamente.
(c) Explique por que motivo um valor de $r$ próximo de $1$ não permite, por si só, concluir que a variável $x$ é causa da variável $y$.

3.1. BÁSICO O repuxo de uma fonte descreve uma trajetória parabólica. A altura da água, em metros, em função da distância horizontal $x$ (em metros) ao ponto de saída, é dada por $$h(x)=-0{,}2x^{2}+1{,}6x,\qquad x\geq 0.$$

(a) Determine a altura máxima atingida pela água e a que distância horizontal tal ocorre.
(b) Determine o alcance do repuxo, isto é, a que distância do ponto de saída a água volta a atingir o nível do solo.
(c) Determine o conjunto de distâncias horizontais para as quais a altura da água é, pelo menos, $1{,}4$ metros.

3.2. INTERMÉDIO Um guarda-redes pontapeia uma bola. A altura da bola em relação ao solo, em metros, $t$ segundos após o pontapé, é dada por $$h(t)=-5t^{2}+16t+1,\qquad t\geq 0.$$

(a) Determine a altura máxima atingida pela bola e o instante em que tal ocorre.
(b) Determine, na forma exata, durante quanto tempo a bola esteve a uma altura igual ou superior a $9$ metros.
(c) Determine o instante em que a bola toca no solo. Apresente o resultado na forma $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$, com $a,b,c\in\mathbb{N}$.

3.3. INTERMÉDIO Uma empresa produz e vende $x$ unidades mensais de um artigo, com $x\in[0,120]$. O preço unitário de venda (em euros) segue a função procura $p(x)=60-0{,}5x$ e o custo total mensal é $C(x)=10x+400$ euros.

(a) Mostre que a receita mensal é dada por $R(x)=-0{,}5x^{2}+60x$ e determine o número de unidades que a maximiza, bem como a receita máxima.
(b) Mostre que o lucro mensal é $L(x)=-0{,}5x^{2}+50x-400$ e determine o número de unidades que maximiza o lucro e o lucro máximo.
(c) Determine o intervalo de valores de $x$ para os quais a empresa tem lucro não negativo. Apresente os extremos do intervalo na forma $a\pm b\sqrt{c}$, com $a,b,c\in\mathbb{N}$.

3.4. INTERMÉDIO Pretende-se vedar um curral retangular encostado a um muro retilíneo, usando $80$ metros de rede apenas nos três lados não encostados ao muro. Seja $x$ (em metros) o comprimento de cada um dos dois lados perpendiculares ao muro.

(a) Mostre que a área do curral, em função de $x$, é dada por $A(x)=-2x^{2}+80x$ e indique o domínio de $A$ no contexto do problema.
(b) Determine as dimensões do curral de área máxima e o valor dessa área.
(c) Determine o conjunto de valores de $x$ para os quais a área do curral é, pelo menos, $600\,\text{m}^2$.

3.5. DESAFIO Considere a função quadrática $f$, de domínio $\mathbb{R}$, cujo gráfico é uma parábola de vértice $V(2,-1)$ e que passa pelo ponto $(0,3)$.

(a) Determine a expressão de $f$ na forma $f(x)=ax^{2}+bx+c$.
(b) Determine, analiticamente, os zeros de $f$.
(c) Determine os valores reais de $m$ para os quais a equação $f(x)=m$ tem exatamente duas soluções distintas.

4.1. INTERMÉDIO Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definidas por $$f(x)=-x^{2}+4x+1 \quad\text{e}\quad g(x)=2x-1.$$ Sejam $P$ o ponto do eixo $Ox$ com a mesma abcissa do vértice de $f$, e $Q$ o ponto de interseção dos gráficos de $f$ e $g$ com abcissa positiva. Determine a área do triângulo $[OPQ]$, em que $O$ é a origem do referencial.

4.2. INTERMÉDIO Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=0{,}5x^{3}-2x^{2}+1.$$ Sejam $M$ o ponto onde o gráfico de $f$ apresenta um máximo relativo e $N$ o ponto onde apresenta um mínimo relativo.
(a) Determine as coordenadas de $M$ e de $N$.
(b) Determine o comprimento do segmento $[MN]$.
(c) Determine a equação reduzida da reta $MN$.

4.3. INTERMÉDIO Considere as funções $p$ e $q$, de domínio adequado, definidas por $$p(x)=\sqrt{x+4}\quad(x\geq -4) \quad\text{e}\quad q(x)=-x+4.$$ Sejam $R$ o ponto de interseção dos gráficos de $p$ e $q$, $S$ o ponto de interseção do gráfico de $p$ com o eixo $Oy$ e $T$ o ponto de interseção do gráfico de $q$ com o eixo $Ox$. Determine a área do triângulo $[RST]$.

4.4. INTERMÉDIO De uma folha de cartão retangular com $20\,\text{cm}\times 12\,\text{cm}$ recortam-se quadrados de lado $x$ nos quatro cantos, dobrando-se depois as abas para formar uma caixa sem tampa. O volume da caixa, em $\text{cm}^3$, é dado por $$V(x)=x\,(20-2x)\,(12-2x).$$

(a) Indique o domínio de $V$ no contexto do problema.
(b) Determine, recorrendo à calculadora, o valor de $x$ que maximiza o volume e o volume máximo correspondente.
(c) Determine, recorrendo à calculadora, os valores de $x$ para os quais o volume da caixa é igual a $200\,\text{cm}^3$.

4.5. DESAFIO Considere as funções $p$ e $q$, de domínio adequado, definidas por $$p(x)=\sqrt{x+2}\quad(x\geq -2) \quad\text{e}\quad q(x)=0{,}5x^{2}-1.$$ Sejam $R$ o ponto de interseção dos gráficos de $p$ e $q$ com abcissa positiva e $T$ o ponto de interseção do gráfico de $q$ com o eixo $Ox$ com abcissa positiva. Determine a área do triângulo $[ORT]$, em que $O$ é a origem do referencial.

5.1. BÁSICO Considere os pontos $A(2,1)$ e $B(6,4)$.

(a) Determine uma equação reduzida da reta $AB$.
(b) Averigúe se o ponto $C(10,7)$ é colinear com $A$ e $B$.
(c) Determine as coordenadas do ponto $P$ tal que $\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}$.

5.2. INTERMÉDIO Considere os pontos $A(-3,2)$, $B(1,-1)$ e $C(5,4)$.

(a) Determine as coordenadas do ponto $D$ tal que $[ABCD]$ seja um paralelogramo (vértices designados pela ordem do contorno).
(b) Determine o perímetro do paralelogramo $[ABCD]$, apresentando o valor exato.
(c) Determine as coordenadas do ponto $M$ tal que $A$ seja o ponto médio de $[BM]$.
(d) Determine a área do triângulo $[ABC]$.

5.3. INTERMÉDIO Considere os pontos $P(1,4)$ e $Q(7,2)$.

(a) Determine as coordenadas do ponto $S$ do segmento $[PQ]$ tal que $\overline{PS}:\overline{SQ}=2:1$.
(b) Determine uma equação reduzida da mediatriz do segmento $[PQ]$.
(c) Determine as coordenadas do ponto do eixo $Oy$ que é equidistante de $P$ e de $Q$.

5.4. INTERMÉDIO Considere os vetores $\vec{u}=(3,-4)$ e $\vec{w}=(1,2)$.

(a) Determine $\|\vec{u}\|$ e indique as coordenadas de um vetor unitário com a direção e o sentido de $\vec{u}$.
(b) Determine o número real positivo $k$ tal que $\|k\,\vec{w}\|=10$. Apresente o valor exato.
(c) Determine os números reais $a$ e $b$ tais que $(5,0)=a\,\vec{u}+b\,\vec{w}$.

5.5. DESAFIO Considere o triângulo $[ABC]$ com $A(-1,1)$, $B(5,3)$ e $C(1,5)$.

(a) Mostre, usando declives, que o triângulo é retângulo no vértice $C$.
(b) Determine a área do triângulo $[ABC]$.
(c) Justifique que o circuncentro do triângulo (centro da circunferência que passa pelos três vértices) é o ponto médio de $[AB]$ e determine as suas coordenadas.
(d) Determine uma equação reduzida da circunferência circunscrita ao triângulo $[ABC]$.

6.1. BÁSICO Considere os pontos $A(3,0,0)$, $B(0,3,0)$ e $C(0,0,3)$.

(a) Mostre que o triângulo $[ABC]$ é equilátero e indique o comprimento do seu lado.
(b) Determine a área do triângulo $[ABC]$, apresentando o valor exato.
(c) Determine uma equação cartesiana do plano $ABC$ e a distância da origem $O$ a esse plano.

6.2. INTERMÉDIO Considere a superfície esférica $S$ de equação $$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+6y-4z-11=0.$$

(a) Determine o centro e o raio de $S$.
(b) Determine o valor exato do perímetro da circunferência resultante da interseção de $S$ com o plano de equação $z=5$.
(c) Determine os valores reais de $k$ para os quais o plano de equação $z=k$ é tangente a $S$.
(d) Mostre que o ponto $P(1,-3,7)$ pertence a $S$ e escreva uma equação do plano tangente a $S$ no ponto $P$.

6.3. INTERMÉDIO Considere os pontos $A(2,-1,4)$ e $B(6,3,-2)$.

(a) Determine uma equação cartesiana reduzida da superfície esférica de diâmetro $[AB]$.
(b) Determine o valor exato do perímetro da interseção dessa superfície esférica com o plano de equação $z=4$.
(c) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento $[AB]$.
(d) Recorrendo à comparação de uma distância com o raio, mostre que a origem $O$ é exterior à superfície esférica.

6.4. INTERMÉDIO Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o paralelepípedo retângulo $[ABCDEFGH]$, em que $A\equiv O$, os segmentos $[AB]$, $[AD]$ e $[AE]$ são paralelos, respetivamente, aos eixos $Ox$, $Oy$ e $Oz$, e $$B(4,0,0),\qquad D(0,4,0),\qquad E(0,0,7).$$

(a) Indique as coordenadas do vértice $G$ e mostre que a diagonal espacial $[AG]$ tem comprimento $9$.
(b) Determine uma equação cartesiana reduzida da superfície esférica circunscrita ao paralelepípedo (que passa por todos os vértices).
(c) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento $[AG]$.
(d) Escreva uma equação vetorial da reta $AG$ e determine as coordenadas do ponto dessa reta que pertence ao plano de equação $z=2$.

6.5. DESAFIO Considere a superfície esférica $S$ de centro $C(2,3,-1)$, tangente ao plano de equação $z=2$.

(a) Determine o raio de $S$ e escreva uma equação cartesiana reduzida de $S$.
(b) Mostre que $S$ não interseta o eixo $Oz$.
(c) Determine os valores reais de $a$ para os quais o ponto $P(a,3,-1)$ pertence a $S$.
(d) Mostre que o plano que passa em $C$ e é paralelo a $Oxy$ interseta $S$ segundo um círculo máximo e indique o perímetro dessa circunferência.

7.1. BÁSICO Considere, para cada $a\in\mathbb{R}$, a função afim $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=(2a-1)x+(a+3).$$

(a) Determine os valores de $a$ para os quais $f$ é crescente.
(b) Determine o valor de $a$ para o qual $f$ é constante e indique, nesse caso, a expressão de $f$.
(c) Determine o valor de $a$ para o qual $f$ tem um zero em $x=2$.

7.2. INTERMÉDIO Considere, para cada $k\in\mathbb{R}$, a função quadrática $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-3.$$

(a) Determine o valor de $k$ para o qual o gráfico de $f$ é tangente ao eixo $Ox$.
(b) Determine os valores de $k$ para os quais $f(x)>0$ para todo o $x\in\mathbb{R}$.
(c) Para $k=0$, faça o estudo da monotonia e dos extremos de $f$ e indique o seu contradomínio.

7.3. INTERMÉDIO Considere, para cada $m\in\mathbb{R}$, a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$g(x)=(m-1)x^{2}+2mx+m+2.$$

(a) Determine o valor de $m$ para o qual $g$ não é uma função quadrática e indique, nesse caso, a expressão de $g$.
(b) Considerando $m\neq 1$, determine o valor de $m$ para o qual o gráfico de $g$ é tangente ao eixo $Ox$.
(c) Determine o valor de $m$ para o qual o eixo de simetria do gráfico de $g$ é a reta de equação $x=1$. Para esse valor de $m$, indique as coordenadas do vértice e o contradomínio de $g$.

7.4. DESAFIO Considere a função quadrática $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^{2}+bx+c$, cujo gráfico interseta o eixo $Ox$ nos pontos de abcissas $1$ e $3$.

(a) Determine os valores de $b$ e de $c$.
(b) Considere agora a família de funções $g(x)=x^{2}+bx+t$ (com o mesmo valor de $b$ obtido em (a)). Determine os valores de $t$ para os quais $g$ não tem zeros reais.
(c) Determine o valor de $t$ para o qual o valor mínimo de $g$ é exatamente $5$.

7.5. DESAFIO Considere a função $\varphi$, de domínio $\mathbb{R}$, definida, em função do parâmetro $b\in\mathbb{R}$, por $$\varphi(x)=\begin{cases} x^{2}+bx & \text{se } x\leq 2 \\[2pt] 3x-2 & \text{se } x>2 \end{cases}$$

(a) Determine o valor de $b$ de modo que os dois ramos de $\varphi$ tomem o mesmo valor em $x=2$ (gráfico sem salto nesse ponto).
(b) Para o valor de $b$ obtido na alínea anterior, determine, justificadamente, o contradomínio de $\varphi$.