Proposta de Resolução
Ficha de Treino — Mat A · 10.º Ano · Revisões Globais · junho 2026

Resolução passo a passo de todos os itens. Os valores aproximados foram, salvo indicação em contrário, obtidos com calculadora gráfica e estão arredondados às milésimas ou às centésimas, conforme o item.

Exercício 1 — Escolha múltipla

1.1. BÁSICO

Ponto médio de $[AB]$ com $A(1,2,3)$ e $B(5,-2,1)$: $\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{2-2}{2},\dfrac{3+1}{2}\right)=(3,0,2)$. Opção (B).

1.2. BÁSICO

$x^{2}\leq 4x\Longleftrightarrow x^{2}-4x\leq 0\Longleftrightarrow x(x-4)\leq 0$. A parábola tem concavidade para cima e zeros $0$ e $4$, sendo negativa entre eles: $x\in[0,4]$. Opção (A).

1.3. INTERMÉDIO

A variância é $16$, logo $s=\sqrt{16}=4$. Para $y=3x-5$: $\bar{y}=3\cdot 20-5=55$ e $s_y=|3|\cdot 4=12$ (a constante $-5$ não altera a dispersão). Opção (C).

1.4. INTERMÉDIO

$f(x)=\dfrac{\sqrt{5-x}}{x^{2}-x-6}$: exige $5-x\geq 0\Leftrightarrow x\leq 5$ e $x^{2}-x-6\neq 0\Leftrightarrow(x-3)(x+2)\neq 0\Leftrightarrow x\neq 3\wedge x\neq -2$. Domínio $=\;]-\infty,5]\setminus\{-2,3\}$. Opção (B).

1.5. INTERMÉDIO

Completando os quadrados: $(x+2)^{2}-4+(y-3)^{2}-9+(z-1)^{2}-1+5=0\Leftrightarrow (x+2)^{2}+(y-3)^{2}+(z-1)^{2}=9$. Centro $C(-2,3,1)$ e raio $r=3$. Opção (D).

1.6. INTERMÉDIO

$\vec{u}=(2,-3)$ e $\vec{v}=(m+1,m-4)$ colineares $\Leftrightarrow 2(m-4)-(-3)(m+1)=0\Leftrightarrow 5m-5=0\Leftrightarrow m=1$. Opção (A).

1.7. DESAFIO

$f(x)=x^{2}-2x+3$ tem vértice em $x=1$, com $f(1)=1-2+3=2$ (mínimo). A reta horizontal $y=k$ é tangente ao gráfico quando toca no vértice, ou seja, $k=2$. Opção (B).

1.8. DESAFIO

A interseção de $z=k$ com a superfície esférica de raio $5$ tem raio $\rho$ tal que $\rho^{2}+(k-3)^{2}=25$. Com $\rho=3$: $(k-3)^{2}=25-9=16\Leftrightarrow k-3=\pm 4\Leftrightarrow k=7\;\lor\;k=-1$. Opção (B).

Exercício 2 — Estatística

2.1. — Tabela de frequências BÁSICO

(a) $\bar{x}=\dfrac{8\cdot 3+12\cdot 5+15\cdot 4+18\cdot 3}{15}=\dfrac{24+60+60+54}{15}=\dfrac{198}{15}=13{,}2$ valores.

(b) A moda é a classificação mais frequente: $12$ (com $5$ alunos). Para a mediana, com $15$ dados ordenados, é o $8.^{\text{o}}$ valor; as posições $4$ a $8$ correspondem ao valor $12$, logo a mediana é $12$. Moda $=12$; mediana $=12$.

2.2. — Transformação de dados INTERMÉDIO

(a) Para $y=-3x+50$: $\bar{y}=-3\cdot 12+50=14$; $s_y=|-3|\cdot 2=6$ (a constante $+50$ não altera a dispersão). $\bar{y}=14$ e $s_y=6$.

(b) Soma dos $9$ valores: $9\cdot 12=108$. Nova soma $108+2=110$, com $10$ valores: $\bar{x}_{\text{nova}}=\dfrac{110}{10}=11$. Média $=11$.

(c) O valor acrescentado ($2$) está muito afastado da média (a $10$ unidades abaixo de $12$), o que aumenta a dispersão. O desvio-padrão da nova amostra é maior.

2.3. — Estufa: CO₂ vs. crescimento INTERMÉDIO

(a) $\bar{x}=\dfrac{2+4+6+8+10+12}{6}=7$ e $\bar{y}=\dfrac{3{,}2+5{,}0+6{,}1+7{,}3+8{,}0+9{,}4}{6}=\dfrac{39}{6}=6{,}5$. Centro de gravidade $G=(7\,;\,6{,}5)$.

(b) Com a calculadora: $y\approx 0{,}589\,x+2{,}380$ e $r\approx 0{,}993$ — correlação positiva e muito forte ($r$ próximo de $1$).

(c) $10=0{,}589\,x+2{,}380\Leftrightarrow x=\dfrac{7{,}620}{0{,}589}\approx 12{,}95$ centenas de ppm, ou seja, $\approx 1\,295$ ppm. Como $x\approx 12{,}95$ está já fora do intervalo observado ($2\leq x\leq 12$), trata-se de uma (ligeira) extrapolação; a estimativa é apenas razoável e deve ser usada com prudência.

2.4. — Reta de regressão dada DESAFIO

(a) A reta de regressão passa sempre pelo centro de gravidade $(\bar{x},\bar{y})$. Logo $\bar{y}=2{,}5\cdot 6+4=19$. $\bar{y}=19$.

(b) Valor previsto em $x=8$: $\hat{y}=2{,}5\cdot 8+4=24$. Resíduo $=$ observado $-$ previsto $=25-24=1$. Resíduo $=1$.

(c) De $b=r\cdot\dfrac{s_y}{s_x}$ vem $r=b\cdot\dfrac{s_x}{s_y}=2{,}5\cdot\dfrac{2}{5{,}5}=\dfrac{5}{5{,}5}\approx 0{,}909$. $r\approx 0{,}909$.

2.5. — Interpretação da correlação DESAFIO

(a) O coeficiente de correlação linear é simétrico nas duas variáveis — não depende de qual é a dependente. O segundo investigador obtém o mesmo valor, $r=0{,}97$.

(b) Em geral não: a reta de $y$ em $x$ minimiza os desvios na direção de $y$ e a de $x$ em $y$ na direção de $x$; só coincidem quando $|r|=1$. Contudo, ambas passam sempre pelo centro de gravidade $(\bar{x},\bar{y})$.

(c) Correlação não implica causalidade: um $r$ próximo de $1$ revela apenas forte associação linear, que pode resultar de uma terceira variável (confundimento) ou do acaso.

Exercício 3 — Função quadrática em contexto

3.1. — Repuxo BÁSICO

$h(x)=-0{,}2x^{2}+1{,}6x$.

(a) $x_{v}=\dfrac{-1{,}6}{2\cdot(-0{,}2)}=4$; $h(4)=-0{,}2\cdot 16+1{,}6\cdot 4=-3{,}2+6{,}4=3{,}2$ m. Altura máxima $3{,}2$ m, a $4$ m do ponto de saída.

(b) $h(x)=0\Leftrightarrow x(-0{,}2x+1{,}6)=0\Leftrightarrow x=0\;\lor\;x=8$. Alcance $=8$ m.

(c) $h(x)\geq 1{,}4\Leftrightarrow -0{,}2x^{2}+1{,}6x-1{,}4\geq 0\Leftrightarrow x^{2}-8x+7\leq 0\Leftrightarrow (x-1)(x-7)\leq 0\Leftrightarrow x\in[1,7]$. $x\in[1,7]$ (em metros).

3.2. — Bola INTERMÉDIO

$h(t)=-5t^{2}+16t+1$.

(a) $t_{v}=\dfrac{-16}{-10}=1{,}6$ s; $h(1{,}6)=-12{,}8+25{,}6+1=13{,}8$ m. Máximo $13{,}8$ m em $t=1{,}6$ s.

(b) $h(t)\geq 9\Leftrightarrow 5t^{2}-16t+8\leq 0$, com raízes $t=\dfrac{16\pm\sqrt{96}}{10}=\dfrac{8\pm 2\sqrt{6}}{5}$. Duração $=\dfrac{8+2\sqrt{6}}{5}-\dfrac{8-2\sqrt{6}}{5}=\dfrac{4\sqrt{6}}{5}$ s $\approx 1{,}96$ s.

(c) $h(t)=0\Leftrightarrow 5t^{2}-16t-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{16\pm\sqrt{276}}{10}=\dfrac{8\pm\sqrt{69}}{5}$. Como $t\geq 0$: $t=\dfrac{8+\sqrt{69}}{5}\approx 3{,}26$ s ($a=8$, $b=69$, $c=5$).

3.3. — Receita, custo e lucro INTERMÉDIO

(a) $R(x)=x(60-0{,}5x)=-0{,}5x^{2}+60x$; $x_{v}=\dfrac{-60}{-1}=60$; $R(60)=-1800+3600=1800$. Receita máxima $1\,800$ € com $60$ unidades.

(b) $L(x)=R(x)-C(x)=-0{,}5x^{2}+60x-10x-400=-0{,}5x^{2}+50x-400$; $x_{v}=\dfrac{-50}{-1}=50$; $L(50)=-1250+2500-400=850$. Lucro máximo $850$ € com $50$ unidades.

(c) $L(x)\geq 0\Leftrightarrow x^{2}-100x+800\leq 0$, com raízes $x=\dfrac{100\pm\sqrt{6800}}{2}=50\pm 10\sqrt{17}$. $x\in\bigl[50-10\sqrt{17},\,50+10\sqrt{17}\bigr]$ ($\approx[8{,}8\,;\,91{,}2]\subset[0,120]$).

3.4. — Curral INTERMÉDIO

(a) Lados perpendiculares ao muro: $x$ cada; lado paralelo: $80-2x$. $A(x)=x(80-2x)=-2x^{2}+80x$, com $x>0\wedge 80-2x>0$, logo domínio $]0,40[$.

(b) $x_{v}=\dfrac{-80}{-4}=20$; lado paralelo $=40$; $A(20)=800$. $20\,\text{m}\times 40\,\text{m}$; área máxima $800\,\text{m}^2$.

3.5. — Parábola a partir do vértice DESAFIO

(a) Forma de vértice: $f(x)=a(x-2)^{2}-1$. Como $f(0)=3$: $4a-1=3\Leftrightarrow a=1$. Logo $f(x)=(x-2)^{2}-1=x^{2}-4x+3$. $a=1$, $b=-4$, $c=3$.

(b) $x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow x=1\;\lor\;x=3$. Zeros $1$ e $3$.

(c) A equação $f(x)=m$ tem duas soluções distintas quando a reta $y=m$ corta a parábola (concavidade para cima, mínimo $-1$) em dois pontos, ou seja, $m>-1$. $m>-1$.

Exercício 4 — Funções e calculadora gráfica

4.1. INTERMÉDIO

$f(x)=-x^{2}+4x+1$; $g(x)=2x-1$. Vértice de $f$: $x_{v}=2\Rightarrow P=(2,0)$.

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow x^{2}-2x-2=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{3}$. Abcissa positiva $x_{Q}=1+\sqrt{3}\approx 2{,}73$; $y_{Q}=2(1+\sqrt{3})-1=1+2\sqrt{3}\approx 4{,}46$, logo $Q\approx(2{,}73\,;\,4{,}46)$.

Triângulo $[OPQ]$, base $\overline{OP}=2$, altura $y_{Q}=1+2\sqrt{3}$: $A=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot(1+2\sqrt{3})=1+2\sqrt{3}\approx 4{,}46$. Área $\approx 4{,}46$ u.a.

4.2. INTERMÉDIO

$f(x)=0{,}5x^{3}-2x^{2}+1$. Com a calculadora:

máximo relativo em $x=0$: $M=(0\,;\,1)$;
mínimo relativo em $x\approx 2{,}67$: $f(2{,}67)\approx -3{,}74$, logo $N\approx(2{,}67\,;\,-3{,}74)$.

(a) $M=(0\,;\,1)$ e $N\approx(2{,}67\,;\,-3{,}74)$.

(b) $\overline{MN}=\sqrt{2{,}67^{2}+(-4{,}74)^{2}}\approx\sqrt{7{,}13+22{,}47}\approx 5{,}44$. $\overline{MN}\approx 5{,}44$ u.c.

4.3. INTERMÉDIO

$p(x)=\sqrt{x+4}$; $q(x)=-x+4$.

$R$: $\sqrt{x+4}=-x+4$ (com $x\leq 4$) $\Rightarrow x+4=x^{2}-8x+16\Leftrightarrow x^{2}-9x+12=0\Leftrightarrow x=\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{2}$. Solução válida $x_{R}=\dfrac{9-\sqrt{33}}{2}\approx 1{,}63$; $y_{R}\approx 2{,}37$, logo $R\approx(1{,}63\,;\,2{,}37)$.

$S=(0,2)$ (interseção de $p$ com $Oy$); $T=(4,0)$ (interseção de $q$ com $Ox$).

$A=\dfrac{1}{2}\bigl|x_{R}(y_{S}-y_{T})+x_{S}(y_{T}-y_{R})+x_{T}(y_{R}-y_{S})\bigr|=\dfrac{1}{2}\,|1{,}63\cdot 2+0+4\cdot 0{,}37|\approx 2{,}37$. Área $\approx 2{,}37$ u.a.

4.4. — Caixa sem tampa INTERMÉDIO

$V(x)=x(20-2x)(12-2x)$.

(a) Exige-se $x>0$, $20-2x>0$ e $12-2x>0$, isto é, $x<6$. Domínio $]0,6[$.

(b) Com a calculadora (máximo da função no intervalo): $x\approx 2{,}43$ cm e $V_{\max}\approx 262{,}74\,\text{cm}^3$. $x\approx 2{,}43$ cm; $V\approx 262{,}74\,\text{cm}^3$.

(c) Resolvendo $V(x)=200$ no intervalo $]0,6[$ com a calculadora, obtêm-se duas soluções: $x\approx 1{,}17$ cm $\;\lor\;x\approx 3{,}91$ cm.

4.5. — Triângulo $[ORT]$ DESAFIO

$p(x)=\sqrt{x+2}$; $q(x)=0{,}5x^{2}-1$.

$R$ (interseção com abcissa positiva): resolvendo $\sqrt{x+2}=0{,}5x^{2}-1$ com a calculadora, $x_{R}\approx 2{,}50$ e $y_{R}=\sqrt{2{,}50+2}\approx 2{,}12$, logo $R\approx(2{,}50\,;\,2{,}12)$.

$T$ (interseção de $q$ com $Ox$, abcissa positiva): $0{,}5x^{2}-1=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\approx 1{,}41$, logo $T=(\sqrt{2}\,;\,0)$.

Triângulo $[ORT]$ com $O(0,0)$ e $T$ sobre $Ox$: base $\overline{OT}=\sqrt{2}\approx 1{,}41$ e altura $=y_{R}\approx 2{,}12$: $$A=\dfrac{1}{2}\cdot 1{,}41\cdot 2{,}12\approx 1{,}50.$$ Área $\approx 1{,}50$ u.a.

Exercício 5 — Vetores e geometria analítica no plano

5.1. BÁSICO

$A(2,1)$, $B(6,4)$; $\overrightarrow{AB}=(4,3)$.

(a) Declive $=\dfrac{4-1}{6-2}=\dfrac{3}{4}$; $y-1=\dfrac{3}{4}(x-2)\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}$. $y=0{,}75x-0{,}5$.

(b) $\dfrac{3}{4}\cdot 10-\dfrac{1}{2}=7{,}5-0{,}5=7=y_C$, logo $C(10,7)$ é colinear com $A$ e $B$.

(c) $P=A+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\left(2+\dfrac{3}{2}\cdot 4,\;1+\dfrac{3}{2}\cdot 3\right)=(8\,;\,5{,}5)$. $P(8\,;\,5{,}5)$.

5.2. INTERMÉDIO

$A(-3,2)$, $B(1,-1)$, $C(5,4)$.

(a) Em $[ABCD]$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, com $\overrightarrow{AB}=(4,-3)$, logo $D=C-\overrightarrow{AB}=(1,7)$. (Verificação: $\overrightarrow{AD}=(4,5)=\overrightarrow{BC}$.) $D(1,7)$.

(b) $\overline{AB}=\sqrt{16+9}=5$; $\overline{BC}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$; perímetro $=2(5+\sqrt{41})=$ $10+2\sqrt{41}$.

(d) $\overrightarrow{AB}=(4,-3)$, $\overrightarrow{AC}=(8,2)$; área $=\dfrac{1}{2}|4\cdot 2-(-3)\cdot 8|=\dfrac{1}{2}\cdot 32=16$. Área $=16$ u.a.

5.3. INTERMÉDIO

$P(1,4)$, $Q(7,2)$; $\overrightarrow{PQ}=(6,-2)$.

(a) $S=P+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PQ}=\left(1+4,\,4-\dfrac{4}{3}\right)=\left(5,\dfrac{8}{3}\right)$. $S\left(5,\dfrac{8}{3}\right)$.

(b) Mediatriz: passa em $M=(4,3)$ e é perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$ (declive de $PQ$ é $-\tfrac{1}{3}$, logo declive $3$): $y=3x-9$. $y=3x-9$.

5.4. INTERMÉDIO

$\vec{u}=(3,-4)$, $\vec{w}=(1,2)$.

(a) $\|\vec{u}\|=\sqrt{9+16}=5$; unitário $=\dfrac{1}{5}(3,-4)=\left(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right)$.

(b) $\|k\vec{w}\|=k\sqrt{5}=10\Leftrightarrow k=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$. $k=2\sqrt{5}$.

(c) $(5,0)=(3a+b,\,-4a+2b)\Rightarrow\begin{cases}3a+b=5\\ -4a+2b=0\end{cases}\Rightarrow b=2a\Rightarrow 5a=5\Rightarrow a=1,\;b=2$. $a=1$, $b=2$.

5.5. — Triângulo retângulo e circunferência DESAFIO

$A(-1,1)$, $B(5,3)$, $C(1,5)$.

(a) Declive de $CA=\dfrac{1-5}{-1-1}=2$; declive de $CB=\dfrac{3-5}{5-1}=-\dfrac{1}{2}$. Como $2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1$, as retas $CA$ e $CB$ são perpendiculares: o triângulo é retângulo em $C$.

(b) Catetos $\overline{CA}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$ e $\overline{CB}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$; área $=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=\dfrac{1}{2}\cdot 20=10$. Área $=10$ u.a.

(c) Num triângulo retângulo, a hipotenusa é um diâmetro da circunferência circunscrita, logo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa $[AB]$: $\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{1+3}{2}\right)=(2,2)$. Circuncentro $(2,2)$.

(d) Raio $=\dfrac{1}{2}\overline{AB}=\dfrac{1}{2}\sqrt{36+4}=\dfrac{1}{2}\sqrt{40}=\sqrt{10}$. $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=10$.

Exercício 6 — Geometria analítica no espaço

6.1. — Triângulo equilátero BÁSICO

$A(3,0,0)$, $B(0,3,0)$, $C(0,0,3)$.

(a) $\overline{AB}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$; por simetria $\overline{BC}=\overline{AC}=3\sqrt{2}$. Os três lados são iguais, logo o triângulo é equilátero de lado $3\sqrt{2}$.

(b) Área de triângulo equilátero de lado $\ell$: $A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\ell^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 18=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$. $A=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ u.a.

(c) O plano que passa em $(3,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,0,3)$ tem equação $x+y+z=3$. Distância de $O$: $d=\dfrac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. $x+y+z=3$; $d(O,ABC)=\sqrt{3}$.

6.2. — Superfície esférica INTERMÉDIO

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+6y-4z-11=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y+3)^{2}+(z-2)^{2}=25$.

(a) Centro $C(1,-3,2)$, raio $r=5$.

(b) Para $z=5$: $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25-9=16$, raio $4$; perímetro $=2\pi\cdot 4=$ $8\pi$.

(d) $(1-1)^{2}+(-3+3)^{2}+(7-2)^{2}=25$, logo $P(1,-3,7)\in S$. $P$ é o ponto mais alto (mesma $x,y$ do centro, $5$ acima), pelo que o plano tangente é paralelo a $Oxy$: $z=7$.

6.3. — Esfera de diâmetro $[AB]$ INTERMÉDIO

$A(2,-1,4)$, $B(6,3,-2)$.

(a) Centro $=$ ponto médio $(4,1,1)$; $\overrightarrow{AB}=(4,4,-6)$, $\overline{AB}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$, $r=\sqrt{17}$. $(x-4)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=17$.

(b) Para $z=4$: $(x-4)^{2}+(y-1)^{2}=17-9=8$, raio $2\sqrt{2}$; perímetro $=2\pi\cdot 2\sqrt{2}=$ $4\sqrt{2}\,\pi$.

(c) Plano mediador: passa em $(4,1,1)$, normal $(2,2,-3)$: $2(x-4)+2(y-1)-3(z-1)=0\Leftrightarrow 2x+2y-3z-7=0$. $2x+2y-3z-7=0$.

(d) $\overline{OC}=\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4{,}24$. Como $3\sqrt{2}>\sqrt{17}\approx 4{,}12$ ($\overline{OC}>r$), $O$ é exterior à superfície esférica. $\square$

6.4. — Paralelepípedo INTERMÉDIO

$A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $D(0,4,0)$, $E(0,0,7)$.

(a) $G=(4,4,7)$; $\overline{AG}=\sqrt{16+16+49}=\sqrt{81}=9$. $G(4,4,7)$, $\overline{AG}=9$. $\square$

(b) Centro $=$ centro do paralelepípedo $=$ ponto médio de $[AG]=\left(2,2,\tfrac{7}{2}\right)$; raio $=\tfrac{9}{2}$. $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}+\left(z-\tfrac{7}{2}\right)^{2}=\dfrac{81}{4}$.

(c) Plano mediador de $[AG]$: passa em $\left(2,2,\tfrac{7}{2}\right)$, normal $(4,4,7)$: $4(x-2)+4(y-2)+7\left(z-\tfrac{7}{2}\right)=0\Leftrightarrow 8x+8y+14z-81=0$. $8x+8y+14z-81=0$.

(d) Reta $AG$: $(x,y,z)=(0,0,0)+t(4,4,7)$, $t\in\mathbb{R}$. Para $z=2$: $7t=2\Leftrightarrow t=\tfrac{2}{7}$, logo $x=y=\tfrac{8}{7}$. $\left(\tfrac{8}{7},\tfrac{8}{7},2\right)$.

6.5. — Esfera tangente a um plano DESAFIO

Centro $C(2,3,-1)$, tangente a $z=2$.

(a) Raio $=$ distância de $C$ ao plano $z=2$: $r=|-1-2|=3$. $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}=9$.

(b) Pontos de $Oz$ têm $x=0$, $y=0$: $(0-2)^{2}+(0-3)^{2}+(z+1)^{2}=9\Leftrightarrow (z+1)^{2}=9-13=-4$, impossível em $\mathbb{R}$. Logo $S$ não interseta $Oz$. $\square$

(d) O plano por $C$ paralelo a $Oxy$ é $z=-1$ (passa pelo centro). Um plano que passa pelo centro corta a esfera num círculo máximo, de raio igual ao da esfera, $3$. Perímetro $=2\pi\cdot 3=$ $6\pi$.

Exercício 7 — Funções com parâmetro

7.1. — Função afim BÁSICO

$f(x)=(2a-1)x+(a+3)$.

(a) Crescente $\Leftrightarrow 2a-1>0\Leftrightarrow a>\dfrac{1}{2}$. $a>\dfrac{1}{2}$.

(b) Constante $\Leftrightarrow 2a-1=0\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}$; então $f(x)=\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{7}{2}$. $a=\dfrac{1}{2}$, $f(x)=3{,}5$.

7.2. — Quadrática com parâmetro INTERMÉDIO

$f(x)=x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-3$. $\Delta=[2(k-1)]^{2}-4(k^{2}-3)=-8k+16$.

(a) Tangente a $Ox\Leftrightarrow\Delta=0\Leftrightarrow k=2$. $k=2$.

(b) $a=1>0$, logo $f(x)>0\;\forall x\Leftrightarrow\Delta<0\Leftrightarrow k>2$. $k>2$.

(c) $k=0$: $f(x)=x^{2}+2x-3$; vértice $V(-1,-4)$. Concavidade para cima: decrescente em $]-\infty,-1]$, crescente em $[-1,+\infty[$; mínimo $-4$; contradomínio $[-4,+\infty[$.

7.3. — Família de funções INTERMÉDIO

$g(x)=(m-1)x^{2}+2mx+m+2$.

(a) Não quadrática $\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1$; então $g(x)=2x+3$ (afim). $m=1$, $g(x)=2x+3$.

(b) Para $m\neq 1$: $\Delta=(2m)^{2}-4(m-1)(m+2)=-4m+8=0\Leftrightarrow m=2$. $m=2$.

(c) Eixo $x=\dfrac{-2m}{2(m-1)}=\dfrac{-m}{m-1}=1\Leftrightarrow -m=m-1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$. Então $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{5}{2}$, $g(1)=3$; como $a<0$: $V(1,3)$, contradomínio $]-\infty,3]$.

7.4. — Reconstruir e generalizar DESAFIO

(a) Zeros $1$ e $3$: $f(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3$, logo $b=-4$, $c=3$.

(b) $g(x)=x^{2}-4x+t$; sem zeros reais $\Leftrightarrow\Delta<0\Leftrightarrow 16-4t<0\Leftrightarrow t>4$. $t>4$.

7.5. — Função por ramos DESAFIO

$\varphi(x)=\begin{cases} x^{2}+bx & x\leq 2 \\ 3x-2 & x>2 \end{cases}$

(a) Igualdade em $x=2$: $4+2b=4\Leftrightarrow b=0$. $b=0$.

(b) Para $b=0$: ramo $x^{2}$ ($x\leq 2$) toma todos os valores de $[0,+\infty[$ (mínimo $0$ em $x=0$, $\to+\infty$ quando $x\to-\infty$); ramo $3x-2$ ($x>2$) toma valores em $]4,+\infty[$. Reunião: $[0,+\infty[$. Contradomínio $=[0,+\infty[$.

FIM DA RESOLUÇÃO

Nota. Nos itens com calculadora (Exercício 4 e itens 2.3(b)/(c)), os valores apresentados resultam de leitura gráfica/regressão e podem variar ligeiramente na última casa decimal consoante o modelo de calculadora e o arredondamento intermédio utilizado.

Proposta de ResoluçãoFicha de Treino — Mat A · 10.º Ano · Revisões Globais · junho 2026