Prova-modelo Final de Matemática — 2023/2024
- A numeração dos itens mantém a numeração do enunciado original.
- Os 12 itens obrigatórios valem 72 pontos. Dos restantes 6 itens, contam os 4 de melhor pontuação, num total de 28 pontos.
- Tens disponível o formulário e a tabela trigonométrica no botão da barra superior.
- No fim, clica em Terminar e corrigir.
Formulário
Valor aproximado de \(\pi\): 3,14159
Polígono regular: \(\dfrac{\text{Perímetro}\times\text{apótema}}{2}\)
Trapézio: \(\dfrac{(B+b)\times h}{2}\)
Superfície lateral do cone: \(\pi r g\)
Prisma e cilindro: \(\text{Área da base}\times\text{altura}\)
Pirâmide e cone: \(\dfrac{1}{3}\times\text{Área da base}\times\text{altura}\)
Esfera: \(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)
Tabela trigonométrica
Parte A — Itens obrigatórios (72 pontos)
Responde a todos os itens desta parte.
Considera o intervalo de números reais \(A=\left[\sqrt{2},\pi\right[\).
Sabe-se que o conjunto \(B\) é um intervalo de números reais tal que \(A\cap B=\left[\dfrac{3}{2},\pi\right[\).
Qual pode ser a inequação que tem como conjunto-solução o conjunto \(B\)?
Solução
Opção C. A inequação \(3-2x\le0\) é equivalente a \(x\ge\dfrac{3}{2}\). Como \(\sqrt{2}<\dfrac{3}{2}<\pi\), obtém-se \(A\cap B=\left[\dfrac{3}{2},\pi\right[\).
A Figura 1 é uma fotografia da fachada de um edifício na cidade do Porto. Na Figura 2 está representado um esquema com dois dos azulejos que compõem parte dessa fachada.
Os azulejos são iguais, têm a forma de um quadrado e estão divididos em dois trapézios geometricamente iguais e dois triângulos geometricamente iguais.
Indica a opção que completa corretamente a afirmação: “O trapézio \([BIJD]\) é a imagem do trapézio \([BMLF]\) por uma ...”
Solução
Opção B. Rodando o trapézio \([BMLF]\) \(90^\circ\) no sentido horário, com centro em \(B\), obtém-se o trapézio \([BIJD]\).
Resolve a seguinte equação.
\[2(x+1)^2-x(x+4)=4\]
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(2(x+1)^2-x(x+4)=4 \Leftrightarrow 2x^2+4x+2-x^2-4x=4 \Leftrightarrow x^2=2\). Logo, \(C.S.=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}\).
Na Figura 3, está representada uma circunferência de centro \(O\), a reta \(t\), tangente a essa circunferência no ponto \(A\), e o triângulo \([OAB]\).
Sabe-se que o ponto \(B\) pertence à reta \(t\), o ponto \(C\) é o ponto de interseção de \([OB]\) com a circunferência e \(\overline{OB}=10\) cm.
Determina, em \(\text{cm}^2\), a área do setor circular colorido na figura. Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
Como \(OA\perp t\), o triângulo \([OAB]\) é retângulo em \(A\). Sendo \(\angle B=30^\circ\) e \(OB=10\), tem-se \(OA=5\) cm. O setor colorido corresponde a \(300^\circ\), logo a área é \(\dfrac{300}{360}\pi\cdot5^2\approx65{,}4\ \text{cm}^2\).
Sendo \(a\) e \(b\) dois números reais, considera o sistema de equações \(\begin{cases}x+2y=1\\y=ax+b\end{cases}\).
Sabe-se que o sistema é impossível. Em qual dos referenciais pode estar representada a reta de equação \(y=ax+b\)?
Solução
Opção D. A reta \(x+2y=1\) tem declive \(-\dfrac{1}{2}\). Para o sistema ser impossível, a outra reta deve ser paralela e distinta.
Na Figura 4, está representado o triângulo \([ABC]\) inscrito na circunferência de centro \(O\) e diâmetro \([AC]\).
Para um certo número real positivo \(x\), sabe-se que as amplitudes, em graus, dos ângulos \(BAC\) e \(ACB\) são, respetivamente, \(\dfrac{x}{2}\) e \(2x-10\); e que \([BC]\) é um dos lados de um polígono regular que se pode inscrever na circunferência.
Determina a soma das amplitudes dos ângulos internos desse polígono regular.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
Como \([AC]\) é diâmetro, \(\angle ABC=90^\circ\). Assim, \(\dfrac{x}{2}+2x-10+90=180\), logo \(x=40\). Então \(\angle BAC=20^\circ\) e o arco \(BC\) tem amplitude \(40^\circ\). O polígono tem \(360/40=9\) lados; a soma dos ângulos internos é \((9-2)\times180=1260^\circ\).
O Sr. Augusto gasta todos os meses a mesma quantia, em euros, em combustível. No gráfico da Figura 5, está representada a função de proporcionalidade inversa \(f\).
Os pontos \(A(1{,}9;50)\) e \(B\), de abcissa \(2\), assinalados no gráfico, correspondem aos abastecimentos feitos nos postos de combustível A e B.
Interpreta, no contexto do problema, as coordenadas do ponto \(A\).
Solução
Ao abastecer no posto A, o Sr. Augusto abastece com 50 litros e paga 1,9 euros por litro.
Na Figura 6, estão representados, em referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função quadrática \(g\) e o triângulo \([OAB]\).
Sabe-se que \(A\) pertence ao gráfico da função \(g\) e tem abcissa \(5\); \(B\) pertence ao gráfico da função \(g\) e tem coordenadas \((-6;7{,}2)\); e \(C\) pertence à reta \(AB\) e tem coordenadas \((6,0)\).
Qual das seguintes expressões algébricas define a função \(g\)?
Solução
Opção B. Como \(B(-6;7{,}2)\) pertence ao gráfico, \(7{,}2=a\cdot(-6)^2\), isto é, \(a=\dfrac{7{,}2}{36}=\dfrac{1}{5}\).
Na Figura 7, está uma fotografia de uma cobertura para eventos ao ar livre e, na Figura 8, está representado um modelo geométrico dessa cobertura.
Sabe-se que a parte superior da cobertura, feita de lona, tem a forma de uma pirâmide quadrangular regular; a base \([ABCD]\) da pirâmide tem \(6{,}76\ \text{m}^2\) de área; o vértice \(E\) está a \(2{,}8\) m de altura; e os suportes têm \(2\) m de altura.
Não considerando desperdício em dobragens e costuras, determina, em \(\text{m}^2\), a quantidade de lona utilizada. Apresenta o valor aproximado por excesso a menos de uma unidade.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
O lado da base da pirâmide é \(\sqrt{6{,}76}=2{,}6\) m. A altura da pirâmide é \(2{,}8-2=0{,}8\) m. A apótema da pirâmide é \(\sqrt{0{,}8^2+1{,}3^2}\approx1{,}526\) m. A área lateral é \(\dfrac{4\cdot2{,}6\cdot1{,}526}{2}\approx7{,}94\ \text{m}^2\). Por excesso, \(8\ \text{m}^2\).
Na tabela seguinte, estão representadas as alturas dos 41 jogadores que integravam, em abril de 2024, a Seleção Portuguesa de Futebol.
| Altura (cm) | 170 | 172 | 173 | 174 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N.º jogadores | 2 | 3 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
| Altura (cm) | 182 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 190 | 192 | ||
| N.º jogadores | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 3 | 4 | 1 |
Determina, em centímetros, a mediana das alturas dos jogadores representadas na tabela.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
Como há 41 jogadores, a mediana é o 21.º valor da lista ordenada. Até 181 cm contam-se 20 jogadores; o 21.º valor é 182 cm. Logo, a mediana é \(182\) cm.
Qual dos seguintes histogramas representa a distribuição das alturas da tabela anterior?
Solução
Opção D. Agrupando em classes de amplitude 5 obtêm-se as frequências \(9,7,8,12,5\), para as classes \([170,175[\), \([175,180[\), \([180,185[\), \([185,190[\) e \([190,195[\).
Na tabela, está representada a distribuição dos elementos da Associação de Estudantes de uma escola básica, por sexo e ano de escolaridade.
A presidente da Associação de Estudantes é a Rita, que é uma aluna do 9.º ano. Para a acompanhar numa reunião com a Direção, vai escolher, ao acaso, um dos seus colegas da Associação.
Qual é a probabilidade de ser escolhida outra rapariga?
Solução
Opção B. Há 12 raparigas na associação. Como a Rita não pode ser escolhida, ficam 11 raparigas entre 20 colegas possíveis. Assim, a probabilidade é \(\dfrac{11}{20}\).
Parte B — Itens de melhor pontuação (28 pontos)
Cada item vale 7 pontos. Contribuem para a classificação final os 4 itens com melhor pontuação.
O cloreto de sódio, vulgarmente conhecido como sal de cozinha, é uma substância muito utilizada. A sua fórmula química é NaCl.
Uma molécula de NaCl tem aproximadamente \(58{,}5\) unidades de massa atómica (u) e \(1\ \text{u}\) corresponde a \(1{,}66\times10^{-24}\) gramas.
Sabendo que o átomo de sódio tem aproximadamente \(40\%\) da massa da molécula de NaCl, determina, em gramas, a massa de um átomo de sódio. Apresenta o resultado em notação científica.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(58{,}5\times1{,}66\times10^{-24}\times0{,}40=38{,}844\times10^{-24}=3{,}8844\times10^{-23}\) g.
Usa novamente o gráfico da Figura 5.
Determina a variação do número de litros de combustível com que o Sr. Augusto abastece o automóvel se optar pelo posto B em vez do posto A.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
O produto preço por litro × número de litros é constante: \(1{,}9\times50=95\). No posto B, com preço \(2\) euros por litro, o número de litros é \(95/2=47{,}5\). A variação é \(47{,}5-50=-2{,}5\): abastece com menos 2,5 litros.
Determina a área do triângulo \([OAB]\), sem recorrer à expressão algébrica da função \(g\).
Solução
A base horizontal entre as abcissas de \(B\) e \(A\) mede \(11\) unidades. Pelo gráfico, a altura correspondente pode ser decomposta usando a reta \(AB\), obtendo-se a área \(33\) u.a. Equivalentemente, com \(A(5,5)\) e \(B(-6,7{,}2)\), \(\text{Área}=\dfrac{|5\cdot7{,}2-5\cdot(-6)|}{2}=33\) u.a.
Sabe-se que a média das alturas dos jogadores da Seleção Portuguesa de Futebol é aproximadamente igual a \(181{,}56\) cm.
Supõe que os dois jogadores mais baixos se lesionam e são substituídos por outros dois jogadores, cada um deles com \(190\) cm.
Qual será, em centímetros, a média das alturas do novo conjunto de jogadores? Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
A soma das alturas aumenta \(190+190-170-170=40\) cm. Assim, a nova média é \(\dfrac{181{,}56\times41+40}{41}\approx182{,}5\) cm.
Na Figura 9, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por quadrados geometricamente iguais.
Escreve uma expressão que represente o número de quadrados do termo de ordem \(n\) da sequência. Apresenta a expressão na forma de polinómio reduzido.
Sugestão: começa por escrever expressões que representem o número de segmentos verdes e o número de segmentos vermelhos do termo de ordem \(n\).
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
O número de quadrados do termo de ordem \(n\) é \(2n^2+5n-3\). Verifica-se, por exemplo, que para \(n=1,2,3\) se obtêm \(4,15,30\), de acordo com a figura.
Como os alunos de 9.º ano têm uma Prova Final, são os alunos do 8.º ano, a Ana, a Bianca, o Carlos e a Daniela, que vão organizar a Festa de Final de Ano.
Escreveram as tarefas em quatro cartões iguais e colocaram-nas num saco opaco. De seguida, cada aluno retirou um cartão do saco.
| Cartão | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Tarefa | Encomendar os enfeites | Reservar a aparelhagem | Reservar o espaço | Elaborar o cartaz |
Determina a probabilidade de as tarefas serem distribuídas da seguinte forma: Ana — 1, Bianca — 2, Carlos — 3 e Daniela — 4.
Apresenta o resultado em percentagem, arredondado às unidades.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
Há \(4!=24\) distribuições possíveis e apenas uma corresponde à distribuição indicada. Assim, \(P=\dfrac{1}{24}\approx0{,}0417\), ou seja, aproximadamente \(4\%\).