Prova Final de Matemática — Prova-Modelo Digital 2
- A prova tem 18 itens: a Parte A (12 itens) conta sempre; na Parte B respondes a 4 dos 6 itens (contam os 4 de melhor pontuação).
- Tens disponível o formulário e a tabela trigonométrica (botão na barra superior).
- É permitido o uso de calculadora, régua, compasso, esquadro e transferidor.
- No fim, clica em “Terminar e corrigir”.
Formulário
Valor aproximado de \(\pi\): 3,14159
Polígono regular: \(\dfrac{\text{Perímetro}\times\text{apótema}}{2}\)
Trapézio: \(\dfrac{(B+b)\times h}{2}\)
Superfície lateral do cone: \(\pi r g\)
Prisma e cilindro: \(\text{Área da base}\times \text{altura}\)
Pirâmide e cone: \(\dfrac{1}{3}\times\text{Área da base}\times \text{altura}\)
Esfera: \(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)
Tabela trigonométrica
Parte A — Itens obrigatórios (72 pontos)
Responde a todos os 12 itens.
Assinala a opção que apresenta o valor de \(2^{-3}+\sqrt{0{,}49}\).
Solução
Opção A. \(2^{-3}=\tfrac18\) e \(\sqrt{0{,}49}=0{,}7=\tfrac{7}{10}\). Assim, \(\tfrac18+\tfrac{7}{10}=\tfrac{5+28}{40}=\tfrac{33}{40}\).
Considera a condição \(|x-2|\le 3\). Assinala a opção que apresenta um conjunto de números que são todos soluções desta condição.
Solução
Opção B. Substituindo cada número na condição \(|x-2|\le3\): \(|0-2|=2\le3\), \(|2-2|=0\le3\) e \(|4-2|=2\le3\) — todos são soluções. Nas restantes opções há, pelo menos, um número que não satisfaz a condição (por exemplo, \(-3\), \(6\) e \(7\), pois \(|-3-2|=5\), \(|6-2|=4\) e \(|7-2|=5\) são todos maiores do que 3).
Um ficheiro de vídeo tem \(4{,}8\times10^{9}\) bytes. Para ser enviado, é dividido em pacotes com \(1{,}2\times10^{6}\) bytes cada um.
Determina o número de pacotes necessários, admitindo que todos os pacotes têm esse tamanho. Apresenta o resultado em notação científica.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática (frações, raízes, potências, símbolos…).
Solução
\(\dfrac{4{,}8\times10^{9}}{1{,}2\times10^{6}}=4\times10^{3}\). São necessários \(4\times10^{3}\) pacotes, isto é, 4000 pacotes.
Ordena as etapas de resolução da inequação \(\dfrac{x-1}{3}+2\ge x\), numerando de 1 a 6.
Solução
Ordem correta: \(\dfrac{x-1}{3}+2\ge x\) → \(x-1+6\ge3x\) → \(x+5\ge3x\) → \(5\ge2x\) → \(x\le\tfrac{5}{2}\) → \(S=\left]-\infty,\tfrac{5}{2}\right]\).
Assinala a opção que apresenta o conjunto-solução da equação \(x(x+2)=8\).
Solução
Opção D. \(x(x+2)=8 \Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0 \Leftrightarrow (x+4)(x-2)=0\). Logo, \(x=-4\) ou \(x=2\).
Uma função afim é definida por \(f(x)=mx+4\). Sabe-se que o gráfico da função passa pelo ponto \((3,\ -2)\). Assinala o valor de \(m\).
Solução
Opção B. Como \(f(3)=-2\), tem-se \(3m+4=-2\), isto é, \(3m=-6\). Portanto, \(m=-2\).
Considera os tempos, em minutos, que seis alunos demoraram a resolver uma tarefa: \(9,\ 15,\ 12,\ 18,\ 15,\ 10\). Assinala a opção que apresenta a mediana destes tempos.
Solução
Opção D. Ordenando os dados, obtém-se \(9,\ 10,\ 12,\ 15,\ 15,\ 18\). A mediana é \(\dfrac{12+15}{2}=13{,}5\).
Num clube de leitura, 200 alunos escolheram o género literário preferido.
| Género | Aventura | BD | Mistério | Poesia |
|---|---|---|---|---|
| N.º de alunos | 70 | 45 | 50 | 35 |
Assinala as três afirmações verdadeiras.
Solução
Verdadeiras: A, B, C. (A: \(70/200=35\%\); B: \(50/200=25\%=\tfrac14\); C: \((45+35)/200=80/200=40\%\). D e E são falsas.)
Numa caixa há 4 cartões vermelhos, 3 cartões azuis e 5 cartões verdes, indistinguíveis ao tato. Retira-se um cartão ao acaso. Assinala a probabilidade de o cartão retirado não ser verde.
Solução
Opção D. Há \(4+3=7\) cartões que não são verdes, num total de \(12\) cartões. Logo, \(P=\tfrac{7}{12}\).
Num triângulo retângulo, relativamente a um ângulo agudo \(\alpha\), o cateto adjacente mede 12 cm e a hipotenusa mede 15 cm. Assinala o valor de \(\cos\alpha\).
Solução
Opção C. \(\cos\alpha=\dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{12}{15}=0{,}8\).
Numa circunferência, um ângulo inscrito mede \(38^{\circ}\) e subtende o arco menor \(AB\). Assinala a amplitude desse arco.
Solução
Opção C. A amplitude do ângulo inscrito é metade da amplitude do arco correspondente. Logo, o arco mede \(2\times38^{\circ}=76^{\circ}\).
Um cone reto tem raio da base igual a 4 cm e altura igual a 9 cm. Determina o volume do cone, em cm³, arredondado às décimas. (Usa o formulário e \(\pi\approx3{,}14159\).)
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(V=\dfrac13\times \pi r^{2}\times h=\dfrac13\times\pi\times4^{2}\times9=48\pi\approx150{,}8\) cm³.
Parte B — Responde a 4 dos 6 itens (28 pontos)
Cada item vale 7 pontos. Contam os 4 itens de melhor pontuação.
Numa sequência, o termo de ordem \(n\) é dado por \(u_n=n^{2}+2n\), com \(n\in\mathbb{N}\). O número 168 é termo desta sequência? Em caso afirmativo, indica a sua ordem. Mostra como chegaste à tua resposta.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
Resolve-se \(n^{2}+2n=168\), isto é, \(n^{2}+2n-168=0\). Como \(n^{2}+2n-168=(n+14)(n-12)\), obtém-se \(n=-14\) ou \(n=12\). Como \(n\in\mathbb{N}\), o número 168 é o termo de ordem 12.
Um canteiro retangular tem 15 m de comprimento e 8 m de largura. Vai ser colocada uma fita decorativa ao longo de uma diagonal do canteiro.
Determina o comprimento da fita, em metros, usando o teorema de Pitágoras.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
Se \(d\) é a diagonal, então \(d^{2}=15^{2}+8^{2}=225+64=289\). Logo, \(d=\sqrt{289}=17\) m.
Num conjunto de 20 cartões, cada cartão tem uma cor e uma forma. A tabela mostra a distribuição dos cartões.
| Triângulo | Quadrado | Total | |
|---|---|---|---|
| Vermelho | 5 | 3 | 8 |
| Azul | 4 | 8 | 12 |
| Total | 9 | 11 | 20 |
Retira-se um cartão ao acaso. Determina a probabilidade de o cartão ser azul ou quadrado. Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Solução
Há 12 cartões azuis e 11 cartões quadrados. Os 8 cartões que são simultaneamente azuis e quadrados foram contados duas vezes, por isso há \(12+11-8=15\) cartões favoráveis. Assim, \(P=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\).
Considera a equação \((x-2)^{2}+6x=x^{2}+20\).
Resolve a equação, começando por desenvolver o caso notável. Mostra todos os cálculos.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\((x-2)^{2}+6x=x^{2}+20 \Leftrightarrow x^{2}-4x+4+6x=x^{2}+20 \Leftrightarrow 2x+4=20 \Leftrightarrow 2x=16 \Leftrightarrow x=8\).
De um ponto no solo, a 45 m da base de um farol, observa-se o topo do farol sob um ângulo de elevação de \(28^{\circ}\).
Determina a altura do farol, em metros, arredondada às décimas. (Tabela trigonométrica: \(\tan 28^{\circ}\approx0{,}5317\).)
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(\tan 28^{\circ}=\dfrac{\text{altura}}{45}\). Logo, \(\text{altura}=45\times0{,}5317\approx23{,}9\) m.
Considera a afirmação: “A diferença entre os quadrados de dois números naturais consecutivos é sempre um número ímpar.”
Indica se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a tua resposta.
Solução
Verdadeira. Dois números naturais consecutivos podem escrever-se como \(n\) e \(n+1\). A diferença entre os quadrados é \((n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1\), que é ímpar.