Prova Final de Matemática — Prova‑Modelo
- A prova tem 18 itens: a Parte A (12 itens) conta sempre; na Parte B respondes a 4 dos 6 itens (contam os 4 de melhor pontuação).
- Tens disponível o formulário e a tabela trigonométrica (botão na barra superior).
- É permitido o uso de calculadora, régua, compasso, esquadro e transferidor.
- No fim, clica em “Terminar e corrigir”.
Formulário
Valor aproximado de \(\pi\): 3,14159
Polígono regular: \(\dfrac{\text{Perímetro}\times\text{apótema}}{2}\)
Trapézio: \(\dfrac{(B+b)\times h}{2}\)
Superfície lateral do cone: \(\pi r g\)
Prisma e cilindro: \(\text{Área da base}\times \text{altura}\)
Pirâmide e cone: \(\dfrac{1}{3}\times\text{Área da base}\times \text{altura}\)
Esfera: \(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)
Tabela trigonométrica
Parte A — Itens obrigatórios (72 pontos)
Responde a todos os 12 itens.
Assinala a opção que apresenta um número racional.
Solução
Opção B. \(\sqrt{\tfrac{9}{16}}=\tfrac{3}{4}\), que é racional; as restantes são irracionais.
Considera o intervalo \(\left]\,1\,,\ \pi\,\right[\). Assinala a opção que apresenta um número que não pertence a esse intervalo.
Solução
Opção D. O intervalo é aberto à direita, logo \(\pi\) não pertence. Os restantes valores são todos maiores que 1 e menores que \(\pi\approx3{,}14\).
Uma bactéria mede \(2\times10^{-6}\) m. Quantas bactérias, colocadas em fila e encostadas, são necessárias para ocupar um comprimento de \(3\times10^{-3}\) m?
Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o resultado em notação científica.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática (frações, raízes, potências, símbolos…).
Solução
\(\dfrac{3\times10^{-3}}{2\times10^{-6}}=1{,}5\times10^{3}\) bactérias, ou seja, 1500 bactérias.
Ordena as etapas de resolução da inequação \(2x-1<\dfrac{x+3}{2}\), numerando de 1 a 6.
Solução
Ordem correta: \(2x-1<\tfrac{x+3}{2}\) → \(4x-2<x+3\) → \(4x-x<3+2\) → \(3x<5\) → \(x<\tfrac{5}{3}\) → \(S=\left]-\infty,\tfrac{5}{3}\right[\).
Assinala a opção que apresenta o conjunto‑solução da equação \(x^{2}-5x=0\).
Solução
Opção B. \(x(x-5)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \lor\ x=5\).
O gráfico de uma função quadrática \(f(x)=ax^{2}\) passa pelo ponto de coordenadas \((2,\ -8)\). Assinala o valor de \(a\).
Solução
Opção A. \(a\times2^{2}=-8 \Leftrightarrow 4a=-8 \Leftrightarrow a=-2\).
Considera o seguinte conjunto de valores: \(5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 13\). Assinala a opção que apresenta a média.
Solução
Opção C. \(\dfrac{5+7+7+8+13}{5}=\dfrac{40}{5}=8\).
Os 250 alunos de uma escola indicaram o meio de transporte que usam para chegar à escola.
| Meio | A pé | Autocarro | Carro | Bicicleta |
|---|---|---|---|---|
| N.º de alunos | 100 | 75 | 50 | 25 |
Assinala as três afirmações verdadeiras.
Solução
Verdadeiras: A, B, C. (A: \(100/250=40\%\); B: \(75/250=30\%\); C: \(50>25\). D e E são falsas.)
Uma roda da sorte está dividida em 12 setores iguais, numerados de 1 a 12. Faz‑se girar a roda uma vez. Assinala a probabilidade de o ponteiro parar num número múltiplo de 3.
Solução
Opção A. Múltiplos de 3: {3, 6, 9, 12} = 4 casos; \(P=\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}\).
Num triângulo retângulo, os catetos medem 3 e 4, e a hipotenusa mede 5. Assinala a tangente do ângulo oposto ao cateto de medida 3.
Solução
Opção B. \(\tan=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\).
Numa circunferência, um ângulo ao centro tem amplitude 100° e está associado a um certo arco. Assinala a amplitude de um ângulo inscrito associado ao mesmo arco.
Solução
Opção A. O ângulo inscrito é metade do ângulo ao centro: \(100^{\circ}\div2=50^{\circ}\).
Uma bola tem a forma de uma esfera de 3 cm de raio. Determina o volume da esfera, em cm³, arredondado às décimas. (Usa o formulário e \(\pi\approx3{,}14159\).)
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times3^{3}=36\pi\approx113{,}1\) cm³.
Parte B — Responde a 4 dos 6 itens (28 pontos)
Cada item vale 7 pontos. Contam os 4 itens de melhor pontuação.
Considera a sequência cujo termo geral é \(a_{n}=3n-1\), com \(n\in\mathbb{N}\). Existe algum termo desta sequência igual a 59? Em caso afirmativo, indica a sua ordem. Mostra como chegaste à tua resposta.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(3n-1=59 \Leftrightarrow 3n=60 \Leftrightarrow n=20\). Sim, é o termo de ordem 20.
Um mastro vertical é seguro por um cabo esticado desde o topo até ao chão. O cabo mede 13 m e está fixo no chão a 5 m da base do mastro.
Determina a altura do mastro, em metros, usando o teorema de Pitágoras.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(h^{2}+5^{2}=13^{2} \Leftrightarrow h^{2}=169-25=144 \Leftrightarrow h=\sqrt{144}=12\) m.
Num inquérito a 40 alunos: 22 gostam de Matemática, 18 gostam de Ciências e 8 gostam das duas disciplinas. Escolhe‑se um aluno ao acaso.
Qual é a probabilidade de o aluno gostar de pelo menos uma das disciplinas? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Solução
Só Matemática = 14; só Ciências = 10; ambas = 8 → pelo menos uma = 32. \(P=\dfrac{32}{40}=\dfrac{4}{5}\).
Considera a equação \((x+4)^{2}=x^{2}+40\).
Resolve a equação, começando por desenvolver o caso notável. Mostra todos os cálculos.
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\((x+4)^{2}=x^{2}+40 \Leftrightarrow x^{2}+8x+16=x^{2}+40 \Leftrightarrow 8x=24 \Leftrightarrow x=3\).
Uma árvore projeta uma sombra de 8 m no solo no momento em que os raios solares fazem um ângulo de 35° com o solo.
Determina a altura da árvore, em metros, arredondada às décimas. (Tabela trigonométrica: \(\tan 35^{\circ}\approx0{,}7002\).)
Toca no campo para abrir o teclado de matemática.
Solução
\(\tan 35^{\circ}=\dfrac{\text{altura}}{8} \Leftrightarrow \text{altura}=8\times0{,}7002\approx5{,}6\) m.
Considera a afirmação: “A soma de dois números ímpares consecutivos é sempre um múltiplo de 4.”
Indica se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a tua resposta.
Solução
Verdadeira. Dois ímpares consecutivos podem escrever‑se como \(2k+1\) e \(2k+3\) (com \(k\in\mathbb{Z}\)). A soma é \( (2k+1)+(2k+3)=4k+4=4(k+1)\), que é múltiplo de 4.