Exercícios de Exame — Distribuição Normal

Algumas câmaras municipais dos concelhos que fazem parte do traçado da Volta a Portugal em Bicicleta organizam provas de ciclismo locais para divulgação da modalidade.

Nas várias edições de uma destas provas, participaram 1000 pessoas. O tempo que estas 1000 pessoas demoraram a completar a prova pode ser aproximado por um modelo normal, com valor médio de 135 minutos e desvio padrão de 10 minutos.

Determine o número de pessoas que se espera que tenham demorado, no mínimo, 115 minutos a completar a prova.

Apresente o valor solicitado, com arredondamento às unidades.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Como interpretar. «No mínimo 115 minutos» é \(X\geq 115\). Note que \(115=135-2\times 10=\mu-2\sigma\), pelo que a região pedida é toda a curva à direita de \(\mu-2\sigma\).

Recorrendo à calculadora gráfica, identificando a distribuição normal de média 135 e desvio padrão 10, obtemos o valor da probabilidade de uma pessoa ter demorado, no mínimo, 115 minutos a completar a prova na forma de dízima, arredondando às centésimas:

\[ P(X\geq 115)\approx 0{,}97725 \]

Sem calculadora. Como \(115=\mu-2\sigma\), tem-se \(P(X\geq\mu-2\sigma)=\dfrac{95{,}45\%}{2}+50\%=47{,}725\%+50\%=97{,}725\%\). Número esperado de pessoas

Assim, como participaram na prova 1000 pessoas, o número esperado de pessoas que completaram a prova, no mínimo, em 115 minutos é:

\[ 1000\times 0{,}97725\approx 977 \]

\(\mathbf{977}\) pessoas

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

Nas várias edições de uma determinada prova de trail, recolheram-se diversos dados dos inscritos, que, ao longo dos anos, serviram de base para a realização de um estudo estatístico.

Admita que o peso*, em quilogramas, dos inscritos nesta prova, ao longo dos anos, segue uma distribuição normal, de valor médio 72 quilogramas e desvio padrão \(\sigma\) quilogramas.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Seleciona-se, ao acaso, um dos inscritos nesta prova.

A probabilidade de o seu peso ser superior a 80 quilogramas pode ser I, e a probabilidade de o seu peso ser superior a 78 quilogramas é igual à probabilidade de o seu peso ser inferior a II quilogramas. A probabilidade de esse inscrito ter um peso entre \(72-2\sigma\) e 72 quilogramas é, aproximadamente, III. A probabilidade de o seu peso ser inferior a IV quilogramas é igual a, aproximadamente, 0,15865.

* Na sua aceção corrente, a palavra «peso» é utilizada como sinónimo de massa.

Como interpretar. Nenhum dos quatro espaços exige calculadora: todos se resolvem com a simetria da curva e com a regra dos três intervalos.

Considera-se a variável aleatória \(X\) como o peso, em quilogramas, dos inscritos na prova, com \(\mu=72\).

Assim, temos que:

• como \(80\gt\mu\), então \(P(X\gt 80)\lt 0{,}5\);
• como \(78=\mu+6\) e \(66=\mu-6\), então como a distribuição normal é simétrica, temos que \(P(X\gt 78)=P(X\lt 66)\);
• como \(P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx 0{,}9545\) e a distribuição normal é simétrica em relação ao valor médio, então \(P(\mu-2\sigma\lt X)=P(72-2\sigma\lt X)\approx\dfrac{0{,}9545}{2}=0{,}47725\);
• \(P(X\leq\mu-\sigma)=\dfrac{1-P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)}{2}\approx\dfrac{1-0{,}6827}{2}\approx 0{,}15865\)

Assim, selecionando-se, ao acaso, um dos inscritos nesta prova, temos que:

A probabilidade de o seu peso ser superior a 80 quilogramas pode ser 0,45, e a probabilidade de o seu peso ser superior a 78 quilogramas é igual à probabilidade de o seu peso ser inferior a 66 quilogramas. A probabilidade de esse inscrito ter um peso entre \(72-2\sigma\) e 72 quilogramas é, aproximadamente, 0,47725. A probabilidade de o seu peso ser inferior a \(\mathbf{72-\sigma}\) quilogramas é igual a, aproximadamente, 0,15865.

Logo, as correspondências corretas são:

\(\text{I}\to\) a) · \(\text{II}\to\) b) · \(\text{III}\to\) b) · \(\text{IV}\to\) a)

Em várias praias, umas da região do Algarve e outras da região Norte, inquiriu-se um conjunto de pessoas que saíam da praia acerca do tempo que estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho.

A tabela seguinte, parcialmente preenchida, apresenta os dados referentes às 4200 pessoas que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho.

Admita que, nas praias da região do Algarve, foram inquiridas 100 000 pessoas, e que a variável aleatória «tempo, em minutos, que as pessoas, inquiridas nas praias do Algarve, estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho» é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 20 minutos e desvio padrão 2,5 minutos.

Seleciona-se, ao acaso, um dos maiores de idade mencionados na tabela anterior.

Determine a probabilidade de essa pessoa ter sido inquirida numa praia da região do Algarve.

Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Sugestão: Comece por determinar o número de pessoas inquiridas em praias da região do Algarve que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho.

Como interpretar. Exercício em dois tempos: primeiro a normal dá quantas das 100 000 pessoas do Algarve estiveram menos de 15 minutos na água; depois a tabela transforma esse número numa probabilidade condicionada (universo reduzido aos maiores de idade).

Considerando a variável aleatória \(X\) como o tempo, em minutos, que as pessoas, inquiridas nas praias do Algarve, estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho, temos que \(\mu=20\) e \(\sigma=2{,}5\).

Assim, como a distribuição normal é simétrica em relação ao valor médio, e \(15=20-2\times 2{,}5\), ou seja, \(15=\mu-2\sigma\), temos que:

• \(P(15\leq X\leq 25)\approx 0{,}9545\)
• \(P(X\leq 15)=\dfrac{1-P(15\leq X\leq 25)}{2}\approx\dfrac{1-0{,}9545}{2}\approx 0{,}02275\)

(Este valor também pode ser obtido na calculadora identificando a distribuição normal de média 20 e desvio padrão 2,5.)

Preenchimento da tabela

Assim, temos que:

• das 100 000 pessoas inquiridas, o número esperado dos que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho, é \(100\,000\times 0{,}02275=2275\);
• como foram 275 os menores inquiridos que referiram enquadrar-se neste grupo, os restantes 2000 \((2275-275=2000)\) são maiores de idade inquiridos nas praias do Algarve.

Logo como o total de pessoas maiores de idade inquiridas é 3700, a probabilidade, arredondada às décimas, de uma destas pessoas ter sido inquirida numa praia do Algarve e ter respondido que o último banho teve duração inferior a 15 minutos é:

\[ p=\frac{2000}{3700}\approx 0{,}54 \]

\(p\approx\mathbf{0{,}54}\)

Foram analisados 500 formulários preenchidos pelos turistas que embarcaram num navio de cruzeiro.

Admita que a idade dos 500 turistas cujos formulários foram analisados segue uma distribuição normal de valor médio 51 anos.

Admita ainda que a probabilidade de um desses turistas, selecionado ao acaso, ter uma idade:

• inferior a 44 anos é igual a 0,32;
• compreendida entre 41 e 58 anos é igual a 0,42.

Determine quantos dos 500 turistas é de esperar que tenham uma idade compreendida entre 41 e 44 anos.

Como interpretar. Aqui não há desvio padrão. A chave é reparar que 44 e 58 são equidistantes de \(\mu=51\) (ambos a 7 unidades), pelo que as duas caudas têm a mesma probabilidade.

Considerando a variável aleatória \(X\) como a idade dos turistas a que preencheram os formulários da amostra, temos que \(\mu=51\).

Assim, como a distribuição normal é simétrica em relação ao valor médio, e 44 e 51 são valores equidistantes do valor médio, temos que:

• \(P(X\geq 58)=P(X\leq 44)=0{,}32\)
• \(P(44\leq X\leq 58)=1-P(X\leq 44)-P(X\geq 58)=1-0{,}32-0{,}32=0{,}36\)
• \(P(41\leq X\leq 44)=P(41\leq X\leq 44)-P(44\leq X\leq 58)=0{,}42-0{,}36=0{,}06\)

Logo, dos 500 turistas cujos formulários foram analisados, espera-se que tenham uma idade compreendida entre 41 e 44 anos, 6%, ou seja:

\[ 500\times 0{,}06=30 \]

\(\mathbf{30}\) turistas

De acordo com um estudo, o tempo que cada cliente aguarda até ser atendido na zona de restauração da Festa da Freguesia segue uma distribuição aproximadamente normal, de valor médio 15 minutos, sendo a probabilidade de um cliente aguardar entre 7 e 23 minutos até ser atendido igual a 0,9545.

Considere que, num determinado dia, foram atendidos 1550 clientes.

Determine quantos desses clientes é de esperar que aguardem entre 11 e 15 minutos até serem atendidos.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Na sua resposta, apresente, justificando, o valor do desvio padrão.

Como interpretar. O valor 0,9545 é a «assinatura» do intervalo \(]\mu-2\sigma,\ \mu+2\sigma[\). É isso que permite descobrir \(\sigma\) antes de fazer qualquer outra coisa.

Considerando a variável aleatória \(X\) que define o tempo que cada cliente aguarda até ser atendido na zona de restauração da Festa da Freguesia, como esta segue uma distribuição normal, com \(\mu=15\) minutos e \(15-8=7\) tal como \(15+8=23\), temos que 7 e 23 são valores equidistantes do valor médio.

Cálculo do desvio padrão

Como numa distribuição normal \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\approx 0{,}9545\), e neste caso, \(P(\mu-8\lt X\lt\mu+8)\approx 0{,}9545\), podemos calcular o valor do desvio padrão:

\[ 2\sigma=8\ \Leftrightarrow\ \sigma=\frac{8}{2}\ \Leftrightarrow\ \sigma=4 \]

Probabilidade pedida

Assim, como a distribuição normal é simétrica em relação ao valor médio, a probabilidade de um cliente aguardar entre 11 e 15 minutos, é:

\[ P(11\lt X\lt 15)=P(12-4\lt X\lt 15)=P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu)=\frac{P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)}{2}\approx\frac{0{,}6827}{2}\approx 0{,}34135 \]

Logo, dos 1550 clientes que foram atendidos naquele dia, espera-se que o número dos que devem esperar entre 11 e 15 minutos, seja:

\[ 1550\times 0{,}34135\approx 529 \]

\(\sigma=\mathbf{4}\) minutos e \(\mathbf{529}\) clientes

A rádio OnOfff é uma rádio local que transmite através da Internet, com recurso a tecnologia de transmissão de áudio e de vídeo em tempo real.

O tempo diário, em minutos, durante o qual os ouvintes acompanham a emissão da rádio OnOfff segue uma distribuição aproximadamente normal de valor médio 40 minutos e desvio padrão 10 minutos.

Escolhe-se ao acaso um dos ouvintes da rádio OnOfff.

Determine a probabilidade de esse ouvinte, num dia, acompanhar a emissão da rádio OnOfff entre 50 minutos e uma hora.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve quatro casas decimais.

Como interpretar. Atenção às unidades: uma hora são 60 minutos. Com \(\mu=40\) e \(\sigma=10\), o intervalo \(]50,\,60[\) é exatamente \(]\mu+\sigma,\ \mu+2\sigma[\) — uma «faixa» entre dois anéis da regra.

Considerando a variável aleatória \(X\) que define o tempo diário, em minutos, durante o qual um ouvinte escolhido ao acaso, acompanha a emissão da rádio OnOfff, e que esta segue uma distribuição normal, com \(\mu=40\) minutos e \(\sigma=10\) minutos, temos que a probabilidade de num dia o ouvinte escolhido ao acaso, acompanhar a emissão da rádio OnOfff entre 50 minutos \((\mu+\sigma)\) e uma hora (60 minutos - \(\mu+2\sigma\)), é \(P(\mu+\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\).

Assim, temos que:

• \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)=P(30\lt X\lt 50)\approx 0{,}6827\)
• \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(20\lt X\lt 60)\approx 0{,}9545\)
• \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)-P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)=P(20\lt X\lt 30)+P(50\lt X\lt 60)\approx 0{,}9545-0{,}6827\approx 0{,}2718\)
• \(P(\mu+\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(50\lt X\lt 60)\approx\dfrac{0{,}2718}{2}\approx 0{,}1359\)

(Alternativamente podemos usar o comando da calculadora gráfica para avaliar as probabilidades associadas à função de distribuição cumulativa da normal (NormalCdf ou NormCD), com um valor mínimo de 50 e valor máximo de 60, \(\mu=40\) e \(\sigma=10\) para obter o valor seguinte).

Logo, a probabilidade solicitada, na forma de dízima, arredondado às milésimas, é:

\[ P(\mu+\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(40+10\lt X\lt 40+2\times 10)\approx 0{,}136 \]

\(P(50\lt X\lt 60)\approx\mathbf{0{,}136}\)

Os membros da Associação Ambientalista de Avelares (AAA) têm o cuidado de realizar conferências que incentivem à separação de resíduos.

Na última conferência, compareceram vários associados da AAA, dos quais três quartos eram mulheres.

Uma das razões apontadas por alguns dos associados da AAA, presentes na conferência, para não fazerem a separação de resíduos foi a distância entre os ecopontos e as suas casas.

Admita que a distância, em metros, que esses associados têm de percorrer da sua casa até ao ecoponto mais próximo segue uma distribuição normal, com valor médio de 400 metros e desvio padrão de 30 metros.

Escolhe-se ao acaso um associado que não separa os resíduos.

Determine a probabilidade de esse associado, para ir da sua casa ao ecoponto, ter de percorrer uma distância entre 370 metros e 460 metros.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Como interpretar. O intervalo é assimétrico: \(370=\mu-\sigma\) mas \(460=\mu+2\sigma\). Divide-se então em duas meias-asas — uma à esquerda e outra à direita de \(\mu\) — e somam-se.

Como a variável aleatória \(X\) que define a distância, em metros, que esses associados têm de percorrer da sua casa até ao ecoponto mais próximo segue uma distribuição normal, com \(\mu=400\) metros e \(\sigma=30\) metros, temos que a probabilidade de esse associado, para ir da sua casa ao ecoponto, ter de percorrer uma distância entre 370 \((400-30)\) metros e 460 \((400+2\times 30)\) metros, é \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\).

Assim, temos que:

• \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)=P(370\lt X\lt 430)\approx 0{,}6827\)
• \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu)=P(370\lt X\lt 400)\approx\dfrac{0{,}6827}{2}\approx 0{,}34135\)
• \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(340\lt X\lt 460)\approx 0{,}9545\)
• \(P(\mu\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(400\lt X\lt 460)\approx\dfrac{0{,}9545}{2}\approx 0{,}47725\)

(Alternativamente podemos usar o comando da calculadora gráfica para avaliar as probabilidades associadas à função de distribuição cumulativa da normal (NormalCdf ou NormCD), com um valor mínimo de 370 e valor máximo de 460, \(\mu=400\) e \(\sigma=30\) para obter o valor seguinte).

Logo, a probabilidade solicitada, é:

\[ P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(400-30\lt X\lt 400+2\times 30)\approx 0{,}47725+0{,}34135\approx 0{,}8186 \]

\(P(370\lt X\lt 460)\approx\mathbf{0{,}8186}\)

No final de um ano, fez-se um estudo estatístico relativo à variável aleatória «duração, em minutos, da viagem de comboio entre as estações E1 e E2».

Essa variável é bem modelada por uma distribuição normal com valor médio \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\).

Escolhe-se, aleatoriamente, uma das viagens.

Admita que a probabilidade de essa viagem ter uma duração até 43 minutos é, aproximadamente, 0,72.

Qual pode ser o valor médio e o desvio padrão da variável em estudo?

(A) \(\mu=36;\ \sigma=3\)(B) \(\mu=39;\ \sigma=3\)

(C) \(\mu=36;\ \sigma=7\)(D) \(\mu=39;\ \sigma=7\)

Foi realizado um estudo estatístico junto do público de um festival.

Os dados recolhidos permitem concluir que o consumo de bebidas das 60 000 pessoas presentes durante os vários dias desse festival segue uma distribuição aproximadamente normal, de valor médio 1,5 litros e desvio padrão 0,4 litros.

Quantas pessoas será de esperar que, durante o festival, tenham consumido no máximo 0,3 litros de bebida?

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Como interpretar. \(1{,}5-3\times 0{,}4=0{,}3\): o valor 0,3 é \(\mu-3\sigma\). Trata-se, portanto, da cauda esquerda do intervalo dos 99,73%.

Como o consumo de bebidas segue uma distribuição aproximadamente normal, de valor médio 1,5 litros e desvio padrão 0,4 litros, temos que o valor de 0,3 litros de bebida corresponde a \(1{,}5-3\times 0{,}4\) litros, ou seja, \(\mu-3\sigma\)

Sabemos que a distribuição normal é simétrica relativamente ao valor médio, ou seja,

\[ P(\mu-3\sigma\lt X\lt\mu+3\sigma)\approx 0{,}9973\qquad\text{e}\qquad P(X\lt\mu-3\sigma)=P(X\gt\mu+3\sigma) \]

Logo, considerando a variável aleatória \(X\): Consumo de bebida das pessoas presentes no festival, temos que a probabilidade de uma pessoa ter consumido menos de 0,3 litros de bebida, é:

\[ P(X\lt\mu-3\sigma)\approx\frac{1-0{,}9973}{2}\approx 0{,}00135 \]

Como o número de pessoas que estiveram presentes durante os vários dias do festival foi 60 000, o número esperado de pessoas que tenham consumido no máximo 0,3 litros de bebida, é:

\[ 0{,}00135\times 60\,000=81 \]

\(\mathbf{81}\) pessoas

O Centro Comercial Futuro dispõe de dois parques de estacionamento, um interior e um exterior.

De acordo com a informação recolhida, o tempo de estacionamento dos automóveis nos parques de estacionamento do CCF segue uma distribuição aproximadamente normal, de valor médio 2,5 horas e desvio padrão 30 minutos.

Considere 20 000 clientes que estacionam o seu automóvel nos parques de estacionamento.

Determine quantos desses clientes será de esperar que tenham o automóvel estacionado durante um período de tempo superior a 2 horas.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Como interpretar. Cuidado com as unidades: 30 minutos são 0,5 horas. Então \(2=2{,}5-0{,}5=\mu-\sigma\), e a região pedida é meia-asa esquerda mais toda a metade direita.

Considerando a variável \(X\): Tempo de estacionamento dos automóveis nos parques do CCF, temos que \(\mu=2{,}5\) horas e \(\sigma=30\text{ min}=0{,}5\) horas.

Um período de tempo de 2 horas corresponde a \(\mu-\sigma\), isto é, \(2{,}5-0{,}5\) horas, pelo que a probabilidade de um automóvel estacionado durante um período de tempo superior a 2 horas, é:

\[ P(X\gt 2)=P(X\gt\mu-\sigma)=P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu)+P(X\gt\mu) \]

Como a distribuição normal é simétrica relativamente ao valor médio, temos que \(P(X\gt\mu)=0{,}5\) e ainda que \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu)=\dfrac{P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)}{2}\), logo:

\[ P(X\gt 2)\approx\frac{0{,}6827}{2}+0{,}5\approx 0{,}84135 \]

Assim, dos 20 000 clientes que estacionam o seu automóvel nos parques de estacionamento do CCF, é esperado que uma proporção de 0,84135 tenham estacionado o automóvel por um período superior a 2 horas, ou seja:

\[ 20\,000\times 0{,}84135=16\,827\ \text{clientes} \]

\(\mathbf{16\,827}\) clientes

Foi realizado um estudo estatístico junto dos sócios do Clube de Colecionadores.

Admita que se concluiu que a idade dos sócios segue uma distribuição normal, de valor médio 35 anos e desvio padrão 5 anos.

Seleciona-se um sócio ao acaso. A probabilidade, com arredondamento às décimas, de o sócio ter idade superior a 45 anos é:

(A) 0,3%(B) 2,3%(C) 4,3%(D) 4,6%

Como interpretar. \(45=35+2\times 5=\mu+2\sigma\): é a cauda direita do intervalo dos 95,45%.

Temos que a idade de um sócio ser 45 anos, ou seja, \(35+2\times 5\) anos, corresponde \(\mu+2\sigma\)

Sabemos que a distribuição normal é simétrica relativamente ao valor médio, ou seja,

\[ P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\approx 95{,}45\%\qquad\text{e}\qquad P(X\lt\mu-2\sigma)=P(X\gt\mu+2\sigma) \]

Logo, considerando a variável aleatória \(X\): Idade do sócio, temos que a probabilidade de um sócio ter idade superior a 45 anos, na forma de percentagem, é:

\[ P(X\gt\mu+2\sigma)\approx\frac{100-95{,}45}{2}\approx 2{,}3\% \]

Resposta: Opção B

Fez-se um estudo estatístico do tempo que os alunos da Escola de Vilar de Sadeija demoram no percurso de casa à escola.

Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados recolhidos.

Admita que a variável aleatória «tempo gasto por cada aluno no percurso de casa à escola» é bem modelada por uma distribuição normal.

Qual das seguintes curvas de Gauss é a mais adequada aos dados da tabela anterior?

As opções aparecem no enunciado original rotuladas (A), (B), (B) e (C) — a segunda etiqueta «(B)», em cima à direita, é a opção correta.

O gabinete de apoio ao comércio de Altivo determina, mensalmente, para todos os estabelecimentos comerciais, um determinado índice.

Considere que o índice de cada estabelecimento comercial é uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 1 e desvio padrão 0,25

13.1. Num determinado mês, escolheu-se, ao acaso, um estabelecimento comercial de Altivo.

Determine a probabilidade de o índice desse estabelecimento pertencer ao intervalo \(\left]\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}\right[\)

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

13.2. Noutro mês, escolheram-se, ao acaso, três estabelecimentos comerciais de Altivo.

Determine a probabilidade de apenas dois desses estabelecimentos apresentarem índices pertencentes ao intervalo \(\left]1;\dfrac{3}{2}\right[\)

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

13.1 — Índice no intervalo \(\left]\tfrac34;\tfrac32\right[\)

Como interpretar. Com \(\mu=1\) e \(\sigma=\tfrac14\), tem-se \(\tfrac34=\mu-\sigma\) e \(\tfrac32=\mu+2\sigma\). Outra vez um intervalo assimétrico: soma de duas meias-asas.

Como o índice de cada estabelecimento comercial é uma variável aleatória \(X\), que segue uma distribuição normal, com \(\mu=1\) e \(\sigma=0{,}25=\dfrac{1}{4}\), temos que:

• \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)=P\left(1-\dfrac14\lt X\lt 1+\dfrac14\right)=P\left(\dfrac34\lt X\lt\dfrac54\right)\approx 68{,}27\%\)
• \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu)=P\left(\dfrac34\lt X\lt 1\right)\approx\dfrac{68{,}27}{2}\approx 34{,}135\%\)
• \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P\left(1-\dfrac12\lt X\lt 1+\dfrac12\right)=P\left(\dfrac12\lt X\lt\dfrac32\right)\approx 95{,}45\%\)
• \(P(\mu\lt X\lt\mu+2\sigma)=P\left(1\lt X\lt\dfrac32\right)\approx\dfrac{95{,}45}{2}\approx 47{,}725\%\)

Logo, temos que a probabilidade, na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas, do índice de um estabelecimento pertencer ao intervalo \(\left]\dfrac34;\dfrac32\right[\), é:

\[ P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P\left(\frac34\lt X\lt\frac32\right)\approx 34{,}135+47{,}725\approx 81{,}86\% \]

\(\approx\mathbf{81{,}86\%}\)

13.2 — Exatamente dois em três estabelecimentos

Como interpretar. Agora a normal só dá a probabilidade \(p\) de um estabelecimento cumprir a condição. O resto é contagem: há três ordens possíveis de escolher quais dois cumprem.

Como a probabilidade de um estabelecimento apresentar um índice pertencente ao intervalo \(\left]1;\dfrac32\right[\) é:

\[ P(\mu\lt X\lt\mu+2\sigma)=P\left(1\lt X\lt\frac32\right)\approx\frac{95{,}45}{2}\approx 47{,}725\% \]

Logo a probabilidade do estabelecimento apresentar um índice que não pertence ao intervalo é:

\[ 1-P(\mu\lt X\lt\mu+2\sigma)\approx 100-47{,}725\approx 52{,}275\% \]

Assim a probabilidade de apenas dois dos três estabelecimentos apresentarem índices pertencentes ao intervalo \(\left]1;\dfrac32\right[\), é:

\[ \underbrace{0{,}47725\times 0{,}47725\times 0{,}52275}_{\text{apenas o 1.º e 2.º}}+\underbrace{0{,}47725\times 0{,}52275\times 0{,}47725}_{\text{apenas o 1.º e o 3.º}}+\underbrace{0{,}52275\times 0{,}47725\times 0{,}47725}_{\text{apenas o 2.º e o 3.º}}= \]

\[ =3\times 0{,}47725\times 0{,}47725\times 0{,}52275\approx 0{,}35720 \]

Ou seja, a probabilidade, na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas é 35,72%.

\(\approx\mathbf{35{,}72\%}\)

O Sr. Pereira é motorista da empresa PTM.

No final do primeiro semestre, feita a contabilidade da empresa, verificou-se que os gastos diários de cada veículo em portagens seguem uma distribuição normal com valor médio igual a \(\mu\) euros e desvio padrão igual a \(\sigma\) euros, com \(\mu\gt 2\sigma\)

Escolhe-se, aleatoriamente, um dia.

Determine a probabilidade de, nesse dia, o gasto em portagens ser superior a \(\mu+2\sigma\) euros.

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Como interpretar. Não são precisos valores concretos de \(\mu\) e \(\sigma\): a resposta é sempre a mesma cauda, qualquer que seja a distribuição normal.

Considerando a variável \(X\): Gastos diários de cada veículo em portagens, temos que:

\[ P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\approx 95{,}45\%\qquad\text{e}\qquad P(X\lt\mu-2\sigma)=P(X\gt\mu+2\sigma) \]

E assim, vem que:

\[ P(X\gt\mu+2\sigma)\approx\frac{100-95{,}45}{2}\approx 2{,}275\% \]

Ou seja, a probabilidade de, nesse dia, o gasto em portagens ser superior a \(\mu+2\sigma\) euros, na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas, é 2,28%

\(P(X\gt\mu+2\sigma)\approx\mathbf{2{,}28\%}\)

Uma seguradora faz aplicações financeiras em apenas três bancos. Cada um dos bancos tem igual probabilidade de ser escolhido.

Para cada uma das aplicações financeiras, há apenas duas possibilidades: com lucro ou sem lucro.
Admita que, num certo dia, a probabilidade de lucro de uma aplicação financeira é 0,72 se pertence ao banco JURO, 0,75 se pertence ao banco RENDE e 0,90 se pertence ao banco GANHA.

Sabe-se que a duração de uma aplicação financeira é uma variável aleatória \(X\) com distribuição normal de valor médio igual a \(\mu\)

Sejam \(a\) e \(b\) dois números inteiros positivos, tais que \(a\lt\mu\lt b\)

Na figura seguinte, estão representados a curva de Gauss e os números \(a\), \(\mu\) e \(b\)

Determine \(P(a\lt X\lt b)\) se \(P(a\lt X\lt\mu)=0{,}12\) e \(P(X\gt b)=0{,}17\)

Como interpretar. A informação sobre os bancos não é usada nesta alínea. O que interessa é que \(P(X\gt\mu)=0{,}5\): daí sai \(P(\mu\lt X\lt b)\) por subtração.

Como a variável aleatória \(X\) segue uma distribuição normal de valor médio igual a \(\mu\), então \(P(X\gt\mu)=0{,}5\), e como \(P(X\gt b)=0{,}17\), temos que:

\[ P(\mu\lt X\lt b)=0{,}5-0{,}17=0{,}33 \]

E assim, como \(P(a\lt X\lt\mu)=0{,}12\), vem que:

\[ P(a\lt X\lt b)=P(a\lt X\lt\mu)+P(\mu\lt X\lt b)=0{,}12+0{,}33=0{,}45 \]

\(P(a\lt X\lt b)=\mathbf{0{,}45}\)

Em Semedo, os condutores utilizam a oficina ECOL para abastecerem os seus veículos, com ou sem lavagem.

O depósito de Gás de Petróleo Liquefeito (GPL) da oficina ECOL tem 2000 litros de capacidade.
A quantidade de GPL no depósito altera-se em função dos abastecimentos e da reposição de GPL.
Em cada semana, a quantidade de GPL no depósito segue uma distribuição normal com valor médio igual a 800 litros e desvio padrão igual a 40 litros.

Sempre que a quantidade de GPL no depósito for inferior a 42% da capacidade do depósito, é acionado um alarme.

Escolhe-se, aleatoriamente, uma semana.

Determine a probabilidade de o alarme, nessa semana, não ser acionado.

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

Como interpretar. Há dois passos escondidos: converter os 42% num valor em litros e reparar que não ser acionado significa a quantidade ser superior a esse valor.

Como 42% da capacidade do depósito são \(2000\times 0{,}42=840\) litros, podemos verificar que o alarme dispara sempre que a quantidade de GPL no depósito é inferior a \(800+40=\mu+\sigma\)

Assim, a probabilidade de o alarme, numa semana escolhida ao acaso, não ser acionado, corresponde à probabilidade da quantidade de combustível ser superior a 840 litros, ou seja, considerando a variável aleatória \(X\): quantidade de GPL no depósito, temos:

\[ P(X\gt 840)=P(X\gt\mu+\sigma)\approx\frac{100-68{,}27}{2}\approx 15{,}87\% \]

\(P(X\gt 840)\approx\mathbf{15{,}87\%}\)

Todos os dias de manhã, o André vai para a escola de automóvel, com o pai. A duração da viagem, em minutos, é uma variável aleatória normal com valor médio igual a 21 minutos e desvio padrão igual a 4 minutos.

Escolhe-se, aleatoriamente, um dia.

17.1. Considera-se que o André chega atrasado à aula se chegar à escola depois das 8 h 30 min.

Determine o valor aproximado para a probabilidade de o André chegar atrasado à aula se sair de casa às 8 h 01 min.

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

17.2. Antes de iniciar o percurso para a escola, o pai do André consulta o GPS instalado no seu automóvel, para saber se há engarrafamento nas estradas que costuma utilizar.

Se houver engarrafamento, o pai do André utiliza um percurso alternativo, o que faz com que a viagem dure mais de 25 minutos.

Determine o valor aproximado para a probabilidade de, em três dias, exatamente dois dias reunirem as condições em que o pai do André faz o percurso alternativo.

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às unidades.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

17.1 — Probabilidade de chegar atrasado

Como interpretar. Entre as 8 h 01 min e as 8 h 30 min vão 29 minutos. Chegar atrasado é a viagem durar mais de 29 minutos, e \(29=21+2\times 4=\mu+2\sigma\).

O André chega atrasado se chegar depois das 8 h 30 min, ou seja a uma duração da viagem superior a 29 minutos, ou seja, \(21+2\times 4\) minutos, a que corresponde \(\mu+2\sigma\)

Sabemos que a distribuição normal é simétrica relativamente ao valor médio, ou seja,

\[ P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\approx 95{,}45\%\qquad\text{e}\qquad P(X\lt\mu-2\sigma)=P(X\gt\mu+2\sigma) \]

Logo, considerando a variável aleatória \(X\): Duração da viagem, temos que a probabilidade de o André chegar atrasado, na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas, é:

\[ P(X\gt\mu+2\sigma)\approx\frac{100-95{,}45}{2}\approx 2{,}28\% \]

\(\approx\mathbf{2{,}28\%}\)

17.2 — Exatamente dois dias em três

Como interpretar. \(25=21+4=\mu+\sigma\). Calcula-se a probabilidade de um dia ter engarrafamento e depois combinam-se as três ordens possíveis.

A probabilidade de haver um engarrafamento, ou seja, de que a viagem dure mais de 25 minutos corresponde a uma duração superior a \(\mu+\sigma\), ou seja \(21+4\) min e sabemos que a distribuição normal é simétrica relativamente ao valor médio, ou seja,

\[ P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)\approx 68{,}27\%\qquad\text{e}\qquad P(X\lt\mu-\sigma)=P(X\gt\mu+\sigma) \]

Logo, considerando a variável aleatória \(X\) anteriormente definida, temos que a probabilidade de haver um engarrafamento, é:

\[ P(X\gt\mu+\sigma)\approx\frac{100-68{,}27}{2}\approx 15{,}865\% \]

Assim, a probabilidade de o pai do André fazer o percurso alternativo é 15,865% e a de não fazer é \(100-15{,}865=84{,}135\%\). Logo o valor aproximado para a probabilidade de, em três dias, exatamente dois dias reunirem as condições em que o pai do André faz o percurso alternativo, é:

\[ \underbrace{0{,}15865\times 0{,}15865\times 0{,}84135}_{\text{No 1.º e 2.º dias}}+\underbrace{0{,}15865\times 0{,}84135\times 0{,}15865}_{\text{No 1.º e 3.º dias}}+\underbrace{0{,}84135\times 0{,}15865\times 0{,}15865}_{\text{No 2.º e 3.º dias}}= \]

\[ =3\times 0{,}84135\times 0{,}15865\times 0{,}15865\approx 0{,}06353 \]

Ou seja, a probabilidade solicitada, na forma de percentagem, com arredondamento às unidades é 6%

\(\approx\mathbf{6\%}\)

Admita que as classificações de exame dos alunos na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais em 2011 seguem, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio igual a 10 valores e desvio padrão igual a 4,1 valores.

Determine um valor aproximado para a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, ter uma classificação no exame da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais entre os 14,1 valores e os 18,2 valores.

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Como interpretar. \(14{,}1=10+4{,}1=\mu+\sigma\) e \(18{,}2=10+2\times 4{,}1=\mu+2\sigma\): é a faixa entre o primeiro e o segundo anel, do lado direito.

Considerando a variável \(X\): Classificação de um aluno no exame da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, temos, de acordo com o enunciado, que:

\[ P(14{,}1\lt X\lt 18{,}2)=P(10+4{,}1\lt X\lt 10+2\times 4{,}1)=P(\mu+\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma) \]

Logo, a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, ter uma classificação no exame da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais entre os 14,1 valores e os 18,2 valores, na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas é:

\[ P(\mu+\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)\approx\frac{95{,}45-68{,}27}{2}\approx 13{,}59\% \]

\(\approx\mathbf{13{,}59\%}\)

A Maria analisou algumas das características dos alunos de Francês de três escolas.

A Maria recolheu as classificações dos alunos na disciplina de Francês, de três amostras distintas, com o mesmo número de alunos, uma de cada escola, A, B e C. A classificação média dos alunos da escola B na disciplina de Francês é cerca de duas vezes superior à classificação média dos alunos da escola A na disciplina de Francês, e as classificações dos alunos da escola C na disciplina de Francês são dois valores superiores às classificações dos alunos da escola A na disciplina de Francês.

Indique, justificando, a mancha de histograma correspondente a cada uma das amostras de classificações dos alunos na disciplina de Francês em cada uma das escolas.

Na sua resposta, deve:

• estabelecer a correspondência entre cada uma das opções e a respetiva escola;
• justificar cada uma das correspondências estabelecidas.

A produção anual de centeio, milho e trigo de uma região do norte da Europa é de 92 000 sacas.

Considere a variável aleatória \(X\), «massa, em quilogramas, de uma saca de cereais escolhida ao acaso de entre as sacas de cereais que, por dia, são embaladas numa determinada fábrica».

A variável aleatória \(X\) segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio igual a 1000 quilogramas e desvio padrão igual a 16 quilogramas.

Escolhe-se, aleatoriamente, uma saca de cereais.

Determine um valor aproximado para a probabilidade de a saca escolhida apresentar uma massa compreendida entre 968 quilogramas e 1016 quilogramas.

Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Como interpretar. \(968=\mu-2\sigma\) e \(1016=\mu+\sigma\) — intervalo assimétrico, logo soma de duas meias-asas de larguras diferentes. As 92 000 sacas não entram no cálculo.

Como a variável aleatória \(X\) segue, aproximadamente, uma distribuição normal com \(\mu=1000\) quilogramas e \(\sigma=16\) quilogramas, temos que a probabilidade de a saca escolhida apresentar uma massa compreendida entre 968 \((1000-2\times 16)\) quilogramas e 1016 \((1000+16)\) quilogramas é: \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)\).

Assim, temos que:

• \(P(\mu-\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)=P(984\lt X\lt 1016)\approx 68{,}27\%\)
• \(P(\mu\lt X\lt\mu+\sigma)=P(1000\lt X\lt 1016)\approx\dfrac{68{,}27}{2}\approx 34{,}135\%\)
• \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+2\sigma)=P(968\lt X\lt 1032)\approx 95{,}45\%\)
• \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu)=P(968\lt X\lt 1000)\approx\dfrac{95{,}45}{2}\approx 47{,}725\%\)

Logo, temos que a probabilidade de a saca escolhida apresentar uma massa compreendida entre 968 quilogramas e 1016 quilogramas, na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas, é:

\[ P(\mu-2\sigma\lt X\lt\mu+\sigma)=P(1000-2\times 16\lt X\lt 1000+16)\approx 47{,}725+34{,}135\approx 81{,}86\% \]

\(\approx\mathbf{81{,}86\%}\)