- Regra de Laplace: em espaços de resultados equiprováveis, \(P(A)=\dfrac{\text{n.º de casos favoráveis}}{\text{n.º de casos possíveis}}\). É a ferramenta de base quando os dados vêm numa tabela ou de uma contagem.
- Acontecimento contrário: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). Muitas vezes é bem mais rápido contar o que não interessa.
- Probabilidade condicionada: \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\), com \(P(B)>0\). Ler «sabendo-se que» é o sinal de que se deve reduzir o universo ao acontecimento condicionante.
- Regra do produto: \(P(A\cap B)=P(B)\times P(A\mid B)=P(A)\times P(B\mid A)\). É o que se lê ao percorrer um ramo de um diagrama em árvore, multiplicando as probabilidades.
- Diagrama em árvore: ideal quando o enunciado dá uma percentagem «dos que…», isto é, uma probabilidade condicionada. Os ramos que partem do mesmo nó somam 1.
- Tabela de contingência (dupla entrada): ideal quando o enunciado dá probabilidades de interseções (\(A\) e \(B\)) e totais. Cada linha e cada coluna somam o respetivo total.
- Lei das probabilidades totais: \(P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})\); com três casos, \(P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)\).
- Regra da adição: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) — a base de quase todos os problemas com diagramas de Venn («pelo menos uma», «nem uma nem outra»).
- Acontecimentos independentes: \(A\) e \(B\) são independentes se \(P(A\mid B)=P(A)\), o que equivale a \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
- Repetições independentes: «exatamente \(k\) sucessos em \(n\) repetições» resolve-se somando as probabilidades de todas as ordens possíveis — por exemplo, \(3\times p^2(1-p)\) para 2 sucessos em 3 repetições.
- Extrações sem reposição: a segunda probabilidade é condicionada pela primeira — o denominador (e por vezes o numerador) diminui uma unidade.
Probabilidade
Algumas câmaras municipais dos concelhos que fazem parte do traçado da Volta a Portugal em Bicicleta organizam provas de ciclismo locais para divulgação da modalidade.
Dos ciclistas que participaram na prova organizada por um determinado município, verificou-se que:
- 80% eram ciclistas amadores;
- dos ciclistas que não eram amadores, 60% não residiam no concelho;
- dos ciclistas amadores, 3 em cada 40 não residiam no concelho.
Escolheu-se, ao acaso, um dos ciclistas que participou nesta prova.
Determine a probabilidade de esse ciclista residir no concelho.
Apresente o resultado na forma de dízima.
Considerando a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos ciclistas que participou na prova, e os acontecimentos:
- \(A\): «o ciclista ser amador»;
- \(R\): «o ciclista ser residente no concelho».
Como \(\tfrac{3}{40}=0{,}075\), a probabilidade de um ciclista amador ser residente é \(1-0{,}075=0{,}925\); e a de um não amador ser residente é \(1-0{,}6=0{,}4\).
Lei das probabilidades totaisNum campeonato mundial de futebol, ocorreu um jogo entre as seleções de Portugal e de França. Antes de o jogo começar, cada um dos 62 clientes de um restaurante, que se encontravam ou na sala \(S_1\) ou na sala \(S_2\), indicou qual das seleções preferia que vencesse aquele jogo.
Na tabela seguinte, apresentam-se os resultados obtidos.
| Seleção \ Salas | \(S_1\) | \(S_2\) |
|---|---|---|
| Portugal | 24 | 14 |
| França | 16 | 8 |
2.1. Escolhem-se aleatoriamente dois dos clientes, um a seguir ao outro, de entre os contabilizados na tabela anterior.
Determine a probabilidade de os dois estarem em salas diferentes e de ambos preferirem que a seleção vencedora fosse a seleção de Portugal.
Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.
2.2. Dos 40 clientes que estavam na sala \(S_1\), alguns vestiam um equipamento de uma seleção.
Admita que:
- \(\tfrac{1}{4}\) dos clientes que preferiam que a seleção de França fosse a vencedora vestiam um equipamento de uma seleção;
- 87,5% dos clientes que preferiam que a seleção de Portugal fosse a vencedora vestiam um equipamento de uma seleção.
Seleciona-se, ao acaso, um cliente que estava na sala \(S_1\) e que vestia um equipamento de uma seleção.
Determine a probabilidade de esse cliente preferir que a seleção de Portugal fosse a vencedora.
Apresente o resultado na forma de dízima.
Na sala \(S_1\) estavam 40 clientes, dos quais 24 preferiam Portugal: \(P(\text{Pt})=\tfrac{24}{40}=0{,}6\) e \(P(\overline{\text{Pt}})=0{,}4\).
Sendo \(E\): «o cliente vestir equipamento de uma seleção», vem:
As plataformas de Inteligência Artificial (IA) estão cada vez mais presentes no nosso quotidiano, oferecendo uma grande diversidade de recursos. O José utiliza diversas plataformas de IA como ferramenta de trabalho.
3.1. Admita que, quando o José realiza trabalhos de investigação, em 20% dos casos recorre a plataformas de IA, sendo a utilização de IA em cada trabalho independente do sucedido nos trabalhos anteriores.
Considere que o José realizou quatro trabalhos de investigação.
Determine a probabilidade de o José recorrer a plataformas de IA em exatamente três desses quatro trabalhos.
3.2. Uma das plataformas que o José utiliza é a ElseIntelligence, à qual acede em 10% das vezes em que recorre a uma plataforma de IA.
Depois de uma análise às respostas dadas pelas diferentes plataformas de IA às perguntas formuladas, foi possível apurar que:
- se a plataforma usada for a ElseIntelligence, a resposta está correta em 90% dos casos;
- se a plataforma usada for outra que não a ElseIntelligence, a resposta está correta em 95% dos casos.
O José formulou uma pergunta numa plataforma de IA, e a resposta obtida estava correta.
Determine a probabilidade de o José ter formulado a pergunta na plataforma ElseIntelligence.
Apresente a resposta na forma de fração irredutível.
Sendo \(E\): «a plataforma ser a ElseIntelligence» e \(C\): «a resposta estar correta»:
A corrida em trilhos, ou corrida todo o terreno, é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.
A Luísa pretende inscrever-se numa das provas seguintes: Trail dos Abutres (A), Trail dos Morcegos (M), Trail da Serra d’Arga (S) ou Trail das Linhas de Torres (T).
Para selecionar a prova na qual se vai inscrever, a Luísa solicitou a cada um dos colegas de turma que ordenasse numa lista de preferências, uma única vez, as quatro provas. O Xavier, um dos colegas da Luísa, ordenou as quatro provas aleatoriamente.
Qual é a probabilidade de o Xavier ter colocado na sua lista de preferências o Trail dos Abutres e o Trail da Serra d’Arga, não necessariamente por esta ordem, nos dois primeiros lugares?
(A) \(\tfrac{1}{4}\)(B) \(\tfrac{1}{3}\)(C) \(\tfrac{1}{2}\)(D) \(\tfrac{1}{6}\)
Em alternativa, pela Regra de Laplace: há \(4!=24\) ordenações e \(2\times 2!=4\) com A e S nos dois primeiros lugares, logo \(\tfrac{4}{24}=\tfrac16\).
Junto dos inscritos na edição de 2024 de uma prova de trail, os dados foram recolhidos com o intuito de se saber, entre outras coisas, se cada um deles já tinha participado numa prova deste tipo e se pertencia ao escalão etário Sub23.
Na figura seguinte, apresentam-se os dados recolhidos, devidamente organizados.
Admita que, na edição de 2024 desta prova de trail, dos inscritos que nunca tinham participado numa prova deste tipo, 35% pertenciam ao escalão etário Sub23.
Seleciona-se, ao acaso, um dos inscritos na edição de 2024 desta prova de trail.
Determine a probabilidade de esse inscrito já ter participado numa prova deste tipo e não pertencer ao escalão etário Sub23.
Sejam \(N\): «o inscrito nunca tinha participado» e \(S\): «o inscrito pertence ao escalão Sub23». Dos gráficos: \(P(N)=0{,}4\), \(P(\overline{N})=0{,}6\), \(P(S)=0{,}2\), \(P(\overline{S})=0{,}8\); do enunciado, \(P(S\mid N)=0{,}35\).
- \(P(S\cap N)=P(S\mid N)\times P(N)=0{,}35\times 0{,}4=0{,}14\)
- \(P\left(S\cap\overline{N}\right)=P(S)-P(S\cap N)=0{,}2-0{,}14=0{,}06\)
- \(P\left(\overline{S}\cap\overline{N}\right)=P\left(\overline{N}\right)-P\left(S\cap\overline{N}\right)=0{,}6-0{,}06=0{,}54\)
| \(N\) | \(\overline{N}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(S\) | 0,14 | 0,06 | 0,2 |
| \(\overline{S}\) | 0,26 | 0,54 | 0,8 |
| Total | 0,4 | 0,6 | 1 |
Em 2024, foi necessário eleger uma equipa de gestão das áreas concessionadas das praias de uma região. Nessa eleição, cada um dos concessionários teve direito a um voto numa das três listas que se apresentaram a votação: listas A, B e C.
Na tabela seguinte, está registado o número de votos, validamente expressos, obtidos por cada uma das listas concorrentes.
| Listas | A | B | C |
|---|---|---|---|
| N.º de votos | 18 | 51 | 32 |
Selecionou-se, ao acaso, um dos votos registados na tabela anterior.
Qual é a probabilidade de esse voto ter sido atribuído à lista A, sabendo-se que não foi atribuído à lista C?
(A) \(\tfrac{6}{23}\)(B) \(\tfrac{18}{101}\)(C) \(\tfrac{9}{16}\)(D) \(\tfrac{69}{101}\)
Casos possíveis: \(18+51=69\). Casos favoráveis (lista A): 18.
Em várias praias, umas da região do Algarve e outras da região Norte, inquiriu-se um conjunto de pessoas que saíam da praia acerca do tempo que estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho.
A tabela seguinte, parcialmente preenchida, apresenta os dados referentes às 4200 pessoas que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho.
| Região \ Idade | N.º de menores de idade | N.º de maiores de idade | Total |
|---|---|---|---|
| Praias da região do Algarve | 275 | ||
| Praias da região Norte | 225 | ||
| Total | 500 | 3700 | 4200 |
Escolhem-se, ao acaso, dois dos menores de idade cujas respostas estão registadas na tabela anterior.
Determine a probabilidade de ambos terem sido inquiridos em praias da mesma região.
Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às décimas.
Uma das atividades preferidas dos turistas na ilha da Madeira consiste em realizar uma descida num carro de vime, desde o Monte até ao Funchal. Cada carro de vime é conduzido por um carreiro, podendo ir sentados lado a lado dois turistas.
Os quatro elementos da família Antunes, os pais e os dois filhos, decidiram fazer a descida do Monte até ao Funchal em dois desses carros de vime.
8.1. Para decidir qual deles irá no carro de vime com a mãe, os dois irmãos jogam um jogo.
Cada um deles lança um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e ganha aquele que obtiver o maior número na face do dado que ficar voltada para cima. Se houver empate, repetem o lançamento dos dados até que um deles ganhe.
Determine a probabilidade de o Francisco, um dos irmãos, ganhar o jogo à primeira tentativa.
Apresente a resposta na forma de fração irredutível.
8.2. No momento em que a família Antunes decidiu fazer a descida nos carros de vime, os carreiros disponíveis eram o Alves, o Bino e o Célio.
Sabe-se que o Alves realiza 40% das descidas, o Bino realiza 30% das descidas e o Célio realiza 30% das descidas. Por vezes, os condutores oferecem uma flor aos turistas que fazem a descida no seu carro de vime. O Alves oferece a flor em 20% dos casos, o Bino, em 55% dos casos, e o Célio, em 40% dos casos.
No final da descida, a senhora Antunes recebeu uma flor.
Determine a probabilidade de a senhora Antunes ter realizado a descida num carro de vime conduzido pelo Bino.
Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.
| Francisco \ Irmão | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | E | I | I | I | I | I |
| 2 | F | E | I | I | I | I |
| 3 | F | F | E | I | I | I |
| 4 | F | F | F | E | I | I |
| 5 | F | F | F | F | E | I |
| 6 | F | F | F | F | F | E |
De entre os 36 casos possíveis, o Francisco ganha em 15 (os 15 casos assinalados com F).
Sala de Fuga é um jogo em que uma equipa, fechada numa sala ou num conjunto de salas, tem de resolver desafios, num intervalo de tempo limitado, para o conseguir concluir.
Junto das equipas que concluíram o desafio de um jogo de Sala de Fuga, foi realizado um estudo estatístico relativo ao tempo, em minutos, que as mesmas demoraram para o concluir. Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados recolhidos.
| Tempo (em minutos) | Número de equipas | Freq. relativa simples (%) | Freq. relativa acumulada (%) |
|---|---|---|---|
| ]0, 10] | \(x\) | 12,5 | |
| ]10, 20] | \(y\) | 52,5 | |
| ]20, 30] | 60 | ||
| ]30, 40] | 12 | 70 | |
| ]40, 50] | \(z\) | ||
| ]50, 60] | 7,5 | 100 |
Certo dia, a Joana, uma das funcionárias do jogo de Sala de Fuga, tirou uma fotografia a cada uma das equipas que concluiu o desafio num tempo, em minutos, pertencente ao intervalo ]30, 40]. Admita que, das equipas fotografadas pela Joana, 25% concluíram o desafio num tempo superior a 35 minutos.
A Joana organizou as fotografias num álbum, colando, ao acaso, uma fotografia em cada página.
Qual é a probabilidade de apenas uma das duas fotografias colocadas nas duas primeiras páginas do álbum ser de uma equipa que terminou o desafio num tempo, em minutos, pertencente ao intervalo ]35, 40]?
Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.
A frequência relativa simples da classe ]30, 40] obtém-se pela diferença das acumuladas: \(70-60=10\%\). Como essa classe tem 12 equipas, o número total de equipas é \(\tfrac{12}{0{,}1}=120\).
Atenção: as fotografias são só as 12 da classe ]30, 40] — é esse o universo do problema, não as 120 equipas.
Passo 2 — Quantas equipas com tempo em ]35, 40]Dos capitães das equipas que, em 2023, participaram num jogo de Sala de Fuga, verificou-se que:
- a quarta parte participava pela primeira vez;
- 48% não participavam pela primeira vez e pertenciam a equipas que concluíram o desafio;
- 56% dos que participavam pela primeira vez pertenciam a equipas que concluíram o desafio.
Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.
Escolheu-se, ao acaso, um capitão de uma equipa que, em 2023, participou num jogo de Sala de Fuga.
A probabilidade de esse capitão já ter participado anteriormente num jogo de Sala de Fuga era I.
A percentagem de capitães que participava pela primeira vez num jogo de Sala de Fuga e cujas equipas concluíram o desafio foi II.
A probabilidade de o capitão pertencer a uma equipa que concluiu o desafio, sabendo-se que não participava pela primeira vez num jogo de Sala de Fuga, era III.
Conseguiram concluir o desafio IV das equipas destes capitães.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 0,25 | a) 8% | a) 0,36 | a) 62% |
| b) 0,4 | b) 14% | b) 0,48 | b) 75% |
| c) 0,75 | c) 31% | c) 0,64 | c) 91% |
Sejam \(P_1\): «o capitão participava pela primeira vez» e \(C\): «o capitão pertencia a uma equipa que concluiu o desafio».
Do enunciado: \(P(P_1)=\tfrac14=0{,}25\), \(P\left(\overline{P_1}\cap C\right)=0{,}48\) e \(P(C\mid P_1)=0{,}56\).
- \(P\left(\overline{P_1}\right)=1-0{,}25=0{,}75\)
- \(P(C\cap P_1)=0{,}56\times 0{,}25=0{,}14\)
- \(P(C)=0{,}14+0{,}48=0{,}62\)
| \(P_1\) | \(\overline{P_1}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(C\) | 0,14 | 0,48 | 0,62 |
| \(\overline{C}\) | 0,11 | 0,27 | 0,38 |
| Total | 0,25 | 0,75 | 1 |
- I: \(P\left(\overline{P_1}\right)=0{,}75\)
- II: \(P(P_1\cap C)=0{,}14=14\%\)
- III: \(P\left(C\mid\overline{P_1}\right)=\dfrac{0{,}48}{0{,}75}=0{,}64\)
- IV: \(P(C)=0{,}62=62\%\)
Durante um determinado período de tempo, realizou-se uma campanha publicitária para divulgar quatro jogos de Sala de Fuga, A, B, C e D.
Após a campanha, foi selecionado, ao acaso, um conjunto de 900 pessoas de entre as que manifestaram intenção de participar num dos jogos divulgados. Questionadas sobre o jogo preferido, cada uma indicou A, B, C ou D. Na tabela seguinte, estão registadas as respostas obtidas.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| Número de pessoas | 200 | 250 | 324 | 126 |
Escolheu-se, ao acaso, uma das pessoas questionadas.
Qual é a probabilidade de a pessoa escolhida ter preferido o jogo A, sabendo-se que não indicou nem o C nem o D?
(A) \(\tfrac{4}{9}\)(B) \(\tfrac{5}{9}\)(C) \(\tfrac{1}{5}\)(D) \(\tfrac{4}{5}\)
Casos possíveis: \(200+250=450\). Casos favoráveis: 200.
A partir de março de 2020, as matrículas atribuídas em Portugal passaram a ser compostas por sequências formadas por duas letras, dois algarismos e duas letras. Na figura seguinte, apresenta-se uma matrícula possível.
12.1. Considere apenas as matrículas que têm na parte numérica o número 78 e cujas letras se podem selecionar ao acaso de entre as 10 letras do conjunto \(\{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\}\).
Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.
Escolhe-se ao acaso uma das matrículas que é possível formar nas condições dadas. Para determinar a probabilidade de obter uma matrícula com apenas uma vogal, que não se pode repetir, o Manuel desenvolveu o raciocínio seguinte.
O Manuel começou por pensar que a única vogal só poderia ser escolhida de entre as I disponíveis.
De seguida, percebeu que existem II formas de escolher as restantes três letras. Concluiu, portanto, que o número de casos favoráveis para determinar a probabilidade solicitada seria o III do produto dos dois valores anteriores.
Quanto ao número de casos possíveis, o Manuel obteve IV casos.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 2 | a) \(7\times 6\times 5\) | a) dobro | a) \(10\times 9\times 8\times 7\) |
| b) 3 | b) \(7^3\) | b) triplo | b) \(10^4\) |
| c) 5 | c) \(7\times 6\times 5\times 3\) | c) quádruplo | c) \(10\times 9\times 8\times 7\times 4\) |
12.2. Algumas das matrículas nas condições iniciais começam e terminam com a letra A, e as restantes letras que as compõem são diferentes entre si e são diferentes da letra A.
Quantas são essas matrículas?
(A) 64(B) 72(C) 81(D) 95
- I: no conjunto \(\{A,\dots,J\}\) existem apenas 3 vogais: A, E e I.
- II: as restantes três letras têm de ser consoantes (7 disponíveis) e podem repetir-se: \(7\times 7\times 7=7^3\).
- III: a vogal pode ocupar qualquer uma das 4 posições, logo o produto anterior é multiplicado por 4 — é o quádruplo.
- IV: como as 10 letras podem figurar em qualquer das 4 posições, há \(10\times 10\times 10\times 10=10^4\) casos possíveis.
A 1.ª e a 4.ª letras estão fixadas (A). Restam a 2.ª e a 3.ª, diferentes de A e diferentes entre si: 9 hipóteses para a 2.ª e 8 para a 3.ª.
A Estrada Nacional 2 (EN2) é a mais extensa estrada portuguesa e a única na Europa que atravessa um país em toda a sua extensão, desde Chaves até Faro.
Fez-se um inquérito aos alunos de uma escola secundária com o intuito de saber se gostariam de percorrer a EN2 e se tinham carta de condução. Na figura seguinte, apresentam-se os resultados obtidos. Como se pode observar, os dados do gráfico circular situado à direita dizem respeito apenas aos alunos que têm carta de condução.
Sabe-se ainda que 50% dos alunos questionados gostariam de percorrer a EN2.
Escolhe-se, de forma aleatória, um dos alunos questionados que gostaria de percorrer a EN2.
Determine a probabilidade de esse aluno não ter carta de condução.
Sejam \(C\): «o aluno tem carta de condução» e \(G\): «o aluno gostaria de percorrer a EN2».
- \(P(C\cap G)=0{,}20\times 0{,}75=0{,}15\)
- \(P\left(\overline{C}\cap G\right)=P(G)-P(C\cap G)=0{,}50-0{,}15=0{,}35\)
Foram analisados 500 formulários preenchidos pelos turistas que embarcaram num navio de cruzeiro. Concluiu-se que:
- 200 turistas estão em lua de mel;
- dos turistas que estão em lua de mel, metade está instalada numa suite;
- dos turistas que não estão em lua de mel, a quinta parte não está instalada numa suite.
Escolhe-se ao acaso um desses 500 formulários.
Determine a probabilidade de o formulário escolhido pertencer a um turista que não está em lua de mel, sabendo-se que está instalado numa suite.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
- Em lua de mel: 200; metade em suite → 100 em suite e 100 sem suite.
- Não em lua de mel: \(500-200=300\); a quinta parte sem suite → \(\tfrac{300}{5}=60\) sem suite e \(300-60=240\) em suite.
- Total instalados em suite: \(100+240=340\).
Uma das atrações da Festa da Freguesia é a quermesse, onde se podem comprar rifas. Considere que, num conjunto de 200 rifas:
- 120 são verdes;
- um quarto das rifas verdes são rifas premiadas;
- das rifas premiadas, há tantas verdes quantas as que não são verdes.
Escolhe-se, aleatoriamente, uma rifa daquele conjunto de 200.
Determine a probabilidade de a rifa escolhida não ser premiada, sabendo-se que não é verde.
Apresente a sua resposta na forma de dízima.
- Rifas não verdes: \(200-120=80\).
- Verdes premiadas: \(\tfrac14\times 120=30\).
- Não verdes premiadas: também 30 (tantas verdes como não verdes entre as premiadas).
- Não verdes e não premiadas: \(80-30=50\).
| Verde | Não verde | Total | |
|---|---|---|---|
| Premiada | 30 | 30 | 60 |
| Não premiada | 90 | 50 | 140 |
| Total | 120 | 80 | 200 |
O Alexandre é um jogador profissional de ténis e tem uma equipa técnica que o acompanha e que recolhe dados diversos.
16.1. Dos adversários que o Alexandre enfrentará num torneio de ténis, sabe-se que:
- 90% venceram torneios disputados em piso sintético ou em piso de terra batida;
- 60% nunca venceram torneios disputados em piso de terra batida.
Qual é a probabilidade de o próximo adversário do Alexandre ter vencido torneios disputados em piso sintético e nunca ter vencido torneios disputados em piso de terra batida?
(A) 0,2(B) 0,4(C) 0,5(D) 0,6
16.2. Ao começar uma partida, o Alexandre faz uma primeira tentativa para colocar a bola em jogo (primeiro serviço). Se não for bem-sucedido, pode ainda fazer uma segunda tentativa. Na figura seguinte, apresenta-se a recolha de dados efetuada pela equipa técnica.
Determine a probabilidade de, tendo colocado uma bola em jogo, o Alexandre pontuar.
Apresente o resultado na forma de dízima.
16.3. Com base nos dados, a equipa técnica determinou que a probabilidade de o atleta conseguir defender um serviço dos seus adversários é 0,6. Considere que o Alexandre vai tentar defender dois serviços dos seus adversários.
Determine a probabilidade de o Alexandre conseguir defender, no máximo, um serviço dos seus adversários.
Sejam \(S_1\): «conseguir um primeiro serviço bem-sucedido» e \(Pt\): «pontuar». Do gráfico: \(P(S_1)=0{,}7\), \(P(Pt\mid S_1)=0{,}8\) e \(P\left(\overline{S_1}\cap\overline{Pt}\right)=0{,}12\).
- \(P\left(\overline{S_1}\right)=1-0{,}7=0{,}3\)
- \(P\left(\overline{S_1}\cap Pt\right)=0{,}3-0{,}12=0{,}18\)
- \(P(S_1\cap Pt)=0{,}8\times 0{,}7=0{,}56\)
| \(S_1\) | \(\overline{S_1}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(Pt\) | 0,56 | 0,18 | 0,74 |
| \(\overline{Pt}\) | 0,14 | 0,12 | 0,26 |
| Total | 0,7 | 0,3 | 1 |
Em alternativa: \(1-P(\text{defender os dois})=1-0{,}6^2=1-0{,}36=0{,}64\).
Para eleger o novo diretor de um parque de campismo, os 30 principais acionistas da empresa que o detém votaram, cada um deles, numa lista de preferências constituída pelos três candidatos elegíveis para o cargo: a Ana (A), o Bruno (B) e o Carlos (C).
A figura seguinte apresenta os resultados dos 30 votos validamente expressos. Por exemplo, três dos acionistas votaram na lista de preferência ABC, pois o número 3 está numa região do triângulo cujo vértice mais próximo é o A, seguindo-se o B e, finalmente, o C.
Figura recriada a partir dos dados do enunciado.
Escolhe-se, ao acaso, um dos 30 votos apresentados na figura anterior. Considere os acontecimentos:
- \(R\): «o voto selecionado tem como primeira preferência o candidato B»;
- \(S\): «o voto selecionado tem como segunda preferência o candidato A».
Qual é o valor da probabilidade condicionada \(P(R\mid S)\)?
(A) \(\tfrac{4}{11}\)(B) \(\tfrac{7}{11}\)(C) \(\tfrac{4}{9}\)(D) \(\tfrac{7}{9}\)
Votos com A em segundo lugar: \(\text{BAC}=4\) e \(\text{CAB}=7\), num total de \(4+7=11\) casos possíveis.
Destes, têm B como primeira preferência apenas os 4 votos em BAC.
O parque de campismo dispõe de diversas comodidades para os seus clientes, sendo duas delas um bar e uma piscina.
18.1. Questionou-se um conjunto de 300 clientes que usufruíram de, pelo menos, uma das duas comodidades referidas e verificou-se que:
- 80 clientes tinham usufruído de ambas as comodidades;
- dos clientes que usufruíram do bar, a terça parte também usufruiu da piscina.
Quantos, do conjunto de 300 clientes, usufruíram da piscina?
18.2. Numa determinada altura do ano, verificou-se que:
- 60% dos clientes eram estrangeiros;
- 30% dos clientes eram estrangeiros e não usufruíram da piscina;
- dos clientes que não eram estrangeiros, 80% não usufruíram da piscina.
Escolheu-se, ao acaso, um destes clientes. Determine a probabilidade de esse cliente ter usufruído da piscina.
Apresente o resultado na forma de dízima.
- Clientes do bar: \(3\times 80=240\).
- Como todos usufruíram de pelo menos uma comodidade, os que usaram só a piscina são \(300-240=60\).
- Total da piscina: \(60+80=140\).
Sejam \(E\): «o cliente ser estrangeiro» e \(Pi\): «o cliente ter usufruído da piscina». Do enunciado: \(P(E)=0{,}6\), \(P\left(E\cap\overline{Pi}\right)=0{,}3\) e \(P\left(\overline{Pi}\mid\overline{E}\right)=0{,}8\).
- \(P\left(\overline{E}\right)=1-0{,}6=0{,}4\)
- \(P\left(\overline{Pi}\cap\overline{E}\right)=0{,}8\times 0{,}4=0{,}32\)
- \(P\left(\overline{Pi}\right)=0{,}3+0{,}32=0{,}62\)
| \(E\) | \(\overline{E}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(Pi\) | 0,3 | 0,08 | 0,38 |
| \(\overline{Pi}\) | 0,3 | 0,32 | 0,62 |
| Total | 0,6 | 0,4 | 1 |
No recrutamento de funcionários para a agência de viagens Ir&Voltar, são valorizadas as competências seguintes: capacidade de comunicação (C), capacidade de negociação (N), domínio da tecnologia (T), domínio da língua inglesa (I) e persistência (P). Cada candidato é avaliado, em cada competência, numa escala do nível 1 (menos competente) ao nível 5 (mais competente). Depois de avaliado, constrói-se o polígono de competências do candidato.
Na figura seguinte, apresentam-se os polígonos de competências dos quatro candidatos que se apresentaram a concurso: a Alice, o Bruno, a Carlota e o Delfim.
Figura recriada de forma compatível com os dados e com a resolução oficial.
Escolhe-se, ao acaso, um destes quatro polígonos. Considere os acontecimentos:
- \(A\): «o polígono escolhido tem assinalado o nível 4 na capacidade de comunicação (C)»;
- \(B\): «o polígono escolhido tem assinalado, pelo menos, o nível 3 na capacidade de negociação (N)».
Qual é o valor da probabilidade condicionada \(P(A\mid B)\)?
(A) \(\tfrac{1}{4}\)(B) \(\tfrac{1}{3}\)(C) \(\tfrac{1}{2}\)(D) 1
Com nível 3 ou superior em N: a Alice, a Carlota e o Delfim — 3 casos possíveis (o Bruno tem nível 2).
Destes, apenas o polígono da Alice tem exatamente o nível 4 em C — 1 caso favorável.
Na localidade onde se situa a agência de viagens Ir&Voltar, existe também a agência de viagens Vá&Volte. Das 200 pessoas que responderam a um questionário, 140 referiram que já tinham comprado viagens na Ir&Voltar.
20.1. Foi, ainda, possível apurar que, das 200 pessoas que responderam ao questionário:
- 75 pessoas já tinham comprado viagens na agência Vá&Volte;
- 40 pessoas não compraram viagens nem na agência Ir&Voltar nem na agência Vá&Volte.
Escolhe-se, ao acaso, uma das 200 pessoas questionadas. Determine a probabilidade de essa pessoa já ter comprado viagens em ambas as agências.
Apresente o resultado na forma de dízima.
20.2. Quando questionadas as 200 pessoas sobre se já tinham feito um cruzeiro, verificou-se o seguinte:
- 35% das pessoas nunca fizeram um cruzeiro;
- das pessoas que não compraram viagens na agência Ir&Voltar, 70% nunca fizeram um cruzeiro.
Qual é a probabilidade de uma das pessoas questionadas, escolhida ao acaso, ter comprado viagens na Ir&Voltar, sabendo-se que não fez um cruzeiro?
Apresente o resultado na forma de dízima.
- Compraram em pelo menos uma agência: \(200-40=160\).
- Compraram em ambas: \(140+75-160=55\).
Sejam \(I\): «comprou viagens na Ir&Voltar» e \(C\): «já fez um cruzeiro». Do enunciado: \(P(I)=\tfrac{140}{200}=0{,}7\), \(P\left(\overline{C}\right)=0{,}35\) e \(P\left(\overline{C}\mid\overline{I}\right)=0{,}7\).
- \(P\left(\overline{I}\right)=1-0{,}7=0{,}3\)
- \(P\left(\overline{C}\cap\overline{I}\right)=0{,}7\times 0{,}3=0{,}21\)
- \(P\left(I\cap\overline{C}\right)=0{,}35-0{,}21=0{,}14\)
| \(C\) | \(\overline{C}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(I\) | 0,56 | 0,14 | 0,7 |
| \(\overline{I}\) | 0,09 | 0,21 | 0,3 |
| Total | 0,65 | 0,35 | 1 |
A rádio OnOfff é uma rádio local que transmite através da Internet. Realizado um estudo junto dos funcionários da rádio OnOfff, concluiu-se que:
- 80% dos funcionários trabalham a partir de casa;
- de entre os funcionários que trabalham a partir de casa, metade colabora em programas emitidos diariamente;
- 5% dos funcionários não trabalha a partir de casa e não colabora em programas emitidos diariamente.
Escolhe-se ao acaso um dos funcionários da rádio OnOfff.
Determine a probabilidade de o funcionário selecionado colaborar em programas emitidos diariamente.
Apresente o resultado na forma de dízima.
Sejam \(C\): «o funcionário trabalha a partir de casa» e \(D\): «o funcionário colabora em programas diários». Do enunciado: \(P(C)=0{,}8\), \(P(D\mid C)=0{,}5\) e \(P\left(\overline{C}\cap\overline{D}\right)=0{,}05\).
- \(P\left(\overline{C}\right)=1-0{,}8=0{,}2\)
- \(P\left(\overline{C}\cap D\right)=0{,}2-0{,}05=0{,}15\)
- \(P(C\cap D)=0{,}5\times 0{,}8=0{,}4\)
| \(C\) | \(\overline{C}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(D\) | 0,4 | 0,15 | 0,55 |
| \(\overline{D}\) | 0,4 | 0,05 | 0,45 |
| Total | 0,8 | 0,2 | 1 |
Dos alunos de uma universidade que participaram no programa Erasmus+, sabe-se que:
- 40% dos que ficaram alojados numa residência universitária não ficaram colocados na primeira cidade que selecionaram;
- 18% ficaram colocados na primeira cidade que selecionaram e ficaram alojados numa residência universitária.
Escolheu-se, ao acaso, um destes alunos. Determine a probabilidade de este aluno ter ficado alojado numa residência universitária.
Apresente o resultado na forma de dízima.
Sejam \(R\): «o aluno ficou alojado numa residência universitária» e \(C\): «o aluno ficou colocado na primeira cidade que selecionou».
Do enunciado: \(P\left(\overline{C}\mid R\right)=0{,}4\), logo \(P(C\mid R)=1-0{,}4=0{,}6\); e \(P(C\cap R)=0{,}18\).
Foram escolhidos, ao acaso, 110 alunos universitários que participaram no programa Erasmus+ num único semestre. No gráfico seguinte, estão representados os dados referentes ao sexo e ao semestre de participação desses alunos.
23.1. Escolhendo, ao acaso, um destes alunos, qual é a probabilidade de o aluno ter participado no programa Erasmus+ no segundo semestre, sabendo-se que é do sexo masculino?
(A) 0,25(B) 0,4(C) 0,09(D) 0,625
23.2. Escolhem-se, ao acaso, três alunos, sempre um a seguir ao outro.
Determine a probabilidade de apenas um deles ter participado no segundo semestre e ser do sexo feminino.
Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.
Homens: \(15+10=25\) (casos possíveis). Desses, participaram no 2.º semestre 10 (casos favoráveis).
A ParaPagarApp foi lançada no início do ano de 2015. Num relatório técnico, verifica-se que a percentagem, \(D\), de novos utilizadores que tiveram dificuldades na instalação da aplicação, \(t\) anos após o seu lançamento, é bem aproximada pelo modelo cujo gráfico se apresenta na figura seguinte.
Figura recriada; do modelo retira-se, para o início de 2018 (\(t=3\)), \(D=2\%\).
Realizou-se um estudo sobre os novos utilizadores da ParaPagarApp no início do ano de 2018 e concluiu-se que:
- 40% dos novos utilizadores que tiveram dificuldades na instalação da aplicação consideram a aplicação de fácil manuseamento;
- 90% dos novos utilizadores que não tiveram dificuldades na instalação da aplicação consideram a aplicação de fácil manuseamento.
Escolheu-se ao acaso um novo utilizador da ParaPagarApp que instalou a aplicação no início do ano de 2018.
Com base no estudo realizado e de acordo com o modelo apresentado, determine a probabilidade de o novo utilizador não considerar a aplicação de fácil manuseamento.
Apresente o resultado na forma de dízima.
A aplicação foi lançada no início de 2015; no início de 2018 tinham decorrido 3 anos, ou seja, \(t=3\). Do gráfico, \(D(3)=2\%\): 2% dos novos utilizadores tiveram dificuldades na instalação.
Passo 2 — Árvore e lei das probabilidades totaisPor razões de segurança, sempre que se pretende efetuar um pagamento com a ParaPagarApp, é necessário escrever uma palavra-passe anteriormente escolhida pelo utilizador.
O Tiago é um utilizador da ParaPagarApp. Tendo nascido no dia 8 de maio (mês 5) de 2001, escolheu as letras T e G e os algarismos 8, 5 e 1 para a construção da sua palavra-passe. Certo dia, o Tiago não se recordava exatamente da palavra-passe, embora soubesse que:
- os algarismos estavam dispostos consecutivamente, formando o número 851;
- as letras utilizadas eram T e G, escritas por uma qualquer ordem.
Atendendo ao que sabia, o Tiago escreveu uma possível palavra-passe. A probabilidade de o Tiago acertar na palavra-passe correta à primeira tentativa é igual a
(A) \(\tfrac{1}{6}\)(B) \(\tfrac{1}{3}\)(C) \(\tfrac{1}{2}\)(D) \(\tfrac{2}{3}\)
As palavras-passe possíveis são:
São 6 casos possíveis, todos equiprováveis, e apenas 1 é o correto.
Por vezes, por esquecimento da palavra-passe ou por erros ocasionais na sua escrita, um utilizador escreve a palavra-passe incorretamente. Admita que, em 10% das situações, os utilizadores cometem erros na escrita da palavra-passe.
Determine a probabilidade de, selecionando três utilizadores ao acaso, apenas um deles não cometer erros na escrita da palavra-passe.
Apresente o resultado na forma de dízima.
Os membros da Associação Ambientalista de Avelares (AAA) têm o cuidado de realizar conferências que incentivem à separação de resíduos. Na última conferência, compareceram vários associados da AAA, dos quais três quartos eram mulheres.
27.1. Admita que compareceram 80 associados (de ambos os sexos) da AAA na última conferência. Selecionaram-se, ao acaso, sucessivamente, dois associados da AAA presentes na conferência.
Qual é a probabilidade de esses associados serem de sexos diferentes?
(A) \(\tfrac{30}{79}\)(B) \(\tfrac{15}{79}\)(C) \(\tfrac{3}{8}\)(D) \(\tfrac{3}{16}\)
27.2. Inquiridos os associados da AAA presentes na conferência, foi possível apurar que:
- dois terços das mulheres separam resíduos;
- metade dos homens separa resíduos.
Escolhe-se ao acaso um dos associados presentes na conferência. Determine a probabilidade de o associado escolhido ser mulher, sabendo-se que não faz separação de resíduos.
Mulheres: \(\tfrac34\times 80=60\); homens: \(\tfrac14\times 80=20\). A seleção é sucessiva (sem reposição) e há duas ordens possíveis.
O atraso dos comboios é um dos motivos que levam os clientes a apresentarem reclamações. Uma companhia ferroviária apresentou, no seu relatório de qualidade do ano 2019, o ponto de situação relativamente às reclamações apresentadas, classificadas como concluídas (respondidas) ou pendentes (a aguardar resposta).
No gráfico seguinte, indicam-se os dados referentes ao total das reclamações apresentadas e às apresentadas em duas das estações, \(E_1\) e \(E_2\).
Foram selecionadas, ao acaso, duas das reclamações apresentadas. A primeira foi escolhida de entre as apresentadas na estação \(E_1\) e a segunda foi escolhida de entre as apresentadas na estação \(E_2\).
Qual é a probabilidade de ambas se encontrarem no mesmo estado?
(A) 0,1(B) 0,45(C) 0,55(D) 0,88
Sempre que viaja, a Maria efetua as reservas dos alojamentos utilizando quatro plataformas online, A, B, C e D, e nunca cancela nenhuma das reservas que efetua.
Na figura seguinte, apresenta-se o gráfico circular construído com base nas reservas efetuadas pela Maria em cada uma das plataformas, no qual estão registadas as amplitudes dos sectores circulares que o compõem.
Figura recriada a partir dos dados do enunciado e da resolução oficial.
29.1. Depois da estadia, a Maria avalia a qualidade dos serviços prestados em cada um dos alojamentos. Sabe-se que:
- um dos sectores de menor amplitude do gráfico circular corresponde às reservas efetuadas na plataforma A;
- quando fica em alojamentos reservados através da plataforma A, a Maria atribui a classificação de Muito Bom em metade dos casos;
- quando não fica em alojamentos reservados através da plataforma A, a Maria atribui a classificação de Muito Bom em apenas um de cada sete casos.
Escolhe-se, ao acaso, um alojamento a que a Maria atribuiu Muito Bom. Determine a probabilidade de esse alojamento ter sido reservado através da plataforma A.
29.2. Admita que, do gráfico circular apresentado, o sector cuja amplitude é 90° corresponde às reservas efetuadas na plataforma C. Das reservas que a Maria efetua:
- 10 são reservas realizadas na plataforma C;
- 30% são para alojamentos no estrangeiro;
- 20% são reservas realizadas na plataforma C e para alojamentos no estrangeiro.
Determine o número de reservas que não são realizadas através da plataforma C nem são para um alojamento no estrangeiro.
Os sectores de menor amplitude medem 45°, logo \(P(A)=\dfrac{45}{360}=\dfrac18\) e \(P\left(\overline{A}\right)=\dfrac78\).
O sector da plataforma C tem 90°, ou seja, \(\tfrac{90}{360}=\tfrac14\) do total. Como corresponde a 10 reservas, o número total de reservas é \(4\times 10=40\).
- Alojamentos no estrangeiro: \(40\times 0{,}3=12\).
- Plataforma C e estrangeiro: \(40\times 0{,}2=8\).
- Plataforma C e território nacional: \(10-8=2\).
O Filipe e nove dos seus amigos decidiram ir juntos a um festival de música. Como tinham interesse nos festivais A, B e C, decidiram proceder a uma votação para selecionar um deles.
Cada um dos amigos preencheu um boletim de voto, no qual estava representado um triângulo equilátero, de vértices A, B e C, dividido em seis regiões. Para votar, cada uma das dez pessoas registou uma marca (×) numa das seis regiões, de acordo com as suas preferências. Uma marca colocada numa região onde o vértice C é o mais próximo, seguindo-se o B e, finalmente, o A, corresponde ao voto na lista CBA.
Considere os seis boletins de voto apresentados na figura seguinte.
Figura recriada de forma compatível com a resolução oficial.
Escolhe-se, ao acaso, um destes seis boletins e a lista de preferências nele registada. Considere os acontecimentos:
- \(Q\): «o boletim escolhido corresponde a uma lista em que o festival A ocupa a primeira preferência»;
- \(R\): «o boletim escolhido corresponde a uma lista em que o festival B ocupa a última preferência».
Qual é o valor da probabilidade condicionada \(P(Q\mid R)\)?
(A) \(\tfrac{1}{2}\)(B) \(\tfrac{3}{5}\)(C) \(\tfrac{3}{4}\)(D) \(\tfrac{5}{6}\)
Boletins com B em último lugar (listas ACB ou CAB): são 4 — o 2.º, o 3.º, o 4.º e o 5.º (ficam de fora o primeiro e o último).
Destes, têm A em primeiro lugar (lista ACB) 3 boletins.
Foi realizado um estudo estatístico junto do público de um festival. Nesse festival, todos os dias, após o último concerto, há um espetáculo de fogo de artifício. No último dia do festival, verificou-se que:
- 60% do público assistiu ao primeiro concerto do dia;
- 48% do público assistiu ao primeiro concerto do dia e viu o fogo de artifício;
- do público que não assistiu ao primeiro concerto do dia, 30% não viu o fogo de artifício.
Escolheu-se ao acaso uma pessoa que foi ao último dia do festival. Determine a probabilidade de essa pessoa não ter visto o fogo de artifício.
Sejam \(C_1\): «a pessoa assistiu ao primeiro concerto» e \(F\): «a pessoa viu o fogo de artifício». Do enunciado: \(P(C_1)=0{,}6\), \(P(C_1\cap F)=0{,}48\) e \(P\left(\overline{F}\mid\overline{C_1}\right)=0{,}3\).
- \(P\left(\overline{C_1}\right)=1-0{,}6=0{,}4\)
- \(P\left(C_1\cap\overline{F}\right)=0{,}6-0{,}48=0{,}12\)
- \(P\left(\overline{C_1}\cap\overline{F}\right)=0{,}3\times 0{,}4=0{,}12\)
| \(F\) | \(\overline{F}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(C_1\) | 0,48 | 0,12 | 0,6 |
| \(\overline{C_1}\) | 0,28 | 0,12 | 0,4 |
| Total | 0,76 | 0,24 | 1 |
O Centro Comercial Futuro (CCF) dispõe de dois parques de estacionamento, um interior e um exterior.
32.1. De um conjunto de 80 automóveis que entraram num dos parques do CCF, foi possível observar que:
- um quarto eram conduzidos por mulheres;
- metade eram ocupados apenas pelo condutor;
- dos conduzidos por homens, um terço eram ocupados apenas pelo condutor.
Determine quantos desses automóveis eram conduzidos por uma mulher que viajava sozinha.
(A) 20(B) 25(C) 30(D) 40
32.2. De acordo com um estudo efetuado junto dos clientes do CCF que estacionam o seu automóvel num dos parques, foi possível apurar que 90% estacionam o automóvel no parque interior. Admita ainda que:
- 70% dos clientes que estacionam o automóvel no parque interior são mulheres;
- 60% dos clientes que estacionam o automóvel no parque exterior são homens.
Considere que se escolhe, ao acaso, um cliente que estacionou o seu automóvel num dos parques do CCF. Determine a probabilidade de esse cliente ter estacionado o seu automóvel no parque interior, sabendo-se que é homem.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
- Conduzidos por mulheres: \(\tfrac{80}{4}=20\); por homens: \(80-20=60\).
- Ocupados apenas pelo condutor: \(\tfrac{80}{2}=40\).
- Homens sozinhos: \(\tfrac{60}{3}=20\).
| Mulheres | Homens | Total | |
|---|---|---|---|
| Só o condutor | 20 | 20 | 40 |
| Com acompanhantes | 0 | 40 | 40 |
| Total | 20 | 60 | 80 |
Foi realizado um estudo estatístico junto dos sócios do Clube de Colecionadores.
33.1. De entre os sócios do Clube de Colecionadores, sabe-se que 45% são mulheres. Considere que o Clube tem 180 sócios do sexo feminino e que a percentagem de sócios que não são Efetivos do sexo masculino é 25%.
Determine o número de sócios que não são Efetivos ou que são mulheres.
33.2. Admita que:
- 45% dos sócios do Clube são Efetivos;
- 70% dos sócios do Clube participam em leilões;
- 7 sócios em cada 20 não são Efetivos e participam em leilões.
Escolhe-se, ao acaso, um sócio. Determine a probabilidade de o sócio não participar em leilões, sabendo-se que é sócio Efetivo.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Se 180 mulheres correspondem a 45%, os homens correspondem a \(100-45=55\%\):
Total de sócios: \(180+220=400\). Os que não são Efetivos e são homens representam 25%: \(400\times 0{,}25=100\).
Atenção ao «ou». O conjunto pedido é «não Efetivos ou mulheres». Todas as mulheres (180) já contam; dos homens, só os não Efetivos (100). Não há sobreposição a descontar.
Sejam \(E\): «o sócio é Efetivo» e \(L\): «o sócio participa em leilões». Do enunciado: \(P(E)=0{,}45\), \(P(L)=0{,}7\) e \(P\left(\overline{E}\cap L\right)=\tfrac{7}{20}=0{,}35\).
- \(P(E\cap L)=0{,}7-0{,}35=0{,}35\)
- \(P\left(E\cap\overline{L}\right)=0{,}45-0{,}35=0{,}1\)
| \(E\) | \(\overline{E}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(L\) | 0,35 | 0,35 | 0,7 |
| \(\overline{L}\) | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| Total | 0,45 | 0,55 | 1 |
Atualmente, muitas pessoas publicam conteúdos nas redes sociais. Esses conteúdos podem ser alvo de, pelo menos, duas formas de reação: clicar em «Gosto» ou escrever um comentário. Recentemente, foi divulgado um estudo no qual se refere que, perante um conteúdo publicado, 40% das pessoas não clicam em «Gosto».
34.1. Do total das reações aos conteúdos publicados, 24% correspondem a mulheres que clicam em «Gosto».
Qual a percentagem de reações que correspondem a homens que clicam em «Gosto»?
(A) 16%(B) 26%(C) 36%(D) 60%
34.2. No estudo realizado, foi ainda possível apurar que, perante um conteúdo publicado:
- 45% das pessoas que clicam em «Gosto» não escrevem comentários;
- 20% das pessoas que não clicam em «Gosto» escrevem comentários.
Escolhe-se, ao acaso, uma destas pessoas. Determine a probabilidade de a pessoa escolhida não clicar em «Gosto», sabendo-se que não escreve um comentário.
Apresente o resultado, em percentagem, com arredondamento às unidades.
Clicam em «Gosto»: \(100-40=60\%\). Destes, 24% correspondem a mulheres.
Numa rede social, é frequentemente solicitado ao utilizador que transcreva um conjunto de caracteres. Intencionalmente, os caracteres surgem distorcidos, o que dificulta a transcrição.
Admita que, em 20% das situações, os utilizadores cometem erros na transcrição dos caracteres.
Determine a probabilidade de, selecionando quatro utilizadores ao acaso, apenas um deles cometer erros na transcrição dos caracteres.
Apresente o resultado em percentagem.
Nas suas férias, a família Silva gosta de participar em romarias.
36.1. No verão passado, a família Silva participou em quatro romarias. Admita que, sempre que a família Silva participa numa romaria, 70% das vezes se faz acompanhar de amigos.
Determine a probabilidade de, nesse verão, a família Silva ter ido sem a companhia de amigos em apenas uma ocasião.
Apresente o resultado em percentagem.
36.2. Em 80% das romarias em que a família Silva participa, existem diversões. Sabe-se que:
- se existirem diversões, a família Silva regressa cedo a casa em 40% dos casos;
- se não existirem diversões, é tão provável a família Silva regressar cedo a casa como regressar tarde.
Determine a probabilidade de a família Silva ir a uma romaria com diversões, sabendo que regressa tarde a casa.
Apresente o resultado, na forma de dízima, arredondado às centésimas.
\(P(\text{com companhia})=0{,}7\) e \(P(\text{sem companhia})=0{,}3\). A ocasião sem companhia pode ser qualquer uma das quatro.
Numa das sessões da peça, os 220 espectadores ocuparam lugares na plateia e no balcão da sala de teatro. Na tabela seguinte, estão registados dados relativos à ocupação dos lugares dessas duas áreas.
| Plateia | Balcão | |
|---|---|---|
| Mulheres | 73 | 42 |
| Homens | 59 | 46 |
37.1. Escolhe-se, ao acaso, uma pessoa presente na sessão. A probabilidade, arredondada às centésimas, de essa pessoa ser mulher, sabendo-se que ocupa um lugar no balcão, é igual a
(A) 0,19(B) 0,48(C) 0,52(D) 0,55
37.2. Os espectadores desta sessão adquiriram os seus bilhetes quer online quer na bilheteira do teatro. Nesta sessão:
- 80% dos espectadores adquiriram os bilhetes online;
- \(\tfrac34\) dos espectadores que não adquiriram os bilhetes online ocuparam lugares na plateia.
Escolhe-se, ao acaso, uma pessoa presente na sessão. Determine a probabilidade de essa pessoa ocupar um lugar na plateia, sabendo-se que ela adquiriu o seu bilhete online.
Apresente o resultado em percentagem.
37.3. Escolhem-se aleatoriamente duas mulheres, uma a seguir à outra, de entre as presentes na sessão.
Calcule a probabilidade de apenas uma das mulheres escolhidas ocupar um lugar na plateia.
Apresente o resultado em percentagem, com arredondamento às unidades.
No balcão estão \(42+46=88\) pessoas (casos possíveis), das quais 42 são mulheres.
Da tabela: \(P(P)=\dfrac{73+59}{220}=\dfrac{132}{220}=0{,}6\). Do enunciado: \(P(O)=0{,}8\) e \(P\left(P\mid\overline{O}\right)=0{,}75\).
- \(P\left(\overline{O}\right)=0{,}2\)
- \(P\left(P\cap\overline{O}\right)=0{,}2\times 0{,}75=0{,}15\)
- \(P(P\cap O)=0{,}6-0{,}15=0{,}45\)
| \(O\) | \(\overline{O}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(P\) | 0,45 | 0,15 | 0,6 |
| \(\overline{P}\) | 0,35 | 0,05 | 0,4 |
| Total | 0,8 | 0,2 | 1 |
Mulheres presentes: \(73+42=115\) (73 na plateia, 42 no balcão). Escolha sucessiva, sem reposição.
Numa das suas viagens, a Mariana visitou um país tropical, integrada num grupo de viajantes.
38.1. Do grupo de 60 viajantes, sabe-se que \(\tfrac15\) eram homens.
Escolhendo-se, ao acaso, dois viajantes do grupo, determine a probabilidade de ambos serem mulheres.
Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.
38.2. Depois da viagem, a Mariana decidiu fazer um exame médico, para averiguar se tinha sido contaminada por uma doença que afeta 5% das pessoas que visitam esse país tropical. Relativamente ao exame médico, sabe-se que:
- 90% das pessoas contaminadas têm um resultado positivo;
- 5% das pessoas não contaminadas têm um resultado positivo (falso positivo).
Determine a probabilidade de a Mariana estar contaminada pela doença, sabendo-se que o resultado do teste não foi positivo.
Apresente a resposta na forma de dízima, com arredondamento às milésimas.
Homens: \(\tfrac15\times 60=12\); mulheres: \(60-12=48\).
Leitura do resultado. Um teste negativo torna a doença muito improvável — é o valor preditivo negativo do exame.
No decurso do CineJov, são realizados diversos estudos estatísticos. Num deles, concluiu-se que o número de espectadores presentes no sábado foi 72% do número de espectadores presentes no fim de semana.
39.1. Admita também que o número de espectadores presentes no domingo foi 70% do número de espectadores presentes no fim de semana.
Qual é a percentagem de espectadores que estiveram presentes tanto no sábado como no domingo?
(A) 58%(B) 42%(C) 34%(D) 26%
39.2. Relativamente à totalidade dos espectadores presentes no fim de semana, sabe-se ainda que:
- dos presentes no sábado, 15% viram um filme em 3D;
- 21% não estiveram presentes no sábado nem viram um filme em 3D.
39.2.1. Escolhe-se, ao acaso, um dos espectadores que estiveram presentes no fim de semana. Qual é a probabilidade de esse espectador ter estado presente no sábado, sabendo-se que não viu um filme em 3D?
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às centésimas.
39.2.2. Admita que houve 4000 espectadores no CineJov durante o fim de semana. Escolhem-se, ao acaso, dois desses espectadores.
Determine a probabilidade de ambos os espectadores não terem estado presentes no sábado e terem visto um filme em 3D.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às centésimas.
Em alternativa, pela regra da adição: \(72+70-100=42\%\).
Sejam \(S\): «esteve presente no sábado» e \(D\): «viu um filme em 3D». Do enunciado: \(P(S)=0{,}72\), \(P(D\mid S)=0{,}15\) e \(P\left(\overline{S}\cap\overline{D}\right)=0{,}21\).
- \(P(S\cap D)=0{,}72\times 0{,}15=0{,}108\)
- \(P\left(S\cap\overline{D}\right)=0{,}72-0{,}108=0{,}612\)
- \(P\left(\overline{D}\right)=0{,}612+0{,}21=0{,}822\)
| \(S\) | \(\overline{S}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(D\) | 10,8% | 7% | 17,8% |
| \(\overline{D}\) | 61,2% | 21% | 82,2% |
| Total | 72% | 28% | 100% |
Da tabela, \(P\left(\overline{S}\cap D\right)=0{,}178-0{,}108=0{,}07\). Em 4000 espectadores: \(4000\times 0{,}07=280\).
Inquiriram-se 500 alunos da escola, escolhidos ao acaso, relativamente ao número de vezes que foram ao cinema durante o ano de 2016. Na figura seguinte, está uma representação dos dados recolhidos.
Escolhem-se aleatoriamente dois alunos, um a seguir ao outro, de entre os que foram ao cinema uma vez no ano.
Determine a probabilidade de serem ambos do mesmo sexo.
Apresente o resultado, em percentagem, arredondado às unidades.
Na figura seguinte, está representada uma roleta formada por oito sectores de igual amplitude, dos quais três estão coloridos a cinzento e os restantes a branco.
Mantendo-se a cor dos sectores da roleta representada na figura anterior, admita que cada um deles foi numerado ou com o algarismo 1 ou com o algarismo 2. Roda-se esta roleta apenas uma vez, registando-se a cor e o número do sector assinalado pela seta quando a roleta para.
Admita ainda que a probabilidade de o sector assinalado estar:
- colorido a cinzento, sabendo-se que está numerado com o algarismo 2, é igual a 50%;
- colorido a branco, sabendo-se que está numerado com o algarismo 1, é igual a \(\tfrac23\).
Determine a probabilidade de se obter um sector numerado com o algarismo 2.
Apresente o resultado na forma de percentagem.
Na zona Mountainspeed, existem três montanhas-russas, a Anaconda, a Dragão e a Jaguar.
42.1. Num questionário aplicado às pessoas que utilizaram as três montanhas-russas, cada uma das pessoas indicou a sua preferência por uma e só uma das montanhas-russas. Concluiu-se que:
- 40% preferiam a Anaconda;
- 30% preferiam a Jaguar;
- das pessoas que preferiam a Anaconda, 30% eram mulheres;
- das pessoas que preferiam a Dragão, metade eram mulheres;
- das pessoas que preferiam a Jaguar, 45% eram mulheres.
Escolheu-se, ao acaso, uma das pessoas que respondeu ao questionário.
42.1.1. Qual é a probabilidade de essa pessoa ser homem e preferir a montanha-russa Anaconda?
(A) 7%(B) 28%(C) 30%(D) 88%
42.1.2. Calcule a probabilidade de a pessoa escolhida preferir a montanha-russa Jaguar, sabendo-se que é mulher.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
42.2. Num certo dia, a Beatriz decidiu andar três vezes na montanha-russa. Admita que, sempre que a Beatriz escolhe uma montanha-russa, 80% das vezes opta pela Jaguar.
Determine a probabilidade de, nesse dia, a Beatriz ter escolhido a Jaguar, no máximo, uma vez.
Apresente o resultado em percentagem.
Das pessoas que preferem a Anaconda, 30% são mulheres, logo 70% são homens.
Como cada pessoa indicou uma só montanha-russa, a percentagem que prefere a Dragão é \(100-40-30=30\%\).
Em cada dia, o diretor de programas do TPT define a sequência de programas a transmitir.
43.1. No dia 14 de fevereiro, o diretor de programas tem de ocupar três horas de emissão. Para isso, dispõe de dois filmes, cada um com a duração de uma hora e trinta minutos, e de três documentários, cada um com a duração de trinta minutos.
Quantas sequências será possível formar, de modo que programas do mesmo tipo sejam exibidos consecutivamente?
43.2. No dia 25 de dezembro, o diretor de programas optou pela exibição de dois filmes. Após a exibição, efetuou-se um estudo junto de 100 espectadores, dos quais 40 eram mulheres, para aferir as suas preferências. Concluiu-se que:
- 30% das mulheres preferiram o segundo filme;
- 42% dos espectadores eram homens e preferiram o segundo filme.
Determine a probabilidade de, escolhendo ao acaso um desses espectadores, o mesmo ser mulher sabendo que preferiu o primeiro filme.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.
- Dois filmes: \(F_1F_2\) ou \(F_2F_1\) → 2 sequências.
- Um filme e os três documentários: 2 escolhas de filme × 2 posições (antes ou depois do bloco de documentários) × \(3!=6\) ordens dos documentários → \(4\times 6=24\) sequências.
Sejam \(M\): «o espectador ser mulher» e \(F_1\): «preferiu o primeiro filme». Do enunciado: \(P(M)=\tfrac{40}{100}=0{,}4\), \(P\left(\overline{F_1}\mid M\right)=0{,}3\) e \(P\left(\overline{M}\cap\overline{F_1}\right)=0{,}42\).
- \(P\left(\overline{M}\right)=0{,}6\)
- \(P\left(\overline{F_1}\cap M\right)=0{,}3\times 0{,}4=0{,}12\)
- \(P(M\cap F_1)=0{,}4-0{,}12=0{,}28\)
- \(P\left(\overline{M}\cap F_1\right)=0{,}6-0{,}42=0{,}18\)
- \(P(F_1)=0{,}28+0{,}18=0{,}46\)
| \(M\) | \(\overline{M}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(F_1\) | 0,28 | 0,18 | 0,46 |
| \(\overline{F_1}\) | 0,12 | 0,42 | 0,54 |
| Total | 0,4 | 0,6 | 1 |
Sempre que ocorre uma final de qualquer modalidade de ginástica, é necessário selecionar um júri, constituído por vários jurados escolhidos a partir de um universo de candidatos classificados, de acordo com a sua idade, em juniores ou em seniores.
Para a final de saltos de trampolim, os jurados serão selecionados de entre o universo de candidatos apresentado na tabela seguinte, em que \(a\) e \(b\) representam números naturais.
| Júnior | Sénior | |
|---|---|---|
| Homem | 7 | \(a\) |
| Mulher | 4 | \(b\) |
Admita que, escolhendo um candidato ao acaso:
- a probabilidade de ser sénior, sabendo que é mulher, é \(\tfrac15\);
- a probabilidade de ser homem, sabendo que é sénior, é \(\tfrac45\).
Determine o número de candidatos seniores.
As mulheres são \(4+b\), das quais \(b\) são seniores:
Os seniores são \(a+b=a+1\), dos quais \(a\) são homens:
Na primeira noite do MaréFest, depois de terminarem os concertos no palco principal, a assistência dividiu-se pelas tendas Tecno, Dance e Chill. Na tabela seguinte, apenas estão registados os números relativos às presenças nas tendas Dance e Chill.
| Homens | Mulheres | |
|---|---|---|
| Tenda Dance | 1540 | 2720 |
| Tenda Chill | 840 | 680 |
45.1. Escolhem-se aleatoriamente duas pessoas, uma a seguir à outra, de entre as contabilizadas na tabela anterior.
Determine a probabilidade de ambas estarem na tenda Dance.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.
45.2. Nessa noite, a afluência à tenda Tecno correspondeu a 20% do total das pessoas que se dividiram pelas três tendas. Das pessoas que estiveram na tenda Tecno, \(\tfrac35\) eram mulheres.
Quantos homens estiveram na tenda Tecno, nessa noite?
Total contabilizado na tabela: \(1540+2720+840+680=5780\). Na tenda Dance: \(1540+2720=4260\).
Na tenda Tecno estiveram \(7225\times 0{,}2=1445\) pessoas. Como \(\tfrac35\) eram mulheres, os homens são \(\tfrac25\):
No balcão de atendimento do gabinete de apoio ao comércio de Altivo, 3 em cada 8 atendimentos de comerciantes destinam-se a obter informação sobre a abertura de novas empresas comerciais. Os restantes atendimentos são pagamentos.
Nos atendimentos:
- a probabilidade de o índice da empresa do comerciante estar compreendido entre 0,5 e 1,5, sabendo-se que o comerciante procurou informação sobre a abertura de novas empresas comerciais, é 0,82;
- a probabilidade de o índice da empresa do comerciante estar compreendido entre 0,5 e 1,5, sabendo-se que o comerciante se deslocou ao gabinete para efetuar pagamentos, é 0,30.
Escolhe-se, ao acaso, um atendimento de um comerciante. Determine a probabilidade de esse atendimento ter sido feito a um comerciante que procurava informação sobre a abertura de novas empresas, sabendo-se que o índice da sua empresa está compreendido entre 0,5 e 1,5.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Sejam \(N\): «o atendimento destina-se a obter informação sobre novas empresas» e \(I\): «o índice está compreendido entre 0,5 e 1,5».
A PTM apresenta diversas soluções de transporte. Os clientes podem escolher apenas o transporte rodoviário, apenas o transporte aéreo ou ainda uma combinação dos dois.
47.1. No final de 2012, a empresa fez o balanço dos serviços contratados pelos clientes, tendo chegado aos seguintes valores:
- em 87% dos serviços foi utilizado (exclusivamente ou não) o transporte rodoviário;
- em 45% dos serviços foi utilizado (exclusivamente ou não) o transporte aéreo.
Determine a probabilidade de, escolhido um serviço prestado ao acaso, este ter sido efetuado recorrendo apenas a um dos dois tipos de transporte.
Apresente o resultado em percentagem.
47.2. Em 2013, os dados revelaram que:
- 78% das mercadorias foram transportadas por meio rodoviário;
- 77,8% das mercadorias transportadas chegaram ao seu destino dentro do prazo estabelecido;
- das mercadorias transportadas por meio rodoviário, 80% chegaram ao seu destino dentro do prazo estabelecido.
Determine a probabilidade de, escolhida ao acaso uma mercadoria, esta não ter sido transportada por meio rodoviário, sabendo-se que chegou ao seu destino dentro do prazo acordado com o cliente.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.
47.3. Em 80% dos serviços marcados pelo Sr. Correia, funcionário administrativo da PTM, foi utilizado o transporte rodoviário.
Qual é a probabilidade de, ao serem marcados três serviços, em exatamente dois deles ser utilizado o transporte rodoviário?
Apresente o resultado em percentagem.
- Ambos os transportes: \(87+45-100=32\%\).
- Apenas rodoviário: \(87-32=55\%\); apenas aéreo: \(45-32=13\%\).
Sejam \(R\): «transportada por meio rodoviário» e \(D\): «chegou dentro do prazo». Do enunciado: \(P(R)=0{,}78\), \(P(D)=0{,}778\) e \(P(D\mid R)=0{,}8\).
- \(P(D\cap R)=0{,}78\times 0{,}8=0{,}624\)
- \(P\left(\overline{R}\cap D\right)=0{,}778-0{,}624=0{,}154\)
| \(D\) | \(\overline{D}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(R\) | 0,624 | 0,156 | 0,78 |
| \(\overline{R}\) | 0,154 | 0,066 | 0,22 |
| Total | 0,778 | 0,222 | 1 |
O Gabinete de Avelares Prudente (GAP) tem por missão promover a segurança rodoviária no concelho. Neste âmbito, foi feito um levantamento estatístico de dados sobre os habitantes do concelho de Avelares que têm carta de condução.
48.1. O GAP aplicou um inquérito a 950 habitantes encartados, tendo-se verificado que:
- 350 desses habitantes foram encartados em 1990;
- 250 desses habitantes eram encartados do sexo feminino;
- dos encartados do sexo feminino, 110 foram encartados em 1990.
Determine quantos dos habitantes encartados que responderam ao inquérito eram homens não encartados em 1990.
48.2. Segundo o GAP, a percentagem \(M\) de novos encartados que são mulheres, \(t\) anos após 1980, é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades:
Por exemplo, no ano de 1982 a percentagem de novos encartados que são mulheres é igual a 28%, pois \(M(2)\approx 27{,}98\).
Realizou-se um estudo sobre os encartados no ano 2000 e concluiu-se que:
- 40% dos condutores do sexo masculino conduzem automóveis a gasóleo;
- 70% dos condutores do sexo feminino não conduzem automóveis a gasóleo.
Escolheu-se um condutor que tirou a carta no ano 2000. Com base no estudo realizado e de acordo com o modelo, determine a probabilidade de o encartado ser do sexo feminino, sabendo-se que não conduz um automóvel a gasóleo.
Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
Pela regra da adição, o número de inquiridos que são mulheres ou foram encartados em 1990 é:
Os restantes são homens que não foram encartados em 1990:
O ano 2000 corresponde a \(t=20\):
Uma seguradora faz aplicações financeiras em apenas três bancos. Cada um dos bancos tem igual probabilidade de ser escolhido. Para cada uma das aplicações financeiras, há apenas duas possibilidades: com lucro ou sem lucro. Admita que, num certo dia, a probabilidade de lucro de uma aplicação financeira é 0,72 se pertence ao banco JURO, 0,75 se pertence ao banco RENDE e 0,90 se pertence ao banco GANHA.
49.1. Nesse dia, foram feitas 3500 aplicações financeiras pela seguradora no banco GANHA.
Determine o número dessas aplicações financeiras que se estima que não obtenham lucro.
49.2. Escolhe-se, ao acaso, uma aplicação financeira feita pela seguradora nesse dia.
Determine a probabilidade de a aplicação financeira pertencer ao banco JURO, sabendo que a aplicação financeira obteve lucro.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\(P(\text{sem lucro}\mid \text{GANHA})=1-0{,}9=0{,}1\).
Atalho: como os três bancos são equiprováveis, o fator \(\tfrac13\) cancela-se e basta comparar as probabilidades de lucro.
Em Semedo, os condutores utilizam a oficina ECOL para abastecerem os seus veículos, com ou sem lavagem.
50.1. Dos condutores de Semedo que utilizam a oficina ECOL, 78% abastecem os seus veículos de GPL e os restantes abastecem de gasolina. Os registos da oficina indicam que:
- dos condutores que abasteceram os seus veículos de GPL, 20% optaram pelo abastecimento com lavagem;
- dos condutores que abasteceram os seus veículos de gasolina, 63% optaram pelo abastecimento sem lavagem.
Foi selecionado, ao acaso, um condutor que utilizou a ECOL para fazer o abastecimento do seu veículo com lavagem. Determine a probabilidade de esse condutor ter abastecido o seu veículo de gasolina.
Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas.
50.2. Na ECOL, foram inquiridos apenas os funcionários que têm veículo. Os resultados foram os seguintes:
- 50% têm veículo com sensores de estacionamento (com ou sem gancho de reboque);
- 60% têm veículo com gancho de reboque (com ou sem sensores de estacionamento);
- 15% têm veículo sem sensores de estacionamento e sem gancho de reboque.
Escolhe-se, ao acaso, um funcionário da ECOL que tem veículo. Indique, determinando as probabilidades, qual dos dois acontecimentos, \(A\) ou \(B\), é o mais provável:
- \(A\): «o funcionário escolhido ter veículo com sensores de estacionamento e com gancho de reboque»;
- \(B\): «o funcionário escolhido ter veículo apenas com gancho de reboque».
Se 15% não têm nem sensores nem gancho, então \(P(S\cup R)=100-15=85\%\).
No bufete de uma escola secundária, registam-se, diariamente, os pedidos dos alunos. Uma análise dos pedidos registados no primeiro dia de aulas do 2.º período de 2009/2010 permite concluir que:
- 45% dos pedidos dos alunos incluem leite;
- 9% dos pedidos dos alunos incluem pão e leite;
- um quarto dos pedidos dos alunos não incluem pão nem leite.
51.1. Determine a percentagem dos pedidos dos alunos que incluem pão.
51.2. Dos alunos que fizeram pedidos no bufete dessa escola nesse dia, sabe-se que:
- 60% são raparigas;
- 37,5% dos rapazes fizeram pedidos que não incluem pão nem leite.
Escolheu-se, ao acaso, um aluno que fez um pedido. Determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga e ter feito um pedido que não inclui pão nem leite.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Se 25% não incluem pão nem leite, então \(P(\text{Pão}\cup\text{Leite})=100-25=75\%\).
Pela regra da adição: \(75=P(\text{Pão})+45-9\), donde \(P(\text{Pão})=39\%\) (30% só pão e 9% pão e leite).
Sejam \(F\): «o aluno ser rapariga» e \(N\): «o pedido não inclui pão nem leite». Do enunciado: \(P(F)=0{,}6\), \(P(N)=0{,}25\) e \(P\left(N\mid\overline{F}\right)=0{,}375\).
- \(P\left(\overline{F}\right)=0{,}4\)
- \(P\left(N\cap\overline{F}\right)=0{,}4\times 0{,}375=0{,}15\)
Em dezembro de 2012, no Grupo Desportivo de Pontes de Cima (GDP), realizaram-se eleições para a direção. Na tabela seguinte, encontra-se a distribuição, por sexo, dos votos validamente expressos obtidos pelas quatro listas concorrentes.
| Lista | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| N.º de votos de mulheres | 714 | 624 | 358 | 305 |
| N.º de votos de homens | 518 | 411 | 255 | 250 |
Escolhe-se, aleatoriamente, um votante. Sejam \(H\) e \(D\) os acontecimentos seguintes:
- \(H\): «ser um homem»;
- \(D\): «votar na lista D».
Verifique se os acontecimentos \(H\) e \(D\) são, ou não, acontecimentos independentes.
Total de votantes: \(714+624+358+305+518+411+255+250=3435\). Homens: \(518+411+255+250=1434\).
A instituição financeira PAGABEM vende aplicações no fundo GANHAR+ com um grau de incerteza na obtenção de rendimento. Admita que, em cada dia, o número \(N\) de aplicações feitas no fundo GANHAR+, em função do período de capitalização \(x\), em meses, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades:
No dia 3 de setembro de 2012, no fundo GANHAR+ existiam apenas duas possibilidades para o período de capitalização, 3 meses ou 6 meses, tendo sido feitas 50 aplicações nesse dia. Sabe-se que:
- a probabilidade de obter rendimento é 76% quando a aplicação é feita por um período de capitalização igual a 3 meses;
- a probabilidade de obter rendimento é 92% quando a aplicação é feita por um período de capitalização igual a 6 meses.
Escolheu-se, ao acaso, uma aplicação no fundo GANHAR+ no dia 3 de setembro de 2012. Determine a probabilidade de a aplicação escolhida ter um período de capitalização igual a 3 meses, sabendo que obteve rendimento.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Como só existiam estas duas possibilidades e foram feitas 50 aplicações, vem \(P(M_3)=\tfrac{20}{50}=0{,}4\) e \(P(M_6)=\tfrac{30}{50}=0{,}6\).
Passo 2 — Probabilidade condicionadaConsidere que o André, um aluno do 11.º ano da escola de Bicas, se inscreveu num torneio de xadrez e pode ter um adversário de uma de três aldeias distintas: \(A\), \(B\) ou \(C\). A probabilidade de ter um adversário da aldeia \(A\) é 0,05, da aldeia \(B\) é 0,70 e da aldeia \(C\) é 0,25.
Sejam \(V\), \(A\), \(B\) e \(C\) os acontecimentos: \(V\): «vencer uma partida»; \(A\): «o adversário ser da aldeia \(A\)»; \(B\): «o adversário ser da aldeia \(B\)»; \(C\): «o adversário ser da aldeia \(C\)». Sabe-se que \(P(V\mid A)=0{,}3\), \(P(V\mid B)=0{,}4\) e \(P(V\mid C)=0{,}5\).
54.1. Complete a tabela seguinte, a partir dos dados apresentados, usando probabilidades.
| Acontecimentos | \(A\) | \(B\) | \(C\) | Total |
|---|---|---|---|---|
| \(V\) | (1) | |||
| \(\overline{V}\) | ||||
| Total | 0,05 | 0,70 | 0,25 | 1 |
(1) Nesta célula da tabela, por exemplo, deve considerar a probabilidade conjunta de vencer uma partida e de o adversário ser da aldeia \(A\).
54.2. Considere, agora, que os participantes da aldeia \(A\) não compareceram. A probabilidade de o André ter um adversário da aldeia \(B\) passou para 0,72, e a probabilidade de ter um adversário da aldeia \(C\) passou para 0,28, não se alterando \(P(V\mid B)\) nem \(P(V\mid C)\).
Determine a probabilidade de o André vencer uma partida.
Cada célula da linha \(V\) obtém-se pela regra do produto, \(P(V\cap X)=P(V\mid X)\times P(X)\):
- \(P(V\cap A)=0{,}3\times 0{,}05=0{,}015\)
- \(P(V\cap B)=0{,}4\times 0{,}70=0{,}28\)
- \(P(V\cap C)=0{,}5\times 0{,}25=0{,}125\)
- \(P(V)=0{,}015+0{,}28+0{,}125=0{,}42\) e \(P\left(\overline{V}\right)=1-0{,}42=0{,}58\)
A linha \(\overline{V}\) sai por subtração em cada coluna.
| Acontecimentos | \(A\) | \(B\) | \(C\) | Total |
|---|---|---|---|---|
| \(V\) | 0,015 | 0,28 | 0,125 | 0,42 |
| \(\overline{V}\) | 0,035 | 0,42 | 0,125 | 0,58 |
| Total | 0,05 | 0,70 | 0,25 | 1 |
Na aldeia de Xisto, vai realizar-se uma minimaratona. Na figura seguinte, encontra-se o grafo que serve de modelo ao percurso da minimaratona.
Figura recriada; o traçado do grafo não intervém no cálculo pedido.
No grafo, o vértice \(B\) representa o ponto de partida e de chegada, e os vértices \(A\), \(C\), \(D\), \(E\) e \(F\) representam postos de distribuição de água.
Admita que a probabilidade de um atleta, escolhido ao acaso, beber água no posto \(D\), sabendo-se que esse atleta bebeu água no posto \(A\), é \(\tfrac{9}{10}\), e que a probabilidade de esse atleta ter bebido água nos dois postos é \(\tfrac35\).
Determine a probabilidade de um atleta, escolhido ao acaso, ter bebido água no posto \(A\).
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
A produção anual de centeio, milho e trigo de uma região do norte da Europa é de 92 000 sacas. A transação desses produtos envolve os mercados interno e externo. Sabe-se que:
- 23% da produção é de centeio;
- um quarto da produção de centeio é transacionada no mercado interno;
- 11 960 sacas de milho são transacionadas no mercado externo;
- 50% das 11 040 sacas de trigo produzidas são transacionadas no mercado interno.
A partir dos dados apresentados, complete a tabela seguinte, usando percentagens.
| Centeio | Milho | Trigo | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Mercado externo | ||||
| Mercado interno | ||||
| Total | 23% | 100% |
- Centeio no mercado interno: \(\tfrac{23}{4}=5{,}75\%\); no externo: \(23-5{,}75=17{,}25\%\).
- Trigo: \(\dfrac{11\,040}{92\,000}\times 100=12\%\); metade em cada mercado → 6% e 6%.
- Milho: \(100-23-12=65\%\); no externo, \(\dfrac{11\,960}{92\,000}\times 100=13\%\); no interno, \(65-13=52\%\).
- Mercado externo: \(17{,}25+13+6=36{,}25\%\); mercado interno: \(5{,}75+52+6=63{,}75\%\).
| Centeio | Milho | Trigo | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Mercado externo | 17,25% | 13% | 6% | 36,25% |
| Mercado interno | 5,75% | 52% | 6% | 63,75% |
| Total | 23% | 65% | 12% | 100% |
Num canal de televisão, num certo dia, publicitou-se um novo perfume. No dia seguinte, fez-se uma sondagem para averiguar alguns resultados relacionados com a publicidade. Após a análise das respostas, concluiu-se que:
- 75% dos indivíduos inquiridos viram a referida publicidade;
- 45% dos indivíduos inquiridos compraram o novo perfume;
- 20% dos indivíduos inquiridos não viram a referida publicidade, nem compraram o novo perfume.
Escolheu-se, ao acaso, um indivíduo inquirido na sondagem.
57.1. Determine a probabilidade de o indivíduo escolhido ter comprado o novo perfume e não ter visto a publicidade.
Apresente o resultado sob a forma de percentagem.
57.2. Determine a probabilidade de o indivíduo escolhido ter comprado o novo perfume, sabendo que ele viu a publicidade.
Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível.
Se 20% não viram a publicidade nem compraram, então \(P(V\cup C)=100-20=80\%\).
Como 45% compraram o perfume e 5% fizeram-no sem ver a publicidade, então \(P(C\cap V)=45-5=40\%\).
Num questionário, aplicado a 40 alunos de uma escola, sobre o número de livros lidos por aluno nas férias de Verão, verificou-se que o Manuel leva três livros para ler nas férias, dois dos quais são de ficção científica e um é de ciências.
A sequência pela qual estes três livros vão ser lidos é aleatória, os livros não podem ser lidos mais do que uma vez, e nenhum livro será lido em simultâneo com outro.
Determine a probabilidade de os dois livros de ficção científica serem lidos um a seguir ao outro.
Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível.
Designando por \(FC_1\) e \(FC_2\) os livros de ficção científica e por \(C\) o de ciências, as sequências possíveis são:
Em 4 das 6 sequências os dois livros de ficção científica são lidos consecutivamente (todas exceto aquelas em que o livro de ciências fica no meio).
A RecSol é uma empresa de recolha de resíduos sólidos. Em 2009, a RecSol transportou 145 000 objetos, 20 000 dos quais provenientes de recolha seletiva, 80 000 provenientes de limpeza de florestas e 45 000 provenientes de recolha de lixo doméstico.
Dos objetos provenientes de recolha seletiva, 96% são eletrodomésticos; dos provenientes de limpeza de florestas, 24% são eletrodomésticos; e dos provenientes de recolha de lixo doméstico, 36% são eletrodomésticos.
Escolheu-se, ao acaso, um objeto transportado pela RecSol, em 2009. Determine a probabilidade de o objeto escolhido ser proveniente de recolha seletiva, sabendo que é um eletrodoméstico.
Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível.
| Recolha seletiva | Limpeza de florestas | Lixo doméstico | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Eletrodomésticos | 19 200 | 19 200 | 16 200 | 54 600 |
| Total | 20 000 | 80 000 | 45 000 | 145 000 |
\(20\,000\times 0{,}96=19\,200\); \(80\,000\times 0{,}24=19\,200\); \(45\,000\times 0{,}36=16\,200\).
O conselho diretivo de uma universidade pretende distribuir 20 computadores por 5 grupos: professores, investigadores, estudantes de licenciatura, administrativos e auxiliares. Na tabela seguinte, estão indicados o número de elementos de cada um dos grupos e a distribuição dos 20 computadores pelos 5 grupos.
| Grupos | Professores | Investigadores | Estudantes de licenciatura | Administrativos | Auxiliares |
|---|---|---|---|---|---|
| N.º de elementos | 171 | 55 | 1720 | 120 | 156 |
| N.º de computadores | 2 | 1 | 15 | 1 | 1 |
O presidente do conselho diretivo escolheu, ao acaso, um a seguir ao outro, dois representantes da universidade de entre os indivíduos que constituem os grupos indicados na tabela anterior.
Calcule a probabilidade de os representantes escolhidos serem, ambos, estudantes de licenciatura.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às centésimas.
Total de indivíduos: \(171+55+1720+120+156=2222\).
Uma das classificações para o sangue humano é feita em 4 grupos distintos: A, O, B e AB. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o fator Rhesus: Rhesus positivo (Rh+) ou Rhesus negativo (Rh−).
A frequência destes grupos em Portugal, de acordo com um estudo realizado numa população de dadores do Instituto Português do Sangue, é a que consta na tabela seguinte.
| Fator \ Grupo | A | O | B | AB |
|---|---|---|---|---|
| Rh+ | 39% | 35% | 7% | 3% |
| Rh− | 7% | 6% | 2% | 1% |
Escolheu-se, ao acaso, um indivíduo da população de dadores utilizada no estudo.
Calcule a probabilidade de o indivíduo escolhido ser do grupo O, sabendo-se que é Rh−.
Total de dadores Rh−: \(7+6+2+1=16\%\). Destes, são do grupo O: 6%.
A Joana e a Maria, irmãs gémeas, questionaram todos os alunos da Escola Secundária de Mornas sobre a aceitação das modalidades Voleibol e Ginástica Rítmica. No questionário, cada aluno assinalava com × uma (ou mais) das opções: «Ginástica Rítmica», «Voleibol» ou «Outra».
As gémeas recolheram as respostas dos 632 alunos da escola. Todos os alunos responderam ao questionário e colocaram, pelo menos, um «×».
Ao contabilizar os resultados, a Joana contou 125 preferências para «Ginástica Rítmica», 156 para «Voleibol» e 474 para «Outra» e, ao somar estes valores, pensou que a contagem não estava certa. A Maria resolveu verificar a contagem e respondeu:
«Está certo! Porque uns alunos colocaram dois “×”, um na “Ginástica Rítmica” e outro no “Voleibol”. Verifico, também, que os alunos que escolheram a opção “Outra” só colocaram um “×”.»
62.1. Determine quantos alunos colocaram apenas um “×” na resposta ao questionário.
Sugestão: elabore um diagrama de Venn com os resultados apurados pelas gémeas.
62.2. Escolheu-se, ao acaso, um aluno da Escola Secundária de Mornas. Calcule a probabilidade de o aluno escolhido preferir, pelo menos, uma das modalidades desportivas apresentadas, «Voleibol» ou «Ginástica Rítmica».
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
62.3. Escolheu-se, ao acaso, um aluno da Escola Secundária de Mornas. Calcule a probabilidade de o aluno escolhido preferir «Ginástica Rítmica», sabendo que não escolheu «Outra» quando respondeu ao questionário.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às centésimas.
- Alunos que assinalaram Voleibol ou Ginástica Rítmica: \(632-474=158\).
- Só Ginástica Rítmica: \(158-156=2\).
- Com dois “×”: \(125-2=123\).
- Só Voleibol: \(156-123=33\).
Casos favoráveis: \(632-474=158\); casos possíveis: 632.
O universo reduz-se aos 158 alunos que não escolheram «Outra»; destes, 125 assinalaram Ginástica Rítmica.
O clube desportivo «O Duelo» oferece aos seus sócios cinco modalidades desportivas. Cada candidato a praticante pode escolher, de entre as cinco, a modalidade que pretende praticar, mas só se pode inscrever numa delas. No quadro seguinte, está registado o número total de praticantes inscritos.
| Modalidade | Basquetebol | Futebol | Ténis | Golfe | Râguebi | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|---|
| N.º praticantes | 186 | 218 | 91 | 45 | 191 | 731 |
Escolheram-se, ao acaso, um a seguir ao outro, dois praticantes do clube.
Calcule a probabilidade de ambos serem praticantes de Râguebi.
Apresente o resultado em percentagem, arredondado às décimas.
Um armazenista recebe de duas fábricas, Alfa e Beta, televisores de uma determinada marca, em igual proporção. Na fábrica Alfa, um terço da produção destina-se ao mercado nacional, e a restante é exportada para África. Na fábrica Beta, um quarto da produção destina-se ao mercado nacional, metade é exportada para o Brasil, e a restante é exportada para África.
O armazenista escolhe, aleatoriamente, um dos televisores.
Calcule a probabilidade de o televisor escolhido ser produzido pela fábrica Alfa, sabendo que ele se destina ao mercado nacional.
Na Escola Secundária de Monte da Azinha, verificou-se que 60% dos alunos de MACS são raparigas. Das raparigas, 25% são loiras, 50% têm cabelo castanho, e as restantes têm cabelo preto. Dos rapazes, 12,5% são loiros, 50% têm cabelo castanho, e os restantes têm cabelo preto.
Escolheu-se, ao acaso, uma pessoa, de entre os alunos e as alunas de MACS da Escola Secundária de Monte da Azinha.
65.1. Calcule a probabilidade de a pessoa escolhida ter cabelo loiro.
65.2. Calcule a probabilidade de a pessoa escolhida ser rapariga, sabendo-se que tem cabelo preto.
Nas raparigas, o cabelo preto corresponde a \(100-25-50=25\%\); nos rapazes, a \(100-12{,}5-50=37{,}5\%\).
65.1 — Ter cabelo loiroA Vanda decidiu selecionar dois livros da biblioteca da sua avó, de entre os seus três géneros preferidos: policial, aventura e romance de ficção científica. Na biblioteca da avó, os livros estão distribuídos por duas estantes, uma contendo apenas romances de ficção científica e a outra com 15 livros policiais e 20 livros de aventuras.
A avó sugeriu-lhe que fizesse, da seguinte forma, a seleção da estante de onde quer retirar o primeiro livro: lançar dois dados equilibrados, numerados de 1 a 6, e registar a soma das pontuações das faces voltadas para cima. Caso a soma seja um múltiplo de cinco, a Vanda escolherá um livro da estante que contém os romances de ficção científica. Caso contrário, selecionará um livro da outra estante.
Qual é a probabilidade de a Vanda vir a selecionar o primeiro livro para ler da estante que só contém romances de ficção científica?
Apresente o resultado na forma de fração. Sugestão: pode ser-lhe útil construir uma tabela de dupla entrada.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
De entre as 36 somas equiprováveis, 7 são múltiplos de 5 (quatro somas iguais a 5 e três iguais a 10).
Os alunos de uma turma da Escola Secundária APRENDERMAIS desenvolveram um estudo sobre a intenção dos jovens da sua região, que frequentavam o ensino secundário, de prosseguirem os estudos. Selecionaram uma amostra aleatória de 300 jovens, representativa da população em estudo, e obtiveram a tabela seguinte.
| Sexo \ Intenção | Deseja | Não deseja | Total |
|---|---|---|---|
| Feminino | 130 | 34 | 164 |
| Masculino | 90 | 46 | 136 |
| Total | 220 | 80 | 300 |
67.1. Tendo em conta os dados apresentados na tabela, qual é a probabilidade de, escolhido um jovem ao acaso de entre os inquiridos, este ser uma rapariga e desejar prosseguir estudos?
Apresente o resultado na forma de fração.
67.2. Observou-se, ainda, que as razões apresentadas pelos 220 jovens inquiridos — dos quais 130 são raparigas — que mostraram desejo de prosseguir os estudos foram a Razão A, a Razão B ou a Razão C, tendo cada um apresentado apenas uma delas. Verificou-se que:
- entre as raparigas, 70% apresentaram a razão A e 20% a razão B;
- entre os rapazes, 40% apresentaram a razão B e 10% a razão C.
Escolheu-se, ao acaso, um desses jovens que desejam prosseguir os estudos. Qual é a probabilidade de o jovem ser rapaz, sabendo-se que apresentou a razão A?
Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
Casos possíveis: 300; casos favoráveis: 130.
Entre os rapazes, a razão A corresponde a \(100-40-10=50\%\). O universo é o dos 220 jovens que desejam prosseguir estudos: 130 raparigas e 90 rapazes.
A secção de controlo de qualidade de uma fábrica de parafusos escolhe, aleatoriamente, uma amostra de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina e regista o comprimento dos parafusos selecionados. Na tabela seguinte estão indicados os dados, agrupados, dos comprimentos dos parafusos da amostra.
| Comprimento (cm) | [5,0; 5,1[ | [5,1; 5,2[ | [5,2; 5,3[ | [5,3; 5,4[ | [5,4; 5,5[ | [5,5; 5,6[ | [5,6; 5,7[ | [5,7; 5,8[ | [5,8; 5,9[ | [5,9; 6,0[ | [6,0; 6,1[ | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequência absoluta | 3 | 5 | 9 | 13 | 18 | 19 | 17 | 10 | 3 | 2 | 1 | 100 |
Extraem-se dois parafusos, sem reposição, da amostra.
Qual é a probabilidade de se obterem dois parafusos de comprimento inferior a 5,6 cm?
Apresente o resultado final na forma de fração.
Num dos muitos sites em que se joga xadrez online, a entrada de um jogador é condicionada pelo gestor do site, com probabilidade fixa igual a 0,8, em cada tentativa de entrada na sala de jogo.
Com base neste número, calcule o valor exato da probabilidade de um candidato conseguir entrar na sala de jogo apenas à terceira tentativa.
No dia 14 de dezembro de 1997, realizaram-se eleições autárquicas em Portugal. Num certo concelho, concorreram quatro partidos às eleições para a Câmara Municipal. A distribuição dos votos pelos quatro partidos foi a seguinte.
| Partidos | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Número de votos | 13 442 | 8 723 | 6 033 | 1 120 |
Houve ainda 1 258 votos brancos e nulos. Nas eleições de 1997, a abstenção foi de 36%.
Admita que, no dia a seguir às eleições, se escolheu uma pessoa, ao acaso, de entre os cidadãos do concelho que estavam inscritos nos cadernos eleitorais. Determine a probabilidade de essa pessoa ter votado no partido A.
Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
Com 36% de abstenção, os 30 576 votos correspondem a \(100-36=64\%\) dos inscritos:
Com o objetivo de estudar o grau de informação dos cidadãos da União Europeia (UE) sobre as políticas e instituições da UE, uma empresa de sondagens realizou um inquérito no Outono de 1999, a uma amostra de 15 800 pessoas. Perguntava-se aos inquiridos em que medida se sentiam informados sobre a UE, sendo a resposta dada mediante a seleção de um número de 1 (não sabe nada) a 10 (sabe muito).
| Escala | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Percentagem | 10 | 12 | 16 | 17 | 19 | 12 | 8 | 4 | 1 | 1 |
Admita que:
- dos inquiridos que declararam não saber nada (nível 1), 20% são portugueses;
- dos inquiridos que se auto-avaliaram num nível superior a 1, 5% são portugueses.
Escolhido, ao acaso, um inquirido, constatou-se que era português.
Determine a probabilidade de ele se ter auto-avaliado com nível 1.
Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
Da tabela, \(P(\text{nível }1)=10\%=0{,}1\), logo \(P(\text{nível}>1)=0{,}9\).