Exercícios de Exame — Modelos populacionais

O canal Bicla e o canal Novelas são dois canais televisivos temáticos, que transmitem, respetivamente, provas de ciclismo e telenovelas.

Certo dia, o canal Bicla transmitiu em direto a primeira etapa da Volta a Portugal em Bicicleta, no programa Voltas, cuja duração foi de três horas.

Admita que, $t$ minutos após o início do programa Voltas, o número de televisores, em milhares, ligados no canal Bicla ($B$) é dado, com arredondamento às milésimas, pela expressão

1.1. O share de um programa, num determinado momento, corresponde à percentagem de televisores que estão ligados e a transmitir esse programa, em relação ao número total de televisores ligados nesse momento. Por exemplo, se, num determinado momento, um programa tem 10% de share, isso significa que, do número total de televisores que estão ligados nesse momento, 10% estão a transmitir esse programa.

A evolução do share do programa Voltas, $t$ minutos após o início do programa, pode ser modelada por uma função, $S$, cuja representação gráfica é apresentada na figura seguinte.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

No início do programa Voltas, (a) de televisores estavam ligados no canal Bicla. O share do programa Voltas, desde o seu início até ao fim, diminuiu (b) .
Decorridos 30 minutos desde o início do programa Voltas, o número total de televisores ligados poderia ser (c) .
No fim do programa Voltas, o número total de televisores ligados situava-se entre (d) .

1.2. Admita que, $t$ minutos após o início do programa Voltas, o número de televisores, em milhares, ligados no canal Novelas ($N$) é dado, com arredondamento às milésimas, pela expressão

Houve um momento, após o início da transmissão do programa Voltas, em que o número de televisores ligados nos dois canais foi igual.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, o número de televisores ligados no canal Bicla decorridos 5 minutos após esse momento.

Na sua resposta:

• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale o(s) ponto(s) relevante(s);
• apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), com arredondamento às milésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

1.1 — Completar o texto

Como interpretar. $B(t)$ dá os televisores no canal Bicla; $S(t)$ dá a percentagem que esses representam do total. Para obter o total, faz-se a proporção $\dfrac{\text{Bicla}\times 100}{\text{share}}$.

• Como $B(0)=20+150\left(1-e^{-0{,}02\times 0}\right)=20$, então, no início do programa Voltas, 20 milhares de televisores estavam ligados no canal Bicla.
• Como $S(0)-S(180)=40-12=28$, então o share do programa Voltas, desde o seu início até ao fim, diminuiu 28%.
• Como $B(30)\approx 87\,678$, então 30 minutos após o início do programa estavam 87 678 televisores ligados ao canal Bicla. Como o share nesta altura era um valor compreendido entre 21% ($S(90)=12$) e 40% ($S(0)=40$), o número de televisores ligados era um número compreendido entre $\dfrac{87\,678\times 100}{21}\approx 417\,514$ e $\dfrac{87\,678\times 100}{40}=219\,195$; de entre as opções apresentadas, o número 350 712 é o único que pode representar o total de televisores ligados.
• Como $B(180)\approx 165\,901$, então, no final do programa estavam 165 901 televisores ligados ao canal Bicla, que correspondiam a 12% de todos os televisores ligados, porque $S(180)=12$. Assim, o número de televisores ligados era $\dfrac{165\,901\times 100}{12}\approx 1\,382\,508$, pelo que o número total de televisores ligados situava-se entre 1300 e 1400 milhares.

(a) → (1)  ·  (b) → (2)  ·  (c) → (2)  ·  (d) → (3)

1.2 — Televisores no canal Bicla 5 minutos depois

Como interpretar. «O mesmo número nos dois canais» é a interseção dos dois gráficos; a esse instante somam-se 5 minutos e calcula-se $B$ nesse novo instante.

Começamos por determinar o momento, após o início da transmissão do programa Voltas, em que o número de televisores ligados nos dois canais foi igual. Representamos os gráficos das funções relativas aos dois modelos e recorremos à função da calculadora para determinar valores aproximados das coordenadas do ponto de interseção de dois gráficos.

Representando o gráfico da função $f(x)=20+1500\left(1-e^{-0{,}02x}\right)$, relativo ao modelo $B(t)$, e o gráfico da função $g(x)=24+0{,}01(80-x)^2$, relativo ao modelo $N(t)$, e determinando a abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos, $x\approx 17{,}134$, concluímos que foi neste instante relativo a este valor que os dois canais tinham o mesmo número de televisores ligados.

$B(22{,}134)=20+1500\left(1-e^{-0{,}02\times 22{,}134}\right)\approx 73{,}653$

Cinco minutos após esse momento, ou seja, no instante $17{,}134+5=22{,}134$, estavam ligados 73 653 televisores no canal Bicla.

As portas do estádio A, num campeonato mundial de futebol, abriram-se, para a entrada dos espectadores, exatamente duas horas antes do início de um determinado jogo.

Considere que o número de espectadores, em milhares, que estavam dentro desse estádio, $t$ minutos após a abertura das portas e até o jogo se iniciar, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às milésimas.

2.1. Considere o intervalo de tempo que decorreu entre a abertura das portas do estádio A e o instante em que o número de espectadores que estavam dentro do estádio atingiu os 30 milhares.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, o número de espectadores que já tinham entrado no estádio A a meio desse intervalo de tempo.

Na sua resposta:

• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale o(s) ponto(s) relevante(s);
• apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), com arredondamento às milésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

2.2. Num outro estádio, o estádio B, decorreu um jogo que teve início à mesma hora do que o realizado no estádio A. As portas do estádio B abriram-se, para a entrada dos espectadores, um pouco mais cedo do que as portas do estádio A.

Considere que o número de espectadores, em milhares, que entraram no estádio B, em função do tempo $t$, em minutos, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às milésimas.

em que $t=0$ corresponde ao instante de abertura das portas do estádio A.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Dez minutos depois da abertura das portas do estádio A, encontrava-se nesse estádio um número de espectadores entre (a) .
Quando o estádio A abriu as portas, no estádio B já tinham entrado entre (b) espectadores. O número de espectadores igualou-se em ambos os estádios quando tinham decorrido entre (c) minutos após a abertura das portas do estádio A.
O tempo, em minutos, que decorreu entre a abertura das portas dos estádios A e B correspondeu a um valor situado entre (d) .

2.1 — Espectadores a meio do intervalo

Como interpretar. Determina-se o instante em que $A(t)=30$ e calcula-se $A$ em metade desse instante.

Representamos o gráfico da função $f(x)=-45+45\times\log_{10}(2x+10)$ e a reta horizontal que é o gráfico da função $g(x)=30$, numa janela ajustada, e obtemos o valor, arredondado às décimas, da abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos:

$x\approx 18{,}208$

Assim, temos que a meio desse intervalo de tempo, ou seja, $\dfrac{18{,}208}{2}=9{,}104$ minutos após a abertura das portas, o número de espectadores que estavam dentro do estádio era:

$f(9{,}104)\approx 20{,}267 \text{ milhares}$

A meio desse intervalo de tempo já tinham entrado 20 267 espectadores.

2.2 — Completar o texto

Como interpretar. Note-se que $t=0$ é a abertura do estádio A: o instante em que o estádio B abriu corresponde ao zero do modelo $B$, que é negativo.

• Como $A(10)=-45+45\times\log_{10}(2\times 10+10)\approx 21{,}25$, dez minutos depois da abertura das portas do estádio A, encontra-se nesse estádio um número aproximado de 21,25 milhares de espectadores, ou seja um número entre 21 000 e 21 999.
• Como no modelo $B$, $t=0$ corresponde ao instante de abertura das portas do estádio A, e $B(0)=-35+35\log_{10}(0+50)\approx 24{,}46$, então sabemos que quando o estádio A abriu as portas, no estádio B já tinham entrado entre 24 000 e 24 999 espectadores.
• Representando ambos os modelos na calculadora gráfica e obtendo a abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos, $x\approx 16{,}93$, podemos afirmar que o número de espectadores igualou-se em ambos os estádios quando tinham decorrido entre 16 e 17 minutos após a abertura das portas do estádio A.
• Observando o gráfico do modelo $B$, e determinando a abcissa do ponto de interseção com o eixo das abcissas, $x=-40$, que corresponde ao instante em que, de acordo com o modelo, haviam zero pessoas no estádio, verificamos que o tempo, em minutos, que decorreu entre a abertura das portas dos estádios A e B correspondeu a um valor situado entre 35 e 42.

(a) → (3)  ·  (b) → (1)  ·  (c) → (2)  ·  (d) → (2)

As plataformas de Inteligência Artificial (IA) estão cada vez mais presentes no nosso quotidiano, oferecendo uma grande diversidade de recursos.

Duas plataformas de IA, a ArtificialThings e a BeArtificial, monitorizam o número de utilizadores em Avelares.

De 1 de janeiro de 2023 até 1 de junho de 2024, o número aproximado de utilizadores das duas plataformas, ArtificialThings e BeArtificial, em centenas, em Avelares, é dado, respetivamente, pelas expressões

em que $t$ representa o número de meses após o dia 1 de janeiro de 2023.

3.1. Em qual dos intervalos de tempo foi mais acentuado o crescimento do número de utilizadores da ArtificialThings em Avelares, no ano de 2023?

3.2. Determine quantos dias foram necessários para que o número de utilizadores da ArtificialThings em Avelares passasse de 700 para 1350 utilizadores.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Admita que cada mês tem 30 dias.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

• o(s) gráfico(s) visualizado(s);
• a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

3.3. Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

O número de utilizadores da BeArtificial em Avelares I no intervalo de tempo considerado, sendo, no início do ano de 2023, igual a II centenas. O número de utilizadores das duas plataformas foi igual num determinado momento do mês de III . No início do ano de 2024, a diferença entre o número de utilizadores das duas plataformas situa-se entre IV utilizadores.

3.1 — Intervalo de crescimento mais acentuado

Como interpretar. Num modelo exponencial crescente, o crescimento é tanto maior quanto mais tarde for o intervalo. Basta comparar as variações $A(t+1)-A(t)$ na tabela.

$t$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$A(t)$	2,39	2,87	3,43	4,11	4,92	5,89	7,05	8,44	10,11	12,10

• de 1 de abril a 1 de maio: $A(5)-A(4)\approx 4{,}92-4{,}11\approx 0{,}81$
• de 1 de maio a 1 de junho: $A(6)-A(5)\approx 5{,}89-4{,}92\approx 0{,}98$
• de 1 de junho a 1 de julho: $A(7)-A(6)\approx 7{,}05-5{,}89\approx 1{,}16$
• de 1 de julho a 1 de agosto: $A(8)-A(7)\approx 8{,}44-7{,}05\approx 1{,}39$

Opção: (D)

3.2 — Dias necessários

Como interpretar. 700 e 1350 utilizadores são 7 e 13,5 centenas. Determina-se o tempo em cada caso e converte-se a diferença em dias.

Usando a função da calculadora para determinar valores aproximados das coordenadas dos pontos de interseção do modelo com cada uma das retas, obtemos os pontos de coordenadas $(6{,}96\,;\,7)$ e $(10{,}61\,;\,13{,}5)$.

$10{,}61-6{,}96=3{,}65 \text{ meses} \qquad 3{,}65\times 30 \approx 110 \text{ dias}$

Foram necessários 110 dias.

3.3 — Completar o texto

$t$	$A(t)$	$B(t)$	$t$	$A(t)$	$B(t)$
0	2,00	3,00	10	12,10	9,96
1	2,39	3,38	11	14,49	11,23
2	2,87	3,81	12	17,34	12,66
3	3,43	4,30	13	20,76	14,28
4	4,11	4,85	14	24,86	16,10
5	4,92	5,47	15	29,76	18,15
6	5,89	6,16	16	35,63	20,46
7	7,05	6,95	17	42,66	23,07
8	8,44	7,84	18	51,07	26,01
9	10,11	8,83	19	61,14	29,33

O número de utilizadores da BeArtificial em Avelares aumentou no intervalo de tempo considerado, sendo, no início do ano de 2023, igual a 3 centenas. O número de utilizadores das duas plataformas foi igual num determinado momento do mês de junho (porque no início do mês seguinte o maior número de utilizadores já era da plataforma A). No início do ano de 2024, a diferença entre o número de utilizadores das duas plataformas situava-se entre 400 e 499 ($1734-1266\approx 468$) utilizadores.

I → a)  ·  II → b)  ·  III → b)  ·  IV → c)

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

Existem diversas aplicações para telemóvel que permitem aos utilizadores a monitorização, em tempo real, do percurso realizado durante uma caminhada. A AppCaminhadas e a AppTrilhos são duas dessas aplicações.

Admita que, em Portugal, o número de utilizadores da AppCaminhadas, em milhares, decorridos $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo $C$, definido por

4.1. Na figura seguinte, apresenta-se um mapa de Portugal continental, dividido em várias regiões. Para três destas regiões (Norte, Centro e Lisboa e Vale do Tejo), apresenta-se ainda um gráfico, por região, relativo ao número de utilizadores da AppCaminhadas, em milhares, no início dos anos de 2010, de 2011 e de 2012.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Nos primeiros dez anos, após o início do ano 2000, em Portugal, o número de utilizadores da AppCaminhadas teve um aumento de I milhares de utilizadores. Comparando o número de utilizadores da AppCaminhadas no início dos anos de 2010, de 2011 e de 2012, conclui-se que é na região II que o número de utilizadores poderá apresentar um crescimento linear.
No início de 2012, em Portugal, um sétimo do número de utilizadores da AppCaminhadas pertencia à região III .
No início de 2011, em Portugal, a percentagem, arredondada às unidades, do número de utilizadores da AppCaminhadas que pertencia às regiões Norte, Centro e de Lisboa e Vale do Tejo era IV .

4.2. Para os que mais apreciam caminhadas, é possível subscrever a versão Premium da AppCaminhadas, um serviço exclusivo com mais funcionalidades, mas sujeito a pagamento.

Admita que, num determinado ano, 20% dos utilizadores da AppCaminhadas em Portugal subscreveram a versão Premium, o que corresponde a 5600 subscritores.

Determine o ano em que tal ocorreu.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

4.3. Em Portugal, o número de utilizadores da aplicação AppTrilhos, em milhares, decorridos $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado por um modelo $T$.

Admita que, em Portugal, no início do ano de 2015, a AppCaminhadas tinha mais 3000 utilizadores do que a AppTrilhos.

Qual das expressões seguintes traduz a afirmação anterior?

4.1 — Completar o texto

Como interpretar. Crescimento linear significa aumentos iguais de ano para ano — é o que se procura nos três gráficos de barras.

• no início de 2000 era $C(0)=20+5\log_{10}(9\times 0+10)=25$ milhares; no início de 2010 era $C(10)=20+5\log_{10}(9\times 10+10)=30$ milhares; nos primeiros dez anos, após o início do ano 2000, teve um aumento de 5 milhares;
• aumentou de 2010 para 2011 e depois diminuiu de 2011 para 2012 na região de Lisboa e Vale do Tejo; cresceu mais de 2 milhares de 2010 para 2011 e cerca de meio milhar de 2011 para 2012 na região Centro; cresceu 65 milhares ($5249-5184=65$) de 2010 para 2011 e novamente 65 milhares ($5314-5249=65$) de 2011 para 2012 na região Norte, pelo que foi nesta região que se registou um crescimento linear;
• no início de 2012 era $C(12)=20+5\log_{10}(9\times 12+10)\approx 30{,}36$ milhares, e um sétimo deste valor é $\frac{1}{7}\times 30{,}36\approx 4{,}337$, que corresponde ao número de utilizadores na região de Lisboa e Vale do Tejo nesse ano;
• no início de 2011 era $C(11)\approx 30{,}187$ milhares, e o número acumulado de utilizadores nas três regiões era $5{,}294+6{,}561+8{,}717=20{,}572$ milhares, a que corresponde uma percentagem de $\dfrac{20{,}572}{30{,}187}\times 100\approx \mathbf{68\%}$.

I → c)  ·  II → a)  ·  III → c)  ·  IV → b)

4.2 — Ano da subscrição

Como interpretar. Se 5600 são 20% do total, o total é $\dfrac{5600\times 100}{20}=28\,000$, ou seja 28 milhares — que é o valor a procurar no modelo.

$\dfrac{x}{5{,}6}=\dfrac{100}{20} \Leftrightarrow x=\dfrac{100\times 5{,}6}{20} \Leftrightarrow x=28$

Como $x\approx 3{,}31$ anos após o início do ano 2000, o ano em que tal ocorreu foi 2003.

4.3 — Expressão que traduz a afirmação

Como 3000 utilizadores correspondem a 3 milhares, um acréscimo de 3000 utilizadores da AppTrilhos no início do ano 2015 é representado por $3+T(15)$.

Opção: (A)

Numa praia do Algarve, uma empresa aluga equipamento para a prática de windsurf.

Quando devolvem o equipamento alugado, os clientes recebem um código que lhes permite avaliar a experiência, uma única vez, no sítio da empresa na Internet. Para o efeito, atribuem à experiência de uma a cinco estrelas, significando uma estrela que a experiência foi pouco gratificante, e cinco estrelas que a experiência foi extremamente gratificante.

Dos clientes que avaliaram a experiência até $t$ meses após o início do ano de 2022, a percentagem, $E$, dos que lhe atribuíram, pelo menos, 4 estrelas é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às décimas.

Por exemplo, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência até ao início de fevereiro de 2022 é igual a 8,4%, pois $E(1)=8{,}3949\ldots$

5.1. Admita que 600 clientes tinham avaliado a experiência até ao início de março de 2022.

Quantos destes clientes lhe atribuíram, pelo menos, 4 estrelas?

5.2. No sítio da empresa na Internet, é apresentado um quadro com o resultado das avaliações realizadas até ao momento, que é atualizado sempre que alguém realiza uma nova avaliação.

Num determinado momento, o quadro foi atualizado, passando a apresentar os valores registados na tabela seguinte.

Indique o mês e o ano em que ocorreu esta atualização.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

5.3. A evolução da percentagem de clientes que, no sítio da empresa na Internet, atribuíram 3 estrelas à experiência, até $t$ meses após o início do ano de 2022, pode ser modelada por uma função, $N$, cuja representação gráfica é apresentada na figura seguinte.

Considerando-se a percentagem, $E$, dos clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas e a percentagem, $N$, dos clientes que atribuíram 3 estrelas à experiência, verifica-se que $E(4{,}25)=N(4{,}25)$.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Nos primeiros dois anos, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência é I .
No início do ano de 2022, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência era II à percentagem de clientes que lhe atribuíram 3 estrelas, verificando-se que o contrário ocorreu pela primeira vez no decorrer do mês de III de 2022.
Com o passar do tempo, a percentagem de clientes que atribuíram, no máximo, 2 estrelas à experiência tende para IV .

5.1 — Clientes com pelo menos 4 estrelas

De acordo com o modelo apresentado, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência até ao início de março de 2022 é $E(2)\approx 11{,}9$.

Assim, dos 600 clientes que tinham avaliado a experiência, o número correspondente a 10% é: $600\times 0{,}10\approx 60$.

Opção: (A)

5.2 — Mês e ano da atualização

Como interpretar. «Pelo menos 4 estrelas» são as avaliações de 4 e de 5 estrelas. Calcula-se a percentagem que representam do total e procura-se o instante em que o modelo a atinge.

Pela análise da tabela podemos verificar que no momento desta atualização havia um total de $50+150+200+770+430=1600$ avaliações, em que $770+430=1200$ eram avaliações de pelo menos 4 estrelas.

$\dfrac{p}{100}=\dfrac{1200}{1600} \Leftrightarrow p=\dfrac{1200\times 100}{1600} \Leftrightarrow p=75$

Como $x\approx 22{,}6$ meses após o início do ano de 2022, ou seja, 1 ano e 10,6 meses após esta data, a atualização ocorreu em novembro de 2023.

5.3 — Completar o texto

• Pela observação da representação gráfica do modelo $E$, verifica-se um crescimento da percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência — logo é crescente.
• Recorrendo à calculadora gráfica verifica-se que $E(0)=7$ e pela observação do gráfico sabemos que $N(0)=40$, pelo que no início do ano de 2022 ($t=0$) a percentagem $E(0)$ era inferior a $N(0)$.
• Como as duas percentagens eram iguais ao fim de 4 meses e alguns dias após o início do ano de 2022, porque $E(4{,}25)=N(4{,}25)$, então o modelo $E$ passou a assumir valores superiores durante o mês de maio de 2022.
• Como com o passar do tempo o modelo $E$ tende para 84 e o modelo $N$ tende para 10, então a percentagem de avaliações de 2 ou menos estrelas tende para $100-84-10=\mathbf{6\%}$.

I → a)  ·  II → c)  ·  III → b)  ·  IV → a)

O número de habitantes, $A$, em centenas, da freguesia A é dado aproximadamente por

em que $t$ é o tempo medido em décadas e em que $t=0$ corresponde ao final de 1900.

6.1. Determine o valor da percentagem de diminuição do número de habitantes entre o final de 1970 e o final de 2000.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

6.2. No final de que ano é que o número de habitantes da freguesia A foi, pela primeira vez, inferior a 2700?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

6.3. O número de habitantes, $B$, em centenas, da freguesia B, $t$ décadas após o final de 1900, é dado aproximadamente por

Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.

No final do ano de 1900, o número de habitantes da freguesia A era I , sendo II ao número de habitantes da freguesia B. Decorridas III décadas, a freguesia que até então tinha menor número de habitantes passou a ser a freguesia com maior número de habitantes.
Decorridas duas décadas após o final do ano de 1900, é possível afirmar que, na freguesia B, o número de habitantes era IV a 2000.

6.1 — Percentagem de diminuição

Como interpretar. O tempo está em décadas: 1970 é $t=7$ e 2000 é $t=10$. A percentagem calcula-se sobre o valor de 1970.

• $A(7)=1+30e^{-0{,}02\times 7}\approx 27{,}081$ centenas
• $A(10)=1+30e^{-0{,}02\times 10}\approx 25{,}562$ centenas

$A(7)-A(10)\approx 27{,}081-25{,}562\approx 1{,}519 \text{ centenas}$

$\dfrac{27{,}081}{100}=\dfrac{1{,}519}{p} \Leftrightarrow p=\dfrac{1{,}519\times 100}{27{,}081} \Leftrightarrow p\approx 6\%$

A diminuição foi de 6%.

6.2 — Ano em que passou a ser inferior a 2700

Como 2700 são 27 centenas, resolve-se a equação $A(t)=27$.

Obtém-se o ponto de coordenadas $(7{,}16\,;\,27)$. Assim, no final do ano de 1971 ($t=7{,}1$) a população ainda não era inferior a 2700.

Foi apenas no ano de 1972 que o número de habitantes da freguesia A foi, pela primeira vez, inferior a 2700.

6.3 — Completar o texto

$t$	$A(t)$	$B(t)$
0	31,000	20,400
1	30,406	21,000
2	29,824	21,600
3	29,253	22,200
4	28,693	22,800
5	28,145	23,400
6	27,608	24,000
7	27,081	24,600
8	26,564	25,200
9	26,058	25,800
10	25,562	26,400

No final do ano de 1900, o número de habitantes da freguesia A era 3100, sendo superior ao número de habitantes da freguesia B. Decorridas dez décadas, a freguesia que até então tinha menor número de habitantes passou a ser a freguesia com maior número de habitantes. Decorridas duas décadas após o final do ano de 1900, na freguesia B o número de habitantes era superior a 2000.

I → a)  ·  II → c)  ·  III → a)  ·  IV → c)

Sala de Fuga é um jogo em que uma equipa, fechada numa sala ou num conjunto de salas, tem de resolver desafios, num intervalo de tempo limitado, para o conseguir concluir. Para ter sucesso e resolver os desafios, é necessário recorrer a diversas competências e apelar ao raciocínio lógico e à intuição.

Uma empresa especializada em jogos de Sala de Fuga desenvolveu uma aplicação que permite participar num jogo de Sala de Fuga online.

De 1 de janeiro de 2016 até 31 de dezembro de 2019, o número aproximado de utilizadores da aplicação, em centenas, é dado pela expressão

em que $t$ representa o número de meses após o dia 1 de janeiro de 2016.

A partir de 1 de janeiro de 2020, o número aproximado de utilizadores da aplicação, em centenas, passa a ser dado pela expressão

em que $t$ representa o número de meses após o dia 1 de janeiro de 2020.

7.1. O modelo $P$ permite estimar para que valor tende o número de utilizadores da aplicação com o passar do tempo.

Qual é esse valor?

7.2. Mostre que, no decorrer do ano de 2021, houve um momento em que o número de utilizadores da aplicação atingiu o triplo do que existia a 1 de fevereiro de 2016.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

7.3. No primeiro dia de alguns meses, o número de utilizadores da aplicação foi superior a 700 e inferior a 900.

Em quantos meses tal sucedeu?

7.1 — Valor para que tende

Como interpretar. Num modelo logístico $\frac{c}{1+ae^{-bt}}$, o valor-limite é o numerador $c$ — aqui, 30 centenas.

Como o modelo exprime o número aproximado de utilizadores da aplicação, em centenas, o número de utilizadores tende para 30 centenas, ou seja, 3000.

Opção: (C)

7.2 — O triplo do que existia a 1 de fevereiro de 2016

Como interpretar. 1 de fevereiro de 2016 é $t=1$ no modelo $N$; o triplo desse valor procura-se depois no modelo $P$, cujo $t$ conta a partir de 2020.

Como $N(1)=9{,}4-2{,}01\log_{10}(1+1)\approx 8{,}795$ centenas, o triplo é $3\times 8{,}795=26{,}385$ centenas.

Aproximadamente 16,87 meses após 1 de janeiro de 2020, ou seja 4,87 meses após 1 de janeiro de 2021, o número de utilizadores atingiu o triplo — uma data relativa a maio de 2021.

7.3 — Meses entre 700 e 900 utilizadores

$t$	$N(t)$	$P(t)$	$t$	$N(t)$	$P(t)$
0	9,400	6,000	10	7,307	19,464
1	8,795	7,018	11	7,231	20,787
2	8,441	8,149	12	7,161	22,012
3	8,190	9,389	13	7,096	23,129
4	7,995	10,725	14	7,036	24,130
5	7,836	12,138	15	6,980	25,018
6	7,701	13,607	16	6,927	25,794
7	7,585	15,103	17	6,877	26,467
8	7,482	16,597	18	6,830	27,044
9	7,390	18,059	19	6,785	27,536

• entre 1 de janeiro de 2016 até 31 de dezembro de 2019, foram 14 os meses em que o número de utilizadores da aplicação foi superior a 700 e inferior a 900;
• a partir de 1 de janeiro de 2020, o número de utilizadores da aplicação esteve entre 700 e 900 em apenas 2 meses.

$14+2=16 \text{ meses}$

Opção: (B)

A Estrada Nacional 2 (EN2) foi incluída no Plano Rodoviário Nacional de 1945. É a mais extensa estrada portuguesa, totalizando 739,26 quilómetros, e a única na Europa que atravessa um país em toda a sua extensão, desde Chaves até Faro, passando por 35 concelhos.

No verão de 2001, um concelho atravessado pela EN2 foi afetado por um incêndio. Visando a criação de uma floresta com maior biodiversidade e mais resistente a incêndios, uma equipa especializada promoveu, ao longo de alguns anos, um projeto de reflorestação daquela zona, plantando diversas espécies de árvores, a partir de 1 de janeiro de 2002.

Admita que o número de árvores, em milhares, existentes naquela região, decorridos $t$ anos após o dia 1 de janeiro de 2002, é bem aproximado pelo modelo

8.1. A expressão $A(7)-A(5)\gt 10$ significa que:

8.2. No ano em que, pela primeira vez, a 1 de janeiro, o número de árvores foi superior a trinta vezes o número de árvores existentes a 1 de janeiro de 2002, a equipa especializada informou a população de que o número de árvores era aproximadamente igual ao existente antes de ocorrer o incêndio.

Em que ano foi divulgada essa informação?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às centésimas.

8.3. Ao longo de cada ano, o número de árvores, $A$, foi evoluindo graças não só à quantidade de árvores plantadas ao abrigo do projeto de reflorestação, mas também graças à variação no número de árvores devida a fatores naturais.

Admita que, durante o ano, o aumento do número de árvores devido a fatores naturais corresponde a 0,21% do número de árvores existentes a 1 de janeiro desse ano.

Qual foi, aproximadamente, o número de árvores que se plantou entre 1 de janeiro de 2011 e 1 de janeiro de 2012?

8.1 — Significado da expressão

Como interpretar. Atenção às duas armadilhas: $t=0$ é 2002 (logo $A(7)$ é 2009 e $A(5)$ é 2007) e o modelo dá milhares de árvores.

• $A(t)$ representa o número de árvores em milhares;
• $A(7)$ representa o número de árvores no início de 2009;
• $A(5)$ representa o número de árvores no início de 2007;
• $A(7)-A(5)$ representa o aumento do número de árvores entre o início de 2007 e o início de 2009.

Assim, $A(7)-A(5)\gt 10$ significa que o aumento do número de árvores entre 1 de janeiro de 2009 e 1 de janeiro de 2007 foi maior que 10 milhares, ou seja, superior a 10 000.

Opção: (B)

8.2 — Ano da divulgação

$A(0)=\dfrac{66}{1+32e^{-0,97\times 0}}=\dfrac{66}{33}=2 \text{ milhares}$

$30\times A(0)=30\times 2=60 \text{ milhares}$

Como $t\approx 5{,}95$, ou seja 6 anos após o início de 2002, a informação foi divulgada em 2008.

8.3 — Árvores plantadas em 2011

Como interpretar. O aumento total do ano tem duas origens: as árvores plantadas e o crescimento natural. Subtraindo o crescimento natural ao aumento total, sobra o que foi plantado.

• no início de 2011, o número de árvores era $A(9)=\dfrac{66}{1+32e^{-0,97\times 9}}\approx 65{,}660$ milhares;
• no início de 2012, o número de árvores era $A(10)=\dfrac{66}{1+32e^{-0,97\times 10}}\approx 65{,}871$ milhares;
• o aumento do número de árvores durante o ano de 2011 foi de $65\,871-65\,660=211$ árvores;
• o aumento por fatores naturais corresponde a $0{,}0021\times 65\,660\approx 138$ árvores.

$211-138=73 \text{ árvores}$

Opção: (A)

A empresa LZD explora os itinerários de cruzeiro A, B e C.

Desde o início do ano 2000, a empresa contratou, numa instituição bancária, uma conta-corrente para cada um dos itinerários.

Admita que o saldo $A$ da conta-corrente, em milhões de euros, para o itinerário A, $t$ anos após o início do ano 2000, é dado por

9.1. O maior investimento em publicidade para promover o itinerário A ocorreu nos anos em que o saldo da conta-corrente se situou entre 11,15 milhões de euros e 13,5 milhões de euros.

Determine durante quantos anos completos ocorreu o maior investimento em publicidade para promover o itinerário A.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

9.2. Qual é o valor, aproximado às unidades, da percentagem de aumento do saldo $A$, no final do primeiro ano de contratação da conta-corrente?

9.3. Admita que o saldo $B$ da conta-corrente do itinerário B e o saldo $C$ da conta-corrente do itinerário C, em milhões de euros, $t$ anos após o início do ano 2000, são dados, respetivamente, por

Associe a cada um dos saldos, apresentados na Coluna I, as afirmações da Coluna II que lhe correspondem.

Cada um dos números, de 1 a 7, deve ser associado apenas a uma das letras, e todos os números devem ser utilizados.

9.1 — Anos de maior investimento

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(4{,}92\,;\,11{,}15)$ e $(11{,}36\,;\,13{,}5)$.

$11{,}36-4{,}92=6{,}44 \text{ anos}$

O maior investimento durou 6 anos completos.

9.2 — Percentagem de aumento no primeiro ano

• no início do ano 2000: $A(0)=4+3\ln(2\times 0+1)=4$ milhões de euros;
• no final do primeiro ano: $A(1)=4+3\ln(2\times 1+1)\approx 7{,}2958$ milhões de euros;
• o aumento foi de $A(1)-A(0)\approx 3{,}2958$ milhões de euros.

$\dfrac{a}{3{,}2958}=\dfrac{100}{4} \Leftrightarrow a=\dfrac{100\times 3{,}2958}{4} \Leftrightarrow a\approx 82\%$

Opção: (D)

9.3 — Associação

• (b) - (1) o saldo B tem vindo a diminuir;
• (b) - (2) o saldo B era o que tinha maior valor no início do ano 2000;
• (c) - (3) o saldo C era o único com valor negativo no início de 2001;
• (a) - (4) o saldo A foi o único com valor sempre positivo;
• (c) - (5) o saldo C nos dois primeiros anos (entre 2000 e 2002) aumentou aproximadamente 3 milhões de euros;
• (b) - (6) o saldo B era nulo no início de 2016;
• (a) - (7) o saldo A era o que apresentava maior valor no início de 2002.

(a) → 4, 7  ·  (b) → 1, 2, 6  ·  (c) → 3, 5

O número de habitantes da freguesia de Avelares, decorridas $t$ décadas após o início do ano 1970, é bem aproximado pelo modelo seguinte

10.1. Em qual dos intervalos de tempo o crescimento da população foi mais acentuado?

10.2. Na década em que o número de habitantes da freguesia atingiu os cinco milhares, o centro de saúde de Avelares sofreu uma ampliação.

Prove que a ampliação do centro de saúde de Avelares ocorreu durante a década de 80.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

10.3. O número de habitantes da freguesia de Bileira, uma freguesia vizinha de Avelares, decorridas $t$ décadas após o início do ano 1970, é bem aproximado pelo modelo seguinte

De acordo com os modelos apresentados, as freguesias de Avelares e Bileira tinham o mesmo número de habitantes no início do ano 1970.

Determine o número de habitantes da freguesia de Bileira, com arredondamento às unidades, no início do ano de 2020.

Na sua resposta, comece por determinar o valor de $a$.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve seis casas decimais.

10.1 — Intervalo de crescimento mais acentuado

Como interpretar. Num modelo logístico o crescimento é máximo a meio da subida, não no início nem no fim. Calculam-se as variações década a década.

Anos	N.º de habitantes	Crescimento
1980	$A(1)\approx 3254$	—
1990	$A(2)\approx 5258$	$5258-3254=2004$
2000	$A(3)\approx 7269$	$7269-5258=2011$
2010	$A(4)\approx 8777$	$8777-7269=1508$
2020	$A(5)\approx 9679$	$9679-8777=902$

Opção: (B)

10.2 — Década da ampliação

Como $A(1{,}88)\approx 5000$, sabemos que a ampliação do centro de saúde aconteceu 1,88 décadas após o início de 1970, ou seja, num período de tempo compreendido entre 1 e 2 décadas ($1\lt 1{,}88\lt 2$) após o início de 1970.

Isso permite garantir que a ampliação ocorreu entre 1980 e 1990, ou seja, na década de 80.

10.3 — Habitantes de Bileira em 2020

Como interpretar. «Mesmo número de habitantes no início de 1970» é $A(0)=B(0)$, o que permite determinar $a$.

• $A(0)=\dfrac{10\,566}{1+5\times e^{-0,8\times 0}}=1761$
• $B(0)=\dfrac{a}{1+4\times e^{-0,7\times 0}}=\dfrac{a}{1+4}=\dfrac{a}{5}$

$\dfrac{a}{5}=1761 \Leftrightarrow a=1761\times 5 \Leftrightarrow a=8805$

$B(5)=\dfrac{8805}{1+4\times e^{-0,7\times 5}}\approx 7856$

No início de 2020, a freguesia de Bileira tinha 7856 habitantes.

A canoagem é um desporto náutico praticado com uma canoa ou com um caiaque.

Uma das modalidades deste desporto é a canoagem de velocidade, na qual se insere a prova K1 1000 m. Nesta prova, a embarcação, um caiaque, tem apenas um lugar (K1), como se representa na figura ao lado, devendo o atleta percorrer 1000 metros.

Um atleta participou numa prova de canoagem K1 1000 m.

Admita que, enquanto a prova decorreu, a distância, $D$, percorrida pelo seu caiaque, em metros, $t$ segundos após o início da prova, é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às centésimas.

(log designa o logaritmo de base 10)

Assim, por exemplo, como $D(3)\approx 23{,}62049$, a distância percorrida pelo caiaque do atleta, 3 segundos após o início da prova, foi, aproximadamente, 23,62 metros.

11.1. Perante os dados recolhidos, o atleta afirmou:

«Fui mais rápido nos primeiros cinco segundos da prova do que nos cinco segundos seguintes.»

Justifique a afirmação do atleta, baseando-se no modelo apresentado.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

11.2. O recorde mundial desta prova é 3 minutos e 15 segundos.

Qual é a diferença entre o tempo alcançado pelo atleta e o recorde mundial?

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

11.1 — Justificar a afirmação

Como interpretar. «Mais rápido» significa ter percorrido mais distância no mesmo intervalo de tempo. Comparam-se os dois períodos de 5 segundos.

• $D(5)=-3680+1840\log(5+100)\approx 38{,}98831$
• $D(10)=-3680+1840\log(10+100)\approx 76{,}16254$

Assim, a distância percorrida nos primeiros 5 segundos foi, aproximadamente, 38,99 metros e nos cinco segundos seguintes foi de $76{,}16254-38{,}98831\approx 37{,}17$ metros.

No segundo período de 5 segundos percorreu uma distância inferior no mesmo espaço de tempo, pelo que a afirmação do atleta é correta.

11.2 — Diferença para o recorde mundial

Como a prova tem 1000 metros, o tempo que o atleta demorou é a abcissa do ponto de interseção do gráfico com a reta $y=1000$: obtém-se o ponto $(249{,}5\,;\,1000)$.

O recorde mundial é $3\times 60+15=195$ segundos.

$249{,}5-195=54{,}5 \text{ segundos}$

A diferença é de 54,5 segundos.

Uma das principais atrações do parque de campismo da ilha de Dujal é o seu lago natural, onde existem diversas espécies de peixes.

Admita que o número de peixes da espécie $A$ existentes no lago, em centenas, $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo

Assim, por exemplo, como $A(10)\approx 19{,}35713$ centenas, o número aproximado de peixes da espécie $A$ existentes no lago, dez anos após o início do ano 2000, é 1936.

12.1. Qual foi o aumento, em percentagem, do número de peixes da espécie $A$ no lago, comparando o número de peixes existentes três anos após o início do ano 2000 com o número existente seis anos após o início do ano 2000?

Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

12.2. Num determinado momento, o número de peixes da espécie $A$ foi, pela primeira vez, seis vezes maior do que o número de peixes existentes no início do ano 2002.

Determine em que ano tal ocorreu.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às décimas.

12.3. A evolução do número de peixes da espécie $B$ no lago do parque de campismo, desde o início do ano 1997, pode ser modelada através de uma função.

Com o tempo, estima-se que o número de peixes da espécie $B$ no lago venha a atingir o dobro do número de peixes da espécie $A$.

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico dessa função, desde o início do ano 1997, considerando que $t=0$ corresponde ao início do ano 2000?

12.1 — Aumento em percentagem

• três anos após o início do ano 2000: $A(3)=\dfrac{20}{1+99e^{-0,8\times 3}}\approx 2{,}00379$
• seis anos após o início do ano 2000: $A(6)=\dfrac{20}{1+99e^{-0,8\times 6}}\approx 11{,}02083$

Neste período o aumento foi de $A(6)-A(3)\approx 9{,}01704$ centenas de peixes.

$\dfrac{2{,}00379}{9{,}01704}=\dfrac{100}{a} \Leftrightarrow a=\dfrac{100\times 9{,}01704}{2{,}00379} \Leftrightarrow a\approx 450\%$

O aumento foi de 450%.

12.2 — Ano em que foi seis vezes maior

Como $A(2)\approx 0{,}95294$ centenas, o número aproximado de peixes da espécie $A$ no início do ano 2002 era 95; o sêxtuplo é $6\times 95=570$, ou seja 5,7 centenas.

Como $t\approx 4{,}6$ anos após o início de 2000, tal ocorreu durante o ano de 2004.

12.3 — Gráfico da espécie B

Como interpretar. Duas condições: o valor-limite tem de ser o dobro de 2000 (ou seja 4000) e o gráfico tem de começar em $t=-3$, porque o modelo arranca em 1997 e $t=0$ é 2000.

Como o número máximo de peixes da espécie A se aproxima de 20 centenas, ou seja 2000 peixes, o número de peixes da espécie B deve aproximar-se de 4000, pelo que apenas os gráficos das opções (C) e (D) podem representar o modelo.

Adicionalmente, como o modelo se deve reportar ao início de 1997, a que corresponde $t=-3$, o gráfico deve estar representado para valores de $t$ superiores ou iguais a $-3$.

Opção: (D)

A ilha de Dujal é um dos destinos de férias mais procurados pelos clientes da agência de viagens Ir&Voltar, devido à diversidade da sua flora.

Para preservar duas espécies de plantas, $A$ e $B$, que, em dado momento, se encontravam em vias de extinção, foi criado, num viveiro, um projeto de reflorestação, com a duração de dois anos.

O número aproximado de plantas da espécie $A$ e de plantas da espécie $B$, em centenas, existentes no viveiro, $t$ meses após o início do projeto de reflorestação, é dado, respetivamente, pelas expressões

Assim, por exemplo, como $A(7)\approx 88{,}406$ centenas, o número aproximado de plantas da espécie $A$ existentes no viveiro, sete meses após o início do projeto, é 8841.

13.1. Determine o valor da percentagem de aumento do número de plantas da espécie $A$ existentes em viveiro durante os primeiros dois meses do projeto de reflorestação.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

13.2. Ao fim de doze meses, o número de plantas da espécie $A$ era, aproximadamente, o       do número de plantas da espécie $B$.

Selecione a opção que completa corretamente a frase.

13.3. Determine ao fim de quantos dias, após o início do projeto, o número de plantas da espécie $A$ era igual ao número de plantas da espécie $B$.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Admita que cada mês tem 30 dias.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

13.1 — Aumento nos primeiros dois meses

• no início do projeto: $A(0)=30+10\ln(0^3+1)=30$ centenas $=3000$
• 2 meses após o início: $A(2)=30+10\ln(2^3+1)\approx 51{,}972$ centenas $\approx 5197$

O aumento do número de plantas foi $5197-3000=2197$.

$\dfrac{3000}{2197}=\dfrac{100}{a} \Leftrightarrow a=\dfrac{100\times 2197}{3000} \Rightarrow a\approx 73\%$

O aumento foi de 73%.

13.2 — Relação ao fim de doze meses

• $A(12)=30+10\ln(12^3+1)\approx 104{,}553$ centenas $\approx 10\,455$
• $B(12)=10+1{,}26^{12}\approx 26{,}012$ centenas $\approx 2601$

$\dfrac{A(12)}{B(12)}\approx\dfrac{10\,455}{2601}\approx 4$

Opção: (B)

13.3 — Dias até os números serem iguais

Obtém-se o ponto de coordenadas $(20{,}35\,;\,120{,}40)$.

$20{,}35\times 30 \approx 611 \text{ dias}$

O número de plantas das duas espécies era igual ao fim de 611 dias.

A rádio OnOfff é uma rádio local que transmite através da Internet, com recurso a tecnologia de transmissão de áudio e de vídeo em tempo real.

Desde que foi inaugurada, no início do ano 2000, a rádio OnOfff tem cada vez mais ouvintes. Admita que, $t$ anos após a sua inauguração, o número de ouvintes da OnOfff é bem aproximado, com arredondamento às unidades, pelo modelo seguinte.

14.1. Prove que o número de ouvintes da rádio OnOfff sofreu um aumento superior a 2500, decorridos cinco anos após a inauguração.

14.2. O número de ouvintes ultrapassou pela primeira vez a marca dos 12 000 num determinado ano. No início do ano seguinte, procedeu-se à atualização dos equipamentos.

Determine em que ano se procedeu à atualização dos equipamentos. Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

14.1 — Aumento nos primeiros cinco anos

• $R(0)=7700+1471\ln(0+1)=7700+1471\times 0=7700$
• $R(5)=7700+1471\ln(5+1)\approx 10\,336$

$R(5)-R(0)\approx 10\,336-7700\approx 2636$

Como $2636\gt 2500$, nos primeiros cinco anos o aumento do número de ouvintes foi superior a 2500.

14.2 — Ano da atualização

Obtém-se o ponto de coordenadas $(17{,}6\,;\,12\,000)$: o número de ouvintes ultrapassou pela primeira vez a marca dos 12 000, 17 anos após a inauguração da rádio, ou seja durante o ano de 2017.

Como a atualização dos equipamentos ocorreu no início do ano seguinte, esta ocorreu em 2018.

O número aproximado de alunos estrangeiros inscritos na faculdade F1, $t$ anos após o início do ano de 2000, é dado, arredondando às unidades o valor obtido, pela expressão

Assim, por exemplo, o número aproximado de alunos estrangeiros inscritos nesta faculdade, dois anos após o início do ano de 2000, é 257, pois $E(2)=256{,}64126\ldots$

15.1. Comparando o número de alunos estrangeiros inscritos na faculdade F1 no início de 2004 com o número de alunos estrangeiros inscritos na faculdade F1 no início de 2007, concluiu-se que este triplicou.

Indique, justificando, se a afirmação é verdadeira.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

15.2. Na faculdade F2, o número aproximado de alunos estrangeiros inscritos, $t$ anos após o início do ano de 2000, é dado, arredondando às unidades o valor obtido, pela expressão

Durante quantos anos o número de alunos estrangeiros inscritos, no início de cada ano, na faculdade F1 foi superior ao número de alunos estrangeiros inscritos, no início de cada ano, na faculdade F2?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

15.1 — Verificar a afirmação

$E(4)=\dfrac{2500}{1+15e^{-0,27\times 4}}\approx 410{,}24\approx 410$

$E(7)=\dfrac{2500}{1+15e^{-0,27\times 7}}\approx 765{,}44\approx 765$

A afirmação é falsa, porque o triplo do número de alunos inscritos no início de 2004 é $410\times 3=1230$, que não é bem aproximado pelo valor de $E(7)$.

15.2 — Anos em que F1 superou F2

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(2{,}89\,;\,319{,}79)$ e $(13{,}90\,;\,1850{,}03)$.

Observando os valores arredondados às unidades, $t_1\approx 2{,}89\approx 3$ e $t_2\approx 13{,}90\approx 13$, podemos concluir que o número de alunos inscritos em F1 foi superior ao de F2 entre 2003 e 2014.

$2014-2003=11 \text{ anos}$

Durante 11 anos.

Admita que, no início do ano de 2016, a ParaPagarApp tinha, em Portugal continental, 50 000 utilizadores.

O número de utilizadores, em milhares, que, $t$ anos após o início do ano de 2016, na região do Alentejo, utiliza a ParaPagarApp é bem aproximado pelo modelo

16.1. Determine a percentagem de utilizadores da aplicação ParaPagarApp em Portugal continental que não pertenciam à região do Alentejo no início do ano de 2016.

16.2. Numa perspetiva de longo prazo, estima-se que, com o passar dos anos, o número de utilizadores da ParaPagarApp, em Portugal continental, seja 200 000.

Na figura seguinte, apresenta-se um mapa de Portugal continental e, parcialmente, a estimativa da percentagem de utilizadores da ParaPagarApp, por regiões, numa perspetiva de longo prazo.

Atendendo aos dados apresentados na figura anterior, averigue se o modelo apresentado para o Alentejo poderá estar correto para uma estimativa a longo prazo de utilizadores da aplicação em Portugal continental. Justifique a sua resposta.

16.1 — Percentagem fora do Alentejo

$A(0)=\dfrac{20}{1+e^{-0,2\times 0}}=10 \text{ milhares}$

Como o número de utilizadores em Portugal continental era 50 000, ou seja, 50 milhares, o número que não pertencia ao Alentejo era $50-10=40$ milhares.

$\dfrac{p}{40}=\dfrac{100}{50} \Leftrightarrow p=\dfrac{40\times 100}{50} \Leftrightarrow p=80$

No início de 2016, 80% dos utilizadores não pertenciam à região do Alentejo.

16.2 — Adequação do modelo

Como interpretar. O mapa dá as percentagens das outras quatro regiões; a do Alentejo obtém-se por diferença para 100%. Compara-se o valor daí resultante com o limite do modelo logístico.

$100-20-25-30-15=10\%$

$200\,000\times 0{,}1=20\,000$

Como o número de utilizadores no Alentejo tende a estabilizar em 20 milhares, um valor aproximadamente igual ao calculado a partir dos dados do mapa, pode considerar-se o modelo adequado.

Desde que a Associação Ambientalista de Avelares (AAA) começou a fazer a manutenção do lago do parque municipal de Avelares, a qualidade da água melhorou. Com a diminuição do número de um certo tipo de micro-organismos, o número de peixes no lago começou a aumentar.

Admita que, ao fim de $t$ dias após a AAA começar a fazer a manutenção do lago, o número desses micro-organismos por cada 100 ml de água do lago e o número de peixes existentes no lago, em milhares, são dados, respetivamente, por

17.1. A qualidade da água do lago é considerada boa se o número desses micro-organismos por cada 100 ml for igual ou inferior a 99.

Prove que, no instante em que a qualidade da água é considerada boa pela primeira vez, o número de peixes existentes no lago é superior a 4400.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

17.2. Com o passar do tempo, o número de peixes no lago tende a estabilizar num certo valor. A AAA decidiu que, quando o número de peixes do lago for igual a esse valor menos 400, se pode introduzir uma nova espécie de peixes no lago.

Determine ao fim de quantos dias, após a manutenção do lago passar a ser feita pela AAA, se pode fazer a introdução de novos peixes.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) que lhe permitem resolver o problema e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

17.1 — Peixes no instante em que a água fica boa

Como interpretar. Primeiro determina-se o instante em que $c(t)=99$; nesse instante calcula-se $p(t)$ e compara-se com 4,4 milhares.

Obtém-se o ponto de coordenadas $(9{,}98\,;\,99)$, ou seja, a qualidade da água é considerada boa pela primeira vez ao fim de $t\approx 9{,}98$ dias.

$p(9{,}98)\approx\dfrac{5}{1+e^{-0,21\times 9,98}}\approx 4{,}45 \text{ milhares}$

Como 4400 peixes são 4,4 milhares e $p(9{,}98)\gt 4{,}4$, no instante em que a qualidade da água é considerada boa pela primeira vez o número de peixes existentes no lago é superior a 4400.

17.2 — Dias até à introdução de novos peixes

Observando a expressão algébrica da função $p$, verifica-se que o número de peixes no lago tende a estabilizar no valor 5 milhares. Assim, a introdução da nova espécie deve acontecer quando a população existente for de $5000-400=4600$, ou seja, 4,6 milhares.

Obtém-se o ponto de coordenadas $(11{,}63\,;\,4{,}6)$.

Ao fim de 12 dias pode fazer-se a introdução de novos peixes (foi no decorrer do 11.º dia que a população atingiu o valor de 4600).

Num dos dias do Interrail, a Elsa sentiu-se febril. Mediu a temperatura corporal e, como estava com febre, tomou um medicamento e ficou no quarto do hotel.

Admita que a temperatura corporal da Elsa, em graus Celsius (°C), $t$ horas após a toma do medicamento, é bem aproximada pelo modelo seguinte.

Considera-se $t=0$ o instante em que a Elsa tomou o medicamento.

18.1. Admita que a Elsa tomou o medicamento às 9 horas.

Se às 14 horas e 30 minutos a temperatura corporal da Elsa não tivesse diminuído, pelo menos, 0,5 °C, seria necessário recorrer a outro medicamento.

Indique, justificando, se terá sido necessário recorrer a outro medicamento.

Na sua resposta, apresente todos os cálculos que efetuar. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

18.2. Preocupados com a Elsa, os amigos foram telefonando ao longo do dia.

Num dos telefonemas, a Elsa disse-lhes que a sua temperatura corporal era 38 °C e, no telefonema seguinte, disse-lhes que já era 37,8 °C.

Quanto tempo decorreu entre os dois telefonemas?

Apresente o resultado, em horas, arredondando às unidades.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) com arredondamento às décimas.

18.1 — Foi necessário outro medicamento?

Como interpretar. Das 9h às 14h30 decorrem 5 horas e meia, ou seja $t=5{,}5$. Compara-se a temperatura nesse instante com a temperatura inicial.

$C(5{,}5)=26+13e^{-0,008\times 5,5}\approx 38{,}440\,°\text{C}$

$C(0)=26+13e^{-0,008\times 0}=39\,°\text{C}$

$C(0)-C(5{,}5)\approx 39-38{,}440\approx 0{,}56$

Como a diminuição da temperatura neste período foi superior a 0,5 °C, não terá sido necessário recorrer a outro medicamento.

18.2 — Tempo entre os telefonemas

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(10{,}0\,;\,38)$ e $(12{,}1\,;\,37{,}8)$.

$12{,}1-10{,}0\approx 2 \text{ horas}$

Entre os dois telefonemas decorreram, aproximadamente, 2 horas.

Um balão publicitário foi lançado de uma plataforma.

Admita que, $t$ minutos após ser lançado, a altura do balão, em metros, é bem aproximada pelo modelo seguinte.

19.1. Determine quantos metros subiu o balão no primeiro minuto.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

19.2. Quando o balão subiu dos 12 até aos 20 metros de altura, foram lançados confetes.

Determine durante quantos segundos decorreu o lançamento dos confetes.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) com arredondamento às centésimas.

19.1 — Metros subidos no primeiro minuto

$A(0)=\dfrac{30}{1+29e^{-2\times 0}}=1$

$A(1)=\dfrac{30}{1+29e^{-2\times 1}}\approx 6{,}09$

$A(1)-A(0)\approx 6{,}09-1\approx 5$

No primeiro minuto o balão subiu 5 metros.

19.2 — Duração do lançamento dos confetes

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(1{,}48\,;\,12)$ e $(2{,}03\,;\,20)$.

$2{,}03-1{,}48=0{,}55 \text{ minutos} \qquad 0{,}55\times 60=33 \text{ segundos}$

O lançamento dos confetes decorreu durante 33 segundos.

Desde que foi inaugurado, o Centro Comercial Futuro tem, ano após ano, cada vez mais visitantes. De acordo com a informação disponível, o número anual de visitantes do CCF, em milhares, $t$ anos após o início do ano de 1990, é bem aproximado pelo modelo seguinte

20.1. Determine em que ano o número de visitantes anuais do CCF ultrapassou pela primeira vez o valor de 75 000.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e a(s) coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às décimas.

20.2. Determine o valor da percentagem de aumento do número de visitantes do CCF entre o início de 1995 e o início de 2000.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve quatro casas decimais.

20.1 — Ano em que ultrapassou os 75 000

Obtém-se o ponto de coordenadas $(4{,}2\,;\,75)$.

O número de visitantes ultrapassou pela primeira vez o valor de 75 000 durante o ano de 1994.

20.2 — Percentagem de aumento entre 1995 e 2000

$V(5)=\dfrac{120}{1+5e^{-0,5\times 5}}\approx 85{,}0807 \text{ milhares}$

$V(10)=\dfrac{120}{1+5e^{-0,5\times 10}}\approx 116{,}0890 \text{ milhares}$

$\dfrac{85{,}0807}{31{,}0083}=\dfrac{100}{p} \Leftrightarrow p=\dfrac{31{,}0083\times 100}{85{,}0807} \Rightarrow p\approx 36\%$

O aumento foi de 36%.

A Teresa arrematou um quadro num leilão.

Admita que o valor de mercado do quadro, em euros, $t$ trimestres após o momento em que a Teresa o arrematou, é dado por

21.1. A Teresa considera a compra um bom investimento se o quadro se valorizar, pelo menos, 30%, seis meses após ter sido arrematado.

Terá sido a compra do quadro um bom investimento?

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

21.2. Com o passar do tempo, o valor de mercado do quadro tende a estabilizar num certo valor. A Teresa vendeu o quadro por um preço 40 euros abaixo desse valor.

Determine durante quantos meses a Teresa manteve o quadro na sua posse.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) que lhe permite(m) resolver o problema e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

21.1 — Foi um bom investimento?

Como interpretar. O tempo está em trimestres: seis meses correspondem a $t=2$.

$V(0)=\dfrac{1000}{1+4e^{-0,2\times 0}}=\dfrac{1000}{5}=200 \text{ euros}$

$1{,}3\times V(0)=1{,}3\times 200=260 \text{ euros}$

$V(2)=\dfrac{1000}{1+4e^{-0,2\times 2}}\approx 271{,}64 \text{ euros}$

Sim: de acordo com o critério definido pela Teresa, a compra foi um bom investimento, porque o valor do quadro seis meses após ter sido comprado (271,64 €) é superior a uma valorização de 30% (260 €).

21.2 — Meses de posse do quadro

Com o passar do tempo, o valor de mercado do quadro tende a estabilizar em torno dos 1000 €. Como a Teresa vendeu o quadro por um preço 40 euros abaixo desse valor, o preço de venda foi $1000-40=960$ €.

Obtém-se o ponto de coordenadas $(22{,}8\,;\,960)$, ou seja, a Teresa vendeu o quadro 22,8 trimestres após o ter arrematado no leilão.

$22{,}8\times 3=68{,}4 \text{ meses}$

A Teresa manteve o quadro na sua posse durante 68 meses.

Cada vez que o Paulo descarrega um jogo para o seu computador, surge no seu monitor uma barra de progresso semelhante à que se apresenta na figura seguinte.

O Paulo decidiu descarregar um jogo para o seu computador; deu início ao processo e, sem olhar para o monitor, ausentou-se.

Quando voltou, observou pela primeira vez a barra de progresso, que indica a percentagem da descarga do ficheiro já efetuada.

Admita que a percentagem da descarga do jogo, D, enquanto é efetuada, é bem aproximada pelo modelo seguinte

A variável $t$ representa o tempo, em minutos, e considera-se $t=0$ o instante em que o Paulo observou, pela primeira vez, a barra de progresso.

22.1. Para se efetuar a descarga completa do jogo, é necessário transferir 8 gigabytes de dados.

Quantos gigabytes já tinham sido descarregados um minuto antes de o Paulo observar a barra de progresso pela primeira vez?

Apresente a resposta, com arredondamento às décimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

22.2. Quanto tempo demorou a efetuar-se a descarga do jogo desde que o Paulo deu início ao processo?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s).

22.1 — Gigabytes um minuto antes

Como interpretar. Como $t=0$ é o instante em que o Paulo olhou, um minuto antes corresponde a $t=-1$.

$D(-1)=-200+100\log_{10}(50\times(-1)+250)\approx 30{,}103\%$

$8\times 0{,}301\approx 2{,}4 \text{ gigabytes}$

Já tinham sido descarregados 2,4 gigabytes.

22.2 — Tempo total da descarga

Como interpretar. São precisos dois instantes: aquele em que a descarga atinge 100% e aquele em que estava a 0% (o zero da função), que é anterior ao momento em que o Paulo olhou.

Obtêm-se o ponto de coordenadas $(15\,;\,100)$ e o ponto de interseção com o eixo das abcissas, $(-3\,;\,0)$.

Assim, antes do Paulo ter olhado pela primeira vez para a barra de progresso passaram 3 minutos e depois de ter olhado passaram mais 15 minutos, até a descarga atingir os 100%.

$3+15=18 \text{ minutos}$

A descarga demorou 18 minutos.

Uma das freguesias do município de Fonte Melo foi criada no início de 2002.

Admita que, $t$ anos após a criação da freguesia, o número de eleitores inscritos é bem aproximado, com arredondamento às unidades, pelo modelo seguinte.

23.1. Durante os primeiros 5 anos de existência da freguesia, verificou-se uma redução do número de eleitores.

Determine o valor dessa redução.

23.2. Admita que o número de elementos da assembleia de freguesia ($y$) depende do número de eleitores inscritos ($x$), no início do ano em que se realizam as eleições para a sua formação.

Na tabela seguinte, apresenta-se o modo como se relacionam esses valores.

Suponha que, nos anos em que se realizam eleições, estas ocorrem no início do ano.

Em que anos teria sido possível realizar eleições de modo a garantir que a assembleia desta freguesia fosse constituída por 13 elementos?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) que lhe permite(m) resolver o problema e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às décimas.

23.1 — Redução nos primeiros 5 anos

$E(0)=7700-1471\ln(0+1)=7700$

$E(5)=7700-1471\ln(5+1)\approx 5064$

$E(0)-E(5)=7700-5064=2636$

A redução foi de 2636 eleitores.

23.2 — Anos com assembleia de 13 elementos

Como interpretar. Pela tabela, 13 elementos exigem mais de 5000 eleitores. Como o modelo é decrescente, basta saber a partir de que ano o número desce abaixo de 5000.

Obtém-se o ponto de coordenadas $(5{,}3\,;\,5000)$.

Esta freguesia tem um número de eleitores que garante uma assembleia de 13 elementos em 2002 e nos 5 anos seguintes, ou seja, em 2002, 2003, 2004, 2005, 2006 e 2007.

A companhia de teatro «Perto de Si» está a organizar uma digressão a nível nacional, levando à cena uma peça.

Numa das cidades integradas na digressão da companhia de teatro existe um centro náutico.

24.1. Admita que o número de sócios do centro náutico é bem aproximado pelo modelo seguinte

em que a variável $t$ designa o tempo, em meses, que decorre desde a inauguração do centro náutico, e $a$ é um número real positivo.

Qual das alternativas seguintes pode representar o gráfico de $N$?

24.2. No centro náutico é possível praticar parasailing. Neste desporto, um para-quedas especial, denominado parasail, está preso a um barco através de um cabo. O praticante, equipado com o parasail, senta-se numa plataforma. Com a deslocação do barco, o parasail enche-se de ar e, à medida que a velocidade do barco aumenta, o parasail eleva-se nos ares.

Num momento de descanso, um dos atores da peça foi praticar parasailing.

Admita que, $t$ minutos após se elevar nos ares, a altura do parasail, em metros, é bem aproximada pelo modelo seguinte.

24.2.1. Comparando a altura atingida pelo parasail ao fim de 30 segundos e ao fim de 1 minuto, após se elevar nos ares, quanto aumentou, em percentagem, essa altura?

Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

24.2.2. O ator comentou que o parasail se tinha mantido a uma altura entre os 120 e os 150 metros durante, pelo menos, dois minutos.

Terá o ator razão?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) que lhe permite(m) resolver o problema e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

24.1 — Gráfico do modelo N

Como interpretar. Duas condições: o modelo é logístico, logo não ultrapassa 246; e, como $a\gt 0$, $N(0)=\frac{246}{1+a}$ é positivo mas menor que 246.

Observando a expressão que define o modelo $N$, podemos verificar que se trata de um modelo logístico, limitado superiormente pela assíntota de equação $y=246$, pelo que o modelo não permite a existência de valores superiores a 246.

$N(0)=\dfrac{246}{1+ae^{-0,65\times 0}}=\dfrac{246}{1+a}$

E assim, como $a$ é um número real positivo, $N(0)$ é um número real maior que zero.

Opção: (C)

24.2.1 — Aumento em percentagem da altura

Como o modelo aproxima a altura em função de $t$, medido em minutos, 30 segundos após o parasail se ter elevado no ar corresponde a $t=0{,}5$.

• $A(0{,}5)=1+35\ln(25{,}5\times 0{,}5+0{,}98)\approx 92{,}685$
• $A(1)=1+35\ln(25{,}5\times 1+0{,}98)\approx 115{,}674$

$A(1)-A(0{,}5)\approx 115{,}674-92{,}685\approx 22{,}989$

$\dfrac{p}{A(1)-A(0{,}5)}=\dfrac{100}{A(0{,}5)} \Rightarrow p\approx\dfrac{22{,}989\times 100}{92{,}685}\approx 25\%$

A altura aumentou 25%.

24.2.2 — Terá o ator razão?

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(1{,}1\,;\,120)$ e $(2{,}7\,;\,150)$.

$2{,}7-1{,}1=1{,}6 \text{ minutos}$

O parasail manteve-se entre os 120 e os 150 metros durante aproximadamente 1,6 minutos, ou seja, durante menos de 2 minutos, pelo que o ator não tem razão.

As altitudes de dois pequenos aviões foram monitorizadas, pela torre de controlo do aeródromo da ilha de Dujal, pouco tempo depois de levantarem voo.

Admita que as altitudes, em milhares de metros, $t$ minutos após o início da monitorização, do avião da companhia aérea AirOnPlane ($A$) e do avião da companhia aérea BeOnAir ($B$) são dadas, respetivamente, por

25.1. Suponha que o modelo que dá, em cada momento, a altitude do avião da companhia AirOnPlane tem uma margem de erro de 10 metros.

Determine entre que valores pode variar a altitude efetiva deste avião, 90 segundos após o início da monitorização.

Apresente a resposta, em metros, com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, exatamente, três casas decimais.

25.2. Determine, de acordo com os modelos apresentados, quantos minutos o avião da companhia AirOnPlane voou a uma altitude inferior à do avião da companhia BeOnAir, durante os 15 minutos de voo monitorizado.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) com arredondamento às décimas.

25.3. O avião da companhia AirOnPlane não atingiu a altitude prevista no plano de voo inicialmente estabelecido. Nesse plano de voo, o avião deveria atingir a altitude máxima de 12 000 metros.

Selecione a opção que completa corretamente a frase.

Ao fim dos 15 minutos de voo monitorizado, a altitude atingida pelo avião da AirOnPlane foi, com aproximação às unidades,       da altitude máxima estabelecida no plano de voo.

25.1 — Intervalo da altitude efetiva

Como 90 segundos correspondem a 1 minuto e meio, ou seja, 1,5 minutos:

$A(1{,}5)=\dfrac{9}{1+17e^{-0,7\times 1,5}}\approx 1{,}295$

Como o modelo dá a altitude em milhares de metros, a altitude do avião é de $1{,}295\times 1000=1295$ metros.

Como o modelo tem uma margem de erro de 10 metros, a altitude real pode variar entre 1285 e 1305 metros.

25.2 — Minutos a altitude inferior

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(2{,}5\,;\,2{,}3)$ e $(6{,}5\,;\,7{,}7)$.

$6{,}5-2{,}5=4 \text{ minutos}$

O avião da AirOnPlane voou a uma altitude inferior durante, aproximadamente, 4 minutos.

25.3 — Percentagem da altitude prevista

$A(15)=\dfrac{9}{1+17e^{-0,7\times 15}}\approx 9$

$\dfrac{12\,000}{9000}=\dfrac{100}{p} \Leftrightarrow p=\dfrac{100\times 9000}{12\,000} \Leftrightarrow p=75\%$

Opção: (D)

O Rui, um frequentador habitual do CineJov, partilhou numa rede social, às oito horas de um certo dia, a lista de filmes que serão exibidos durante o ciclo de cinema. A partir desse momento, alguns dos seus amigos efetuaram novas partilhas dessa lista.

Admita que o número total de novas partilhas da lista de filmes, ao fim de $t$ horas após o instante em que o Rui partilhou a lista de filmes, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Por exemplo, ao fim de duas horas após o instante em que o Rui partilhou a lista de filmes, tinham sido realizadas um total de 24 novas partilhas, uma vez que $P(2)\approx 23{,}66$

26.1. Determine o número total de novas partilhas realizadas entre as treze e as catorze horas (inclusive).

26.2. Que horas eram quando o número total de novas partilhas foi pela primeira vez superior a 500?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) que lhe permite(m) resolver o problema, as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às décimas e o resultado, em horas, arredondado às unidades.

26.1 — Partilhas entre as 13 e as 14 horas

Como interpretar. $t$ conta a partir das 8 horas: as 13 horas são $t=5$ e as 14 horas são $t=6$.

• as treze horas correspondem a $t=13-8=5$ e $P(5)=12e^{0,38\times 5}-2\approx 78$
• as catorze horas correspondem a $t=14-8=6$ e $P(6)=12e^{0,38\times 6}-2\approx 115$

$P(6)-P(5)\approx 115-78\approx 37$

Foram realizadas 37 novas partilhas.

26.2 — Hora em que ultrapassou as 500 partilhas

Obtém-se o ponto de coordenadas $(9{,}8\,;\,500)$.

Tinham passado 10 horas depois das oito horas, ou seja, eram 18 horas quando este valor foi atingido.

A Escola de Vilar de Sadeija foi inaugurada no ano 2000.

Admita que, $t$ anos após a inauguração da escola, o número de alunos matriculados no início de cada ano letivo é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

27.1. Com o passar do tempo, o número de alunos matriculados aproxima-se de um valor que não pode ser ultrapassado.

Identifique esse valor, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Na sua resposta:

• apresente o gráfico visualizado que lhe permite resolver o problema;
• assinale no gráfico o valor do qual, com o passar do tempo, se aproxima o número de alunos matriculados.

27.2. Na investigação para um artigo, um elemento do jornal da escola analisou a evolução do número de alunos matriculados no início de cada ano letivo, na escola.

Verificou que, no ano em que o jornal passou a ter instalações próprias, havia mais 950 alunos matriculados do que em 2002, ano em que o jornal foi fundado.

Determine o ano em que o jornal passou a ter instalações próprias.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, exatamente, três casas decimais.

27.1 — Valor-limite

O número de alunos inscritos irá aproximar-se de 2350, que corresponde, no modelo logístico, ao parâmetro que determina o limite superior da variação.

27.2 — Ano das instalações próprias

Usando o modelo inserido na calculadora gráfica e visualizando a tabela de valores da função, podemos identificar que o número de alunos matriculados em 2002 é $A(2)\approx 754$.

X	Y1
0	391,667
1	552,610
2	754,218
3	988,910
4	1239,889
5	1485,066
6	1704,294

Assim, pretendemos determinar o ano em que o número de alunos matriculados seja $754+950=1704$. Recorrendo novamente à tabela, verificamos que esse valor corresponde a $t=6$.

O jornal passou a ter instalações próprias em 2006.

O parque inaugurou uma bilheteira online às zero horas do dia 10 de junho de 2000.

Admita que o número total de bilhetes vendidos, ao fim de $t$ dias após a abertura da bilheteira online, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Por exemplo, ao fim de sete dias após a abertura da bilheteira online, tinham sido vendidos um total de 1166 bilhetes, uma vez que $b(7)\approx 1166{,}26$

28.1. Quantos bilhetes foram vendidos no dia 12 de junho de 2000?

Na sua resposta, apresente todos os cálculos que efetuar.

28.2. A empresa ComPromo disponibilizou uma bilheteira online, na qual também é possível comprar bilhetes para o parque de diversões. As duas bilheteiras entraram em funcionamento no mesmo instante.

Admita que o número total de bilhetes vendidos pela bilheteira disponibilizada pela ComPromo, ao fim de $t$ dias após a sua abertura, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Ao fim de quantos dias, após a abertura das duas bilheteiras, o número total de bilhetes vendidos na bilheteira online do parque foi, pela primeira vez, inferior ao número total de bilhetes vendidos na bilheteira disponibilizada pela ComPromo?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) que lhe permite(m) resolver o problema e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às décimas.

28.1 — Bilhetes vendidos no dia 12 de junho

Como interpretar. O modelo dá o número acumulado; os bilhetes de um dia obtêm-se pela diferença entre dois dias consecutivos.

Como 2 dias após a abertura da bilheteira online corresponde às zero horas do dia 12 de julho de 2000, o número de bilhetes vendidos antes do dia 12 de junho é $b(2)$ e o número de bilhetes vendidos até ao final do dia 12 de junho é $b(3)$.

$b(3)-b(2)=140+602\ln(0{,}5\times 3+2)-\bigl(140+602\ln(0{,}5\times 2+2)\bigr)\approx 93$

Foram vendidos 93 bilhetes.

28.2 — Dia em que a bilheteira do parque ficou atrás

Obtém-se o ponto de coordenadas $(28{,}2\,;\,1812{,}7)$.

Ao fim de 29 dias após a abertura das duas bilheteiras, o número total de bilhetes vendidos na bilheteira do parque foi, pela primeira vez, inferior.

Desde a inauguração do TPT, a 1 de janeiro de 2000, o número diário de horas de transmissão tem vindo a aumentar.

No dia 1 de janeiro, $n$ anos após a inauguração do canal, a percentagem de horas de emissão diárias é dada aproximadamente por

Considere que $n=0$ corresponde ao dia 1 de janeiro de 2000 e que $b$ é um número real.

29.1. Supondo que, em 1 de janeiro de 2000, a emissão do TPT durou 21% desse dia, determine $b$.

Apresente o resultado arredondado às centésimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

29.2. Considere agora que $b=3{,}5$.

29.2.1. Indique em que anos, no dia 1 de Janeiro, a percentagem de horas de emissão se situou entre 65% e 74%.

Na resolução deste item, recorra à calculadora gráfica para construir uma tabela. Apresente os valores, aproximados às unidades, das linhas da tabela relevantes para a resolução.

29.2.2. Uma parte da emissão do TPT é ocupada com publicidade. A tabela seguinte apresenta o custo da publicidade, por minuto, em função do horário em que é transmitida.

No dia 1 de janeiro de 2011, uma empresa comprou 1% das horas de emissão para publicitar um produto. O tempo adquirido para esta publicidade foi distribuído de igual forma pelos períodos da manhã e da tarde.

Qual foi o custo, em euros, desta publicidade?

Na sua resposta, apresente, arredondados à unidade, os minutos adquiridos para esta publicidade. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, exatamente, duas casas decimais.

No mercado cambial, a compra e a venda de moeda estrangeira está sujeita ao câmbio no momento em que a transação se efetua.

Em Pracóvia, a moeda oficial é abreviadamente designada por PRC.

De acordo com informação recolhida no mercado, o modelo $v$, válido para o mês de janeiro de 2015, dá-nos o valor em euros de cada PRC, $t$ dias após as zero horas do dia 1 de janeiro de 2015, e é definido por

30.1. Às 12 horas do dia 15 de janeiro de 2015, numa agência bancária de Pracóvia, o Francisco quis trocar euros por PRC, de modo a obter 1500 PRC.

Determine, de acordo com o modelo apresentado, a quantia em euros que o Francisco teve de trocar.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

30.2. A Gabriela e o Henrique estiveram em Pracóvia no mês de janeiro de 2015, tendo estado juntos apenas em parte da sua estada. Posteriormente, encontraram-se e conversaram sobre os gastos efetuados. A Gabriela comentou que, durante a sua estada, o câmbio estivera sempre acima de 0,75 euros, e o Henrique lembrava-se de que, durante a sua estada, o câmbio estivera sempre abaixo de 1,5 euros.

Será possível que os dois amigos tenham estado em Pracóvia, simultaneamente, durante dez dias consecutivos?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o gráfico visualizado e as coordenadas de pontos relevantes arredondadas às centésimas.

30.1 — Quantia em euros

As 12 horas do dia 15 de janeiro correspondem a 14 dias e meio após as zero horas do dia 1 de janeiro, ou seja, ao valor $t=14{,}5$.

$v(14{,}5)=\dfrac{1{,}85}{1+12e^{-0,33\times 14,5}}\approx 1{,}6814 \text{ €}$

$\dfrac{1}{1500}=\dfrac{1{,}6814}{q} \Leftrightarrow q=1{,}6814\times 1500 \Leftrightarrow q\approx 2522 \text{ €}$

O Francisco teve de trocar 2522 €.

30.2 — Dez dias consecutivos em simultâneo?

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(6{,}37\,;\,0{,}75)$ e $(11{,}94\,;\,1{,}5)$.

$11{,}94-6{,}37=5{,}57 \text{ dias}$

Como o período de tempo em que a taxa de câmbio esteve entre os 0,75 € e os 1,5 € é de apenas 5,57 dias, os dois amigos não estiveram em Pracóvia, simultaneamente, durante dez dias consecutivos.

A rádio oficial do MaréFest transmite em direto a partir do recinto do festival. Uma das transmissões em direto iniciou-se às 20h00 e teve a duração de seis horas.

Das pessoas que ouviam rádio nessa noite, a percentagem de ouvintes da rádio oficial do MaréFest ao longo do programa, $t$ horas após o início da transmissão, é dada por

31.1. Qual foi a percentagem de ouvintes da rádio oficial do MaréFest às 22h00?

Apresente a resposta arredondada às décimas.

31.2. No início da atuação da banda principal, a percentagem de ouvintes da rádio oficial era de, aproximadamente, 25,2%, tendo aumentado 13 pontos percentuais até ao final da atuação da banda.

Determine a hora de início e a hora de conclusão da atuação da banda principal.

Apresente o resultado em horas e minutos, arredondados às unidades.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente o gráfico visualizado e as coordenadas de pontos relevantes arredondadas às décimas.

31.1 — Percentagem às 22h00

Como o modelo dá a percentagem $t$ horas após as 20h00, as 22h00 correspondem a $t=2$.

$r(2)=14{,}8+0{,}7e^{0,6\times 2}\approx 17{,}1\%$

A percentagem de ouvintes às 22h00 era de 17,1%.

31.2 — Horas de início e de conclusão

Como a percentagem aumentou 13 pontos percentuais, no final da atuação era $25{,}2+13=38{,}2\%$.

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(4{,}5\,;\,25{,}2)$ e $(5{,}8\,;\,38{,}2)$.

• a hora de início corresponde a $t=4{,}5$, ou seja, 4 horas e meia após as 20h00, isto é, às 00h30;
• a hora de conclusão corresponde a $t=5{,}8$; como 0,8 horas correspondem a $0{,}8\times 60=48$ minutos, a hora de conclusão foi às 01h48.

A banda principal atuou entre as 00h30 e as 01h48.

O número, $P$, de residentes num concelho, em função de $t$, em meses, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

$t$ é o número de meses que decorrem após o início de janeiro de 2010. Por exemplo, $P(1)$, com arredondamento às unidades, representa o número de residentes no início de fevereiro de 2010.

32.1. Entre o início de janeiro de 2010 e o início de janeiro de 2013, o número de residentes no concelho aumentou.

Determine o valor desse aumento.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

32.2. Um estudo concluiu que, dadas as dimensões geográficas do concelho, o número de residentes do concelho não pode exceder um determinado valor. Diz-se, por isso, que, com o decorrer do tempo, há um limite para o valor de $P$.

Identifique um valor aproximado para esse limite.

Justifique a sua resposta, recorrendo às potencialidades gráficas da calculadora.

32.1 — Aumento entre 2010 e 2013

Como interpretar. O tempo está em meses: três anos correspondem a $t=36$.

$P(0)=\dfrac{1239}{1+23\times e^{-0,13\times 0}}\approx 52$

$P(36)=\dfrac{1239}{1+23\times e^{-0,13\times 36}}\approx 1021$

$P(36)-P(0)=1021-52=969 \text{ habitantes}$

O aumento foi de 969 habitantes.

32.2 — Limite para o valor de P

Com o decorrer do tempo, o limite para o valor de $P$ é 1239, que corresponde, no modelo logístico, ao parâmetro que determina o limite superior da variação.

Certo dia, vieram a público rumores da separação dos sócios e a cotação em bolsa das ações da PTM entrou em queda. A cotação $C$ (em euros) de cada ação, no final de cada dia de negociação em bolsa, $t$ dias após os rumores terem começado, é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às centésimas.

No modelo, $t=1$ corresponde ao fim do primeiro dia de negociação das ações em bolsa, após o início dos rumores. Assim, por exemplo, a cotação de cada ação, em euros, no final do terceiro dia de negociação em bolsa, após o início dos rumores, é 3,63 euros, pois $C(3)\approx 3{,}626$

33.1. Qual foi o valor da desvalorização de cada ação, desde o final do primeiro dia de negociação das ações até ao final do sétimo dia?

Apresente a resposta arredondada às centésimas.

33.2. Durante quantos dias de negociação das ações em bolsa, após o início dos rumores, a cotação de cada ação, no final do dia, foi superior a um terço do valor registado no final do segundo dia de negociação?

33.1 — Desvalorização entre o 1.º e o 7.º dia

• $C(1)=5{,}1-3\log_{10}(1+0{,}1)=5{,}1-3\log_{10}1{,}1\approx 4{,}976$
• $C(7)=5{,}1-3\log_{10}(7+0{,}1)=5{,}1-3\log_{10}7{,}1\approx 2{,}546$

$C(1)-C(7)\approx 4{,}976-2{,}546\approx 2{,}43 \text{ euros}$

A desvalorização foi de 2,43 € por ação.

33.2 — Dias acima de um terço do valor do 2.º dia

$\dfrac{C(2)}{3}=\dfrac{5{,}1-3\log_{10}(2+0{,}1)}{3}=\dfrac{5{,}1-3\log_{10}2{,}1}{3}\approx 1{,}378$

Obtém-se o ponto de coordenadas $(17{,}3\,;\,1{,}378)$.

Como o valor indicado foi atingido após o final do 17.º dia, a cotação esteve acima deste valor durante 17 dias após os rumores terem começado.

O Gabinete de Avelares Prudente (GAP) tem por missão promover a segurança rodoviária no concelho. Neste âmbito, foi feito um levantamento estatístico de dados sobre os habitantes do concelho de Avelares que têm carta de condução.

Segundo o GAP, que acompanha o número de novos encartados, a percentagem $M$ de novos encartados que são mulheres, $t$ anos após 1980, é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Por exemplo, no ano de 1982, a percentagem de novos encartados que são mulheres é igual a 28%, pois $M(2)\approx 27{,}98$

34.1. Em 1985, o número de novos encartados foi 4750. Quantas mulheres foram encartadas nesse ano?

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

34.2. Determine o primeiro ano em que, no mês de janeiro, a percentagem de novos encartados do sexo feminino foi superior a 50%.

Em três cidades, Peso, Neiva e Runa, a população evolui segundo modelos de crescimento distintos.

Um modelo matemático que se ajusta bem à evolução do número $P$ de habitantes de Peso, com arredondamento às unidades, em função do número $t$ de anos que decorrem após o dia 1 de junho de 2000, é

Um modelo matemático que se ajusta bem à evolução do número $N$ de habitantes de Neiva, com arredondamento às unidades, em função do número $t$ de anos que decorrem após o dia 1 de junho de 2000, é

Um modelo matemático que se ajusta bem à evolução do número $R$ de habitantes de Runa, com arredondamento às unidades, em função do número $t$ de anos que decorrem após o dia 1 de junho de 2000, é

Considere que $t=0$ corresponde ao dia 1 de junho de 2000, para todos os modelos.

35.1. Determine ao fim de quantos anos, após o dia 1 de junho de 2000, se estima que o número de habitantes de Peso duplique.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

35.2. Determine, recorrendo às potencialidades gráficas da calculadora, o número mínimo de anos ao fim dos quais se estima que o número de habitantes de Peso seja superior ao número de habitantes de Neiva.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

35.3. Na tabela seguinte, apresentam-se os números de habitantes de Runa contabilizados de 2000 a 2006, no dia 1 de junho.

Estime o número de habitantes que se previa para Runa no dia 1 de junho de 2012, de acordo com a tabela anterior e admitindo que o número de habitantes em função do número de anos é melhor aproximado por um modelo do tipo $R(t)=at+b$.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

35.1 — Anos até a população duplicar

$P(0)=1800\times e^{0,05\times 0}=1800 \qquad 2\times P(0)=3600$

X	Y1
10	2967,7
11	3119,9
12	3279,8
13	3448
14	3624,8
15	3810,6
16	4006

Ao fim de 14 anos após o dia 1 de junho de 2000 o número de habitantes de Peso duplica.

35.2 — Anos até Peso ultrapassar Neiva

Obtém-se o ponto de coordenadas $(23{,}98\,;\,5969{,}44)$.

O número mínimo de anos é 24.

35.3 — Habitantes de Runa em 2012

Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados relativos aos anos ($x$) e à população ($y$) e determinando a regressão linear, obtêm-se os valores $a\approx 258{,}07$ e $b\approx 632{,}21$.

$R(t)=258{,}07t+632{,}21$

$R(12)=258{,}07\times 12+632{,}21\approx 3729 \text{ habitantes}$

Previam-se 3729 habitantes em Runa no dia 1 de junho de 2012.

Em Semedo, construiu-se uma nova urbanização.

A câmara municipal contratou uma empresa para analisar a qualidade da água da urbanização. O estudo realizado revelou a existência de micro-organismos.

36.1. No início do estudo, às zero horas do dia 13 de setembro de 2013, o número de micro-organismos na água era 3 milhares de milhões por cm³. Cinco dias após o início do estudo, o número de micro-organismos na água era 19,39 milhares de milhões por cm³.

O número $P$ de micro-organismos na água, em milhares de milhões por cm³, $t$ dias após o início do estudo, é bem aproximado por um modelo exponencial.

Na figura seguinte, apresenta-se parte da representação gráfica de $P(t)$ (com $t\gt 0$)

Determine um modelo exponencial, da forma $a\times e^{bt}$ ou da forma $a\times b^{t}$, que se ajuste à evolução de $P(t)$, recorrendo à calculadora.

Apresente o valor de $b$ com arredondamento às milésimas.

36.2. Às zero horas do dia 18 de setembro de 2013, foi adicionada à água uma substância que elimina micro-organismos.

Considere, agora, que o número $M$ de micro-organismos na água, em milhares de milhões por cm³, $t$ dias após a adição da substância, é bem aproximado pelo modelo seguinte.

Determine, recorrendo às potencialidades gráficas da calculadora, o número mínimo de dias necessários para que o número de micro-organismos presentes na água seja inferior a um oitavo do número de micro-organismos que tinham sido contabilizados na água no instante em que se adicionou a substância.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

36.1 — Modelo exponencial ajustado

Inserindo na calculadora gráfica, numa lista os tempos referidos e em outra lista os números de micro-organismos correspondentes:

L1 ($t$)	L2 ($P$)
0	3
5	19,39

Calculando a regressão para um modelo exponencial ($y=a\times e^{bx}$), obtêm-se os valores $a=3$ e $b\approx 0{,}373$.

$P(t)=3\times e^{0,373t}$, com $t\gt 0$.

36.2 — Dias até ficar abaixo de um oitavo

$M(0)=19{,}39\times e^{-0,08\times 0}=19{,}39 \text{ milhares de milhões por cm}^3$

$\dfrac{M(0)}{8}=\dfrac{19{,}39}{8}\approx 2{,}424$

Obtém-se o ponto de coordenadas $(25{,}992\,;\,2{,}424)$.

O número mínimo de dias necessários é 26 dias.

Uma operadora de telemóveis apresenta aos seus clientes dois tarifários distintos, o Tarifário M e o Tarifário N.

Na tabela seguinte, apresentam-se duas simulações do custo total da chamada, em euros, em função da sua duração, $t$, em minutos, no Tarifário M e no Tarifário N, para os primeiros 10 minutos.

37.1. Um modelo matemático que se ajusta bem à nuvem de pontos correspondente ao custo total $y$ da chamada no Tarifário N, em função de $t$, é da forma $y(t)=\dfrac{c}{1+a\times e^{-bt}}$

Determine as constantes $a$, $b$ e $c$, recorrendo à calculadora. Apresente os valores de $a$, $b$ e $c$ com arredondamento às milésimas.

37.2. Justifique que um modelo de crescimento linear seja apropriado para descrever os dados relativos ao Tarifário M.

Na sua resposta, deve representar graficamente os dados relativos ao Tarifário M, apresentar o valor do coeficiente de correlação linear entre as variáveis duração e custo total da chamada, e relacionar o diagrama de dispersão com o valor do coeficiente de correlação linear.

37.3. Compare os modelos matemáticos que interpretam bem a evolução do custo total de uma chamada, em função da sua duração no Tarifário M e no Tarifário N, descrevendo as suas representações gráficas.

37.1 — Constantes do modelo logístico

Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados relativos à duração da chamada ($x$) e ao custo total da chamada no tarifário N ($y$) e calculando a correlação do tipo logístico, obtêm-se os seguintes valores, com arredondamento às milésimas:

• $a\approx 5{,}730$
• $b\approx 0{,}931$
• $c\approx 0{,}639$

$y(t)=\dfrac{0{,}639}{1+5{,}730\times e^{-0,931t}}$

37.2 — Adequação do modelo linear ao Tarifário M

Determinando o coeficiente de correlação linear, referente às duas listas, com aproximação às centésimas, obtemos o valor $r=1$.

Como os pontos do diagrama de dispersão estão alinhados e dispostos sobre uma reta, a correlação é perfeita, o que é confirmado pelo valor do coeficiente de correlação ($r=1$), pelo que um modelo de crescimento linear é perfeitamente apropriado para descrever os dados relativos ao Tarifário M.

37.3 — Comparação dos dois tarifários

Representando na calculadora gráfica os gráficos dos modelos da variação do custo das chamadas em cada um dos tarifários, ambos em função da duração da chamada ($y=\frac{0,639}{1+5,730e^{-0,931x}}$ para o tarifário N e $y=0{,}094x$ para o tarifário M), obtém-se o ponto de interseção de coordenadas $(6{,}724\,;\,0{,}632)$.

Assim, para chamadas com duração até 6,724 minutos, o tarifário M tem custos inferiores aos do tarifário N. Para durações superiores a 6,724 minutos os custos do modelo M são superiores aos dos dois modelos.

Os custos do tarifário M aumentam de forma proporcional à duração das chamadas, enquanto que os custos do tarifário N têm um aumento residual com o aumento da duração das chamadas a partir do sétimo minuto.

Na tabela seguinte, apresenta-se o número de habitantes de Pontes de Cima entre 1980, ano do início da contagem, e 2010, ano do último registo conhecido.

Considere que $t=0$ corresponde ao ano 1980, sendo $t$ o número de anos que decorrem a partir do início da contagem.

Um modelo matemático que se ajusta bem à nuvem de pontos correspondente ao número $N$ de habitantes da localidade, em função de $t$, é

38.1. Determine a previsão do número de habitantes para o ano 2018, caso se adote o modelo $N$ por um período de tempo mais alargado.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

38.2. A Joana é aluna da escola secundária desta localidade. Ao estudar os dados apresentados na tabela anterior, constatou que, tendo em conta apenas os valores de $N$ correspondentes a $t=0,5,10,15$ e 20, um modelo matemático que se ajusta bem a esses pontos é $y=a\times t+b$ (sendo $y$ o número de habitantes e $t$ o número de anos que decorrem a partir do início da contagem, em 1980).

Determine o valor aproximado do crescimento anual do número de habitantes da localidade, de acordo com o modelo apresentado pela Joana.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

38.3. Admita, agora, que o modelo $N(t)=678{,}211\times e^{0,065t}$ permite obter com maior aproximação o número $N$ de habitantes daquela localidade para além do período em que ocorreu a recolha de dados.

Segundo o presidente da junta de freguesia de Pontes de Cima, quando o número de habitantes atingir 7000, será construída uma nova escola.

Determine o ano em que isso ocorre, recorrendo à representação gráfica.

38.1 — Previsão para 2018

Como 2018 corresponde a $2018-1980=38$ anos a partir do início da contagem:

$N(38)=678{,}211\times e^{0,065\times 38}\approx 8018 \text{ habitantes}$

A previsão é de 8018 habitantes.

38.2 — Crescimento anual segundo o modelo da Joana

$t$ ($x$)	$N$ ($y$)
0	650
5	940
10	1380
15	1999
20	2373

Determinando a regressão linear para estes dados, obtêm-se os valores $a\approx 90$ e $b\approx 567$, ou seja, $N(t)=90t+567$.

O crescimento anual do número de habitantes, de acordo com o modelo apresentado pela Joana, é de aproximadamente 90 habitantes por ano.

38.3 — Ano da construção da nova escola

Obtém-se o ponto de coordenadas $(36\,;\,7000)$.

A nova escola deverá ser construída em 2016 ($1980+36$).

Com o objetivo de rentabilizar as suas poupanças, a Carla pesquisou na Internet instituições financeiras da localidade de Bicas.

39.1. A instituição financeira POUPA oferece aos seus clientes uma solução de rentabilidade que permite fazer depósitos por um período alargado de tempo.

A tabela seguinte apresenta o capital no final de cada mês em duas contas, $X$ e $Y$, dessa instituição, ao longo de 6 meses, com depósitos iniciais de 1500 euros em cada uma das contas, efetuados no mesmo dia.

A Carla afirma:

«Se efetuar, no mesmo dia, depósitos iniciais de 1500 euros em cada uma das contas, $X$ e $Y$, o capital na conta $Y$ ultrapassa o capital na conta $X$ entre o 56.º mês e o 57.º mês após os depósitos iniciais.»

Mostre que a Carla tem razão, considerando que as condições apresentadas pela tabela anterior se mantêm por um período alargado de tempo.

39.2. A instituição financeira PAGABEM vende aplicações no fundo GANHAR+ com um grau de incerteza na obtenção de rendimento.

Admita que, em cada dia, o número $N$ de aplicações feitas no fundo GANHAR+, em função do período de capitalização $x$, em meses, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Determine o número de aplicações feitas no fundo GANHAR+, num certo dia, por um período de capitalização igual a 10 meses, de acordo com o modelo apresentado.

39.1 — Mostrar que a Carla tem razão

Como interpretar. A conta $X$ cresce sempre 20 € por mês (crescimento linear); a conta $Y$ é multiplicada por 1,01 todos os meses (crescimento exponencial). O exponencial acaba por ultrapassar o linear.

	Final do 1.º mês	Final do 2.º mês	Final do 3.º mês	Final do 4.º mês	Final do 5.º mês	Final do 6.º mês
X	$1500+20=$ 1520	$1520+20=$ 1540	$1540+20=$ 1560	$1560+20=$ 1580	$1580+20=$ 1600	$1600+20=$ 1620
Y	$1500\times 1{,}01=$ 1515	$1515\times 1{,}01=$ 1530,15	$1530{,}15\times 1{,}01=$ 1545,45	$1545{,}45\times 1{,}01=$ 1560,91	$1560{,}91\times 1{,}01=$ 1576,52	$1576\times 1{,}01=$ 1592,28

Assim, o capital no final do $n$-ésimo mês é dado pelas expressões:

$X(n)=1500+20n \qquad\text{e}\qquad Y(n)=1500\times 1{,}01^{n}$

Obtém-se o ponto de coordenadas $(56{,}2\,;\,2624{,}2)$.

O capital da conta $Y$ é inferior ao da conta $X$ até ao 56.º mês e superior a partir do 57.º mês, após os depósitos iniciais, pelo que se pode concluir que a Carla tem razão.

39.2 — Aplicações no fundo GANHAR+

$N(10)=\dfrac{30}{1+16\times e^{-1,15\times 10}}\approx 30$

Foram feitas 30 aplicações.

A associação Ajuda ao Próximo, da aldeia de Xisto, está a organizar uma recolha de sangue.

Na recolha, serão distribuídos folhetos informativos nos quais se lê:

«A recolha de sangue tem aumentado, sem quebras, desde 2006, mas ainda não é suficiente para as necessidades do país, pois, para que essas necessidades sejam asseguradas, é preciso recolher 250 000 unidades de sangue por ano.»

Em cada ano, o número de milhares de unidades de sangue recolhidas, $A$, em função do número de anos, $t$, que decorrem após o final de 2006, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

40.1. Determine o número aproximado de milhares de unidades de sangue que serão recolhidas em 2018.

40.2. Determine o primeiro ano em que a recolha de sangue assegurará as necessidades do país.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

40.1 — Unidades recolhidas em 2018

Como 2018 corresponde a $2018-2006=12$ anos após 2006, ou seja, $t=12$:

$A(12)=100\ln(4+0{,}49\times 12)\approx 229$

Serão recolhidas, aproximadamente, 229 milhares de unidades de sangue.

40.2 — Primeiro ano que assegura as necessidades

Para que as necessidades sejam asseguradas é preciso recolher 250 000 unidades de sangue por ano, ou seja, 250 milhares.

Obtém-se o ponto de coordenadas $(16{,}999\,;\,250)$.

O número de recolhas só será atingido no ano correspondente a $t=17$, ou seja, no ano 2023 ($2006+17$).

Uma empresa de marketing analisa dados relativos às vendas mensais de dois produtos, telemóveis e computadores, de uma determinada marca, no mesmo período de tempo.

O número $N$ de telemóveis vendidos dessa marca, em milhares, $t$ meses após o início das vendas, é bem aproximado por $N(t)=4{,}8\times 3^{0,15t}$ $(t=1,2,3,\ldots)$

Na tabela seguinte, apresenta-se o número $V$ de computadores vendidos dessa marca, em milhares, $t$ meses após o início das vendas.

41.1. Entre o quinto e o sexto mês após o início das vendas, o número $N$ de telemóveis vendidos aumentou.

Determine o valor desse aumento. Apresente o resultado em milhares, com arredondamento às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

41.2. Um modelo que se ajusta bem à nuvem de pontos correspondente ao número $V$ de computadores vendidos, em função de $t$, é da forma $V(t)=\dfrac{c}{1+a\times e^{-bt}}$

Determine as constantes $a$, $b$ e $c$, recorrendo à calculadora. Apresente os valores de $a$, $b$ e $c$, com arredondamento às centésimas.

41.3. Considere, agora, que o número $V$ de computadores vendidos dessa marca, em milhares, $t$ meses após o início das vendas, é bem aproximado por $V(t)=\dfrac{16}{1+2307\times e^{-3t}}$ $(t=1,2,3,\ldots)$

Justifique a veracidade ou a falsidade da afirmação seguinte, a partir da análise de representações gráficas dos modelos para o número $N$ de telemóveis vendidos e para o número $V$ de computadores vendidos, considerando o período de um ano após o início das vendas.

«Até ao final do segundo mês após o início das vendas, o número $N$ de telemóveis vendidos é maior, porque, para esse período de tempo, a curva que o representa está acima da curva que representa o número $V$ de computadores vendidos. Mas, no final do terceiro mês e a partir daí, o número $V$ de computadores vendidos é maior, uma vez que as curvas se intersectam e a curva que representa o número $V$ de computadores vendidos fica sempre acima da curva que representa o número $N$ de telemóveis vendidos.»

41.1 — Aumento entre o 5.º e o 6.º mês

• $N(5)=4{,}8\times 3^{0,15\times 5}\approx 10{,}942$
• $N(6)=4{,}8\times 3^{0,15\times 6}\approx 12{,}902$

$N(6)-N(5)\approx 12{,}902-10{,}942\approx 1{,}96$

O aumento foi de 1,96 milhares.

41.2 — Constantes do modelo logístico

Inserindo na calculadora gráfica, numa lista os tempos referidos e em outra lista os números de computadores correspondentes, e calculando a regressão para um modelo logístico, obtêm-se os seguintes valores, com arredondamento às centésimas:

• $a\approx 2414{,}66$
• $b\approx 3{,}10$
• $c\approx 15{,}79$

$V(t)=\dfrac{15{,}79}{1+2414{,}66\times e^{-3,10t}}$

41.3 — Veracidade da afirmação

Obtêm-se os pontos de coordenadas $(2{,}47\,;\,7{,}22)$ e $(7{,}31\,;\,16{,}00)$.

A afirmação é falsa: de facto, ao final do segundo mês após o início das vendas, o número $N$ de telemóveis vendidos é maior; mas não é verdade que a partir do final do terceiro mês o número $V$ de computadores vendidos seja sempre maior, uma vez que tal só acontece entre o terceiro e o sétimo mês, voltando o número de telemóveis vendidos a ser superior a partir do oitavo mês.

O senhor Jerónimo e o senhor Manuel depositaram, cada um, a quantia de € 25 000,00 em contas em duas instituições financeiras diferentes, $A$ e $B$, respetivamente. Os depósitos evoluíram como se apresenta nas tabelas seguintes.

Em conversa com o senhor Manuel, o senhor Jerónimo afirmou:

«Comparando as duas instituições financeiras, nas mesmas condições de evolução dos depósitos apresentadas nas tabelas anteriores, se nos primeiros anos a instituição $B$ é a melhor escolha para obter o máximo de capital acumulado, a partir de certa altura, a instituição $A$ torna-se mais vantajosa.»

Justifique a veracidade da afirmação anterior para um novo depósito de € 25 000,00, numa nova conta, no final de 2010, a partir da representação gráfica dos modelos de evolução dos depósitos nas duas instituições financeiras, $A$ e $B$.

Como interpretar. A instituição $A$ pratica juro composto (o capital é multiplicado por um fator fixo); a $B$ pratica juro simples (soma sempre a mesma quantia). O exponencial acaba por ultrapassar o linear.

Observando a tabela podemos verificar que na instituição $A$ o capital acumulado ao fim de $n$ anos é sempre 1,025 vezes superior ao ano anterior. Isto é, corresponde a uma taxa de juro composto de $\dfrac{625}{25\,000}=0{,}025$, ou seja 2,5% ao ano:

$A_n=25\,000\times 1{,}025^{\,n}$

Relativamente à instituição $B$, é sempre € 700 superior em relação ao ano anterior. Isto é, corresponde a uma taxa de juro simples de $\dfrac{700}{25\,000}=0{,}028$, ou seja 2,8% ao ano:

$B_n=25\,000+n\times 700$

Obtém-se o ponto de coordenadas $(9{,}98\,;\,31\,983{,}56)$.

A partir do 10.º ano, o capital acumulado na instituição $A$ é superior, pelo que ao fim de 10 anos é que a instituição $A$ se torna vantajosa.

Um economista estudou, durante 24 meses, o número de desempregados inscritos numa delegação do Instituto do Emprego e Formação Profissional (IEFP). Concluiu que o número de desempregados inscritos nessa delegação do IEFP, no início do estudo e no final de cada mês, $t$, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Considera-se $t=0$ como o início do estudo. Assim, por exemplo, o número de desempregados inscritos nessa delegação do IEFP, no início do estudo, é 200, e o número de desempregados inscritos nessa delegação do IEFP, no final do quarto mês após o início do estudo, é 1702, pois $P(4)\approx 1702{,}1099$.

43.1. Determine, a partir do modelo $P$, ao fim de quantos meses após o início do estudo o número de desempregados inscritos nessa delegação do IEFP é 2453.

43.2. Ao longo dos 24 meses em que decorreu o estudo, o número de desempregados inscritos nessa delegação do IEFP não foi constante.

Num pequeno texto, analise a evolução do número de desempregados inscritos nessa delegação do IEFP, com base na representação gráfica do modelo $P$.

Na sua resposta, deve indicar o número máximo de desempregados inscritos nos 24 meses, apresentar a diferença entre os números de desempregados inscritos no início e no final do estudo, e descrever a forma como evoluiu o número de desempregados inscritos.

43.1 — Meses até atingir 2453 inscritos

X	Y1
5	2065,04
6	2283,85
7	2398,02
8	2453,13
9	2478,72
10	2490,39
11	2495,67

Ao fim de 8 meses após o início do estudo o número de desempregados inscritos era 2453.

43.2 — Evolução do número de inscritos

Podemos observar que durante o estudo o número de inscritos no IEFP aumentou sempre, embora esse aumento tenha sido mais acentuado nos primeiros meses do estudo e depois tenha havido uma fase de crescimento progressivamente mais lento na segunda metade do estudo, pelo que o número máximo de inscritos se verificou no final do estudo, ou seja ao fim de 24 meses e tenha atingido o valor de 2500 inscritos.

Como no início do estudo estavam inscritos no centro 200 pessoas, a diferença entre o número de inscritos no início e no final do estudo foi de $2500-200=\mathbf{2300}$ inscritos.

Num Serviço de Atendimento à Gripe (SAG), o número aproximado de casos confirmados de infeção pelo vírus H1N1, no dia $t$ do mês de Agosto de 2009, é dado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

No mesmo SAG, o número aproximado de casos confirmados de infeção pelo vírus H1N1, no dia $t$ do mês de Setembro de 2009, é dado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.

Assim, por exemplo, o número aproximado, arredondado às unidades, de casos confirmados de infeção pelo vírus H1N1, no dia 3 de Agosto de 2009, é 19, pois $A(3)\approx 18{,}88426$, e, no dia 4 de Setembro de 2009, é 64, pois $S(4)\approx 63{,}81475$.

44.1. Determine o número aproximado, arredondado às unidades, de casos confirmados de infeção pelo vírus H1N1, no dia 18 de Setembro, utilizando o modelo $S$.

44.2. A partir do modelo $A$, é possível afirmar que, num determinado dia do mês de Agosto, o número aproximado, com arredondamento às unidades, de casos confirmados de infeção pelo vírus H1N1 é 51.

Determine esse dia.

44.3. No mês de Agosto e no mês de Setembro, o número aproximado de casos confirmados de infeção pelo vírus H1N1, arredondando às unidades, apresenta-se segundo modelos matemáticos diferentes.

Num pequeno texto, analise as representações gráficas dos modelos $A$ e $S$.

44.1 — Casos no dia 18 de Setembro

$S(18)=62{,}11+\ln(1{,}5+18)\approx 65$

No dia 18 de Setembro havia, aproximadamente, 65 casos confirmados.

44.2 — Dia com 51 casos

X	Y1
3	18,884
4	30,571
5	42,395
6	51,344
7	56,743
8	59,566
9	60,932

O dia em que o número de casos confirmados foi 51 foi o dia 6 de Agosto.

44.3 — Análise das duas representações gráficas

No mês de agosto o modelo descreve um aumento acentuado de casos de infeção durante a primeira metade do mês, e depois uma fase de crescimento lento na segunda metade do mês, sendo a variação de 5 casos de infeção no início do mês até 62 casos no final do mês, ou seja, uma diferença de $62-5=57$ casos.

Relativamente ao mês de setembro, o aumento descrito pelo modelo é sempre relativamente pequeno, ainda assim, com tendência a abrandar ao longo do mês, sendo a variação de 63 casos no início do mês até 66 casos no final do mês, ou seja, uma diferença de $66-63=3$ casos.

O aumento do número de infeções foi significativamente superior no mês de agosto, e o mês de setembro caracterizou-se por um aumento ligeiro, que já vinha a ser observado na segunda metade do mês de agosto.

A partir dos dados, fornecidos pelo Instituto Nacional de Estatística (INE), relativos aos anos de 2000 a 2007, a empresa MSO obteve um modelo matemático que permite descrever, em milhares e em função de $t$, o número de residentes em Portugal:

Considere que $t$ é medido em anos e que $t=0$ corresponde ao final do ano 2000.

Calcule em quantos milhares de indivíduos aumentou o número de residentes em Portugal, entre o final do ano 2000 e o final do ano 2007, segundo o modelo apresentado.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Na atualidade, há uma crescente preocupação com a preservação da natureza, nomeadamente, quanto à necessidade de proteger espécies que se encontram em vias de extinção.

Considere que uma certa espécie animal se encontrava em vias de extinção. Para a proteger, tomaram-se medidas protecionistas, designadamente, a criação de uma área protegida, no seu habitat natural.

Admita que, no início, apenas existiam 8 animais da espécie nessa área. A tabela seguinte traduz a contagem anual do número de animais nela existentes.

O gráfico seguinte representa os dados da tabela, através de uma nuvem de pontos.

46.1. Um modelo alternativo ao modelo de regressão linear, que podemos ajustar à nuvem de pontos apresentada, é o modelo logístico. No caso concreto, o recurso à calculadora permite obter o modelo logístico de equação

De acordo com este modelo, estime o número de animais existentes, na área protegida, 20 anos após a criação da mesma.

Apresente o resultado arredondado às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, utilize três casas decimais.

46.2. As grandes áreas territoriais ocupadas pela espécie e os recursos alimentares disponíveis são alguns dos fatores que condicionam o número de animais na área protegida.

Suponha que se previa que esta área viria a atingir a sua capacidade máxima, quanto à população de animais desta espécie, aproximadamente 25 anos após a sua criação.

Num pequeno texto, indique, justificando, de entre o modelo de regressão linear $y=8{,}2x-3{,}5$ e o modelo logístico (apresentado no item anterior), qual é o que interpreta a situação descrita para o primeiro meio século de existência da área protegida.

No seu texto deve, obrigatoriamente, referir duas razões distintas: uma que fundamente a sua opção quanto à eliminação de um dos modelos e outra que apoie a sua escolha do outro modelo.

46.1 — Animais 20 anos depois

$y=\dfrac{125{,}445}{1+16{,}351\times e^{-0,355\times 20}}\approx 124$

Estima-se que existam 124 animais na área protegida.

46.2 — Qual dos modelos interpreta a situação

Como interpretar. A chave está na existência de uma capacidade máxima: só um dos modelos consegue traduzir uma estabilização da população.

Observando os dois gráficos obtidos, podemos verificar que o único modelo que é compatível com a informação de que ao fim de 25 anos a população atingiria o número máximo é o modelo logístico, porque prevê um crescimento da população até cerca de 125 animais passados 25 anos e uma estabilização da população neste valor nos 25 anos seguintes.

O modelo linear estima um crescimento continuado, sem evidências de que o crescimento da população venha a estabilizar, o que não é compatível com a existência de uma capacidade máxima da área protegida, pelo que este modelo não é considerado adequado.

Na tabela seguinte, estão alguns dados sobre a população residente em Portugal, desde 1864 até ao final do século XX.

Na figura abaixo está representado o diagrama de dispersão relativo aos dados apresentados na tabela, assim como a respetiva reta de regressão, cuja equação é

Num documento publicado pelo INE (Instituto Nacional de Estatística), em 12 de Junho de 2003, intitulado «Projecções de população Residente em Portugal 2000 2050», escreve-se:

«As projeções de População Residente em Portugal, no horizonte 2000-2050, revelam um envelhecimento continuado da população, consequência do previsível aumento de esperança de vida, bem como da manutenção dos níveis de fecundidade abaixo do limiar de substituição de gerações. A possibilidade de se verificarem saldos migratórios positivos poderá atenuar esta tendência, mas não a evitará.»

Mais à frente, é afirmado que, no cenário mais plausível,

«(…) Portugal poderá esperar ainda um crescimento dos seus efetivos populacionais para cerca de 10 626 milhares em 2010, ano a partir do qual se verifica a inversão desta tendência, decrescendo até aos 9302 milhares de indivíduos, em 2050 (…)»

Numa pequena composição, exponha alguns argumentos que permitam justificar a inadequação do modelo linear apresentado (reta de regressão) para fazer projeções sobre a evolução da população residente em Portugal, relativamente as próximas décadas, admitindo a fiabilidade das projeções do INE.

Na sua composição, deve indicar, de acordo com o modelo linear apresentado, os efetivos populacionais previstos para os anos de 2010 e de 2050 e compará-los com as projeções do INE para esses anos, comparar o crescimento do modelo linear apresentado com a evolução prevista para a população portuguesa, nas projeções do INE, para a primeira metade do século XXI, e apresentar razões de ordem social que desaconselham a utilização do modelo linear para fazer projeções.