- Diagrama de dispersão: representação dos pares $(x,y)$ num referencial. A forma da nuvem de pontos indica o tipo (positiva/negativa) e o grau (forte/fraca) da associação linear.
- Coeficiente de correlação linear ($r$): $-1 \le r \le 1$. O sinal indica o tipo de associação (o mesmo sinal do declive $a$) e o módulo indica o grau: quanto mais próximo de 1 (ou de $-1$), mais forte; próximo de 0, associação quase nula.
- Reta de regressão: $y = ax + b$, obtida na calculadora depois de introduzir as duas listas. Serve para estimar $y$ a partir de $x$ (ou $x$ a partir de $y$, resolvendo a equação), desde que o valor esteja dentro do intervalo dos dados.
- Outlier: ponto afastado do contexto dos restantes. A sua exclusão aproxima $|r|$ de 1 e ajusta melhor a reta de regressão aos dados restantes, tornando as previsões mais fiáveis.
Análise de dados bivariados
A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.
O $V_{O_2\max}$, que é o volume máximo de oxigénio que uma pessoa pode consumir durante a realização de exercícios intensos, será tanto maior quanto melhor for a condição física dessa pessoa. Constitui um indicador importante da capacidade aeróbica e da eficiência cardiovascular de uma pessoa, permitindo comparar o desempenho aeróbico de diferentes indivíduos, mesmo com diferentes massas corporais.
A unidade de medida do $V_{O_2\max}$ é expressa em mililitros de oxigénio por quilograma de massa corporal, por minuto (mLkg$^{-1}$min$^{-1}$).
Os praticantes de atletismo podem recorrer a estudos teóricos para prever o tempo mínimo necessário para concluir uma maratona, tendo em conta o valor do $V_{O_2\max}$ medido no início da maratona.
Num estudo teórico, relacionou-se cada valor do $V_{O_2\max}$ ($x$), em mLkg$^{-1}$min$^{-1}$, com a previsão do tempo mínimo ($y$), em minutos, necessário para concluir uma maratona.
Na tabela seguinte, apresentam-se alguns dados recolhidos nesse estudo.
| $x$ | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 250 | 198 | 164 | 140 | 122 |
Admita que a relação entre as variáveis $x$ e $y$, da tabela anterior, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma $y = ax + b$.
Um praticante de atletismo, no momento em que iniciou uma maratona, tinha um $V_{O_2\max}$ igual a 50 mLkg$^{-1}$min$^{-1}$.
Estime o tempo mínimo necessário para que o praticante de atletismo conclua essa maratona, com base no modelo de regressão linear.
Apresente o resultado em minutos, arredondado às unidades.
Na sua resposta, apresente:
- as listas que introduziu na calculadora;
- a equação da reta de regressão, com o valor de $a$ arredondado com três casas decimais.
Inserindo na calculadora gráfica as listas relativas às variáveis $x$ e $y$:
| $x$ | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 250 | 198 | 164 | 140 | 122 |
Determinamos a equação da reta de regressão ($y = ax + b$), obtendo os seguintes valores: $a \approx -2{,}617$ e $b = 331{,}8$.
Desta forma a equação da reta de regressão é $y = -2{,}617x + 331{,}8$, pelo que, para um praticante que no momento em que iniciou uma maratona tinha $V_{O_2\max}$ igual a 50 mLkg$^{-1}$min$^{-1}$ ($x = 50$), prevê-se, com base no modelo de regressão linear, que o tempo mínimo necessário para que esse praticante conclua essa maratona ($y$) é:
Sala de Fuga é um jogo em que uma equipa, fechada numa sala ou num conjunto de salas, tem de resolver desafios, num intervalo de tempo limitado, para o conseguir concluir. Para ter sucesso e resolver os desafios, é necessário recorrer a diversas competências e apelar ao raciocínio lógico e à intuição.
Num determinado jogo de Sala de Fuga, registou-se, mensalmente, o número de equipas que nele participaram e, destas, quantas o concluíram e quantas não o concluíram.
Na figura seguinte, estão organizados os dados recolhidos, referentes a cinco meses.
Admita que a relação entre as variáveis «número de equipas que participaram neste jogo de Sala de Fuga» ($x$), num determinado mês, e «número de equipas que concluíram o jogo de Sala de Fuga» ($y$), nesse mesmo mês, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma $y = ax + b$, com os valores de $a$ e de $b$ estimados com base nos dados apresentados na figura ao lado.
Num outro mês, participaram neste jogo de Sala de Fuga 80 equipas.
Estime o número de equipas que o concluiu nesse mês, com base no modelo de regressão linear.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Na sua resposta, apresente:
- as listas que introduziu na calculadora;
- a equação da reta de regressão, com os valores de $a$ e de $b$ arredondados com três casas decimais.
Obtendo os valores da variável $x$, para cada um dos meses, como a soma dos números de equipas que concluíram o jogo e das que não o concluíram, e inserindo na calculadora gráfica as listas relativas às variáveis $x$ e $y$, obtemos:
| $x$ | $y$ |
|---|---|
| $24+31 = 55$ | 24 |
| $30+45 = 75$ | 30 |
| $44+56 = 100$ | 44 |
| $62+63 = 125$ | 62 |
| $50+75 = 125$ | 50 |
Determinando a equação da reta de regressão ($y = ax + b$), temos que os valores de $a$ e $b$, usando valores aproximados com três casas decimais, são $a \approx 0{,}474$ e $b \approx -3{,}487$.
Desta forma a equação da reta de regressão é $y = 0{,}474x - 3{,}487$, pelo que, se no outro mês em causa participaram 80 equipas no jogo ($x = 80$), o número de equipas que o concluiu nesse mês ($y$), com base no modelo de regressão linear, é:
O diagrama de dispersão representado na figura seguinte mostra uma forte associação linear positiva entre o preço das viagens de avião vendidas na agência de viagens Ir&Voltar, num determinado período de tempo, e as horas de voo despendidas na viagem de ida e volta.
Em cada uma das opções seguintes, são dados um valor de $r$, coeficiente de correlação linear, e a equação de uma reta.
Em qual das opções poderão estar representados o valor de $r$ e uma equação da reta de regressão linear da distribuição representada na figura anterior?
$y = 0{,}03x - 0{,}86$
$y = -0{,}03x - 0{,}86$
$y = -0{,}03x - 0{,}86$
$y = 0{,}03x - 0{,}86$
Da observação do diagrama de dispersão e como a associação linear é positiva, podemos verificar que:
- o coeficiente de correlação também é positivo, ou seja, $r \gt 0$, pelo que apenas as opções (C) e (D) podem corresponder à distribuição apresentada;
- o declive da reta de regressão também é positivo, pelo que apenas as opções (A) e (D) podem corresponder à distribuição apresentada.
A venda de bilhetes para o concerto da banda BigBand gerou tanta procura que, na véspera do primeiro dia de venda, se formou fila para a aquisição de bilhetes à porta da bilheteira.
Ao longo do primeiro dia de venda dos bilhetes, as pessoas foram questionadas sobre o número de horas que permaneceram na fila antes da abertura da bilheteira ($x$) e sobre o tempo, em horas, que decorreu desde a abertura da bilheteira até terem adquirido os bilhetes ($y$).
A tabela seguinte apresenta as respostas dadas por sete das pessoas questionadas: A, B, C, D, E, F e G.
| Pessoa | $x$ (horas) | $y$ (horas) |
|---|---|---|
| A | 30 | 0,5 |
| B | 24 | 1 |
| C | 22,5 | 2 |
| D | 18 | 4 |
| E | 12 | 8 |
| F | 8 | 9 |
| G | 3 | 12 |
Admita que a relação entre as variáveis $x$ e $y$, da tabela anterior, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma $y = ax + b$.
Determine qual poderá ter sido o tempo que decorreu desde a abertura da bilheteira até à aquisição dos bilhetes por parte de uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura da bilheteira.
Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades.
Na sua resposta, apresente a equação da reta de regressão, com os valores de $a$ e de $b$ arredondados com três casas decimais.
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados apresentados, e determinando a equação da reta de regressão ($y = ax + b$), temos que os valores de $a$ e $b$, usando valores aproximados com três casas decimais, são $a \approx -0{,}459$ e $b \approx 12{,}913$.
Desta forma a equação da reta de regressão é $y = -0{,}459x + 12{,}913$, pelo que uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura da bilheteira ($x = 6$) terá tido registado um tempo decorrido desde a abertura da bilheteira até à aquisição dos bilhetes ($y$), arredondando às unidades, de:
Na tabela seguinte, estão registados, para cada um dos filmes, A, B, C, D, E, F e G, o custo de produção, em milhares de euros, e o número de espectadores, em milhares, que teve nas semanas de exibição em Portugal.
| Filme | Custo de produção (em milhares de euros) $x$ | Número de espectadores (em milhares) $y$ |
|---|---|---|
| A | 435 | 99 |
| B | 379 | 84 |
| C | 65 | 16 |
| D | 60 | 13 |
| E | 276 | 75 |
| F | 59 | 12 |
| G | 43 | 9 |
Admita que a relação entre as variáveis $x$ e $y$ da tabela anterior é, aproximadamente, linear, sendo modelada pela reta de regressão de equação da forma $y = ax + b$.
Estime o custo de produção de um filme com 52,5 milhares de espectadores.
Apresente o resultado, em milhares de euros, arredondando às unidades.
Na sua resposta, utilize os valores de $a$ e de $b$ com três casas decimais.
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados apresentados e determinando a equação da reta de regressão, temos que os valores de $a$ e $b$, usando valores aproximados com três casas decimais, são $a \approx 0{,}233$ e $b \approx 0{,}238$.
Desta forma a equação da reta de regressão é $y = 0{,}233x + 0{,}238$, e como 52,5 milhares de espectadores corresponde a um valor de $y = 52{,}5$, a estimativa do custo de produção associado é a solução da equação $52{,}5 = 0{,}233x + 0{,}238$. Resolvendo a equação e aproximando a solução às unidades, temos:
A maratona é a última prova em diversos encontros desportivos.
Existem diversos estudos estatísticos sobre esta prova, que envolvem dados como o tempo de conclusão da prova, a frequência cardíaca dos atletas no final da prova ou as condições climatéricas.
Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados referentes à frequência cardíaca do atleta vencedor da maratona, no momento em que acaba a prova, nas edições do Encontro Desportivo Internacional dos últimos dez anos.
Sabe-se ainda que:
- a média dos valores constantes da tabela seguinte é 166,5;
- $P$ representa as pulsações por minuto do atleta que venceu a maratona na edição de 2012.
| Ano | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequência cardíaca (pulsações/minuto) | 165 | 166 | 166 | 168 | 170 | 170 | $P$ | 160 | 160 | 168 |
Na figura seguinte, está representado o diagrama de dispersão da temperatura ambiente, em graus Celsius (°C), e da frequência cardíaca, em pulsações por minuto, dos atletas referidos na tabela anterior, no final da prova.
6.1. Considere as seguintes afirmações.
- O atleta vencedor em 2012 terminou a maratona com uma frequência cardíaca entre 169 e 171 pulsações por minuto.
- A mediana das frequências cardíacas é 170 pulsações por minuto.
- O coeficiente de correlação linear entre a temperatura ambiente e a frequência cardíaca dos atletas pode ser $-0{,}85$.
Elabore uma pequena composição na qual justifique, com base nos dados apresentados, que as três afirmações são falsas.
6.2. A reta de equação $y = 0{,}71x + 147{,}1$ é a que melhor se ajusta ao diagrama de dispersão apresentado na figura anterior, em que $y$ representa a frequência cardíaca do atleta vencedor, em pulsações por minuto, e $x$ representa a temperatura ambiente no final da prova, em °C.
Conclua, atendendo à reta ajustada ao diagrama, se 31,7 °C será um valor admissível da temperatura ambiente registada no final da maratona, no ano de 2006.
Determinando a frequência cardíaca do atleta vencedor em 2012, ou seja, o valor de $P$, sabendo que a média dos valores da tabela é 166,5, temos:
Desta forma podemos constatar que a primeira afirmação é falsa, porque o atleta vencedor em 2012 terminou a maratona com uma frequência cardíaca superior a 171 pulsações por minuto.
Considerando o valor de $P = 172$ e ordenando os dados da tabela podemos verificar que os valores centrais são 166 e 168:
Assim, temos que a mediana, $\tilde{x}$, das frequências cardíacas é:
Logo a segunda afirmação é falsa, porque a mediana não é 170.
Observando o diagrama de dispersão, podemos verificar que uma variação dos valores da temperatura ambiente está correspondida por uma variação semelhante dos valores da frequência cardíaca dos atletas, ou seja, o aumento da temperatura está associado a um aumento da frequência cardíaca, o que representa uma correlação linear positiva, pelo que o respetivo coeficiente de correlação é positivo.
Assim, a terceira afirmação é falsa, porque o coeficiente de correlação linear não pode ser negativo.
6.2.De acordo com a reta ajustada ao diagrama de dispersão, a temperatura ambiente registada no final da maratona, no ano de 2006, é o valor de $x$ correspondente ao valor de $y = 165$, ou seja, a frequência cardíaca do atleta vencedor nesse ano.
Assim, substituindo o valor de $y$ na equação da reta e determinando o valor correspondente de $x$, temos:
O número, $N$, de sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA), em função do número de anos, $t$, que decorreram após o final de 1980, é bem aproximado pelo modelo $N(t) = at + b$, com arredondamento às unidades, sendo $a$ e $b$ duas constantes.
A tabela seguinte apresenta o número de sócios do GDA no final de alguns anos.
| Ano | N.º de sócios |
|---|---|
| 1980 | 10 585 |
| 1990 | 23 150 |
| 2000 | 30 981 |
| 2010 | 39 125 |
7.1. Estime o número de sócios que o GDA atingiu no final de 2005 com base no modelo $N(t)$, admitindo que este se mantém válido entre o final de 1980 e o final de 2010.
Apresente o resultado com arredondamento às unidades.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, uma casa decimal.
7.2. O diagrama de dispersão representado na figura seguinte mostra uma forte associação linear negativa entre o número de sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA), e o número de lugares por vender nos jogos de futebol.
Relativamente à figura anterior, apenas uma das opções seguintes está correta.
| Opção I | Opção II | Opção III |
|---|---|---|
| $r = -0{,}987$ | $r = -0{,}987$ | $r = -0{,}087$ |
| $a = 1{,}744$ | $a = -0{,}558$ | $a = -1{,}744$ |
| $b = 10\,354{,}123$ | $b = 65\,346{,}152$ | $b = 65\,346{,}152$ |
Em cada uma das opções, $r$ representa o coeficiente de correlação linear, e $a$ e $b$ representam os parâmetros da reta de regressão linear $y = ax + b$.
Elabore uma composição na qual:
- identifique a opção correta;
- apresente uma razão para rejeitar cada uma das restantes opções.
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados apresentados (convertendo os anos no número de anos decorridos após o final de 1980), temos:
| Ano ($x$) | N.º de sócios ($y$) |
|---|---|
| 0 | 10 585 |
| 10 | 23 150 |
| 20 | 30 981 |
| 30 | 39 125 |
Determinando a equação da reta de regressão, temos que os valores de $a$ e $b$, usando valores aproximados com uma casa decimal, são $a \approx 934{,}5$ e $b \approx 11\,942{,}6$.
Desta forma a equação da reta de regressão é $y = 934{,}5x + 11\,942{,}6$, a que corresponde o modelo $N(t) = 934{,}5t + 11\,942{,}6$ e como o final de 2005 corresponde à passagem de 25 anos após o final de 1980, o número de sócios estimado, de acordo com o modelo, é:
A opção correta é a Opção II (porque o diagrama evidencia uma correlação negativa forte, o declive da reta é negativo e a ordenada na origem é um valor compreendido entre 60 000 e 70 000).
A Opção I não pode estar associada ao diagrama de dispersão porque a reta de regressão deverá ter declive negativo (o aumento do número de sócios está associado a uma diminuição do número de lugares por vender) e na opção I, o valor indicado para o declive é positivo ($a = 1{,}744$).
A Opção III não pode estar associada ao diagrama de dispersão porque o diagrama de dispersão sugere a existência de uma correlação negativa forte, ou seja um valor do coeficiente de correlação próximo de $-1$ (os pontos estão dispostos num alinhamento próximo de uma reta de declive negativo) e na opção III, o valor indicado para o coeficiente de correlação indica a existência de uma correlação quase nula, ou seja, um valor próximo de zero ($r = -0{,}087$).
Nas tabelas seguintes encontram-se o número total de pontos de acesso à rede postal e a densidade postal (número de habitantes / número de pontos de acesso), de 2001 a 2009, em Portugal.
| Ano | Número total de pontos de acesso à rede postal | Densidade postal (habitantes / pontos de acesso) |
|---|---|---|
| 2001 | 19 775 | 471,3 |
| 2002 | 21 758 | 481,4 |
| 2003 | 21 008 | 501,2 |
| 2004 | 20 630 | 512,5 |
| 2005 | 20 457 | 517,9 |
| 2006 | 20 215 | 525,5 |
| 2007 | 19 897 | 534,1 |
| 2008 | 19 155 | 554,8 |
| 2009 | 18 394 | 563,2 |
Ao serem representados os dados que constam das tabelas anteriores num diagrama de dispersão, verificou-se que o ponto (19 775; 471,3), correspondente ao ano 2001, se encontrava fora do contexto dos restantes, se se pretendesse ajustar um modelo de regressão linear, sendo considerado um outlier.
Explique o efeito da exclusão do outlier no valor do coeficiente de correlação linear e na reta de regressão quando se pretende fazer previsões.
Na sua resposta, deve:
- apresentar os dados das tabelas num diagrama de dispersão, incluindo o ano 2001;
- determinar o valor do coeficiente de correlação linear entre as variáveis número total de pontos de acesso à rede postal ($x$) e densidade postal ($y$), incluindo o ano 2001;
- apresentar a simulação do efeito da exclusão do ano 2001 no valor do coeficiente de correlação linear e na reta de regressão $y = ax + b$;
- referir o efeito da exclusão do outlier quando se pretende fazer previsões.
Apresente os resultados com arredondamento às milésimas.
Inserindo os dados relativos aos pontos de acesso da rede postal e da densidade postal em duas listas da calculadora gráfica, podemos obter o diagrama de dispersão seguinte:
Podemos determinar o valor do coeficiente de correlação linear, incluindo os dados relativos ao ano 2001, cujo valor, arredondado às milésimas, é:
Se eliminarmos os dados da primeira linha da tabela, ou seja os dados referentes a 2001, e calcularmos novamente o valor do coeficiente de correlação linear, este valor, arredondado às milésimas, é alterado para:
Logo, podemos verificar que a supressão destes dados implica um maior ajustamento da reta de regressão à nuvem de pontos e uma alteração no valor do coeficiente de correlação linear, indicando uma correlação mais forte, ou seja, o seu valor aproxima-se de $-1$.
O professor da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais da escola de Xisto estudou a existência de uma correlação linear entre as classificações dos alunos na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI) e as classificações desses mesmos alunos no exame nacional da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (CE).
Os dados recolhidos encontram-se organizados na tabela seguinte.
| N.º do aluno | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (CI) $x$ | 9 | 9 | 10 | 13 | 14 | 9 | 11 | 11 | 14 | 8 | 14 | 16 | 16 | 19 | 14 | 11 | 16 | 10 |
| (CE) $y$ | 7 | 8,2 | 9,5 | 12,1 | 13,7 | 7,5 | 14,2 | 10,6 | 14,5 | 6,3 | 12,1 | 17,2 | 14,8 | 4,2 | 11,7 | 9,5 | 15,2 | 8,5 |
9.1. Uma aluna, após calcular o coeficiente de correlação dos dados organizados na tabela anterior, afirma:
«A correlação linear entre as classificações dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI) e as classificações obtidas no exame (CE) é fraca. No entanto, se excluirmos as classificações do aluno número 14, essa correlação linear aumenta substancialmente.»
Justifique a veracidade da afirmação da aluna.
Na sua resposta, deve:
- determinar o coeficiente de correlação linear incluindo as classificações do aluno número 14;
- determinar o coeficiente de correlação linear excluindo as classificações do aluno número 14;
- relacionar os valores dos dois coeficientes, justificando a veracidade da afirmação da aluna.
Apresente os coeficientes de correlação com arredondamento às milésimas.
9.2. Admita que a reta de regressão $y = 1{,}0927x - 1{,}8476$, no intervalo $[8,18]$, se ajusta, aproximadamente, aos pontos do diagrama de dispersão das variáveis:
- $x$: «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI)»
- $y$: «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no exame nacional de 2010 (CE)»
Calcule a estimativa do valor da classificação no exame da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais de um aluno da escola de Xisto que, no final do 3.º período de 2010, tenha obtido a classificação de 12.
Apresente o resultado com arredondamento às décimas.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.
Inserindo na calculadora gráfica os dados relativos à Classificação interna numa lista, e os dados relativos à classificação externa noutra lista, e determinando o coeficiente de correlação linear, referente a estas duas listas, com aproximação às milésimas, obtemos o valor:
Apagando os registos relativos ao aluno número 14, ou seja, o valor 19 da primeira lista e o valor 4,2 da segunda lista, e voltando a determinar o coeficiente de correlação linear referente a estas duas listas, com aproximação às milésimas, obtemos o valor:
A estimativa do valor da classificação no exame de um aluno da escola de Xisto que, no final do 3.º período de 2010, tenha obtido a classificação de 12, obtida a partir da reta de regressão, é o valor de $y$ associado a $x = 12$.
Desta forma, substituindo o valor de $x$ e calculando o valor de $y$, temos:
Um grupo de alunos está interessado em estudar o grau de desenvolvimento de sete países. As variáveis estudadas foram analisadas individualmente e através de associações entre elas.
A tabela e o diagrama de dispersão seguintes apresentam, para os sete países, num determinado ano, duas das variáveis: a Taxa de Alfabetização de Adultos (TAA), em percentagem; e o Produto Interno Bruto per capita (PIB), em dólares.
| País | TAA ($x$) | PIB ($y$) |
|---|---|---|
| A | 15,4 | 1839 |
| B | 74,8 | 7932 |
| C | 43,5 | 4251 |
| D | 17,8 | 2586 |
| E | 11,5 | 1524 |
| F | 89,6 | 12 674 |
| G | 61,2 | 6275 |
Nos dois itens seguintes, pode recorrer à calculadora. Sempre que recorrer a estatísticas obtidas na calculadora (média, desvio padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma reta de regressão, etc.), apresente a(s) lista(s) que introduziu na calculadora para a(s) obter.
10.1. Admita um modelo em que a associação entre as variáveis TAA ($x$) e PIB ($y$) é, aproximadamente, linear.
Considere a equação $y = ax + b$, da reta de regressão linear, e também os dados da tabela anterior.
Indique os valores de $a$, de $b$ e do coeficiente de correlação linear, $r$, recorrendo à calculadora.
Apresente os resultados com quatro casas decimais.
10.2. Ao analisar os dados que constam da tabela anterior, um economista reparou que o PIB do país F é de 12 674 dólares e que a TAA é de 89,6%. Segundo alguns analistas, este ponto encontra-se fora do contexto dos restantes quando se pretende ajustar um modelo de regressão linear, sendo considerado um outlier.
A partir dos dados apresentados na tabela anterior e no Diagrama de dispersão, ao excluir os valores relativos ao país F, o valor do coeficiente de correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$ é, aproximadamente, $r = 0{,}9937$, e a equação da reta de regressão linear, considerando os coeficientes com quatro casas decimais, é $y = 96{,}6098x + 457{,}8482$.
Num pequeno texto, explique o efeito da exclusão do outlier no valor do coeficiente de correlação linear e na reta de regressão, quando se pretende fazer previsões.
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados relativos à TAA ($x$) e ao PIB ($y$) e determinando a equação da reta de regressão, temos que os valores de $a$, de $b$ e de $r$, usando valores aproximados com quatro casas decimais, são:
- $a \approx 123{,}7159$
- $b \approx -248{,}7235$
- $r \approx 0{,}9634$
Se eliminarmos os dados referentes ao país F, o valor do coeficiente de correlação linear ($r = 0{,}9937$) é maior do que se incluirmos os dados do país F ($r \approx 0{,}9634$).
Logo, podemos verificar que a supressão destes dados implica um maior ajustamento da reta de regressão à nuvem de pontos e uma alteração no valor do coeficiente de correlação linear, indicando uma correlação mais forte, ou seja, o seu valor aproxima-se de 1.
As despesas de um agregado familiar com a alimentação dependem de muitos fatores. Do ponto de vista sociológico, pode ser estudada a relação entre as despesas mensais com a alimentação e o rendimento mensal. Para conhecer esta relação, recolheram-se, aleatoriamente, os dados relativos a doze agregados familiares. Obtiveram-se os dados representados no diagrama de dispersão e constantes da tabela.
| Agregado familiar | Rendimento mensal (€) $x$ | Despesas com a alimentação (€) $y$ |
|---|---|---|
| A | 1250 | 425 |
| B | 2800 | 600 |
| C | 1900 | 550 |
| D | 1650 | 425 |
| E | 1300 | 400 |
| F | 1800 | 575 |
| G | 1200 | 375 |
| H | 2500 | 600 |
| I | 1350 | 375 |
| J | 2100 | 550 |
| K | 1200 | 350 |
| L | 1500 | 400 |
11.1. Admita que a associação entre as variáveis $x$ e $y$ é linear.
Classifique o tipo e o grau de associação entre as variáveis $x$ e $y$, a partir da interpretação do valor do coeficiente de correlação.
Na sua resposta deve:
- apresentar o valor do coeficiente de correlação, com arredondamento às décimas;
- classificar o tipo e o grau de associação linear entre as variáveis;
- justificar a forma como classificou o tipo e o grau de associação linear entre as variáveis $x$ e $y$.
11.2. Para responder aos itens seguintes, considere a equação $y = ax + b$, da reta de regressão linear das variáveis em estudo, e também os dados da tabela.
i. Determine os valores de $a$ e $b$, recorrendo à calculadora.
Apresente os resultados com quatro casas decimais.
ii. Faça a estimativa do valor das despesas mensais com a alimentação de um agregado familiar cujo rendimento mensal é de €1750.
Apresente o resultado, em euros, com arredondamento às unidades.
Caso não tenha respondido ao item anterior, e somente nesse caso, considere $a = 0{,}1705$ e $b = 177{,}0151$.
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados relativos ao rendimento mensal ($x$) e às despesas com a alimentação ($y$) e determinando os valores associados à correlação linear, temos que:
- o valor do coeficiente de correlação, com arredondamento às décimas é $r \approx 0{,}9$;
- o que significa que a associação linear que é possível identificar entre as duas variáveis é do tipo positiva e forte;
- podemos identificar este tipo de associação linear entre as duas variáveis porque o valor do coeficiente de correlação é positivo ($r \gt 0$) e é um valor próximo de 1, relativamente distante de zero, o que justifica o facto de ser uma associação forte.
Usando a correlação linear determinada no item anterior podemos observar ainda que os valores de $a$ e $b$, arredondados com quatro casas decimais, são:
- $a \approx 0{,}1656$
- $b \approx 185{,}1833$
Usando os valores do item anterior, e a equação $y = ax + b$ da reta de regressão que se ajusta ao diagrama de dispersão, ou seja, $y = 0{,}1656x + 185{,}1833$, temos que a estimativa do valor das despesas com a alimentação de um agregado familiar cujo rendimento mensal é de €1750, é o valor de $y$ correspondente ao valor $x = 1750$.
Desta forma, substituindo o valor de $x$ e calculando o valor de $y$, temos:
Na atualidade, há uma crescente preocupação com a preservação da natureza, nomeadamente, quanto à necessidade de proteger espécies que se encontram em vias de extinção.
Considere que uma certa espécie animal se encontrava em vias de extinção. Para a proteger, tomaram-se medidas protecionistas, designadamente, a criação de uma área protegida, no seu habitat natural.
Admita que, no início, apenas existiam 8 animais da espécie nessa área. A tabela seguinte traduz a contagem anual do número de animais nela existentes.
| Anos decorridos desde a criação da área protegida ($x$) | Número de animais existentes na área protegida ($y$) |
|---|---|
| 0 | 8 |
| 1 | 9 |
| 2 | 13 |
| 3 | 18 |
| 4 | 24 |
| 5 | 30 |
| 6 | 38 |
| 7 | 45 |
| 8 | 62 |
| 9 | 75 |
| 10 | 84 |
| 11 | 88 |
| 12 | 100 |
O gráfico seguinte representa os dados da tabela, através de uma nuvem de pontos.
Com recurso à calculadora, determine o modelo de regressão linear, de equação $y = ax + b$, que se ajusta à nuvem de pontos apresentada.
Indique os valores de $a$ e de $b$, com uma aproximação às décimas.
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados relativos ao número de anos decorridos desde a criação da área protegida ($x$) e o número de animais existentes nessa área ($y$), e determinando a equação da reta de regressão, temos que os valores de $a$ e $b$, com uma aproximação às décimas, são $a \approx 8{,}2$ e $b \approx -3{,}5$.
Num dos muitos sites em que se joga xadrez online, na Internet, a entrada de um jogador é condicionada pelo gestor do site, com probabilidade fixa igual a 0,8, em cada tentativa de entrada na sala de jogo.
O gestor do site decidiu estudar a evolução do número de jogadores de xadrez, desde o lançamento do site até à sexagésima semana, para o que foi registando o número de jogadores, de cinco em cinco semanas, tendo obtido a tabela seguinte:
| Tempo (em semanas) $x$ | Número de jogadores (em milhares) $y$ |
|---|---|
| 5 | 20 |
| 10 | 46 |
| 15 | 58 |
| 20 | 82 |
| 25 | 110 |
| 30 | 128 |
| 35 | 136 |
| 40 | 163 |
| 45 | 170 |
| 50 | 194 |
| 55 | 210 |
| 60 | 245 |
Represente na sua calculadora o diagrama de dispersão dos dados e determine a equação da reta de regressão linear, $y = ax + b$, indicando os valores de $a$ e $b$ com uma aproximação às centésimas.
Transcreva para a sua folha de prova um esboço, no mesmo referencial, dos gráficos obtidos (diagrama de dispersão e reta de regressão linear).
Inserindo na calculadora gráfica as listas com os dados relativos ao tempo decorrido desde o lançamento do site ($x$) e o número de jogadores ($y$), e determinando a equação da reta de regressão, temos que os valores de $a$ e $b$, com uma aproximação às centésimas, são $a \approx 3{,}85$ e $b \approx 4{,}94$, pelo que a equação da reta de regressão linear é:
Visualizando o diagrama de dispersão e a reta de regressão linear, obtemos os seguintes gráficos:
Na tabela seguinte, estão alguns dados sobre a população residente em Portugal, desde 1864 até ao final do século XX.
| Ano ($a$) | População, em milhões ($p$) |
|---|---|
| 1864 | 4,3 |
| 1878 | 4,7 |
| 1890 | 5,1 |
| 1900 | 5,4 |
| 1911 | 6,0 |
| 1920 | 6,0 |
| 1930 | 6,8 |
| 1940 | 7,8 |
| 1950 | 8,5 |
| 1960 | 8,9 |
| 1970 | 8,6 |
| 1981 | 9,8 |
| 1991 | 9,9 |
| 2000 | 10,3 |
Na figura abaixo está representado o diagrama de dispersão relativo aos dados apresentados na tabela, assim como a respetiva reta de regressão, cuja equação é
14.1. Com recurso à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear das variáveis $a$ e $p$, tendo em conta a tabela apresentada. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às milésimas. Explique como procedeu e interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado.
14.2. Explique porque razão o modelo linear acima apresentado (reta de regressão) não pode ser adequado para:
- estimar o número de habitantes, em Portugal, há alguns séculos (três ou mais);
- prever a evolução da população portuguesa, a muito longo prazo (relacione uma tal previsão com os recursos, alimentares e outros, necessariamente limitados).
Inserindo na calculadora gráfica os valores dos anos numa lista e os valores correspondentes da população (em milhares) noutra lista, e determinando os valores associados à correlação linear, temos que o valor do coeficiente de correlação, arredondado às milésimas é:
Como se pode observar no diagrama de dispersão apresentado, a reta de regressão é um modelo bem ajustado ao conjunto dos pontos que representam os dados da tabela. Este grau de ajustamento é confirmado pelo valor do coeficiente de correlação, que é próximo do valor 1, o que traduziria um ajustamento perfeito.
14.2.Apesar do modelo linear apresentado (reta de regressão) se ajustar bem ao conjunto dos pontos que representam os dados da tabela, podemos verificar que não é um modelo ajustado para:
- estimar o número de habitantes, em Portugal, há alguns séculos (três ou mais), porque neste caso, o modelo iria prever valores negativos para a população, o que não faria sentido no contexto da situação em estudo.
Por exemplo, para o valor de $a = 1700$, correspondente a, aproximadamente, três séculos atrás, o valor da população correspondente, segundo o modelo apresentado, é:$$p = 0{,}0477\times 1700 - 84{,}95 \approx -3{,}86 \text{ milhões}$$ - prever a evolução da população portuguesa, a muito longo prazo, porque neste caso, o modelo prevê um aumento ilimitado da população, o que não seria sustentável porque os recursos necessários para sustentar a população teriam que aumentar de forma ilimitada, o que é impossível, porque estes recursos são, comprovadamente, finitos e limitados.
Por exemplo, para o valor de $a = 2100$, correspondente a, aproximadamente, um século no futuro, o valor da população correspondente, segundo o modelo apresentado, é:$$p = 0{,}0477\times 2100 - 84{,}95 \approx 15{,}22 \text{ milhões}$$Neste caso significaria que a população teria um aumento de, aproximadamente, 50% relativamente ao valor atual, sem que seja razoável assumir que os recursos disponíveis possam crescer na mesma proporção.