Exercícios de Exame - Proposições Falsas

Seja \(f\) uma função polinomial de grau cinco, e seja \(f'\) a primeira derivada da função \(f\). Na figura, está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f'\).

Sabe-se que:

• \(-1\), \(0\) e \(3\) são os zeros da função \(f'\);
• \(f'(x)\lt 0 \Leftrightarrow -1\lt x\lt 0\);
• a função \(f'\) é monótona no intervalo \([3,+\infty[\).

Considere as proposições seguintes.

I. A função \(f\) admite três extremos.

II. O gráfico da função \(f\) tem concavidade voltada para baixo no intervalo \(]3,+\infty[\).

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Considere uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), duas vezes diferenciável, e a função \(f''\), segunda derivada da função \(f\).

Sabe-se que:

• \(f''(x)\ge 0 \Leftrightarrow x\ge \dfrac{3}{4}\);
• a função \(f''\) tem exatamente dois zeros: \(\dfrac{3}{4}\) e \(3\);
• as retas \(r\) e \(s\) são tangentes ao gráfico da função \(f\) nos pontos de abcissas \(-2\) e \(-1\), respetivamente.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função \(f\) tem dois pontos de inflexão, de abcissas \(\dfrac{3}{4}\) e \(3\).

II. O declive da reta \(r\) é menor do que o declive da reta \(s\).

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Considere uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), diferenciável em \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Sabe-se que:

• a função \(f\) é crescente em \(]-\infty,1[\) e em \(]1,+\infty[\);
• a reta de equação \(x=1\) é assíntota ao gráfico da função \(f\).

Considere as proposições seguintes.

I. A função \(f\) é contínua em \(x=1\).

II. A reta de equação \(y=-x+2\) é tangente ao gráfico da função \(f\) num ponto de abcissa diferente de \(1\).

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na figura, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), diferenciável, de domínio \(\mathbb{R}\), a reta \(r\), tangente ao gráfico de \(f\) na origem do referencial, e a reta \(s\), assíntota ao gráfico de \(f\) quando \(x\) tende para \(+\infty\).

Sabe-se que:

• \(I\) é o ponto de intersecção das retas \(r\) e \(s\) e pertence ao 4.º quadrante;
• \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\times \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=-\frac{8}{9}\).

Considere as proposições seguintes.

I. \(f'(0)\gt 0\).

II. As retas \(r\) e \(s\) são perpendiculares.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^+\), duas vezes diferenciável.

Relativamente à função \(f\), sabe-se que:

• a função \(f'\), derivada da função \(f\), é estritamente crescente no intervalo \(]0,+\infty[\);
• \(f'(1)=2\).

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função \(f\) pode ter concavidade voltada para baixo em \(\mathbb{R}^+\).

II. No intervalo \(]1,5[\), a função \(f\) tem, pelo menos, um extremo.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\).

Sabe-se que:

• para qualquer número real \(a\), \(a\ne 2\), \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a)\);
• \(\displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2)\), com \(f(2)\gt 0\), e \(\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty\);
• \(f(1)\times f(3)\lt 0\).

Considere as proposições seguintes.

I. O teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função \(f\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]1,3[\).

II. A reta de equação \(x=2\) é assíntota ao gráfico da função \(\dfrac{1}{f}\).

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Seja \(g\) uma função par, diferenciável, de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), tal que:

• \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} g(x)=+\infty\);
• \(g(0)\lt 0\);
• \(g'(x)\lt 0,\ \forall x\in ]-\infty,-1[\).

Em cada um dos referenciais o.n. \(Oxy\) seguintes, I, II e III, estão representadas parte do gráfico de uma função e a assíntota a esse gráfico, de equação \(x=-1\).

Justifique que em nenhum dos referenciais, I, II e III, pode estar representada parte do gráfico da função \(g\) em \(]-\infty,0[\setminus\{-1\}\).

Sejam \(f\) e \(g\) funções duas vezes diferenciáveis, de domínios \(\mathbb{R}\) e \(]0,+\infty[\), respetivamente, e seja \(r\) a reta de equação \(y=2x-1\).

Sabe-se que:

• a reta \(r\) é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(1\);
• \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(f(x)-2x+1\bigr)=0\);
• nos respetivos domínios, o gráfico de \(f\) tem concavidade voltada para cima e o gráfico de \(g\) tem concavidade voltada para baixo.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função \(f\) admite uma assíntota horizontal quando \(x\) tende para \(+\infty\).

II. \(\displaystyle \lim_{x\to 1}g(x)=2\).

III. \(f''(x)\lt g''(x)\), qualquer que seja \(x\in ]0,+\infty[\).

Justifique que as proposições I, II e III são falsas.