- Continuidade num ponto: Uma função $f$ é contínua num ponto de abcissa $a$ se e só se existir limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$, ou seja, se $\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)$.
- Limites Notáveis: Recordar limites fundamentais como $\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x} = 1$ e $\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$.
- Regra de Cauchy (L'Hôpital): Se $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ gerar uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, pode-se aplicar a regra: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (desde que este último limite exista).
- Assíntotas: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ define uma assíntota horizontal de equação $y = b$.
1. Continuidade em função por ramos
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, averigue se a função $f$ é contínua em $x=3$.
Calcula-se o valor da função no ponto e o limite para valores menores que 3, usando o primeiro ramo:
Usando o segundo ramo para valores maiores que 3:
Aplicando a regra de Cauchy (L'Hôpital):
2. Continuidade com logaritmo e exponencial
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=0$.
Pela definição do ramo central, a imagem é imediata: $f(0) = 1$.
Avaliando o limite à direita através de substituição direta:
Aplicando a regra de Cauchy (derivação do numerador e denominador):
3. Continuidade com raízes e trigonometria
Seja $g$ a função, de domínio $[-\infty, \pi]$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $g$ é contínua em $x=0$.
Derivando as expressões trigonométricas e irracionais:
4. Continuidade e quociente trigonométrico
Seja $f$ a função, de domínio $]-2\pi, 2\pi]$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=0$.
Aplicando o Teorema de L'Hôpital (derivando numerador e denominador):
5. Continuidade com parâmetro k
Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0,+\infty[$ com $f(0)=2$, e seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, definida, para um certo valor de $k$ real, por:
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $k$, sabendo que a função $g$ é contínua em $x=0$.
Uma vez que $f$ é contínua e nos é dado que $f(0)=2$:
Aplicando derivação de L'Hôpital face à variável $x$ (tratando $k$ como constante):
Igualando o resultado do limite à imagem:
6. Continuidade com parâmetro a
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida, para um certo $a \in \mathbb{R}^{+}$, por:
Sem recorrer à calculadora, determine o valor de $a$ para o qual a função $f$ é contínua em $x=0$.
Aplicando o Teorema de Cauchy:
Por imposição da propriedade de continuidade:
7. Limite notável com trigonometria
Qual é o valor de $\lim_{x\to 0} \frac{\text{sen}(2x)}{x}$?
Derivando as parcelas face a $x$:
8. Continuidade com exponencial
Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $g$ é contínua em $x=1$.
Aplicando a regra de L'Hôpital para levantar a indeterminação:
9. Continuidade na origem
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=0$.
Pela definição da função, $f(0) = \frac{3}{5}$.
2.º — Cálculo do Limite (L'Hôpital)Aplicando a regra de Cauchy (derivando numerador e denominador):
10. Limite notável com cosseno
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=0$.
Aplicando L'Hôpital:
11. Continuidade num ponto de interseção de ramos
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=2$.
Aplicando a regra de Cauchy:
12. Limites no infinito em contexto real
Para conhecer a variação do número de bactérias de uma determinada estirpe, colocou-se num tubo de ensaio fechado, com alguns nutrientes, um certo número de bactérias dessa estirpe.
Admita que, nessas condições, o número, $N$, em milhares, de bactérias vivas existentes no tubo, $t$ horas após a sua colocação nesse tubo, é dado por:
em que $N_0$ representa a dimensão, em milhares, da população inicial.
Com o decorrer do tempo, para que tende o número de bactérias vivas existentes no tubo?
Estudamos o limite do polinómio que se encontra no expoente da base $e$:
13. Continuidade com logaritmos e exponenciais
Seja $f$ a função, de domínio $]0,+\infty[$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=1$.
Utilizando o primeiro ramo para $x \le 1$:
Utilizando o ramo de $x > 1$:
Aplicando a regra de L'Hôpital (derivando o numerador e o denominador):
14. Determinação de k por continuidade
Para um certo número real $k$, seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Sabe-se que $g$ é contínua no ponto 1. Qual é o valor de $k$?
Colocando os termos comuns em evidência para simplificar a fração:
15. Continuidade com raízes quadradas
Seja $h$ a função, de domínio $]-\infty,4[$, definida por:
Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $h$ é contínua em $x=1$.
Derivando ambos os membros através da regra de Cauchy:
16. Continuidade e limites racionais
Para um certo número real $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $f$, definida por:
Qual é o valor de $k$?
Aplicando L'Hôpital para levantar a indeterminação:
Pela condição de continuidade, temos que ter $k = \frac{1}{3}$.
17. Limite trigonométrico com mudança de variável implícita
Considere a função $f$, definida em $]0,\pi[$ por $f(x)=\frac{\text{sen }x}{2+\cos x}$. Determine:
Esta expressão dá origem a uma indeterminação $\frac{0}{0}$. Podemos separar o limite aproveitando o limite notável trigonométrico:
18. Continuidade com logaritmos discretos
Para um certo número real $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $f$, definida por:
Qual é o valor de $k$?
19. Análise tripla de continuidade na origem
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue se a função $f$ é contínua no ponto 0. Justifique a sua resposta.
Para $x \to 0^+$, sabendo que $\ln(0^+) = -\infty$:
Temos que $f(0) = 0$ e ambos os limites laterais convergem para $0$.
20. Continuidade com limites exponenciais combinados
Seja $g$ a função, de domínio $]-\infty,\pi]$, definida por:
Averigue se a função $g$ é contínua no ponto 0. Justifique a sua resposta.
Levantando a indeterminação por derivação (Cauchy):
21. Continuidade com parâmetro k e trigonometria
Para um certo número real $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $f$, definida por:
Qual é o valor de $k$?
Aplicando a regra de L'Hôpital:
Como $f(-1) = k+2$, igualamos ao valor do limite:
22. Interpretação de limite em contexto económico
O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.
A prestação mensal $p$, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por:
em que $n$ é o número de meses em que o empréstimo será pago e $x$ é a taxa de juro mensal.
Determine, recorrendo a métodos analíticos, $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{600x}{1-e^{-nx}}$ em função de $n$, e interprete o resultado no contexto da situação descrita.
Aplicando a regra de Cauchy (derivando em ordem a $x$):
23. Limite com parâmetro genérico a
Seja $a$ um número real diferente de 0. Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow a}\frac{a e^{x-a}-a}{x^2-a^2}$?
Derivando o numerador e o denominador em ordem a $x$:
24. Continuidade em ramo racional e logarítmico
Para um certo número real $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $f$, definida por:
Qual é o valor de $k$?
Aplicando L'Hôpital:
25. Continuidade em ponto trigonométrico isolado
Considere, para um certo número real $k$, a função $f$, contínua em $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ definida por:
Qual é o valor de $k$?
Aplicando L'Hôpital:
26. Continuidade e salto não nulo
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função $f$ é contínua em $x=4$.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
27. Determinação paramétrica na origem
Considere, para um certo número real $k$ positivo, a função $f$ de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Determine $k$ de modo que $\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=f(0)$, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Aplicando L'Hôpital para levantar a indeterminação:
Através da condição de continuidade pela esquerda:
28. Verificação de continuidade e trigonometria
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, se a função $f$ é contínua em $x=1$.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
29. Continuidade e assíntotas associadas
Para um certo número real $k$, positivo, seja $f$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por:
Sabe-se que $f$ é contínua. Qual é o valor de $k$?
Para $x \to 0^+$, o comportamento do logaritmo natural tende para $-\infty$:
30. Indeterminações e derivadas combinadas
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função $f$ é contínua em $x=4$.
Aplicando L'Hôpital para derivar expressões fracionárias com regra da cadeia:
31. Determinação de parâmetro com função composta
Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definidas, respetivamente, por:
Determine $k$ de modo que a função $g$ seja contínua, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Recorrendo à derivação de ambos os termos da fração (Cauchy):
Deste modo, obtemos a equação:
32. Continuidade lateral com parâmetro no expoente
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Determine $k$, de modo que $\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Derivando as expressões algébricas:
Estabelecendo a igualdade pretendida:
33. Leitura gráfica e continuidade com logaritmo
Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico de uma função $g$, de domínio $[a,+\infty[$ com $a < -\frac{1}{3}$.
![[Gráfico da função g: reta crescente a começar num ponto fechado de coordenadas (a, 2)]](img-lim-cont/exer33.png)
Para esse valor de $a$, a função $f$, contínua em $\mathbb{R}$, é definida por:
Qual é o valor de $a$?
Uma vez que os ramos coincidem, escreve-se:
34. Verificação de continuidade com ramo exponencial
Seja $f$ a função de domínio $\mathbb{R}$ definida por:
Averigue se a função $f$ é contínua em $x=2$.
Utilizando L'Hôpital e a regra do produto no numerador:
35. Limite trigonométrico complexo
A função $f$ tem domínio $\mathbb{R}$ e é definida por $f(x)=\pi-4\text{sen}(5x)$. Calcule o valor de:
Derivando as componentes trigonométricas em cima e em baixo:
36. Limite notável com constante k
Para um certo número real positivo, $k$, a função $g$ definida em $\mathbb{R}$ por:
é contínua. Qual é o valor de $k$?
Igualando os resultados:
37. Continuidade e L'Hôpital em ramo exponencial
Considere a função $h$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Estude a continuidade da função $h$ em $x=0$, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Efetuando a derivação superior e inferior:
38. Ramo afim e trigonometria
Considere a função $f$, de domínio $]-\infty, 2\pi]$, definida por:
Determine o valor de $b$, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, de modo que $f$ seja contínua em $x=0$.
Através da regra de L'Hôpital:
39. Limite fracionário generalizado com parâmetro a
Seja $a$ um número real diferente de zero. Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{ax}-1}{ax^2+a^2x}$?
Efetuando as derivadas face a $x$:
40. Ramo com raízes e racionalização implícita
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por:
Usando exclusivamente métodos analíticos, averigue se a função $f$ é contínua em $x=2$.
Derivando ambas as componentes para quebrar a nulidade simultânea:
41. Continuidade em todo o domínio real
Considere a função $h$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a continuidade de $h$ no domínio $\mathbb{R}$.
A função $h$ é contínua em $\mathbb{R}^-$ porque resulta do quociente de funções contínuas (cujo denominador não se anula nesse intervalo). De forma análoga, é contínua em $\mathbb{R}^+$ pois resulta de soma, subtração e raiz quadrada de funções contínuas e positivas.
2.º — Imagem e Limite à direitaAplicando a regra de Cauchy (L'Hôpital):
42. Determinação de k com ramo logarítmico
Para um certo número real positivo $k$, é contínua a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Qual é o valor de $k$?
43. Continuidade com raízes e logaritmos
Considere a função $g$, de domínio $\left[-\frac{1}{2}, +\infty\right[$, definida por:
Verifique se a função $g$ é contínua em $x=1$, sem recorrer à calculadora.
Aplicando L'Hôpital (derivando o numerador e o denominador em relação a $x$):
44. Continuidade num ponto fronteira paramétrico a
Para um certo valor de $a$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $g$ definida por:
Qual é o valor de $a$?
45. Limites em contexto: Lei do Arrefecimento de Newton
Aqueceu-se água num recipiente, durante um determinado tempo, num local onde a temperatura ambiente é constante e igual a $25\text{ºC}$. Interrompeu-se o processo de aquecimento, e nesse instante, a água começou a arrefecer.
O arrefecimento da água segue a Lei do arrefecimento de Newton, de acordo com o modelo matemático:
em que $T(t)$ representa a temperatura da água em graus Celsius, $t$ minutos após o início do arrefecimento.
Recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, determine $T(0)$ e $\lim_{t\rightarrow +\infty} T(t)$. Interprete os valores obtidos, no contexto do problema.
Interpretação: Zero minutos após o início do arrefecimento (ou seja, no instante exato em que se interrompeu o processo de aquecimento), a temperatura da água era de 73 ºC.
2.º — Limite para o infinito e InterpretaçãoInterpretação: À medida que o tempo avança indefinidamente ($t \to +\infty$), a temperatura da água vai diminuindo e aproxima-se assintoticamente da temperatura ambiente, estabilizando nos 25 ºC.
46. Limites em contexto: População logística
Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva. Admita que, $t$ dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproximadamente, por:
Resolva, usando métodos analíticos: determine $N(0)$ e $\lim_{t\rightarrow +\infty} N(t)$. Interprete os valores obtidos, no contexto do problema.
Interpretação: No instante inicial ($t=0$ dias), o número de sócios fundadores da associação era exatamente 10.
2.º — Comportamento a longo prazoInterpretação: Com o decorrer do tempo, o número de membros cresce e aproxima-se de uma capacidade limite máxima de 2000 sócios.
47. Continuidade na origem com limites notáveis ou de Cauchy
Seja $f$ a função de domínio $[e-3, 3]$ definida por:
Na figura está representado o gráfico da função $f$:
![[Espaço para a imagem do gráfico da função f com um salto no ponto de abcissa 3, onde o limite à esquerda é negativo e à direita é positivo]](img-lim-cont/exer-ti-2008.png)
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que, tal como a figura sugere, $f$ é contínua no ponto 0.
Derivando numerador e denominador:
48. Leitura gráfica do inverso de uma função
Na figura abaixo, está representada parte do gráfico de uma função $f$, real de variável real.
![[Espaço para a imagem do gráfico da função f com um salto no ponto de abcissa 3, onde o limite à esquerda é negativo e à direita é positivo]](img-lim-cont/2007-f2.png)
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
Pela observação do gráfico, verificamos que o limite lateral esquerdo aproxima-se de um valor negativo fixo e o limite à direita de um valor positivo fixo, apresentando portanto um salto (não passando pelo zero em $x=3$):
Como os limites laterais de $f(x)$ dão valores completamente diferentes em sinal, o quociente $\frac{1}{f(x)}$ também produzirá limites laterais desiguais na abcissa $x=3$:
Logo, é impossível garantir que o limite global numérico da expressão exista.
49. Cálculo de limite lateral assintótico fracionário
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{1}{4-x^2}$?
Sendo $x \to 2^+$, significa que $x$ assume valores ligeiramente maiores do que 2 (por exemplo 2,01).
50. Continuidade com fatorização e L'Hôpital sucessivo
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função $f$ é contínua em $x=0$. Justifique a sua resposta.
Dividindo os dois termos do numerador pelo $x$ do denominador, obtemos um limite notável simplificado:
Aplicando o L'Hôpital à fração restante (ou reconhecendo o limite notável $\frac{\ln(x+1)}{x} \to 1$):
51. Limite de quociente com base em representação gráfica
De duas funções, $f$ e $g$, sabe-se que:
- o gráfico de $f$ é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2;
- o gráfico de $g$ é uma hipérbole.
Nas figuras em baixo estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole. A reta de equação $x=1$ é assíntota do gráfico de $g$.
![[Espaço para as imagens dos gráficos de f e g. O de f é uma reta crescente com ordenada na origem 2. O de g é uma hipérbole com assíntota vertical em x=1]](img-lim-cont/2006-f2.png)
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{f(x)}{g(x)}$?
Observando a reta $f$, verifica-se que para $x=1$, a função assume um valor constante positivo $k \in ]2, +\infty[$. Logo, $\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x) = k > 0$.
Observando a hipérbole $g$, à direita da assíntota $x=1$, a função aproxima-se de $-\infty$. Logo, $\lim_{x\rightarrow 1^+} g(x) = -\infty$.
2.º — Cálculo do limite do quociente52. Seleção de modelo matemático de aquecimento/arrefecimento
Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de água, durante cinco minutos; passado este tempo, apagou-se o lume e deixou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência.
Admita que:
- neste laboratório, a temperatura ambiente é constante;
- a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiente;
- depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiente.
Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo $t$, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro funções $a$, $b$, $c$ e $d$, definidas a seguir:
Qual das quatro funções é a correta? Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita.
Nos primeiros cinco minutos a água esteve a aquecer, o que significa que a função deve ser crescente. No entanto, $a(t) = 24-2t$ tem declive negativo, pelo que a temperatura diminui de 24 para 14, contradizendo o problema.
Porquê rejeitar b(t)?A temperatura varia de forma contínua, mas a função $b$ não é contínua em $t=5$. Verificamos que $b(5) = 12(5+2) = 12 \times 7 = 84$, mas o limite para $t \to 5^+$ é $24 + 70e^0 = 94$. Como $84 \neq 94$, não serve.
Porquê rejeitar c(t)?A temperatura inicial da água é a temperatura ambiente. Como $c(0) = 14(0+1) = 14$, a temperatura ambiente é 14 ºC. No entanto, com o passar do tempo, a água deve voltar a esta temperatura, ou seja, devíamos ter $\lim_{t\to +\infty} c(t) = 14$. O limite resulta em $24 + 60e^{-\infty} = 24$, o que não corresponde à temperatura ambiente inicial.
Conclusão53. Determinação paramétrica através de limites de Cauchy
Para um certo valor de $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $f$ definida por:
Qual é o valor de $k$?
54. Limite de modelo de crescimento populacional
Admita que o número de elementos de uma população de aves, $t$ anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por:
em que $N$ e $M$ são duas constantes, denominadas, respetivamente, por taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população.
Sabendo que $N < M$, calcule $\lim_{t\rightarrow +\infty} P(t)$ e interprete o resultado obtido, no contexto do problema, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.
Como $N < M$, a diferença $N-M$ é um número estritamente negativo. Logo, quando $t \to +\infty$, a expressão no expoente tenderá para $-\infty$.
55. Verificação abrangente de continuidade num domínio
Seja $f$ a função definida, em $\mathbb{R}$, por:
Sem recorrer à calculadora, justifique a seguinte afirmação: «A função $f$ é contínua em $\mathbb{R}$.»
Para $x \in ]-\infty, 0[$, $f$ é o quociente de duas funções contínuas e o denominador não se anula. Para $x \in ]0, +\infty[$, $f$ também resulta do quociente de funções polinomiais (contínuas) cujo denominador ($2x+2$) só se anula em $x=-1$, que não pertence a este intervalo. Portanto, em ambos os casos, a função é contínua.
2.º — Imagem f(0) e Limite à direita56. L'Hôpital em fração logarítmica para achar o parâmetro
Para um certo valor de $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $g$ definida por:
Qual é o valor de $k$?
57. Limite do inverso de uma função assimptótica
Na figura em baixo está parte da representação gráfica de uma função $f$, positiva, cujo gráfico é simétrico relativamente ao eixo $Oy$, da qual a reta de equação $y=0$ é assíntota.
![[Espaço para o gráfico da função f: uma curva positiva e simétrica tipo campânula onde os extremos tendem para y=0]](img-lim-cont/2004-f1.png)
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{f(x)}$?
58. Indeterminações fracionárias evidentes
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\log_2 x}{e^x-1}$?
Avaliamos os limites separadamente:
Fazendo a divisão direta de um número infinitamente negativo por um número quase zero positivo:
59. Continuidade e Modelo de Arrefecimento em patamares
A Sofia preparou um pudim, para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confecionado, a Sofia colocou o pudim a arrefecer, na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico, para ficar bem frio.
Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, $t$ minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, para um certo valor de $A$, por:
Atendendo a que a função é contínua, mostre que $A=24$ utilizando métodos exclusivamente analíticos.
60. Continuidade básica com logaritmo na origem
Para um certo valor de $k$, é contínua em $\mathbb{R}$ a função $f$ definida por:
Qual é o valor de $k$?
61. Limite imediato trigonométrico não indeterminado
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\text{sen } x}$?
Fazendo a divisão direta de uma variável infinitamente grande e negativa por uma variável quase-nula (positiva):
62. Análise gráfica comparativa de funções num ponto de encontro
Na figura ao lado está representada parte dos gráficos de duas funções $f$ e $g$, contínuas em $\mathbb{R}$. O gráfico de $f$ interseta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa 3.
![[Espaço para o gráfico das funções f e g; o gráfico de f decresce e passa na abcissa 3 cruzando o eixo; o gráfico de g é uma reta estritamente positiva em x=3]](img-lim-cont/1999-f1.png)
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 3^-} \frac{g(x)}{f(x)}$?
Observando o gráfico, antes de $x=3$ (limite pela esquerda), a reta $g(x)$ tem uma cota positiva, ou seja, $\lim_{x\rightarrow 3^-} g(x) = k \in \mathbb{R}^+$.
Para $x \to 3^-$, a função $f$ encontra-se acima do eixo do $Ox$ a decrescer em direção a zero, ou seja, aproxima-se de 0 por valores positivos: $\lim_{x\rightarrow 3^-} f(x) = 0^+$.
Cálculo do quociente