- Função composta: \((f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)\) — aplica-se primeiro \(g\) e depois \(f\). Para calcular \((f\circ g)(a)\), determina-se \(g(a)\) e a seguir \(f\big(g(a)\big)\).
- Domínio da composta: \(D_{f\circ g}=\{x\in D_g:\ g(x)\in D_f\}\). No caso \(\sqrt{f(x)}\), exige-se \(f(x)\ge 0\).
- Função inversa: \(f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow f(a)=b\). A inversa só existe se \(f\) for injetiva.
- Gráficos: os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta \(y=x\).
1. Definir g sabendo (f∘g)(x)=7
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que \(f(x)=2x+1\) e que \((f\circ g)(x)=7\), para todo o valor real de \(x\).
Qual das seguintes expressões define a função \(g\)?
Como \((f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=7\) e \(f(x)=2x+1\):
2. Valor de g(3) usando a inversa de f−g
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb{R}\), tais que a função \(f-g\) admite inversa. Sabe-se que \(f(3)=4\) e que \((f-g)^{-1}(2)=3\).
Qual é o valor de \(g(3)\)?
Pela definição de função inversa e de função diferença, como \(f(3)=4\):
3. Zeros de g∘f (leitura de gráficos)
Na figura em baixo, à esquerda, está representado o gráfico de uma função \(f\), de domínio \([-1,6]\), e, na figura da direita, está representada parte do gráfico de uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\). Tal como as figuras sugerem, em ambas as funções, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras.
Quais são os zeros da função \(g\circ f\)? (o símbolo \(\circ\) designa a composição de funções)
\((g\circ f)(x)=0\Leftrightarrow g\big(f(x)\big)=0\). Como o único zero de \(g\) é \(2\), isto é, \(g(a)=0\Leftrightarrow a=2\):
Por observação do gráfico de \(f\), os objetos cuja imagem é \(2\) são \(1\) e \(5\).
4. Determinar k tal que (g∘f)(−3)=6
Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\dfrac23 x^{3}+3x^{2}-13\).
Considere, para cada número real \(k\), a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=kx+2\).
Determine o valor de \(k\) para o qual se tem \(\big(g\circ f\big)(-3)=6\).
Como \(\big(g\circ f\big)(-3)=g\big(f(-3)\big)=g(-4)\):
5. Resolver (f∘g)(x)=x com a calculadora
Admita que a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), é definida pela expressão \(f(x)=\dfrac{6-x}{x-2}\). Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x^{3}\).
A equação \((f\circ g)(x)=x\) tem exatamente duas soluções. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, essas soluções, arredondadas às centésimas. Na sua resposta, deve reproduzir o(s) gráfico(s) que visualizou e assinalar os pontos relevantes.
As soluções de \((f\circ g)(x)=x\) são as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de \(f\circ g\) e de \(h(x)=x\). Traçando ambos na calculadora numa janela que permita ver as duas interseções:
6. Valor de f⁻¹(3) com f(x)=√(x−1)
Seja \(f\) a função, de domínio \([1,+\infty[\), definida por \(f(x)=\sqrt{x-1}\).
Qual é o valor de \(f^{-1}(3)\)?
Pela definição de função inversa:
7. Valor de a com (g∘h)(a)=1/9
Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=x+1\). Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(g(x)=\dfrac1x\).
Para um certo número real \(a\), tem-se \((g\circ h)(a)=\dfrac19\). Qual é o valor de \(a\)?
Como \((g\circ h)(x)=g\big(h(x)\big)=g(x+1)=\dfrac{1}{x+1}\):
8. Valor de f(−4)+f⁻¹(2) (leitura de gráfico)
Seja \(f\) a função cujo gráfico está representado na figura ao lado. Seja \(f^{-1}\) a função inversa da função \(f\).
Qual é o valor de \(f(-4)+f^{-1}(2)\)?
Da observação do gráfico: \(f(-4)=-3\) e \(f(3)=2\), logo \(f^{-1}(2)=3\).
9. Valor de (g∘f)(3) com g(x)=−x+3
Seja \(f\) a função cujo gráfico está representado na figura ao lado. Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=-x+3\).
Qual é o valor de \(\big(g\circ f\big)(3)\)?
Da observação do gráfico, \(f(3)=1\). Assim:
10. Valor de (f∘g)(2) com g(x)=−2x+1
Seja \(f\) a função cujo gráfico está representado na figura ao lado. Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=-2x+1\).
Qual é o valor de \(\big(f\circ g\big)(2)\)?
\(\big(f\circ g\big)(2)=f\big(g(2)\big)=f\big(-2(2)+1\big)=f(-3)\). Da observação do gráfico, \(f(-3)=-2\).
11. Gráfico da inversa f⁻¹ (simetria em y=x)
Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função \(f\) e a reta \(r\) de equação \(y=x\).
Qual das figuras seguintes pode ser parte do gráfico da função \(f^{-1}\), função inversa de \(f\)?
Os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta de equação \(y=x\). A única figura compatível com essa simetria é a da opção (D).
12. Valor de (f∘g)(−3) com f(x)=|x|
Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função \(g\). Seja \(f\) a função de domínio \(\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=|x|\).
Qual é o valor de \(\big(f\circ g\big)(-3)\)?
Da observação do gráfico, \(g(-3)=-4\). Assim:
13. Valor de f⁻¹(2)+(g∘h)(√2) (tabela e gráfico)
Considere as seguintes funções:
\(f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}\) definida pela tabela
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(3\) | \(1\) | \(2\) |
\(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(g(x)=2x+1\);
\(h:[0,4]\to\{1,2,3\}\) cujo gráfico é o da figura ao lado.
Indique o valor de \(f^{-1}(2)+\big(g\circ h\big)\big(\sqrt2\,\big)\).
Pela tabela de \(f\): \(f(3)=2\), logo \(f^{-1}(2)=3\).
Pelo gráfico de \(h\), como \(1 \lt \sqrt2 \lt 3\), tem-se \(h\big(\sqrt2\,\big)=1\). Assim:
14. Domínio de g(x)=√(f(x))
Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função \(f\), contínua em \(\mathbb{R}\). A função \(f\) tem apenas dois zeros: \(-3\) e \(1\). Seja \(g\) a função definida por \(g(x)=\sqrt{f(x)}\).
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função \(g\)?
A função \(g(x)=\sqrt{f(x)}\) só está definida onde o radicando é não negativo, isto é, onde \(f(x)\ge 0\).
Por observação do gráfico, \(f(x)\ge 0\) em \([-3,+\infty[\) (ou em qualquer subconjunto deste). Logo o domínio de \(g\) pode ser \([-3,+\infty[\).
15. Gráfico da inversa f⁻¹ (simetria em y=x)
Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função \(f\) e, a tracejado, parte da reta de equação \(y=x\).
Em qual das figuras seguintes pode estar a representação gráfica da função \(f^{-1}\), função inversa de \(f\)?
Os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta \(y=x\). De entre as opções, a única compatível com essa simetria é a da opção (D).