Exercícios de Exame — Teorema de Bolzano

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, mostre que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função \(f\), de abcissa pertencente ao intervalo \(]{-1},0[\), cuja ordenada é simétrica da abcissa.

Seja \(f\) a função, de domínio \(]{-\infty},1[\), definida por \(f(x)=2x+3+\ln\!\left((1-x)^{3}\right)\), e seja \(g\) a função, de domínio \(]{-\infty},1[\), definida por \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x-1}\).

Mostre, sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, que a equação \(f(x)=g(0)\) é possível no intervalo \(]{-6},{-5}[\).

Seja \(a\) um número real positivo, e seja \(h\) uma função contínua de domínio \([0,a]\) e contradomínio \([0,a]\).

Prove que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função \(h\) que pertence à bissetriz do primeiro quadrante.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=3e^{x}-2e^{-x}\).

Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função \(f\) intersecta a reta de equação \(y=3x+4\) em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo \(]0,1[\).

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja \(a\) um número real maior do que 1, e seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=ax^{3}+x-2\).

Mostre que a função \(f\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]0,1[\).

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que:

• para qualquer número real \(a\), \(a\neq 2\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\);
• \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=f(2)\), com \(f(2)>0\), e \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty\);
• \(f(1)\times f(3)<0\).

Considere a proposição seguinte.

O teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função \(f\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]1,3[\).

Justifique que a proposição anterior é falsa. Na sua resposta, apresente uma razão que justifique a sua falsidade.

Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Considere a função \(g\), de domínio \([0,\pi[\), definida por \(g(x)=e^{x}\cos x\).

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de \(g\) cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo \(\left]\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}\right[\).

Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Seja \(f\) a função, de domínio \([0,\pi]\), definida por \(f(x)=\operatorname{sen}(2x)+x\), e seja \(r\) a reta de equação \(y=-x+2\).

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função \(f\) intersecta a reta \(r\) em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo \(\left]\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3}\right[\).

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja \(g\) a função, de domínio \(\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right]\), definida por \(g(x)=x\cos x+\operatorname{sen} x\).

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gráfico da função \(g\) tal que a reta tangente ao gráfico da função nesse ponto tem declive \(-\tfrac{1}{2}\).

Para um certo número real \(k\), seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função \(g\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]\sqrt{e},e[\).

Sejam \(f\) e \(g\) as funções, de domínio \(\mathbb{R}\), definidas, respetivamente, por \(f(x)=x^{2}\) e \(g(x)=\cos x\).

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que a equação \(f(x)=g(x)\) tem, pelo menos, uma solução no intervalo \(\left]0,\tfrac{\pi}{3}\right[\).

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico da função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(h(x)=\dfrac{\ln x}{x}\).

Para cada número real \(a\) pertencente ao intervalo \(\left[\tfrac{1}{2},1\right]\), sejam \(P\) e \(Q\) os pontos do gráfico da função \(h\) de abcissas \(a\) e \(2a\), respetivamente.

Tal como a figura sugere, a reta \(PQ\) define, com os eixos coordenados, um triângulo retângulo.

Mostre que existe, pelo menos, um número real \(a\) pertencente ao intervalo \(\left[\tfrac{1}{2},1\right]\) para o qual esse triângulo é isósceles.

Sugestão: comece por identificar o valor do declive da reta \(PQ\) para o qual o triângulo é isósceles.

Seja \(g\) uma função contínua, de domínio \(\mathbb{R}\), tal que:

• para todo o número real \(x\), \((g\circ g)(x)=x\);
• para um certo número real \(a\), tem-se \(g(a)>a+1\).

Mostre que a equação \(g(x)=x+1\) é possível no intervalo \(]a,g(a)[\).

Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola. A figura seguinte esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos \(O\) e \(A\) são pontos fixos. O ponto \(P\) representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta \(\dot{O}A\).

Admita que não existe qualquer resistência ao movimento. Sabe-se que a distância, em metros, do ponto \(P\) ao ponto \(O\) é dada por

A variável \(t\) designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo (\(t\in[0,+\infty[\)).

Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto \(P\) ao ponto \(O\) foi igual a 1,1 metros.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Mostre que a equação \(f(x)=3\) é possível em \(]1,e[\) e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas.

Na sua resposta:

• recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação \(f(x)=3\) tem, pelo menos, uma solução no intervalo \(]1,e[\);
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s);
• apresente a solução pedida.

Considere a função \(f\), de domínio \(]{-\infty},0[\), definida por \(f(x)=x-1+\dfrac{\ln(-x)}{x}\).

Mostre que a condição \(f(x)=-e\) tem, pelo menos, uma solução em \(]{-e},{-1}[\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Considere, para um certo número real \(k\), a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=ke^{x}+x\).

O teorema de Bolzano garante que a função \(f\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]0,1[\).

A qual dos intervalos seguintes pode pertencer \(k\)?

Na figura seguinte, estão representados a circunferência de centro no ponto \(C\) e de raio 1, a semirreta \(\dot{C}B\), a reta \(AD\) e o triângulo \([ACE]\).

Sabe-se que:

• os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
• os pontos \(D\) e \(E\) pertencem à semirreta \(\dot{C}B\);
• a reta \(AD\) é perpendicular à semirreta \(\dot{C}B\);
• o ponto \(A\) desloca-se sobre a circunferência, e os pontos \(D\) e \(E\) acompanham esse movimento de modo que \(\overline{DE}=6\);
• \(x\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(ACB\);
• \(x\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\).

Mostre, sem resolver a equação, que \(f(x)=2\) tem, pelo menos, uma solução em \(\left]\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\right[\).

Seja \(f\) uma função de domínio \([-e,1]\). Sabe-se que:

• \(f\) é contínua no seu domínio;
• \(f(-e)=1\);
• \(f(1)=e\).

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

Considere, para um certo número real \(a\) positivo, uma função \(f\), contínua, de domínio \([-a,a]\).

Sabe-se que \(f(-a)=f(a)\) e \(f(a)>f(0)\).

Mostre que a condição \(f(x)=f(x+a)\) tem, pelo menos, uma solução em \(]{-a},0[\).

Seja \(a\) um número real tal que \(a>e\) (\(e\) – número de Neper ou número de Euler).

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=ax+\ln x\).

Mostre que a função \(g\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(\left]\tfrac{1}{a},\tfrac{1}{e}\right[\).

Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro, \(t\) minutos após a sua colocação na água, é dada, aproximadamente, por

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.

Na figura ao lado, está representado o quadrado \([ABCD]\).

Sabe-se que:

• \(\overline{AB}=4\);
• \(\overline{AE}=\overline{AH}=\overline{BE}=\overline{BF}=\overline{CF}=\overline{CG}=\overline{DG}=\overline{DH}\);
• \(x\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(EAB\);
• \(x\in\left]0,\tfrac{\pi}{4}\right[\).

Mostre que existe um valor de \(x\) compreendido entre \(\tfrac{\pi}{12}\) e \(\tfrac{\pi}{5}\) para o qual a área da região sombreada é 5.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{x}-3\).

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação \(f(x)=-x-\tfrac{3}{2}\) tem, pelo menos, uma solução?

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=2+\log_{3} x\).

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=x+f(x)\).

Mostre, sem recorrer à calculadora, que \(\exists c\in\,]1,3[:\ g(c)=5\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Seja \(f'\) a primeira derivada de \(f\).

Mostre, sem resolver a equação, que \(f'(x)=\tfrac{1}{4}\) tem, pelo menos, uma solução em \(]0,1[\).

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

Considere a função \(f\), de domínio \([0,+\infty[\), definida por

Mostre, sem resolver a equação e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que \(f(x)=-3\) tem, pelo menos, uma solução em \(\left]0,\tfrac{1}{2}\right[\).

Seja \(f\) uma função de domínio \([0,+\infty[\), definida por

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função \(f\)?

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), contínua no intervalo \([-1,4]\). Tem-se \(f(-1)=3\) e \(f(4)=9\).

Em qual das opções seguintes está definida uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), para a qual o teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo \(]{-1},4[\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=-x+e^{2x^{3}-1}\).

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que \(f(x)=1{,}5\) tem, pelo menos, uma solução em \(]{-2},{-1}[\).

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.

Seja \(g\) a função, de domínio \([0,+\infty[\), definida por

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite garantir a existência de pelo menos um zero da função \(g\)?

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=e^{2x}+\ln x\).

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função \(g\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]0{,}1;\,0{,}3[\).

Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos.

De uma função \(f\) de domínio \([1,2]\) sabe-se que:

• \(f\) é contínua em todo o seu domínio;
• \(\forall x\in[1,2],\ f(x)<0\);
• \(f(1)=3f(2)\).

Seja a função \(g\) de domínio \([1,2]\) definida por \(g(x)=2f(x)-f(1)\).

Prove que a função \(g\) tem pelo menos um zero.

A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que, para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de \(t\) horas de observação, é dada pelo modelo matemático \(M(t)=15\times e^{-0{,}02t}\), \(t\ge 0\).

Resolva, usando métodos analíticos, o item que se segue.

Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as 2 horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra da substância radioativa atingiu os 14 gramas.

Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.

Seja \(h\) a função de domínio \(]{-1},+\infty[\), definida por \(h(x)=4-x+\ln(x+1)\) (\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\)).

Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função \(h\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(]5,6[\).

Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), contínua no intervalo \([-2,2]\). Tem-se \(f(-2)=1\) e \(f(2)=3\).

Indique qual das expressões seguintes define uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), para a qual o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo \(]{-2},2[\).

Considere as funções \(f\) e \(g\), definidas em \(\mathbb{R}\) por

Considere ainda a função \(h\), definida em \(\mathbb{R}\) por \(h(x)=f'(x)-g'(x)\).

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, mostre que a função \(h\) tem, pelo menos, um zero no intervalo \(\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\).

Considere, num referencial o.n. \(xOy\),

• a curva \(C\), que representa graficamente a função \(f\), de domínio \([0,1]\), definida por \(f(x)=e^{x}+3x\);
• a reta \(r\), de equação \(y=5\).

Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta \(r\) intersecta a curva \(C\) em pelo menos um ponto.

Seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por

Sem recorrer à calculadora, mostre que \(\exists x\in\,]4,5[:\ f(x)+f(e^{-1})=0\).

Seja \(f:[0,2]\to\mathbb{R}\) uma função contínua tal que \(f(0)=f(2)=0\) e \(f(1)>0\).

Prove que existe pelo menos um número real \(c\) no intervalo \(]0,1[\) tal que \(f(c)=f(c+1)\).

Sugestão: considere a função \(g:[0,1]\to\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=f(x)-f(x+1)\).

De uma certa função \(f\), contínua em \(\mathbb{R}\), sabe-se que \(f(3)=8\) e \(f(7)=1\).

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=1+3x^{2}e^{-x}\).

Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), mostre que, no intervalo \(]{-1},0[\), existe pelo menos um objeto cuja imagem, por meio de \(f\), é 4.

Seja \(f\) uma função contínua, de domínio \([0,5]\) e contradomínio \([3,4]\).

Seja \(g\) a função, de domínio \([0,5]\), definida por \(g(x)=f(x)-x\).

Prove que a função \(g\) tem, pelo menos, um zero.

De uma função \(g\), contínua em \(\mathbb{R}\), sabe-se que:

• \(1\) é zero de \(g\);
• \(g(3)>0\).

Prove que a equação \(g(x)=\dfrac{g(3)}{2}\) tem, pelo menos, uma solução no intervalo \(]1,3[\).

De uma função \(f\), contínua no intervalo \([1,3]\), sabe-se que \(f(1)=7\) e \(f(3)=4\).

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

Considere a função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=2x-\cos x\).

Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função tem, pelo menos, um zero, no intervalo \(]0,\pi[\).

Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, \(t\) horas após ter sido administrado, é dada por

Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9 h 30 min e as 10 h, em que a concentração do medicamento foi de 1 mg/ml.

Seja \(g\) a função definida em \(\mathbb{R}\) por \(g(x)=x^{5}-x+1\).

Em qual dos seguintes intervalos é que o Teorema de Bolzano nos permite afirmar que a equação \(g(x)=8\) tem pelo menos uma solução?