Exercícios de Exame — 2.ª Derivada

Seja \(f\) uma função polinomial de grau cinco, e seja \(f'\) a primeira derivada da função \(f\). Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f'\). Sabe-se que:

• \(-1\), \(0\) e \(3\) são os zeros da função \(f'\);
• \(f'(x) \lt 0 \Leftrightarrow -1 \lt x \lt 0\);
• a função \(f'\) é monótona no intervalo \([3,+\infty[\).

Considere as proposições seguintes.

I. A função \(f\) admite três extremos.
II. O gráfico da função \(f\) tem concavidade voltada para baixo no intervalo \(]3,+\infty[\).

Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma, uma razão que justifique a sua falsidade.

Considere uma função, \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), duas vezes diferenciável, e a função \(f''\), segunda derivada de \(f\). Sabe-se que:

• \(f''(x)\ge 0 \Leftrightarrow x\ge \tfrac34\);
• a função \(f''\) tem exatamente dois zeros: \(\tfrac34\) e \(3\);
• as retas \(r\) e \(s\) são tangentes ao gráfico de \(f\) nos pontos de abcissas \(-2\) e \(-1\), respetivamente.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico de \(f\) tem dois pontos de inflexão, de abcissas \(\tfrac34\) e \(3\).
II. O declive da reta \(r\) é menor do que o declive da reta \(s\).

Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma, uma razão que justifique a sua falsidade.

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), positiva e duas vezes diferenciável, cujo gráfico tem concavidade voltada para cima e cuja primeira derivada não se anula.

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=[f(x)]^{2}\). Estude a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), duas vezes diferenciável. Sabe-se que: a função \(f'\) é estritamente crescente no intervalo \(]0,+\infty[\); \(f'(1)=2\).

Considere a proposição seguinte.

O gráfico da função \(f\) pode ter concavidade voltada para baixo em \(\mathbb{R}^{+}\).

Justifique que a proposição anterior é falsa. Na sua resposta, apresente uma razão que justifique a sua falsidade.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja \(f\) uma função diferenciável, de domínio \(\mathbb{R}\), cuja derivada, \(f'\), é dada por \(f'(x)=-2xe^{1-x^{2}}\).

Estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, apresentando os intervalos de concavidade e as abcissas dos pontos de inflexão, caso existam.

Seja \(g\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), cuja derivada, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), é definida por \(g'(x)=\dfrac{x-e^{3x}}{x}\).

Estude, sem recorrer à calculadora, a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Para um certo número real \(k\), seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Estude, sem recorrer à calculadora, a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão no intervalo \(]1,+\infty[\).

Seja \(f\) uma função, de domínio \(]0,+\infty[\), cuja derivada, \(f'\), de domínio \(]0,+\infty[\), é dada por \(f'(x)=\dfrac{2+\ln x}{x}\).

Resolva este item sem recorrer à calculadora. Estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=x^{3}+6\ln x\).

Estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, apresentando também as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função \(f\), polinomial do terceiro grau. Tal como a figura sugere, \(f\) tem um máximo relativo para \(x=-2\) e um mínimo relativo para \(x=2\); a origem é ponto de inflexão do gráfico de \(f\).

Sejam \(f'\) e \(f''\) a primeira e a segunda derivadas de \(f\). Qual é o conjunto solução da condição \(f'(x)\times f''(x)\ge 0\)?

Seja \(f\) a função, de domínio \(]1-\pi,+\infty[\), definida por

O gráfico da função \(f\) tem um único ponto de inflexão, cuja abcissa pertence ao intervalo \(]1,2[\). Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa desse ponto, arredondada às centésimas (reproduzindo o(s) gráfico(s) visualizado(s)).

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\). A tabela de variação de sinal da função \(f''\), segunda derivada de \(f\), é a seguinte.

Seja \(g\) a função definida por \(g(x)=-f(x-5)\). Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de \(g\) tem concavidade voltada para baixo?

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(f\). Sabe-se que o único ponto de inflexão do gráfico de \(f\) tem abcissa \(0\). Seja \(f''\) a segunda derivada de \(f\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), cuja derivada, \(f'\), de domínio \(\mathbb{R}\), é dada por \(f'(x)=e^{x}\left(x^{2}+x+1\right)\).

Resolva o item seguinte recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(f\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(f''\), segunda derivada de \(f\)?

Seja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) uma função tal que: \(f\) tem derivada finita em todos os pontos; \(f'(0) \gt 0\); \(f''(x) \lt 0\), para qualquer \(x\in\,]{-\infty},0[\).

Nenhum dos gráficos apresentados é o gráfico de \(f\).

Elabore uma composição na qual apresente, para cada gráfico, uma razão pela qual não pode ser o gráfico de \(f\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\).

Qual das expressões seguintes define a função \(f''\), segunda derivada de \(f\)?

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Estude, sem utilizar a calculadora, a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão, no intervalo \(\left]\tfrac12,+\infty\right[\), apresentando também as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão.

Seja \(f\) uma função de domínio \(]{-5},5[\). Sabe-se que o gráfico de \(f\) tem exatamente dois pontos de inflexão.

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função \(f''\), segunda derivada de \(f\)?

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal \(xOy\), parte do gráfico da função \(g''\), segunda derivada de uma função \(g\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(g\)?

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), com derivada finita em todos os pontos. A sua derivada, \(f'\), é definida por \(f'(x)=\tfrac12 x^{2}-\ln x\).

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico da função \(f\)?

Seja \(f\) uma função cuja derivada, \(f'\), de domínio \(\mathbb{R}\), é dada por \(f'(x)=(4+x)^{2}\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Seja \(g\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), cuja derivada, \(g'\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), é dada por \(g'(x)=\ln(e^{x}+6e^{-x}+4x)\).

Estude a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\) e seja \(f''\) a segunda derivada de \(f\). Sabe-se que \(f''\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e é definida por \(f''(x)=e^{-x}x^{2}(x-1)\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de \(h''\), segunda derivada de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(h\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Seja \(g\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), cuja derivada, \(g'\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), é dada por \(g'(x)=\dfrac{f(x)-1}{x}\).

Estude, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\). Sejam \(f'\) e \(f''\) a primeira e a segunda derivadas de \(f\).

Qual dos valores seguintes pode ser positivo?

De uma certa função \(f\) sabe-se que: o seu domínio é \(]1,+\infty[\); a sua derivada é dada por \(f'(x)=x^{2}-4x+\dfrac92-4\ln(x-1)\).

Tal como a figura sugere, o gráfico de \(f\) tem um ponto de inflexão. Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Para um certo número real \(a\), seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=ax^{2}-1\). Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico da função \(f''\), segunda derivada de \(f\).

Qual dos valores seguintes pode ser o valor de \(a\)?

De uma função \(g\) sabe-se que tem domínio \(\left]-\tfrac{2\pi}{3},-\tfrac{\pi}{3}\right[\), e a sua derivada \(g'\), do mesmo domínio, é definida por \(g'(x)=\log_{2}\!\left(-\tfrac{\pi}{6}-x\right)\).

Estude a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão no intervalo \(\left]-\tfrac{2\pi}{3},-\tfrac{\pi}{3}\right[\).

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal \(xOy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(f\), de grau \(4\).

Qual das expressões seguintes pode definir a função \(f''\), segunda derivada de \(f\)?

Para \(a\), \(b\) e \(n\), números reais positivos, considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Seja \(f''\) a segunda derivada da função \(f\). Mostre que \(f''(x)+n^{2}f(x)=0\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=4\cos(2x)\). Seja \(f'\) a primeira derivada e \(f''\) a segunda derivada de \(f\).

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que

para qualquer número real \(x\).

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal \(xOy\), parte do gráfico da função \(g\). Sabe-se que:

• \(g\) é uma função contínua em \(\mathbb{R}\);
• \(g\) não tem zeros;
• a segunda derivada \(f''\) de uma certa função \(f\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e é definida por \(f''(x)=g(x)\times(x^{2}-5x+4)\);
• \(f(1)\times f(4) \gt 0\).

Apenas uma das opções (I), (II) e (III) pode representar a função \(f\).

Elabore uma composição na qual indique a opção que pode representar \(f\) e as razões que o levam a rejeitar as restantes. Apresente duas razões, uma por cada gráfico rejeitado.

Na figura ao lado, está o gráfico de uma função \(f\) cujo domínio é o intervalo \(]1,3[\). A função \(f\) tem primeira e segunda derivadas finitas em todos os pontos do seu domínio. Seja \(x\in\,]1,3[\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico da função \(f'\), primeira derivada de \(f\). Seja \(a\in\mathbb{R}^{+}\) um ponto do domínio de \(f\), tal que \(f'(a)=0\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função afim \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\). Seja \(h\) a função definida por \(h(x)=f(x)+e^{x}\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(h''\), segunda derivada de \(h\)?

Na figura ao lado, está parte da representação gráfica de uma função polinomial \(f\). O ponto de abcissa \(2\) é o único ponto de inflexão do gráfico de \(f\).

Qual das expressões seguintes pode definir \(f''\), segunda derivada da função \(f\)?

De uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que a sua derivada, \(f'\), é definida por \(f'(x)=(2x+4)e^{x}\).

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}_{0}\). Em cada uma das figuras (Gráfico A e Gráfico B) está representada parte do gráfico de uma função de domínio \(\mathbb{R}^{+}_{0}\). Uma das funções representadas é \(h'\), primeira derivada de \(h\), e a outra é \(h''\), segunda derivada de \(h\).

Numa pequena composição, explique em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada. Deve referir-se à variação de sinal das funções \(h'\) e \(h''\), relacionando-a com características da função \(h\) (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico).

De uma certa função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que a sua segunda derivada é dada por

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de \(f\)?

Na figura ao lado está parte do gráfico de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\). Sejam \(h'\) e \(h''\) a primeira e a segunda derivadas de \(h\), respetivamente (com domínio \(\mathbb{R}\)).

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função polinomial \(f\). Tal como a figura sugere, o gráfico tem a concavidade voltada para cima em \(]{-\infty},0]\) e voltada para baixo em \([0,+\infty[\). A reta \(r\), tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(0\), é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e interseta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(-2\).

Sabendo que \(f'\) e \(f''\) designam, respetivamente, a primeira e a segunda derivadas de \(f\), indique o valor de \(f(0)+f'(0)+f''(0)\).

De uma certa função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que a sua derivada é dada por \(f'(x)=x^{3}-3x+1\).

Em qual dos conjuntos seguintes o gráfico de \(f\) tem a concavidade voltada para baixo?

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), tal que a sua derivada é dada por \(f'(x)=2+x\ln x\), \(\forall x\in\mathbb{R}^{+}\).

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função \(f\), polinomial do terceiro grau. Seja \(f''\) a segunda derivada de \(f\).

Qual dos valores seguintes pode ser solução da equação \(f''(x)=0\)?

Considere, para cada \(\alpha\in\,]0,1[\), a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=x^{\alpha}\).

Prove que, qualquer que seja o valor de \(\alpha\in\,]0,1[\), o gráfico da função \(f\) tem a concavidade voltada para baixo.

Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função polinomial \(h\). O ponto de abcissa \(1\) é o único ponto de inflexão do gráfico de \(h\).

Qual das expressões seguintes pode definir \(h''\), segunda derivada da função \(h\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=(x-5)^{3}\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

De uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que a sua derivada é dada por \(f'(x)=(x+1)e^{x}-10x\). Seja \(A\) o único ponto de inflexão do gráfico de \(f\).

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine a abcissa do ponto \(A\), arredondada às décimas. Explique como procedeu, incluindo o(s) gráfico(s) que obteve.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de \(f\) são negativas em \(\mathbb{R}\).

Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(f\)?

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\) e \(a\) um ponto do domínio de \(f\) tal que \(f'(a)=0\).

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\). Na figura ao lado está representada parte do gráfico de \(f''\), segunda derivada da função \(f\).

Relativamente ao gráfico da função \(f\), qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\). Numa das alternativas seguintes estão os quadros de sinais de \(f'\) e de \(f''\), respetivamente. Em qual delas?

Seja \(f\) uma função de domínio \([0,+\infty[\). Na figura ao lado, à esquerda, está parte da representação gráfica de \(f'\) e, à direita, parte da representação gráfica de \(f''\), respetivamente primeira e segunda derivadas de \(f\).

Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica da função \(f\)?

Seja \(g\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), tal que a sua segunda derivada é definida por \(g''(x)=1-x^{2}\).

Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica da função \(g\)?

Seja \(g\) uma função cujo gráfico tem um ponto de inflexão de abcissa \(1\).

Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada da função \(g\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{x}(x^{2}+x)\).

Sabendo que \(f'(x)=e^{x}(x^{2}+3x+1)\) e recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estude \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na figura ao lado está parte da representação gráfica de \(g''\), segunda derivada de uma certa função \(g\).

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função \(g\)?

De uma certa função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), sabe-se que a sua derivada, \(f'\), é definida por \(f'(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\).

Mostre que \(f''(x)=-\dfrac{\ln x}{x^{2}}\) e estude \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão.