Exercícios de Exame — 1.ª Derivada

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, estude, no intervalo \(]{-\infty},3[\), a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia e o(s) valor(es) de \(x\) em que a função \(f\) tem extremo(s) relativo(s), caso este(s) exista(m).

Seja \(f\) a função, de domínio \(]{-\infty},1[\), definida por \(f(x)=2x+3+\ln\!\left((1-x)^{3}\right)\).

Estude, sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e o(s) valor(es) de \(x\) em que a função \(f\) tem extremo(s) relativo(s).

Seja \(g\) uma função diferenciável, de domínio \(\mathbb{R}\), cuja derivada, \(g'\), é definida por

Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora.

Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico da função \(g\) no ponto de abcissa \(0\), e seja \(s\) uma reta perpendicular à reta \(r\). Sabe-se que:

• a reta \(s\) intersecta os eixos \(Ox\) e \(Oy\) nos pontos \(A\) e \(B\), respetivamente;
• o ponto \(A\) tem abcissa positiva;
• o triângulo \([OAB]\) tem área igual a 12.

Determine a abcissa do ponto \(A\).

Seja \(g\) uma função diferenciável, de domínio \(\left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[\), cuja derivada, \(g'\), é dada por

Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(0\), e seja \(s\) a reta paralela à reta \(r\) que intersecta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(4\).

Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da reta \(s\).

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), duas vezes diferenciável. Sabe-se que:

• a função \(f'\), derivada da função \(f\), é estritamente crescente no intervalo \(]0,+\infty[\);
• \(f'(1)=2\).

Considere a proposição seguinte.

No intervalo \(]1,5[\), a função \(f\) tem, pelo menos, um extremo.

Justifique que a proposição anterior é falsa. Na sua resposta, apresente uma razão que justifique a sua falsidade.

Considere, para um certo valor de \(k\) real, a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Estude, no intervalo \(]1,+\infty[\), a função \(g\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos. Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Para certos valores reais de \(b\) e de \(m\), não nulos, a reta de equação \(y=mx+1\) é tangente ao gráfico da função quadrática definida por \(f(x)=2x^{2}+bx+5\) num ponto cuja abcissa é positiva.

Determine a abcissa desse ponto.

Considere uma função, \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=ax^{2}\), com \(a\neq 0\), e dois pontos, \(A\) e \(B\), do seu gráfico.

Mostre que o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de \(h\) nos pontos \(A\) e \(B\) pertence à reta vertical que contém o ponto médio do segmento de reta \([AB]\).

Considere a função \(f\), de domínio \(]0,+\infty[\), definida por

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos e determine esses extremos, caso existam. Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia da função \(f\).

Considere a função \(P\), de domínio \(\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\), definida por \(P(x)=-6\operatorname{tg} x-\dfrac{6}{\cos x}\).

Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função \(P\) no ponto de abcissa \(\tfrac{5\pi}{6}\), sem utilizar a calculadora.

Considere as funções \(f\) e \(g\) de domínio \(]0,+\infty[\), definidas por \(f(x)=\dfrac{k}{x}\) e por \(g(x)=-\dfrac{k}{x}\), com \(k>0\).

Considere ainda:

• dois pontos \(P\) e \(Q\), com a mesma abcissa, pertencentes, respetivamente, ao gráfico da função \(f\) e ao gráfico da função \(g\);
• a reta \(s\), tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto \(P\);
• a reta \(t\), tangente ao gráfico da função \(g\) no ponto \(Q\);
• o ponto \(R\), ponto de interseção das retas \(s\) e \(t\).

Mostre que, qualquer que seja a abcissa dos pontos \(P\) e \(Q\), a área do triângulo \([PQR]\) é igual a \(k\).

Sejam \(a\) e \(b\) números reais, não nulos, tais que a reta de equação \(y=ax+b\) é tangente ao gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=ax^{2}+bx\).

Determine as coordenadas do ponto de tangência.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\ln(1+e^{x})-x\).

Num referencial o.n. \(Oxy\), seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(0\). Sejam \(A\) e \(B\) os pontos de interseção da reta \(r\) com os eixos coordenados.

Mostre que a área do triângulo \([OAB]\) é igual a \((\ln 2)^{2}\).

Seja \(k\) um número real positivo. Considere a função \(f\), de domínio \(]0,+\infty[\), definida por \(f(x)=\sqrt{kx}-\ln(kx)\).

Determine, sem recorrer à calculadora, o contradomínio da função \(f\).

Seja \(g\) uma função derivável, de domínio \(]{-\infty},\pi[\setminus\{0\}\), cuja derivada, \(g'\), é dada por

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(g\). Determine, no intervalo \(]{-\infty},0[\), a abcissa do ponto do gráfico da função \(g\) em que a reta tangente ao gráfico da função é paralela à reta de equação \(y=-2x\).

Seja \(a\) um número real. Considere a função polinomial definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}+ax^{2}+a^{2}x+\sqrt{2}\).

Mostre que, para qualquer valor de \(a\), a função não tem extremos.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\), definida por

Seja \(k\) um número real não nulo, e seja \(f\) a função definida, em \(\mathbb{R}^{+}\), por \(f(x)=\dfrac{k}{x}\).

Considere dois pontos do gráfico de \(f\), \(A\) e \(B\), sendo \(A\) o de menor abcissa. Considere, também, o ponto desse gráfico em que a reta tangente ao gráfico é paralela à reta \(AB\).

Mostre que, para qualquer valor de \(k\), as abcissas dos três pontos são termos consecutivos de uma progressão geométrica.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Estude, no intervalo \(]{-\infty},1[\), a função \(f\), sem recorrer à calculadora, quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos. Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Na figura ao lado, estão representadas, em referencial o.n. \(xOy\), partes dos gráficos das funções \(f\) e \(g\), ambas de domínio \(\mathbb{R}\), definidas, respetivamente, por \(f(x)=2x^{2}\) e \(g(x)=-(x-1)^{2}\), e a única reta não horizontal que é tangente, simultaneamente, ao gráfico de \(f\) e ao gráfico de \(g\).

Seja \(A\) o ponto de tangência dessa reta com o gráfico de \(f\) e seja \(B\) o ponto de tangência dessa mesma reta com o gráfico de \(g\).

Determine, sem recorrer à calculadora, as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora.

Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(-2\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(]0,+\infty[\), definida por

Estude, no intervalo \(]0,1[\), a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos. Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Sejam \(f\) e \(g\) as funções, de domínio \(\mathbb{R}\), definidas, respetivamente, por \(f(x)=x^{2}\) e \(g(x)=\cos x\).

Qual é o declive da reta tangente ao gráfico da função \(f\circ g\) no ponto de abcissa \(\tfrac{\pi}{4}\)?

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora. Estude a função \(g\) quanto à monotonia em \(]0,+\infty[\) e determine, caso existam, os extremos relativos. Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Qual é o declive da reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(-1\)?

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(1\).

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(g(x)=\dfrac{e^{-x}}{x}\).

Estude a função \(g\) quanto à monotonia e determine, caso existam, os extremos relativos.

Seja \(f\) a função, de domínio \(]1-\pi,+\infty[\), definida por

Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(1-\tfrac{\pi}{2}\), recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\).

Para um certo número real \(k\), a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=\dfrac{k}{x}+f(x)\), tem um extremo relativo para \(x=1\).

Determine esse número \(k\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Na figura ao lado, está representada uma secção de uma ponte pedonal que liga as duas margens de um rio. A ponte, representada pelo arco \(PQ\), está suportada por duas paredes, representadas pelos segmentos de reta \([OP]\) e \([RQ]\). A distância entre as duas paredes é 7 metros. O segmento de reta \([OR]\) representa a superfície da água do rio.

Considere a reta \(OR\) como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto \(O\) e em que uma unidade corresponde a 1 metro. Para cada ponto situado entre \(O\) e \(R\), de abcissa \(x\), a distância na vertical, medida em metros, desse ponto ao arco \(PQ\) é dada por

Resolva o item seguinte recorrendo a métodos analíticos; utilize a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.

O clube náutico de uma povoação situada numa das margens do rio possui um barco à vela. Admita que, sempre que esse barco navega no rio, a distância do ponto mais alto do mastro à superfície da água é 6 metros. Será que esse barco, navegando no rio, pode passar por baixo da ponte? Justifique a sua resposta.

Seja \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\) uma função tal que \(f'(x)<0\), para qualquer número real positivo \(x\).

Considere, num referencial o.n. \(xOy\):

• um ponto \(P\), de abcissa \(a\), pertencente ao gráfico de \(f\);
• a reta \(r\), tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(P\);
• o ponto \(Q\), ponto de interseção da reta \(r\) com o eixo \(Ox\).

Sabe-se que \(\overline{OP}=\overline{PQ}\). Determine o valor de \(f'(a)+\dfrac{f(a)}{a}\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left]-\tfrac{3\pi}{2},+\infty\right[\), definida por

$$f(x)=\begin{cases} \tfrac14 x^{2}+\cos x & \text{se } -\tfrac{3\pi}{2}

Na figura ao lado, estão representados: parte do gráfico da função \(f\); um ponto \(A\), pertencente ao gráfico de \(f\), de abcissa \(a\); a reta \(t\), tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto \(A\). Sabe-se que \(a\in\,]0,1[\) e a reta \(t\) tem declive igual a \(1{,}1\).

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto \(A\). Na sua resposta: equacione o problema; reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) que visualizar na calculadora; apresente a abcissa do ponto \(A\) arredondada às centésimas.

Ver resolução

1.º — Derivada (ramo \(x\ge 0\))

$$f'(x)=\big(\ln(e^{x}+x)\big)'=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}$$

2.º — Equação

$$f'(a)=1{,}1 \Leftrightarrow \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}=1{,}1$$

Visualizando na calculadora o gráfico de \(f'\) e a reta \(y=1{,}1\), numa janela coerente com \(x\in\,]0,1[\), e determinando a interseção:

\(a\approx 0{,}72\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left]-\tfrac{\pi}{2},+\infty\right[\), definida por

Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(\tfrac12\).

Além do ponto de tangência, a reta \(r\) intersecta o gráfico de \(f\) em mais dois pontos, \(A\) e \(B\), cujas abcissas pertencem ao intervalo \(\left]-\tfrac{\pi}{2},0\right[\) (considere que o ponto \(A\) é o de menor abcissa).

Determine analiticamente a equação reduzida da reta \(r\) e, utilizando a calculadora gráfica, obtenha as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\), arredondadas às centésimas. Na sua resposta, reproduza o(s) gráfico(s) que visualizar na calculadora.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}_{0}\), definida por \(f(x)=x^{2}e^{1-x}\).

Estude a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Seja \(a\) um número real. Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=a\operatorname{sen} x\).

Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(\tfrac{2\pi}{3}\). Sabe-se que a inclinação da reta \(r\) é igual a \(\tfrac{\pi}{6}\) radianos.

Determine o valor de \(a\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(4\).

Na figura ao lado, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso. Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto \(P\) por uma mola esticada.

Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita que, \(t\) segundos após esse instante, a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto \(P\) é dada por

Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto \(P\) é mínima, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=\dfrac{1+\ln x}{x^{2}}\).

Estude a função \(g\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de \(x\) para os quais a função \(g\) tem extremos relativos.

Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(]{-\infty},0[\), definidas por \(f(x)=x-1+\dfrac{\ln(-x)}{x}\) e \(g(x)=-x+f(x)\).

Estude a função \(g\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de \(x\) para os quais a função \(g\) tem extremos relativos.

Considere, para um certo número real \(a\) positivo, a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=a+\ln\!\left(\dfrac{a}{x}\right)\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(f'\), primeira derivada da função \(f\)?

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Seja \(t\) a reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(1\). Determine a equação reduzida da reta \(t\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Numa certa escola, eclodiu uma epidemia de gripe que está a afetar muitos alunos. Admita que o número de alunos com gripe, \(t\) dias após as zero horas de segunda-feira da próxima semana, é dado aproximadamente por

Como, por exemplo, \(f(1{,}5)\approx 76\), pode concluir-se que 76 alunos dessa escola estarão com gripe às 12 horas de terça-feira da próxima semana.

Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Estude a função \(f\) quanto à monotonia e conclua em que dia da próxima semana, e a que horas desse dia, será máximo o número de alunos com gripe.

Considere, para um certo número real \(k\) positivo, a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Mostre que \(\ln\!\left(\dfrac{\sqrt e}{3}\right)\) é um extremo relativo da função \(f\) no intervalo \(]0,+\infty[\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal \(xOy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(g\), de grau 3. Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), que verifica a condição \(f(x)=g(x-3)\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(f'\), primeira derivada da função \(f\)?

Considere, para um certo número real \(a\) superior a 1, as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=a^{x}\) e \(g(x)=a^{-x}\). Considere as afirmações seguintes.

• I) Os gráficos das funções \(f\) e \(g\) não se intersectam.
• II) As funções \(f\) e \(g\) são monótonas crescentes.
• III) \(f'(-1)-g'(1)=\dfrac{2\ln a}{a}\).

Qual das opções seguintes é a correta?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=f(x)-x+\ln^{2}x\).

Estude a função \(g\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em \(]0,e]\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=x^{a}+a^{2}\ln x\) (\(a\) é um número real maior do que 1), e seja \(r\) a reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(a\).

Qual é o declive da reta \(r\)?

Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro, \(t\) minutos após a sua colocação na água, é dada, aproximadamente, por

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine o valor de \(t\) para o qual a concentração desse produto químico na água é máxima.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(]{-6},+\infty[\), definida por \(f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x}{3}+2\right)\). Sabe-se que: a reta \(r\) é tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(a\); a inclinação da reta \(r\) é, em radianos, \(\tfrac{\pi}{4}\).

Qual é o valor de \(a\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(x=-1\), recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

De uma certa função \(f\) sabe-se que: o seu domínio é \(]1,+\infty[\); a sua derivada é dada por \(f'(x)=x^{2}-4x+\dfrac{9}{2}-4\ln(x-1)\).

Na figura ao lado, estão representadas: parte do gráfico da função \(f\); a reta \(r\) tangente ao gráfico no ponto \(A\), de abcissa \(2\); a reta \(s\) tangente ao gráfico no ponto \(B\). As retas \(r\) e \(s\) são paralelas. Seja \(b\) a abcissa do ponto \(B\).

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de \(b\). Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir e identificar o(s) gráfico(s); assinalar o ponto relevante; apresentar \(b\) arredondado às centésimas.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função \(h'\), primeira derivada de \(h\).

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(h\)?

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em \(\mathbb{R}\). Sabe-se que: \(f(1)=f'(1)=1\); \(g(x)=(2x-1)\times f(x)\), para todo o valor real de \(x\).

Qual é a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(1\)?

Considere a função \(f\), de domínio \([0,+\infty[\), definida por

Estude \(f\) quanto à monotonia em \(]2,+\infty[\), recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\), definida por \(f(x)=e^{2x}+\cos x-2x^{2}\). Sabe-se que: \(B\) é um ponto do gráfico de \(f\); a reta de equação \(y=8x\) é paralela à reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(B\).

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto \(B\). Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o(s) gráfico(s); indicar a abcissa de \(B\) arredondada às centésimas.

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal \(xOy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(f\), de grau 3, de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que: \(-2\), \(2\) e \(5\) são zeros de \(f\); \(f'\) representa a função derivada de \(f\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Num museu, a temperatura ambiente em graus centígrados, \(t\) horas após as zero horas do dia 1 de Abril de 2010, é dada, aproximadamente, por

Determine o instante em que a temperatura atingiu o valor máximo recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. Apresente o resultado em horas e minutos, apresentando os minutos arredondados às unidades.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

O gráfico de \(f\) admite uma assíntota horizontal. Seja \(P\) o ponto de interseção dessa assíntota com a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(e\). Determine as coordenadas do ponto \(P\) recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico da função derivada, \(f'\), de uma função \(f\).

Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(f\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(]0,+\infty[\), definida por

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função \(f\) tem um extremo relativo no intervalo \(]2,+\infty[\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=-x+e^{2x^{3}-1}\).

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(x=0\).

Considere uma função \(f\), de domínio \(]0,3[\), cuja derivada \(f'\), de domínio \(]0,3[\), é definida por \(f'(x)=e^{x}-\dfrac{1}{x}\).

Estude a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Na sua resposta, deve: reproduzir o(s) gráfico(s); indicar os intervalos de monotonia; assinalar os pontos relevantes, com arredondamento às centésimas.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=3+4x^{2}e^{-x}\).

Mostre, usando exclusivamente métodos analíticos, que a função \(f\) tem um único mínimo relativo e determine-o.

Considere a função \(f\) de domínio \(\left]0,\tfrac{\pi}{4}\right[\), definida por \(f(x)=\dfrac{5}{\cos x}-5\operatorname{tg} x+\sqrt{50}+5\).

Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(\tfrac{\pi}{6}\). Determine, usando exclusivamente métodos analíticos, o declive da reta \(r\).

Seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\operatorname{sen}(2x)\).

Qual é o declive da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(\tfrac{\pi}{8}\)?

Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função \(f'\), derivada de \(f\), ambas de domínio \(\mathbb{R}\), em que o eixo \(Ox\) é uma assíntota do gráfico de \(f'\). Seja a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=f(x)+x\).

Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função \(g'\), derivada de \(g\)?

Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doença que atinge as culturas. A área afetada pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir.

Admita que a área, em hectares, afetada pela doença, é dada, em função de \(t\), por

sendo \(t\) (\(0\le t<16\)) o tempo, em semanas, decorrido após ter sido detetada essa doença.

Determine a área máxima afetada pela doença. Resolva este item recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, e apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]\), definida por \(f(x)=\operatorname{sen}(2x)\cos x\).

Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto de abcissa \(0\).

Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração \(C(t)\) no sangue, em mg/l, \(t\) horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada por

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a que horas se verificou a concentração máxima. Apresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes às unidades.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{2}+1\). Seja \(g\) a função cujo gráfico é a reta representada na figura ao lado. Seja \(h=f+g\). Seja \(h'\) a função derivada de \(h\).

O gráfico da função \(h'\) é uma reta. Sejam \(m\) e \(b\), respetivamente, o declive e a ordenada na origem desta reta. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

De uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que a sua derivada, \(f'\), é definida por \(f'(x)=(2x+4)e^{x}\).

Seja \(A\) o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo das ordenadas. Sabe-se que a ordenada deste ponto é igual a 1.

Sem recorrer à calculadora, determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\).

Determine, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(2\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\ln(x^{2}+1)\) (\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\)).

Estude, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, a função \(f\) quanto à monotonia e à existência de extremos relativos, indicando os intervalos de monotonia e os valores dos extremos relativos, caso existam.

Seja \(h\) a função de domínio \(]{-1},+\infty[\), definida por \(h(x)=4-x+\ln(x+1)\) (\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\)).

Usando métodos analíticos, estude a função \(h\), quanto à monotonia, no seu domínio. Indique os intervalos de monotonia e, se existir algum extremo relativo, determine-o.

Seja \(f\) a função de domínio \([-3,3]\) definida por

Tal como a figura sugere: \(A\) é o ponto do gráfico de \(f\) de ordenada máxima; a abcissa do ponto \(A\) é positiva.

75.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, determine a abcissa do ponto \(A\).

75.2. Seja \(B\) um ponto do gráfico de \(f\), no segundo quadrante, e \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) em \(B\). Determinar a abcissa do ponto \(B\), sabendo que a reta \(r\) tem declive \(0{,}23\). Traduza o problema por uma equação e resolva-a graficamente na calculadora, apresentando o valor arredondado às centésimas.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(f(x)=1-\ln(x^{2})\).

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

Considere a função \(g\), definida no intervalo \(]1,7[\) por \(g(x)=\operatorname{sen} x+\dfrac{\ln x}{x}\) (\(\ln\) designa logaritmo na base \(e\)).

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função \(g\) e reproduza-o. Seja \(g'\) a derivada de \(g\). O conjunto solução da inequação \(g'(x)<0\) é um intervalo aberto \(]a,b[\). Determine os valores de \(a\) e de \(b\), arredondados às centésimas. Justifique a sua resposta.

Admita que a intensidade da luz solar, \(x\) metros abaixo da superfície da água, é dada, numa certa unidade de medida, por \(I(x)=ae^{-bx}\) (\(x\ge 0\)), com \(a\) e \(b\) constantes positivas. Considere agora \(b=0{,}05\) e \(a=10\).

Estude essa função quanto à monotonia e existência de assíntotas do seu gráfico. Interprete os resultados obtidos no contexto da situação descrita.

Seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por

Seja \(f\) a função, de domínio \(]1,+\infty[\), definida por \(f(x)=x+x\ln(x-1)\).

Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. \(xOy\), uma reta \(r\) e um trapézio \([OPQR]\), sabendo que: \(Q\) tem abcissa \(2\) e pertence ao gráfico de \(f\); \(r\) é tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(Q\); \(P\) é a interseção da reta \(r\) com o eixo \(Ox\); \(R\) pertence ao eixo \(Oy\) e tem ordenada igual à de \(Q\).

Sem recorrer à calculadora, determine a área do trapézio \([OPQR]\). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Na figura ao lado estão representados: parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{-x}\); um triângulo isósceles \([OPQ]\) (\(\overline{PO}=\overline{PQ}\)), em que \(O\) é a origem, \(P\) é um ponto do gráfico de \(f\) e \(Q\) pertence ao eixo das abcissas.

Considere que \(P\) se desloca no primeiro quadrante ao longo do gráfico de \(f\), acompanhado por \(Q\), de modo que \(\overline{PO}=\overline{PQ}\). Seja \(A\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), que faz corresponder, à abcissa \(x\) de \(P\), a área do triângulo \([OPQ]\), definida por \(A(x)=xe^{-x}\).

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(A\) quanto à monotonia e conclua qual é o valor máximo que a área do triângulo \([OPQ]\) pode assumir.

Na figura ao lado está representado, em referencial \(xOy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{ax}+1\) (\(a\) é uma constante real positiva). Está também representada a reta \(r\), tangente ao gráfico de \(f\) no ponto em que este interseta o eixo \(Oy\). A reta \(r\) interseta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(-6\).

Qual é o valor de \(a\)?

De uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que: \(f\) tem derivada finita em todos os pontos de \(\mathbb{R}\); \(f(0)=-1\); \(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}^{-}\) e estritamente decrescente em \(\mathbb{R}^{+}\).

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=[f(x)]^{2}\). Prove que \(1\) é o mínimo da função \(g\).

Na figura ao lado está representada a trajetória de uma bola de futebol, depois de ter sido pontapeada. Designou-se por \(a\) a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontapeada e o ponto onde ela caiu. Considere a função \(h\) definida em \([0,a]\) por

Admita que \(h(x)\) é a distância, em metros, da bola ao solo, quando a sua projeção no solo se encontra a \(x\) metros do local onde foi pontapeada.

Sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, estude a função \(h\) quanto à monotonia e conclua qual foi a maior altura que a bola atingiu. Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas.

Seja \(f\) a função, de domínio \([0,2\pi]\), definida por \(f(x)=\operatorname{sen} x\).

Na figura ao lado estão representados: o gráfico da função \(f\); duas retas, \(r\) e \(s\), tangentes ao gráfico de \(f\), nos pontos de abcissas \(a\) e \(b\), respetivamente.

Prove que, se \(a+b=2\pi\), então as retas \(r\) e \(s\) são paralelas.

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), tal que a sua derivada é dada por \(f'(x)=2+x\ln x\), \(\forall x\in\mathbb{R}^{+}\).

Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(1\). Seja \(P\) o ponto de interseção da reta \(r\) com o eixo \(Ox\). Sabendo que \(f(1)=3\), determine a abcissa do ponto \(P\), sem recorrer à calculadora.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\operatorname{sen}(ax)\), onde \(a\) designa uma constante real.

Na figura estão representadas: uma reta \(r\) tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(0\); uma reta \(s\) tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(2\pi\).

Sabendo que as retas \(r\) e \(s\) são perpendiculares e que \(a\in\left]\tfrac32,2\right[\), determine graficamente, com a calculadora, o valor de \(a\), arredondado às décimas.

Seja \(f\) a função definida, em \(\mathbb{R}\), por

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(f\) quanto à monotonia em \(\mathbb{R}^{+}\).

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), com derivada finita em todos os pontos do seu domínio. Na figura ao lado encontra-se parte do gráfico de \(f'\), função derivada de \(f\). Sabe-se ainda que \(f(0)=2\).

Qual pode ser o valor de \(f(3)\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x}\).

Sem recorrer à calculadora, determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(1\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=1+3x^{2}e^{-x}\).

Sem recorrer à calculadora, mostre que a função \(f\) tem um único mínimo relativo e determine-o.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\).

Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

Seja \(g\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), cuja expressão analítica é um polinómio do quarto grau, que tem uma raiz dupla \(x_{0}\). Prove que o eixo \(Ox\) é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(x_{0}\).

Sugestão: tenha em conta que, se \(x_{0}\) é uma raiz dupla, então \(g(x)=(x-x_{0})^{2}(ax^{2}+bx+c)\).

Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, \(A\) e \(B\), distanciadas de 10 metros. Considere a função \(h\) definida por

Admita que \(h(x)\) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado a \(x\) metros à direita da parede \(A\).

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(h\) quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima.

Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois. Enquanto o purificador esteve ligado, o nível de poluição diminuiu; uma vez desligado, começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar, em mg/l, às \(t\) horas desse dia, é dado por

Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determine quanto tempo esteve o purificador de ar ligado. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Prove que, para qualquer função quadrática, existe um e um só ponto do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Considere as funções \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}\) e \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=\ln x\) e \(g(x)=x^{2}-3\).

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude, quanto à monotonia, a função \(f-g\).

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros, com a forma de um prisma quadrangular regular. A área total da embalagem é dada por

(\(x\) é o comprimento da aresta da base, em dm).

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de \(x\) para o qual a área total da embalagem é mínima e determine-o.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), com derivada finita em todos os pontos do domínio, e crescente.

Sejam \(a\) e \(b\) dois quaisquer números reais. Considere as retas \(r\) e \(s\), tangentes ao gráfico de \(f\) nos pontos de abcissas \(a\) e \(b\), respetivamente.

Prove que as retas \(r\) e \(s\) não podem ser perpendiculares.

De uma função \(f\), de domínio \([-\pi,\pi]\), sabe-se que a sua derivada \(f'\) está definida em \([-\pi,\pi]\) e é dada por

O gráfico de \(f\) contém um único ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo \(Ox\). Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu.

Na figura ao lado estão representadas, num referencial o.n. \(xOy\): parte do gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=1+2\ln x\); a reta \(r\), tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(1\).

Qual é o declive da reta \(r\)?

Considere a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=x+\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{x}\).

Determine, utilizando métodos exclusivamente analíticos, uma equação da reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto de abcissa \(2\).

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que a sua derivada, \(f'\), é tal que \(f'(x)=x-2\), \(\forall x\in\mathbb{R}\).

Relativamente à função \(f\), qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Na figura ao lado estão representadas, em referencial o.n. \(xOy\): uma curva \(C\), gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{x}\); uma reta \(r\), gráfico da função \(g\), definida por \(g(x)=x-2\).

Determine uma equação da reta paralela à reta \(r\) e tangente à curva \(C\), utilizando métodos exclusivamente analíticos.

A reta de equação \(y=x\) é tangente ao gráfico de uma certa função \(f\), no ponto de abcissa \(0\).

Qual das seguintes expressões pode definir a função \(f\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=3x-2\ln x\) (\(\ln\) designa o logaritmo de base \(e\)).

Mostre que a função tem um único mínimo, utilizando métodos exclusivamente analíticos.

Malmequeres de Baixo é uma povoação com cinco mil habitantes.

107.1. Num certo dia ocorreu um acidente, testemunhado por algumas pessoas. Admita que, \(t\) horas depois, o número (em milhares) de habitantes que sabiam do ocorrido era, aproximadamente, \(f(t)=\dfrac{5}{1+124e^{-0{,}3t}}\), \(t\ge 0\). Recorrendo a processos analíticos, estude \(f\) quanto à monotonia e interprete a conclusão no contexto do problema.

107.2. Dias depois, ocorreu outro acidente no mesmo local, testemunhado pelas mesmas pessoas, mas a notícia propagou-se mais depressa: \(g(t)=\dfrac{5}{1+ae^{-bt}}\), \(t\ge 0\). Refira o que pode garantir sobre \(a\) e \(b\), comparando cada um com a constante correspondente de \(f\).

Considere a função \(h\) definida em \(\mathbb{R}\) por \(h(x)=\operatorname{sen} x\).

Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de \(h\)?

Considere a função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=2x-\cos x\). Seja \(f'\) a função derivada de \(f\).

Mostre que \(f'(x)>0\), \(\forall x\in\mathbb{R}\), e justifique que a função \(f\) tem no máximo um zero.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), definida por \(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x-1}\).

Estude a função \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo exclusivamente a processos analíticos.

Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função \(g'\), derivada de \(g\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{x}(x^{2}+x)\).

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, verifique que \(f'(x)=e^{x}(x^{2}+3x+1)\) e determine uma equação da reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto de abcissa \(0\).

Um laboratório farmacêutico lançou um novo analgésico, o AntiDor. A concentração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, \(t\) horas após ter sido administrado, é dada por

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de \(t\) para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue. Calcule o valor dessa concentração máxima, com aproximação às décimas.

Na figura ao lado estão representadas graficamente: a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=e^{x}\); a função \(g\), definida em \(\mathbb{R}^{+}\), por \(g(x)=\ln x\). A reta \(r\) é tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(a\) e é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(b\).

Qual das seguintes igualdades é verdadeira?

Ao ser lançado, um foguetão é impulsionado pela expulsão dos gases da queima de combustível. Desde o arranque até se esgotar o combustível, a velocidade do foguetão, em km/s, é dada por

(\(t\) é o tempo, em segundos, após o arranque).

Verifique que a derivada da função \(v\), no intervalo \([0,160]\), é positiva e conclua qual é a velocidade máxima que o foguetão atinge nesse intervalo. Apresente o resultado em km/s, arredondado às décimas.

Na figura ao lado estão representadas: parte do gráfico da função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\sqrt{3}\,x^{2}-1\); uma reta \(r\), tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(a\). A inclinação da reta \(r\) é \(60^{\circ}\).

Indique o valor de \(a\).

Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã. A concentração desse medicamento, em mg/ml de sangue, \(t\) horas após ter sido administrado, é dada por

Recorrendo à derivada da função \(C\), determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue foi máxima. Apresente o resultado em horas e minutos.

Seja \(g\) a função de domínio \(\mathbb{R}^{+}\) definida por \(g(x)=\ln x\).

No gráfico de \(g\) existe um ponto onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. Qual é a abcissa desse ponto?

De uma certa função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), sabe-se que: \(f(1)=0\); a sua derivada, \(f'\), é definida por \(f'(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\).

Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(1\).

Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Em qual das opções seguintes pode estar a representação gráfica da função \(h'\), função derivada de \(h\)?

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes, distanciados 30 metros. Considere a função \(f\), definida por

Admita que \(f(x)\) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado \(x\) metros à direita do primeiro poste.

Recorrendo ao estudo da derivada da função \(f\), determine a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo.

Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), e de uma reta \(t\), tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa \(a\). A reta \(t\) passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas \((6,3)\).

Qual é o valor de \(h'(a)\)?