- Método da Bissecção: Se uma função $f$ contínua num intervalo $[a,b]$ satisfaz $f(a) \times f(b) < 0$, o Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero em $]a,b[$. O método consiste em dividir sucessivamente o intervalo ao meio, avaliando o sinal de $f$ no ponto médio para manter o zero enquadrado.
- Erro da aproximação: Após obter um intervalo enquadrante $]a,b[$, a aproximação pelo ponto médio garante que o erro máximo cometido é inferior ou igual a metade da amplitude desse intervalo: $\text{Erro} \le \frac{b-a}{2}$.
1. Resolução aproximada de equações
Considere a função $f$, de domínio $]0,+\infty[$ definida por:
A função $f$ é contínua e tem exatamente um zero no intervalo $]1,2[$.
Determine, utilizando o método da bissecção, uma aproximação desse zero, com um erro inferior a 0,1.
Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.
O intervalo inicial é $]1, 2[$, logo o seu ponto médio é $1,5$. Calculando e avaliando as imagens:
Como $f(1)\times f(1,5) < 0$, o zero da função passa a pertencer ao novo intervalo $]1; 1,5[$.
2.ª IteraçãoO ponto médio do intervalo $]1; 1,5[$ é $1,25$.
Como $f(1,25)\times f(1,5) < 0$, a pesquisa afunila para o intervalo $]1,25; 1,5[$.
3.ª IteraçãoO ponto médio do intervalo $]1,25; 1,5[$ é $1,375$.
Como $f(1,25)\times f(1,375) < 0$, o zero é forçado a pertencer ao intervalo $]1,25; 1,375[$.
Verificação do erro e Aproximação finalA amplitude do intervalo $]1,25; 1,375[$ é $1,375 - 1,25 = 0,125$. O erro máximo assumido ao eleger o ponto médio deste intervalo como aproximação é obrigatoriamente inferido por metade da sua amplitude: