Exercícios de Exame — Resolução aproximada de equações | 12.º ano

Ferramentas úteis.

Método da Bissecção: Se uma função $f$ contínua num intervalo $[a,b]$ satisfaz $f(a) \times f(b) < 0$, o Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero em $]a,b[$. O método consiste em dividir sucessivamente o intervalo ao meio, avaliando o sinal de $f$ no ponto médio para manter o zero enquadrado.
Método de Newton-Raphson: Partindo de uma aproximação $x_0$, cada nova aproximação é a abcissa do ponto onde a reta tangente ao gráfico corta o eixo $Ox$: $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
Erro da aproximação: Após obter um intervalo enquadrante $]a,b[$, a aproximação pelo ponto médio garante que o erro máximo cometido é inferior ou igual a metade da amplitude desse intervalo: $\text{Erro} \le \frac{b-a}{2}$.

As resoluções seguem as propostas oficiais e as Aprendizagens Essenciais (AE2023).

1. Método da bissecção — f(x) = 2

Exame 2026, Ép. especial — item 11.(AE2023)Resposta aberta

Considere a função $f$, de domínio $[-3,+\infty[$, contínua, definida por

f(x)=e^{2x}-\sqrt{x+3}

A equação $f(x)=2$ tem, exatamente, uma solução pertencente ao intervalo $]0,1[$.

Determine, usando o método da bissecção, uma aproximação dessa solução, com erro inferior a $0{,}1$.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.

Como interpretar. A solução de $f(x)=2$ é o zero da função contínua $g(x)=f(x)-2=e^{2x}-\sqrt{x+3}-2$. Aplica-se a bissecção a $g$ a partir de $]0,1[$, até o intervalo ter amplitude que garanta erro inferior a $0{,}1$ com o ponto médio.

Intervalo inicial

g(0)=1-\sqrt3-2\approx-2{,}732\lt0 \qquad g(1)=e^{2}-2-2\approx3{,}389\gt0

1.ª Iteração

g(0{,}5)=e^{1}-\sqrt{3{,}5}-2\approx-1{,}153\lt0\)    \(\Rightarrow\) zero em \(]0{,}5\,;\,1[

2.ª Iteração

g(0{,}75)=e^{1{,}5}-\sqrt{3{,}75}-2\approx0{,}545\gt0\)    \(\Rightarrow\) zero em \(]0{,}5\,;\,0{,}75[

3.ª Iteração

g(0{,}625)=e^{1{,}25}-\sqrt{3{,}625}-2\approx-0{,}414\lt0\)    \(\Rightarrow\) zero em \(]0{,}625\,;\,0{,}75[

Verificação do erro e aproximação final

A amplitude de $]0{,}625\,;\,0{,}75[$ é $0{,}125$. Tomando o ponto médio, o erro é, no máximo, $\dfrac{0{,}125}{2}=0{,}0625\lt0{,}1$.

\dfrac{0{,}625+0{,}75}{2}=0{,}6875

Aproximação da solução: $0{,}6875$

2. Método de Newton-Raphson — primeira iteração

Exame 2026, 2.ª Fase — item 7.(AE2023)Resposta aberta

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^{2}e^{x}-\dfrac12$.

A função $f$ é contínua e tem exatamente um zero no intervalo $]-2,0[$.

Determine, pelo método de Newton-Raphson, a aproximação desse zero obtida na primeira iteração, partindo do valor inicial $x_0=-1$.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais.

Como interpretar. No método de Newton-Raphson, cada nova aproximação é a abcissa do ponto onde a reta tangente ao gráfico, no ponto da aproximação anterior, corta o eixo $Ox$: $x_{1}=x_{0}-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$.

1.º — Derivada

f'(x)=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}=x\,e^{x}(x+2)

2.º — Valores em $x_0=-1$

f(-1)=e^{-1}-\tfrac12\approx-0{,}1321 \qquad f'(-1)=-e^{-1}\approx-0{,}3679

3.º — Primeira iteração

x_{1}=-1-\dfrac{-0{,}1321}{-0{,}3679}\approx-1-0{,}3591\approx-1{,}359

$x_1\approx-1{,}359$

3. Resolução aproximada de equações

Exame 2026, 1.ª FaseResposta aberta

Considere a função $f$, de domínio $]0,+\infty[$ definida por:

f(x)=x^{4}\ln x-1

A função $f$ é contínua e tem exatamente um zero no intervalo $]1,2[$.

Determine, utilizando o método da bissecção, uma aproximação desse zero, com um erro inferior a 0,1.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.

Como interpretar. O método da bissecção exige que se calcule o ponto médio do intervalo inicial e se avalie o sinal da função nesse ponto. Posteriormente substitui-se o extremo do intervalo que apresentar o mesmo sinal, reduzindo assim a amplitude de pesquisa para metade em cada nova iteração.

1.ª Iteração

O intervalo inicial é $]1, 2[$, logo o seu ponto médio é $1,5$. Calculando e avaliando as imagens:

f(1) = 1^4\ln(1)-1 = -1 < 0

f(1,5) = (1,5)^4\ln(1,5)-1 \approx 1,053 > 0

Como $f(1)\times f(1,5) < 0$, o zero da função passa a pertencer ao novo intervalo $]1; 1,5[$.

2.ª Iteração

O ponto médio do intervalo $]1; 1,5[$ é $1,25$.

f(1,25) = (1,25)^4\ln(1,25)-1 \approx -0,455 < 0

Como $f(1,25)\times f(1,5) < 0$, a pesquisa afunila para o intervalo $]1,25; 1,5[$.

3.ª Iteração

O ponto médio do intervalo $]1,25; 1,5[$ é $1,375$.

f(1,375) = (1,375)^4\ln(1,375)-1 \approx 0,138 > 0

Como $f(1,25)\times f(1,375) < 0$, o zero é forçado a pertencer ao intervalo $]1,25; 1,375[$.

Verificação do erro e Aproximação final

A amplitude do intervalo $]1,25; 1,375[$ é $1,375 - 1,25 = 0,125$. O erro máximo assumido ao eleger o ponto médio deste intervalo como aproximação é obrigatoriamente inferido por metade da sua amplitude:

\text{Erro} \le \frac{0,125}{2} = 0,0625 < 0,1

Conclusão. Visto que o erro da aproximação já respeita a tolerância pretendida (é inferior a 0,1), a nossa aproximação será dada pelo valor exato do ponto médio deste último intervalo.

\frac{1,25+1,375}{2} = 1,3125 \approx 1,313

Aproximação do zero: $1,313$