- Verticais: A reta $x = a$ é assíntota se $\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty$. Os pontos candidatos são as extremidades abertas do domínio e pontos de descontinuidade.
- Horizontais: A reta $y = b$ é assíntota se $\lim_{x\to +\infty} f(x) = b$ ou $\lim_{x\to -\infty} f(x) = b$.
- Oblíquas: A reta $y = mx + b$ é assíntota se $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ (onde $m \neq 0$) e $\lim_{x\to \pm\infty} [f(x) - mx] = b$. Equivalentemente, se $\lim_{x\to \pm\infty} [f(x) - (mx+b)] = 0$.
1. Assíntota oblíqua com L'Hôpital
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por
Mostre, sem recorrer à calculadora, que a reta de equação $y=x-1$ é assíntota ao gráfico da função $f$ quando $x\rightarrow+\infty$.
Escrevemos o limite com o ramo correspondente a $x > 0$:
Reduzindo ao mesmo denominador:
Derivando as parcelas do numerador e do denominador separadamente em ordem a $x$:
Ao colocarmos o $e$ em evidência no denominador e simplificando:
2. Equação da assíntota
Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0,+\infty[$ com $f(0)=2$ e seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, definida, para um certo valor de $k$ real, por:
A reta de equação $y=3x-5$ é assíntota ao gráfico da função $g$, quando $x\rightarrow+\infty$. Qual das seguintes igualdades é verdadeira?
Segundo a própria definição formal de assíntota oblíqua, a subtração entre as duas expressões tem de tender para zero:
Removendo os parênteses retos e distribuindo o sinal negativo:
3. Assíntota no inverso da função
Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$. Sabe-se que:
- para qualquer número real $a$, $a \neq 2$, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
- $\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=f(2)$, com $f(2) > 0$, e $\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=-\infty$
- $f(1) \times f(3) < 0$
Considere a proposição seguinte:
A reta de equação $x=2$ é assíntota ao gráfico da função $\frac{1}{f}$.
Justifique que a proposição anterior é falsa. Na sua resposta, apresente uma razão que justifique a sua falsidade.
Calculando o comportamento à direita de $x=2$:
Uma vez que nos é dado que $f(2) > 0$, o quociente resulta num valor numérico finito.
2.º — Análise do limite à esquerdaAnalisando agora a vizinhança esquerda do ponto:
4. Assíntota vertical em ramo trigonométrico
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, definida por $f(x)=\frac{1-\cos x}{x^4}$.
Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico e, caso existam, escreva as respetivas equações.
Derivando numerador e denominador:
Repetindo o processo de Cauchy:
Substituindo finalmente o valor 0:
5. Assíntota oblíqua e exponencial
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, definida, para um certo $a \in \mathbb{R}^{+}$, por:
O gráfico de $f$ admite uma assíntota oblíqua quando $x$ tende para $+\infty$. Determine uma equação dessa assíntota.
Separando os termos na fração:
Avaliando o limite de cada elemento:
Aplicando o valor de $m=1$ na fórmula correspondente:
6. Assíntotas com logaritmos e frações
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere a função $f$, de domínio $]0,+\infty[$, definida por:
O gráfico da função $f$ admite uma assíntota vertical e uma assíntota horizontal.
Determine uma equação de cada uma dessas assíntotas.
Calculando o limite na fronteira inferior do domínio:
A divergência para menos infinito comprova que a reta vertical $x=0$ é assíntota.
2.º — Assíntota HorizontalAvaliando o limite para mais infinito, surge uma indeterminação:
Aplicando o Teorema de L'Hôpital (derivando numerador e denominador):
7. Análise de propriedades gráficas e assíntotas
Sejam $f$ e $g$ funções contínuas de domínios $\mathbb{R}$ e $]0,+\infty[$, respetivamente, e seja $r$ a reta de equação $y=2x-1$.
Sabe-se que:
- a reta $r$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa 1;
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-2x+1)=0$;
- nos respetivos domínios, o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima e o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo;
- as duas funções admitem segunda derivada finita no seu domínio.
Considere as proposições seguintes:
I. O gráfico da função $f$ admite uma assíntota horizontal quando $x$ tende para $+\infty$.
II. $\lim_{x\rightarrow 1} g(x) = 2$
III. $f''(x) < g''(x)$ qualquer que seja $x \in ]0,+\infty[$
Justifique que as proposições I, II e III são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.
A condição $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-(2x-1))=0$ é a própria definição formal de assíntota oblíqua. Significa que a reta $y=2x-1$ acompanha o gráfico de $f$ no infinito. Tratando-se de uma reta oblíqua, é impossível que a função admita simultaneamente uma assíntota horizontal no mesmo extremo, logo a afirmação falha.
Justificação da Proposição II (Falsa)Se a reta $r$ (cuja equação é $y=2x-1$) é tangente ao gráfico de $g$ na abcissa $x=1$, então o ponto de tangência pertence simultaneamente à reta e ao gráfico. Calculando a ordenada na reta: $y = 2(1)-1 = 1$. Sendo $g$ contínua, $\lim_{x\rightarrow 1} g(x) = g(1) = 1$, o que contraria o valor 2 afirmado na proposição.
Justificação da Proposição III (Falsa)As informações dadas indicam que $f$ tem a concavidade voltada para cima ($f''(x) > 0$) e $g$ tem a concavidade voltada para baixo ($g''(x) < 0$). Sendo assim, um valor positivo será sempre maior que um valor negativo, impondo-se a relação oposta: $f''(x) > g''(x)$. A desigualdade sugerida na proposição está invertida.
8. Assíntotas paralelas aos eixos com frações exponenciais
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Seja $h$ a função, de domínio $]0,+\infty[$, definida por $h(x)=\frac{e^x+\ln x}{e^x-1}$.
Estude a função $h$ quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso estas existam, escreva as respetivas equações.
Avaliando o comportamento lateral direito na origem:
Este resultado garante que a reta $x=0$ é a única assíntota vertical do gráfico.
2.º — Assíntota Horizontal (eixo das abcissas)Calculando a tendência para o infinito:
Desfazendo a indeterminação com a Regra de Cauchy (L'Hôpital):
Separando a fração para simplificar a análise do limite:
9. Ausência de assíntota oblíqua por ordenada infinita
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Seja $g$ a função, de domínio $]1,+\infty[$, definida por $g(x)=5x+3\ln(x-1)$.
Estude a função $g$ quanto à existência de assíntotas verticais e de assíntotas oblíquas ao seu gráfico e, caso existam, escreva as respetivas equações.
Confirma-se que a reta vertical $x=1$ é uma assíntota.
2.º — Assíntota Oblíqua (pesquisa do declive m)Através do Teorema de L'Hôpital:
Aplicando a fórmula $b = \lim (g(x)-mx)$ com $m=5$:
10. Assíntotas horizontais em ramos distintos
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Estude, sem recorrer à calculadora, a função $f$ quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico e, caso existam, escreva as suas equações.
Avaliando o limite do ramo racional:
Tratando-se de polinómios com o mesmo grau num limite ao infinito, pode usar-se L'Hôpital sucessivamente ou a regra dos termos de maior grau:
Isto define uma assíntota horizontal em $y=1$ no lado negativo.
2.º — Comportamento em mais infinitoAvaliando o ramo exponencial-fracionário:
Aplicando as regras de derivação L'Hôpital:
11. Rejeição de assíntotas num domínio finito restrito
Seja $f$ a função, de domínio $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, definida por:
Mostre que o gráfico da função $f$ não tem assíntotas.
Derivando as expressões algébricas e trigonométricas respetivas:
Tratando-se de um valor finito ($2$), a reta $x=0$ não é assíntota.
2.º — Análise no extremo superior trigonométricoDe igual modo, a convergência para $0$ elimina a hipótese de $x=\pi/2$ atuar como assíntota.
3.º — Conclusão final12. Assíntota oblíqua e manipulação de logaritmo exponencial
Seja $f$ a função definida em $]-\infty,2]$ por $f(x)=x+\ln(e^x+1)$. Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora.
O gráfico de $f$ tem uma assíntota oblíqua. Determine uma equação dessa assíntota.
Separando os elementos da fração e avaliando L'Hôpital na segunda parte:
Uma vez que o declive determinado é $1$, procuramos a interseção com o eixo:
13. Assíntotas paralelas aos eixos em fração exponencial
Considere a função $h$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, definida por $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$.
Estude a função $h$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equações.
Calculando os limites laterais no ponto isolado:
Deste modo, comprova-se que $x=1$ é uma assíntota vertical do gráfico.
2.º — Assíntota Horizontal para menos infinitoProcedendo à substituição direta:
Logo, a reta de equação $y=0$ é assíntota horizontal quando $x\to-\infty$.
3.º — Assíntota Horizontal para mais infinitoUsando a regra de L'Hôpital:
Assim, do lado direito não ocorre estabilização assintótica em direção a nenhum número real.
4.º — Conclusão14. Avaliação de oblíqua com ramo exponencial polinomial
Seja $h$ a função, de domínio $[-\frac{\pi}{3},+\infty[$, definida por:
Sabendo que a função $h$ é contínua no ponto $0$, estude a função $h$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.
Como a função é contínua no ponto $0$ e não há outros pontos de descontinuidade no domínio, não existem assíntotas verticais.
2.º — Verificação de assíntota não vertical (pesquisa de m)Usando a regra de L'Hôpital:
15. Assíntotas com crescimento logarítmico submisso
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.
Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Como $0$ é a extremidade esquerda do domínio, calcula-se o limite lateral direito:
Determina-se então a assíntota vertical de equação $x=0$.
2.º — Assíntota Horizontal (pesquisa de estabilização final)Aplicando derivação simultânea ao numerador e denominador por L'Hôpital:
Logo, a reta $y=0$ é assíntota horizontal.
3.º — Conclusão16. Manipulação algébrica com assíntotas oblíquas comuns
Sejam $f$ e $g$ duas funções de domínio $\mathbb{R}^{+}$. Sabe-se que a reta de equação $y=-x$ é assíntota oblíqua do gráfico de $f$ e do gráfico de $g$.
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)\times g(x)}{x}$?
Sendo $y = -x$ assíntota oblíqua de $f(x)$, o seu declive retira-se pelo cálculo do quociente com $x$. Assim: $m = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x} = -1$.
2.º — Análise da função gPara a função $g(x)$, ter a mesma assíntota significa que, a muito longo prazo, a função confunde-se com a reta. Portanto, o limite aproxima-se do valor da própria reta quando o $x$ tende para o infinito: $\lim_{x\rightarrow+\infty} g(x) = \lim_{x\rightarrow+\infty} (-x) = -\infty$.
3.º — Reunião no limite pedidoTemos agora condições para fracionar a expressão original e substituir as conclusões:
17. Extração do declive a partir de um limite composto
Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}^{-}$. Sabe-se que $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)+e^x-x}{x}=1$ e que o gráfico de $f$ tem uma assíntota oblíqua.
Qual é o declive dessa assíntota?
Partindo do dado do enunciado e fracionando os termos do numerador:
Avaliando individualmente os limites das duas últimas parcelas (tendo em conta que $x \to -\infty$ faz com que a exponencial $e^{-\infty}$ anule para $0^+$):
18. Estudo de assíntotas verticais em expressão logarítmica
Considere a função $f$, de domínio $]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$, definida por $f(x)=\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$.
Resolva o item seguinte recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
Fazendo a substituição e o respetivo estudo de sinais ($(-1^-) + 1 = 0^-$):
Logo, a reta $x=-1$ é assíntota vertical do gráfico.
2.º — Comportamento na fronteira direita ($x \to 1^+$)O estudo com valores ligeiramente superiores a 1 revela:
Logo, a reta $x=1$ também é assíntota vertical do gráfico.
3.º — Conclusão19. Rejeição de verticais num ponto crítico central
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por:
Averigue, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, da existência de assíntotas verticais do gráfico da função $f$.
Usando o ramo definido para $x\ge\frac12$:
Usando a regra de L'Hôpital:
20. Transformação engenhosa com o declive original
Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}^{+}$. A reta de equação $y=2x-5$ é assíntota do gráfico da função $f$.
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6x-1}{f(x)}$?
Como a reta $y=2x-5$ é assíntota do gráfico de $f$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=2$.
2.º — Calcular o limite pedidoDivide-se numerador e denominador por $x$:
21. Análise teórica da segunda derivada a partir do gráfico
Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico de uma função polinomial $f$, de grau 3.
![[Gráfico de função cúbica f, interseta o eixo nas abcissas -2 e 3, com o seu vale num extremo mínimo precisamente sobre o ponto (-2, 0)]](img-assintotas/2014-f2.png)
Sabe-se que:
- $-2$ e $3$ são os únicos zeros da função $f$;
- a função $f$ tem um extremo relativo em $x=-2$;
- $h'$, primeira derivada de uma função $h$, tem domínio $\mathbb{R}$ e é definida por $h'(x)=\frac{f(x)}{e^{2x}}$;
- $\lim_{x\rightarrow+\infty} h(x)=3$.
Considere as afirmações seguintes.
I) A função $h$ tem dois extremos relativos.
II) $h''(-2)=0$
III) $y+3=0$ é uma equação da assíntota do gráfico da função $h$ quando $x$ tende para $+\infty$.
Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação.
Como $h'(x)=\frac{f(x)}{e^{2x}}$ e $e^{2x}>0$ para todo o $x\in\mathbb{R}$, o sinal de $h'(x)$ é o sinal de $f(x)$. Pelo gráfico, $f$ não muda de sinal em $x=-2$ e muda de sinal em $x=3$. Assim, $h$ tem apenas um extremo relativo, pelo que a afirmação I é falsa.
Avaliação da Afirmação II (Verdadeira)Derivando $h'$, obtém-se:
Como $-2$ é zero de $f$ e abcissa de um extremo relativo de $f$, tem-se $f(-2)=0$ e $f'(-2)=0$. Logo:
Do dado $\lim_{x\rightarrow+\infty}h(x)=3$, conclui-se que a assíntota horizontal do gráfico de $h$, quando $x\to+\infty$, é $y=3$. A equação $y+3=0$ equivale a $y=-3$, pelo que a afirmação III é falsa.
22. Transposição gráfica através da dedução de retas limite
Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$. Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=1$;
- $\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)+2x]=2$.
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $f$?
![[Quatro gráficos ilustrativos com diferentes configurações de assíntotas desenhadas a tracejado. Só a opção A evidencia a aproximação em 1 à direita e uma reta com decrescimento obliquo à esquerda]](img-assintotas/2013-ee.png)
Nota – Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assíntotas desse gráfico.
A condição $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=1$ mostra que o gráfico se aproxima da reta $y=1$ quando $x\to+\infty$.
Interpretar a segunda deduçãoA segunda condição pode escrever-se na forma da definição de assíntota oblíqua:
Logo, a reta $y=-2x+2$ é assíntota do gráfico quando $x\to-\infty$.
23. Seleção de gráfico do primitivo face à visualização da função derivada
Na figura em baixo, está representada, num referencial ortogonal $xOy$, parte do gráfico de uma função polinomial $f$, de grau 3.
![[Representação de função polinomial com zeros nas abcissas -1 e 2]](img-assintotas/2013-f1-1.png)
Sabe-se que:
- $-1$ e $2$ são os únicos zeros da função $f$;
- $g'$, a primeira derivada de uma certa função $g$, tem domínio $\mathbb{R}$ e é definida por $g'(x)=f(x)\times e^{-x}$;
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}[g(x)-2]=0$.
Apenas uma das opções seguintes pode representar a função $g$.
![[Opções gráficas para a função g]](img-assintotas/2013-f1-2.png)
Nota – Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.
Elabore uma composição na qual:
- identifique a opção que pode representar a função $g$
- apresente as razões para rejeitar as restantes opções.
Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.
Como $-1$ é zero de $f$, tem-se $g'(-1)=f(-1)e^{-(-1)}=0$. Assim, o gráfico de $g$ deve ter tangente horizontal em $x=-1$, o que permite rejeitar a opção que não respeita esta condição.
Segunda razãoComo $e^{-x}>0$, o sinal de $g'(x)=f(x)e^{-x}$ é o sinal de $f(x)$. Para $x>2$, tem-se $f(x)>0$; logo, $g$ é crescente nesse intervalo. Rejeitam-se as opções que mostram comportamento decrescente para $x>2$.
Terceira razãoDe $\lim_{x\rightarrow+\infty}[g(x)-2]=0$, conclui-se que a reta $y=2$ é assíntota horizontal do gráfico de $g$ quando $x\to+\infty$. Rejeitam-se as opções que não têm esta assíntota.
24. Relação inter-funções em patamar assintótico global
Sejam $f$ e $g$ funções de domínio $]0,+\infty[$. Sabe-se que:
- a reta de equação $y=3$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$;
- $f$ não tem zeros;
- $g(x)=\frac{e^{-x}-3}{f(x)}$.
Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de $g$?
Como a reta $y=3$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=3$. Além disso, $\lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{-x}-3)=0-3=-3$.
Cálculo do limite de g25. Descodificação formal das assíntotas horizontais em representação
Considere, num referencial o.n. $xOy$, o gráfico de uma função $h$, de domínio $\mathbb{R}$. Sabe-se que:
- $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos e $a < b < c$;
- $h$ tem um mínimo relativo em $]a,c[$;
- $h$ é crescente em $]-\infty,0[$;
- $\lim_{x\rightarrow-\infty}(h(x)-1)=0$;
- a segunda derivada, $h''$, da função $h$ é tal que $h''(x) > 0$ para $x > b$.
Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráfico da função $h$.
![[Quatro gráficos que testam limites nulos com variações de decrescimento antes ou após o valor chave inferior 0]](img-assintotas/2012-ee.png)
Elabore uma composição na qual:
- indique a opção que pode representar $h$
- apresente três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada.
Da condição $\lim_{x\rightarrow-\infty}(h(x)-1)=0$, conclui-se que $\lim_{x\rightarrow-\infty}h(x)=1$. Por isso, rejeita-se a opção cujo gráfico não se aproxima da reta $y=1$ quando $x\to-\infty$.
Rejeição pelo mínimo relativoComo $h$ tem um mínimo relativo em $]a,c[$, rejeita-se a opção que não apresenta esse mínimo relativo nesse intervalo.
Rejeição pela concavidadeComo $h''(x)>0$ para $x>b$, o gráfico deve ter concavidade voltada para cima nesse intervalo. Rejeita-se a opção que não respeita esta concavidade.
26. Identificação de assíntotas a partir de limites teóricos
Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$. Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-2x)=1$;
- $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=3$;
- $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$;
- $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=2$.
Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função $f$?
A condição $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=3$ indica que a reta de equação $y=3$ é assíntota horizontal quando $x \to -\infty$.
2.º — Assíntota Vertical (limite em torno do ponto 1)O limite à esquerda é finito, mas $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$. Como um dos limites laterais é infinito, a reta $x=1$ é assíntota vertical.
3.º — Assíntota Oblíqua (manipulação algébrica)A primeira condição pode ser reescrita usando a definição de assíntota oblíqua:
Fica assim demonstrado que a reta $y=2x+1$ é assíntota oblíqua quando $x\to+\infty$.
27. Deduzir o gráfico do inverso a partir das assíntotas do original
Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}^+$ contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = -\infty$;
- a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de $f$.
Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função $\frac{1}{f}$?
![[Quatro gráficos propostos. Apenas a opção D mostra um gráfico que arranca da origem e que se cola à assíntota horizontal y=0 com valores positivos ao progredir para infinito]](img-assintotas/2012-ti.png)
Como $\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=-\infty$, tem-se:
Assim, o gráfico de $\frac{1}{f}$ aproxima-se do eixo $Ox$ por valores negativos quando $x\to0^+$.
2.º — Análise no infinito positivoComo a bissetriz $y=x$ é assíntota quando $x\to+\infty$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$. Logo:
Quando $x\to+\infty$, o gráfico de $\frac{1}{f}$ aproxima-se do eixo $Ox$ por valores positivos.
28. Isolamento de assíntotas face a continuidades provadas
Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{3\}$, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = 1$;
- $\lim_{x\rightarrow 3} f(x) = -2$;
- $\lim_{x\rightarrow-\infty}(f(x)+2x) = 0$.
Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de $f$?
Da condição $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=1$, conclui-se que $y=1$ é assíntota horizontal.
Como $\lim_{x\rightarrow 3} f(x)=-2$ é finito, a reta $x=3$ não é assíntota vertical.
Além disso, $\lim_{x\rightarrow-\infty}(f(x)-(-2x))=0$, pelo que a reta $y=-2x$ é assíntota oblíqua.
29. Estudo de singularidade vertical com limites trigonométricos/exponenciais
Considere a função $f$, de domínio $[0,+\infty[$, definida por:
Estude $f$ quanto à existência de assíntotas verticais no seu gráfico, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Como a expressão da função muda em $x=2$, basta estudar se nesse ponto ocorre divergência para infinito.
2.º — Verificação pela margem esquerda e L'HôpitalAplicando a regra de L'Hôpital:
30. Extração de propriedades diretas de uma reta assintótica
Na figura em baixo, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico da função $g$, de domínio $]-3,+\infty[$.
![[Gráfico de uma função com assíntota oblíqua crescente]](img-assintotas/2011-f1.png)
A reta $y=2x-4$ é assíntota do gráfico de $g$. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
Pela definição de assíntota oblíqua, tem-se:
Desenvolvendo o parêntesis:
31. Limite conjugado envolvendo um limite assintótico constante
Considere a função $h$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, e a reta de equação $y=-4$ assíntota do gráfico de $h$.
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(\frac{1}{2x}\right)}{h(x)}$?
Como a reta $y=-4$ é assíntota horizontal do gráfico de $h$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}h(x)=-4$.
Para o numerador:
Assim:
32. Derivação de assíntota oblíqua por soma a função horizontal
Seja uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, e seja a reta de equação $y=1$ a única assíntota do gráfico de $f$.
Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por $g(x)=f(x)+x$.
Prove que o gráfico de $g$ tem uma assíntota oblíqua paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Como a reta $y=1$ é a única assíntota do gráfico de $f$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=1$. Então:
Calculando a ordenada na origem da assíntota:
33. Inviabilidade de assíntota oblíqua face ao logaritmo expansivo
Considere a função $f$, de domínio $]0,+\infty[$, definida por:
Estude a função $f$ quanto à existência de assimptotas oblíquas, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Como $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$, obtém-se:
Calculando a ordenada na origem:
34. Dedução do comportamento de limite composto numa singularidade fracionária
Na figura em baixo, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico de uma função $f$, contínua, de domínio $]-\infty,1[$.
![[Gráfico de uma função com assíntota vertical em x=1]](img-assintotas/2010-f1.png)
Tal como a figura sugere, a reta de equação $x=1$ é assíntota do gráfico de $f$. Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3x}{f(x)}$?
Pela figura, $\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=+\infty$.
Cálculo do limite35. Demonstração de modelo linear num referencial decrescente
Considere a função $f$, de domínio $]-\infty,2\pi]$, definida por:
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, prove que a reta de equação $y=ax+b$, com $a\neq 0$, é uma assíntota oblíqua do gráfico de $f$.
Como o comportamento assintótico ocorre quando $x\to-\infty$, usa-se o ramo definido para $x\le 0$.
2.º — Cálculo do limiteSimplificando:
36. Determinação gráfica do declive de uma assíntota oblíqua
Na figura em baixo, estão representadas parte do gráfico de uma função $f$, de domínio $[-3,+\infty[$, e parte da reta $r$, que é a única assíntota do gráfico de $f$.
![[Gráfico da função f acompanhando uma reta oblíqua r que interseta o eixo das ordenadas em -1 e o eixo das abcissas em 1]](img-assintotas/2009-f2.png)
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}$?
Pela figura, a reta $r$ passa pelos pontos $(0,-1)$ e $(1,0)$.
Cálculo do declive (m)Sendo $r$ assíntota do gráfico de $f$ para $+\infty$, sabe-se pela teoria que $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x} = m_r$.
37. Prova de inexistência de assíntota numa função composta por soma
Sejam $f$ e $g$ duas funções, ambas de domínio $\mathbb{R}^{+}$. Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-2x)=0$;
- a função $g$ é definida por $g(x)=f(x)+x^2$.
Prove que o gráfico de $g$ não tem assíntotas oblíquas.
Da condição $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-2x)=0$, conclui-se que a reta $y=2x$ é assíntota do gráfico de $f$ quando $x\to+\infty$. Portanto:
Para existir uma assíntota oblíqua de $g$ em $+\infty$, teria de existir um declive finito $m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{g(x)}{x}$. Calculemos esse limite:
Substituindo o comportamento limite conhecido da primeira parcela:
38. Cruzamento de propriedades teóricas para seleção gráfica
De uma função $g$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, sabe-se que:
Em cada uma das alternativas apresentadas abaixo, está representado, em referencial o.n. $xOy$, o gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.
![[Quatro gráficos com diferentes assíntotas propostas]](img-assintotas/2009-ti.png)
Em qual das alternativas pode estar representado o gráfico de $g$?
Como o domínio é $\mathbb{R}^+$ e $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=-\infty$, o gráfico deve descer sem limite quando $x\to0^+$. Nas figuras, apenas as opções (A) e (D) respeitam este comportamento.
2.º — Interpretar o limite de assíntota oblíquaA condição $\lim_{x\rightarrow+\infty}[g(x)-x]=0$ mostra que a reta $y=x$ é assíntota do gráfico de $g$ quando $x\to+\infty$.
39. Esquadrinhar assíntotas a partir de polinómios e logaritmos particionados
Seja $f$ a função de domínio $\mathbb{R}$ definida por:
Sem recorrer à calculadora, estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados. Indique uma equação para cada assíntota encontrada.
Pelo ramo definido para $x\ge1$, tem-se $f(1)=\ln(1)-e^0=0-1=-1$. Assim, para estudar uma eventual assíntota vertical em $x=1$, basta analisar o limite à esquerda.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
Como o limite lateral é infinito, a reta $x=1$ é assíntota vertical.
2.º — Analisar o limite quando x tende para menos infinitoPara $x\to-\infty$, usa-se o ramo racional:
Pelo quociente dos termos de maior grau:
Logo, a reta $y=3$ é assíntota horizontal quando $x\to-\infty$.
3.º — Analisar o limite quando x tende para mais infinitoPara $x\to+\infty$, usa-se o ramo logarítmico:
Como este limite é infinito, não há assíntota horizontal quando $x\to+\infty$.
40. Extrapolação do quociente do inverso a partir do comportamento geométrico
Na figura em baixo está representada parte do gráfico de uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, sendo $y=-1$ a única assíntota do seu gráfico.
![[Demonstração visual do gráfico estacionando suavemente sob a linha tracejada y=-1 ao prolongar-se em direção a menos infinito]](img-assintotas/2008-f2.png)
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3}{f(x)}$?
Como $y=-1$ é a única assíntota do gráfico e a figura mostra essa aproximação quando $x\to-\infty$, tem-se $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-1$.
Conclusão aritméticaAplicando as regras de cálculo de limites:
41. Decomposição de soma infinita disfarçada de assíntota oblíqua
Na figura em baixo, está representada parte do gráfico de uma função $f$ de domínio $]-\infty,2[$. A reta $t$, de equação $y=-x-1$, é assíntota do gráfico de $f$ quando $x$ tende para $-\infty$.
![[Gráfico com uma reta decrescente t servindo de trilho de encosto no lado esquerdo do plano]](img-assintotas/2008-f1.png)
Qual é o valor do $\lim_{x\rightarrow-\infty}(f(x)+x+1)$?
Pela definição de assíntota oblíqua, se $y=mx+b$ é assíntota do gráfico de $f$ quando $x\to-\infty$, então $\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$.
Aplicando esta definição à reta $t$, de equação $y=-x-1$, obtém-se:
Desenvolvendo a expressão:
42. Obtenção do inverso retificado via divisão de funções
Na figura em baixo está representada parte do gráfico de uma função $f$ de domínio $[0,+\infty[$. A reta $r$, de equação $y=\frac{1}{3}x+2$ é assíntota do gráfico de $f$.
![[Gráfico de f com assíntota oblíqua r]](img-assintotas/2008-ti.png)
Seja $h$ a função definida em $[0,+\infty[$ por $h(x)=\frac{x}{f(x)}$. O gráfico de $h$ tem uma assíntota horizontal.
Qual das equações seguintes define essa assíntota?
Como a reta $y=\frac{1}{3}x+2$ é assíntota do gráfico de $f$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}$.
2.º — Calcular o limite de hPara determinar a assíntota horizontal de $h$, calcula-se:
Escrevendo o quociente de forma conveniente:
43. Interação do buraco de domínio linear e salto infinito adjacente
Na figura em baixo, está representada parte do gráfico de uma função $g$, real de variável real. Tal como a figura sugere, a reta de equação $x=1$ é assíntota do gráfico da função $g$.
![[Gráfico de g com assíntota vertical em x=1]](img-assintotas/2007-f2.png)
Seja $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a função definida por $h(x)=x-1$. Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{h(x)}{g(x)}$?
Pela figura, $\lim_{x\rightarrow 1^-}g(x)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow 1^+}g(x)=-\infty$.
Além disso, como $h(x)=x-1$, tem-se $\lim_{x\rightarrow1}h(x)=0$.
2.º — Cálculo dos limites laterais da fraçãoAssim:
44. Limites do logaritmo de uma função
Na figura em baixo está parte da representação gráfica de uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$. Tal como a figura sugere, o eixo $Ox$ e a reta de equação $y=1$ são assíntotas do gráfico de $f$.
![[Gráfico com uma sela acentuada colando à linha 0 à esquerda (-infinito) e achatando contra a demarcação unitária y=1 à direita]](img-assintotas/2007-f1-1.png)
Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x)=\ln[f(x)]$. Em qual das opções seguintes pode estar parte da representação gráfica da função $g$?
![[Gráfico com uma sela acentuada colando à linha 0 à esquerda (-infinito) e achatando contra a demarcação unitária y=1 à direita]](img-assintotas/2007-f1-2.png)
Pela figura, $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0^+$. Logo:
Este comportamento permite rejeitar a figura que não apresenta descida ilimitada quando $x\to-\infty$.
2.º — Limite quando x tende para mais infinitoTambém pela figura, $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=1^+$. Assim:
Assim, o gráfico de $g$ aproxima-se do eixo $Ox$ quando $x\to+\infty$.
3.º — Usar o valor relativo de f no ponto centralPela figura, existe um valor de $x$ para o qual $f(x)>1$. Nesse ponto, $\ln(f(x))>0$, o que permite rejeitar as opções que não respeitam esse sinal.
45. Isolamento numérico de componentes no declive retilíneo
Seja $g$ uma função de domínio $\mathbb{R}^{+}$. Sabe-se que a reta de equação $y=2x+3$ é assíntota do gráfico de $g$.
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty} \left[\frac{g(x)}{x}\times(g(x)-2x)\right]$?
Como a reta $y=2x+3$ é assíntota do gráfico de $g$, tem-se:
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{g(x)}{x}=2$ e $\lim_{x\rightarrow+\infty}(g(x)-2x)=3$.
Agregação do limite propostoAplicando as propriedades dos limites:
46. Dedução gráfica do inverso de uma função
Na figura em baixo está representada, em referencial $xOy,$ parte do gráfico de uma função $f$, de domínio $]-\infty,1[,$ contínua em todo o seu domínio.
![[Gráfico da função f com assíntotas y=0 e x=1]](img-assintotas/2007-ti-1.png)
Tal como a figura sugere, tem-se:
- o gráfico de $f$ contém a origem do referencial;
- as retas de equações $y=0$ e $x=1$ são assíntotas do gráfico de $f$.
Em qual das opções seguintes poderá estar representada, em referencial $xOy$, parte do gráfico de $\frac{1}{f}$?
![[Opções gráficas para a função inversa de f]](img-assintotas/2007-ti-2.png)
O gráfico cruza a origem, logo $f(0) = 0$. Invertendo a função, na abcissa $x=0$, teremos $1/0$, o que resultará numa divergência para $\infty$. Logo, a nova função terá obrigatoriamente uma assíntota vertical sobre o eixo das ordenadas ($x=0$).
2.º — Análise em menos infinitoObserva-se que $\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=0^+$. Assim, $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{0^+}=+\infty$.
3.º — Análise junto à assíntota vertical x=1Junto ao limite direito do domínio, $\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=-\infty$. Logo, $\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{-\infty}=0^-$.
47. Inexistência de assíntotas horizontais em produto logarítmico
Seja $f$ a função, de domínio $]1,+\infty[$, definida por $f(x)=x+x\ln(x-1)$.
Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à existência de assimptotas do seu gráfico.
Sendo a divergência confirmada, atesta-se que a reta $x=1$ é uma assíntota vertical.
2.º — Pesquisa de Assíntota Não Vertical (cálculo de m)Avaliando este novo limite: $1 + \ln(+\infty) = 1 + \infty = +\infty$.
3.º — Conclusão48. O produto anula assíntotas originais
De uma certa função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, sabe-se que:
- $f$ é contínua;
- a reta de equação $y=x$ é assíntota do gráfico de $f$, quer quando $x\rightarrow+\infty$ quer quando $x\rightarrow-\infty$.
Mostre que o gráfico da função $g$, definida, em $\mathbb{R}$, por $g(x)=xf(x)$, não tem qualquer assíntota.
Como $f$ é contínua em $\mathbb{R}$ e $x$ também é uma função contínua em $\mathbb{R}$, o produto $g(x)=xf(x)$ é contínuo em $\mathbb{R}$. Logo, o gráfico de $g$ não tem assíntotas verticais.
2.º — Consequências da assíntota de fComo $y=x$ é assíntota do gráfico de $f$, quer quando $x\to+\infty$ quer quando $x\to-\infty$, tem-se:
Como o limite que daria o declive de uma assíntota não vertical não é finito, não existem assíntotas oblíquas nem horizontais.
49. L'Hôpital conjugado com assíntotas na base neperiana
Considere a função $f$, de domínio $]0,+\infty[$, definida por:
($\ln$ designa logaritmo de base $e$).
Sem recorrer à calculadora, estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados.
Como o limite é $+\infty$, a reta $x=0$ é assíntota vertical do gráfico de $f$.
2.º — Vertente HorizontalUsando a regra de L'Hôpital:
50. Assíntotas óbvias de uma fração racional pura
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{3\}$, definida por $f(x)=\frac{x-2}{x-3}$.
Em cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações. Em qual das opções as duas equações definem as assíntotas do gráfico de $f$?
Avaliando o pólo de exclusão do domínio ($x=3$): $\lim_{x\to 3} \frac{x-2}{x-3} = \frac{1}{0} = \infty$. Identificou-se a assíntota vertical $x=3$.
Avaliando as margens infinitas: $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x-2}{x-3} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x}{x} = 1$. Identificou-se a assíntota horizontal $y=1$.
51. Conversão de descrições limitantes em equações assintóticas
Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{5\}$, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow 5} f(x) = 3$
- $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 2$
- $\lim_{x\rightarrow -\infty} [f(x)-x] = 0$
Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma delas uma reta. Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assíntotas do gráfico da função $f$?
Como $\lim_{x\rightarrow5}f(x)=3$ é finito, a reta $x=5$ não é assíntota vertical.
Tradução dos limites infinitosDa condição $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=2$, conclui-se que $y=2$ é assíntota horizontal.
Da condição $\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-x]=0$, conclui-se que $y=x$ é assíntota do gráfico de $f$ quando $x\to-\infty$.
52. Abstração na dedução da assíntota oblíqua
Seja $g$ uma função de domínio $\mathbb{R}^{+}$. Sabe-se que:
- $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{g(x)+x}{x} = 4$
- o gráfico de $g$ tem uma assíntota oblíqua.
Qual das condições seguintes pode ser uma equação dessa assíntota?
Separando os termos do quociente:
Assim, o declive da assíntota oblíqua é $3$.
53. Assíntotas no limite de uma função exponencial basal
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, definida por:
Sem recorrer à calculadora, estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados.
Como $x=0$ não pertence ao domínio, calcula-se o limite nesse ponto:
Como o limite é finito, não há assíntota vertical em $x=0$.
2.º — Estudo dos limites no infinitoQuando $x\to+\infty$, a exponencial domina o termo $x$:
Quando $x\to-\infty$, tem-se $e^x\to0$:
54. Avaliação visual do decurso do quociente de uma curva
Na figura em baixo está representada parte do gráfico de uma função $f$ de domínio $\mathbb{R}$, contínua em todo o seu domínio. A bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de $f$.
Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $g$ definida por $g(x)=\frac{f(x)}{x}$?
Como a bissetriz dos quadrantes pares, de equação $y=-x$, é assíntota do gráfico de $f$ quando $x\to-\infty$, tem-se $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=-1$.
Como a bissetriz dos quadrantes ímpares, de equação $y=x$, é assíntota do gráfico de $f$ quando $x\to+\infty$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=1$.
55. Mapeamento de um gráfico através de um limite relacional
Considere uma função $g$ de domínio $[0,+\infty[$, contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
- O gráfico de $g$ tem uma única assíntota;
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{g(x)}{x}=\frac{1}{2}$.
Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o. n. $xOy$, parte do gráfico da função $g$ e, a tracejado, a sua assíntota?
Como $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{g(x)}{x}=\frac12$, a única assíntota do gráfico de $g$ é uma reta não vertical de declive $\frac12$.
Assim, rejeitam-se as opções com assíntota horizontal, assíntota vertical ou assíntota de declive negativo.
56. Extração gráfica de limite numérico em fração
Na figura em baixo está representada parte do gráfico de uma função $h$, de domínio $[0,5[\cup]5,+\infty[$.
![[Gráfico com uma assíntota vertical em x=5 e uma assíntota horizontal em y=3; à direita de 5, a curva de h desce aproximando-se da reta y=3 no infinito]](img-assintotas/2003-f1-ch1-2.png)
As retas de equações $x=5$ e $y=3$ são as únicas assíntotas do gráfico de $h$.
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{h(x)}{3+e^{-x}}$?
A observação gráfica, corroborada pelo texto, dita que para a extremidade direita do referencial, o traçado estaciona na cota 3. Logo: $\lim_{x\rightarrow+\infty} h(x) = 3$.
2.º — Cálculo do limite propostoAplicando o limite ao numerador e ao denominador separadamente:
57. Assíntotas paralelas aos eixos em função exponencial simples
Considere a função $f$ de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\frac{1}{3}+2e^{1-x}$.
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.
A função resulta de operações perfeitamente definidas (soma e exponencial) sem qualquer singularidade fracionária ou logarítmica. O seu domínio é $\mathbb{R}$, logo não há descontinuidades que possam originar assíntotas verticais.
2.º — Análise horizontal em mais infinitoComo $e^{1-x}\to0$ quando $x\to+\infty$:
Logo, a reta $y=\frac{1}{3}$ é assíntota horizontal quando $x\to+\infty$.
3.º — Análise horizontal em menos infinitoNeste caso, o limite é infinito, pelo que não há assíntota horizontal quando $x\to-\infty$.
Conclusão58. Limite notável inverso impulsionado por assíntota horizontal
De uma função $h$, de domínio $\mathbb{R}^{-}$, sabe-se que a reta de equação $y=2$ é assíntota do seu gráfico.
Qual é o valor de $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{h(x)}{e^{x}}$?
Como o domínio é $\mathbb{R}^-$ e a reta $y=2$ é assíntota do gráfico de $h$, tem-se $\lim_{x\rightarrow-\infty}h(x)=2$.
Avaliação do quociente escalarCalculando o quociente dos limites:
59. Triagem analítica da única assíntota de uma função base
O gráfico da função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=0,1+0,2e^{0,3x}$ tem uma única assíntota.
Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota?
Quando $x\to+\infty$:
Quando $x\to-\infty$:
60. Demonstração oblíqua perante o feixe exponencial atenuado
Na figura em baixo estão representadas, em referencial o.n. $xOy$:
- uma curva $C$, gráfico da função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=e^x$;
- uma reta $r$, gráfico da função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x)=x-2$.
![[Gráfico com uma assíntota vertical em x=5 e uma assíntota horizontal em y=3; à direita de 5, a curva de h desce aproximando-se da reta y=3 no infinito]](img-assintotas/2001-ee.png)
Estude a função $f+g$ quanto à existência de assimptotas do seu gráfico, utilizando métodos exclusivamente analíticos.
A função $(f+g)(x)=e^x+x-2$ está definida e é contínua em $\mathbb{R}$. Logo, não há assíntotas verticais.
2.º — Conduta ao recuar (Assíntota Oblíqua em menos infinito)Para $x\to-\infty$, verifica-se se a reta $y=x-2$ é assíntota:
Como este limite é zero, a reta $y=x-2$ é assíntota oblíqua quando $x\to-\infty$.
3.º — Conduta ao progredir (Assíntota Oblíqua em mais infinito)Para $x\to+\infty$, calcula-se o declive de uma eventual assíntota oblíqua:
Como o limite que daria o declive não é finito, não existe assíntota oblíqua quando $x\to+\infty$.
Conclusão61. Prova de assíntota horizontal igual ao eixo Ox
De uma função $g$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assíntota do seu gráfico.
Seja $h$ a função, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por $h(x)=\frac{g(x)}{x^2}$.
Prove que o eixo $Ox$ é uma assíntota do gráfico de $h$.
Como a bissetriz dos quadrantes ímpares, de equação $y=x$, é assíntota do gráfico de $g$, tem-se:
Escrevendo a fração de forma conveniente:
Aplicando as regras dos limites:
62. Assíntota e Interpretação Social da Estagnação de Acidentes
Malmequeres de Baixo é uma povoação com cinco mil habitantes.
Num certo, dia ocorreu um acidente em Malmequeres de Baixo, que foi testemunhado por algumas pessoas. Admita que, $t$ horas depois do acidente, o número (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baixo que sabiam do ocorrido eram, aproximadamente,
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas do seu gráfico. Interprete a conclusão a que chegou, no contexto do problema.
Como $e^{-0,3t}\to0$ quando $t\to+\infty$:
Logo, a reta $y=5$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$.
2.º — Interpretação no contexto do problema63. Nomenclatura Formal de Aproximação de Funções
Sejam $f$ e $g$ duas funções de domínio $\mathbb{R}$. Sabe-se que:
- o gráfico de $g$ é uma reta, que designamos por $s$;
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$.
Qual das afirmações seguinte é necessariamente verdadeira?
Sendo $s$ uma reta, pode escrever-se $g(x)=mx+b$. A condição dada fica $\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$, que é precisamente a definição de assíntota do gráfico de $f$.
64. O reverso da medalha: Função nula gera explosão infinita na Inversa
Considere uma função $f$ de domínio $\mathbb{R}^{+}$. Admita que $f$ é positiva e que o eixo $Ox$ é assíntota do gráfico de $f$.
Mostre que o gráfico da função $\frac{1}{f}$ não tem assíntota horizontal.
Como o domínio de $f$ é $\mathbb{R}^+$, $f$ é positiva e o eixo $Ox$ é assíntota do gráfico de $f$, tem-se:
Para a função $\frac{1}{f}$, obtém-se:
65. Determinação exaustiva de contradomínio conjugando assíntotas e monotonia
De uma função $f$, contínua em $\mathbb{R}$, sabe-se que:
- $f$ é estritamente crescente;
- $f(0)=1$;
- O eixo $Ox$ e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assíntotas do gráfico de $f$.
Qual é o contradomínio de $f$?
Como $f(0)=1$ e $f$ é estritamente crescente, para que a bissetriz dos quadrantes ímpares seja assíntota do gráfico de $f$, tem-se $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$.
Como o eixo $Ox$ é assíntota do gráfico de $f$ e $f$ é estritamente crescente, tem-se $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0^+$.