Matemática A 12.º ano
A — Escolha Múltipla
1
Exame 2025, Época Especial
Seja $w$ um número complexo, de argumento $\theta$, com $\theta\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[$.
Qual das expressões seguintes é um argumento de $\dfrac{\mathrm{i}^{23}\times w^2}{\overline{w}}$ ?
(A) $\theta+\pi$
(B) $\theta+\dfrac{3\pi}{2}$
(C) $3\theta+\pi$
(D) $3\theta+\dfrac{3\pi}{2}$
2
Exame 2025, 2.ª Fase
Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, o triângulo $[OZW]$ e o ponto $M$. Sabe-se que $\overline{OZ}=\overline{OW}$; os pontos $Z$ e $W$ são os afixos dos números complexos $z$ e $w$, respetivamente; um argumento de $z$, em radianos, é $\dfrac{2\pi}{15}$; o ponto $M$ pertence à bissetriz do primeiro quadrante e é o ponto médio do segmento de reta $[WZ]$.
Qual dos seguintes valores é um argumento, em radianos, do número complexo $w$?
(A) $\dfrac{7\pi}{60}$
(B) $\dfrac{11\pi}{60}$
(C) $\dfrac{7\pi}{30}$
(D) $\dfrac{11\pi}{30}$
3
Exame 2024, Época Especial
Na figura ao lado está representado, no plano complexo, o losango $[ABCD]$, com $\overline{AB}=5$. Os pontos $A,B,C,D$ são os afixos dos números complexos $z_1,z_2,z_3,z_4$, respetivamente. Sabe-se que $z_1$ e $z_3$ são números reais e $|z_1-z_3|=6$; $z_2$ e $z_4$ são imaginários puros.
Qual dos seguintes números complexos é igual a $z_2\times z_4$?
(A) $25$
(B) $16$
(C) $-16$
(D) $-25$
4
Exame 2024, 2.ª Fase
Considere o ponto $A$, afixo no plano complexo do número $z=-2\mathrm{i}$. Qual dos seguintes números complexos tem como afixo o transformado do ponto $A$ por uma rotação de centro na origem e de ângulo orientado de amplitude $\dfrac{\pi}{3}$ radianos?
(A) $\sqrt{3}-\mathrm{i}$
(B) $-\sqrt{3}+\mathrm{i}$
(C) $1-\sqrt{3}\,\mathrm{i}$
(D) $-1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$
5
Exame 2023, Época Especial
Seja $z$ um número complexo de argumento $\dfrac{\pi}{7}$. Qual dos seguintes valores é um argumento de $2\mathrm{i}z$ ?
(A) $\dfrac{5\pi}{14}$
(B) $\dfrac{9\pi}{14}$
(C) $\dfrac{6\pi}{7}$
(D) $\dfrac{8\pi}{7}$
6
Exame 2023, 1.ª Fase
Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, os pontos $A$ e $B$. O ponto $O$ é a origem. O ponto $A$ é o afixo de $z$ tal que $\mathrm{Im}(z)=\mathrm{Re}(z)$ e $\mathrm{Re}(z)>0$. O ponto $B$ é o afixo de $w$ tal que o ângulo convexo $AOB$ tem amplitude $\dfrac{5\pi}{8}$ radianos.
Qual dos valores seguintes é um argumento de $w\times z$?
(A) $\dfrac{3\pi}{8}$
(B) $\dfrac{5\pi}{8}$
(C) $\dfrac{9\pi}{8}$
(D) $\dfrac{11\pi}{8}$
7
Exame 2022, Época Especial
Em $\mathbb{C}$, considere o número complexo $z=e\cdot e^{\,\mathrm{i}e}$. Seja $P$ o afixo de $z$ no plano complexo. Em qual das opções seguintes pode estar representado, no plano complexo, o ponto $P$?
(A) $P$ no 2.º quadrante, $|\,z\,|=e$, eixo marcado em $e$
(B) $P$ no 3.º quadrante, $|\,z\,|=e$, eixo marcado em $e$
(C) $P$ no 2.º quadrante, $|\,z\,|<1$, eixo marcado em $1$
(D) $P$ no 3.º quadrante, $|\,z\,|<1$, eixo marcado em $1$
8
Exame 2022, 1.ª Fase
Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos. O ponto $A$ pertence ao semieixo real positivo; os pontos $B$ e $C$ pertencem ao semieixo real negativo; o ponto $D$ pertence ao semieixo imaginário negativo. O ponto $W$ é o afixo de $w$ tal que $\mathrm{Im}(w)=-\mathrm{Re}(w)$ e $\mathrm{Re}(w)>1$.
Qual dos pontos pode ser o afixo do número complexo $-\mathrm{i}w^2$?
(A) Ponto $A$
(B) Ponto $B$
(C) Ponto $C$
(D) Ponto $D$
9
Exame 2021, Época Especial
Em $\mathbb{C}$, considere os números complexos $z_1$ e $z_2$ tais que, para $\theta\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$,
$$z_1=e^{\,\mathrm{i}\theta}\quad\text{e}\quad z_2=2e^{\,\mathrm{i}(\theta+\pi)}$$
A qual dos quadrantes do plano complexo pertence o afixo do número complexo $z_1+z_2$?
(A) Primeiro
(B) Segundo
(C) Terceiro
(D) Quarto
10
Exame 2021, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z=2e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{5}}$. Seja $w$ o número complexo tal que $z\times w=\mathrm{i}$. Qual dos valores seguintes é um argumento do número complexo $w$?
(A) $\dfrac{19\pi}{10}$
(B) $\dfrac{2\pi}{5}$
(C) $-\dfrac{2\pi}{5}$
(D) $-\dfrac{19\pi}{10}$
12
Exame 2019, Época Especial
Na figura ao lado está representado, no plano complexo, o quadrado $[ABCD]$, cujo centro coincide com a origem. Os pontos $A,B,C,D$ são os afixos dos números complexos $z_1,z_2,z_3,z_4$, respetivamente.
A que é igual $z_1+z_2+z_3+z_4$?
(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
13
Exame 2019, 2.ª Fase
Na figura ao lado está representado, no plano complexo, o quadrado $[ABCD]$. Sabe-se que o ponto $A$ é o afixo de um número complexo $z$ e que o ponto $D$ é o afixo do complexo nulo.
Qual é o número complexo cujo afixo é o ponto $B$?
(A) $z(1+\mathrm{i})$
(B) $\mathrm{i}z$
(C) $\mathrm{i}^3z$
(D) $z(2+\mathrm{i})$
14
Exame 2019, 1.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, seja $z=-1+2\mathrm{i}$. Seja $\theta$ o menor argumento positivo do número complexo $\overline{z}$ (conjugado de $z$). A qual dos intervalos seguintes pertence $\theta$?
(A) $\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[$
(B) $\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[$
(C) $\left]\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right[$
(D) $\left]\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right[$
15
Exame 2018, Época Especial
Em $\mathbb{C}$, a expressão $\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\cdots+\mathrm{i}^{2018}$ é igual a
(A) $\mathrm{i}$
(B) $-\mathrm{i}$
(C) $-1+\mathrm{i}$
(D) $1+\mathrm{i}$
17
Exame 2017, Época Especial
Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem e dois diâmetros perpendiculares $[AC]$ e $[BD]$. Sabe-se que o ponto $A$ é a imagem geométrica de um certo complexo $z$. Qual é a imagem geométrica do complexo $\mathrm{i}^3z$?
(A) Ponto $A$
(B) Ponto $B$
(C) Ponto $C$
(D) Ponto $D$
18
Exame 2017, 2.ª Fase
Seja $z$ um número complexo de argumento $\dfrac{\pi}{5}$. Qual dos seguintes valores é um argumento do número complexo $-5\mathrm{i}z$?
(A) $-\dfrac{3\pi}{10}$
(B) $-\dfrac{4\pi}{5}$
(C) $-\dfrac{7\pi}{5}$
(D) $-\dfrac{13\pi}{10}$
19
Exame 2016, 1.ª Fase
Seja $\theta$ um número real pertencente ao intervalo $\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[$. Considere o número complexo $z=-3e^{\,\mathrm{i}\theta}$. A que quadrante pertence a imagem geométrica do complexo $z$?
(A) Primeiro
(B) Segundo
(C) Terceiro
(D) Quarto
20
Exame 2014, Época Especial
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos números complexos $w,z_1,z_2,z_3,z_4$. Qual é o número complexo que pode ser igual a $-2\mathrm{i}w$?
(A) $z_1$
(B) $z_2$
(C) $z_3$
(D) $z_4$
21
Exame 2013, Época Especial
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos números complexos $z,z_1,z_2,z_3,z_4$. Sabe-se que $w$ é um número complexo tal que $z=\mathrm{i}\times\overline{w}$. Qual é o número complexo que pode ser igual a $w$?
(A) $z_4$
(B) $z_3$
(C) $z_2$
(D) $z_1$
22
Exame 2013, 2.ª Fase
Considere, em $\mathbb{C}$, $z=2+b\mathrm{i}$, com $b<0$. Seja $\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$. Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de $z$?
(A) $\dfrac{3}{2}e^{\,\mathrm{i}\alpha}$
(B) $3e^{\,\mathrm{i}(-\alpha)}$
(C) $3e^{\,\mathrm{i}\alpha}$
(D) $\dfrac{3}{2}e^{\,\mathrm{i}(-\alpha)}$
24
Exame 2013, 1.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z=-8+6\mathrm{i}$ e $w=\dfrac{-\mathrm{i}\times z^2}{\overline{z}}$. Seja $\alpha$ um argumento do número complexo $z$. Qual das opções seguintes é verdadeira?
(A) $w=10e^{\,\mathrm{i}(3\alpha-\frac{\pi}{2})}$
(B) $w=2e^{\,\mathrm{i}(3\alpha-\frac{\pi}{2})}$
(C) $w=10e^{\,\mathrm{i}(\alpha-\frac{\pi}{2})}$
(D) $w=2e^{\,\mathrm{i}(\alpha-\frac{\pi}{2})}$
25
Exame 2013, 1.ª Fase
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos $w_1,w_2,w_3,w_4$. Qual é o número complexo que, com $n\in\mathbb{N}$, pode ser igual a $\mathrm{i}^{8n}\times\mathrm{i}^{8n-1}+\mathrm{i}^{8n-2}$?
(A) $w_1$
(B) $w_2$
(C) $w_3$
(D) $w_4$
26
Teste Intermédio 12.º ano — 24.05.2013
Em $\mathbb{C}$, seja $z=e^{\,\mathrm{i}\theta}$, em que $\theta$ é um número real pertencente ao intervalo $\left]\dfrac{3\pi}{4},\pi\right[$. Seja $w=z^2-2$. A que quadrante do plano complexo pertence a imagem geométrica de $w$?
(A) Primeiro quadrante
(B) Segundo quadrante
(C) Terceiro quadrante
(D) Quarto quadrante
28
Exame 2012, Época Especial
Sejam $k$ e $p$ dois números reais tais que os números complexos $z=1+\mathrm{i}$ e $w=(k-1)+2p\,\mathrm{i}^{11}$ sejam inversos um do outro. Qual é o valor de $k+p$?
(A) $-\dfrac{1}{4}$
(B) $\dfrac{1}{2}$
(C) $\dfrac{5}{4}$
(D) $\dfrac{7}{4}$
29
Exame 2012, 2.ª Fase
Seja $k$ um número real, e sejam $z_1=2+\mathrm{i}$ e $z_2=3-k\mathrm{i}$ dois números complexos. Qual é o valor de $k$ para o qual $z_1\times\overline{z_2}$ é um imaginário puro?
(A) $\dfrac{3}{2}$
(B) $-\dfrac{3}{2}$
(C) $1$
(D) $6$
31
Exame 2012, 1.ª Fase
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos $w,z_1,z_2,z_3,z_4$. Qual é o número complexo que pode ser igual a $\dfrac{w}{3\mathrm{i}}$?
(A) $z_1$
(B) $z_2$
(C) $z_3$
(D) $z_4$
32
Exame 2011, Prova Especial
Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, seis pontos $M,N,P,Q,R,S$. Sabe-se que o ponto $M$ é a imagem geométrica do número complexo $z_1=2+\mathrm{i}$ e o ponto $N$ é a imagem geométrica do número complexo $z_1\times z_2$. Qual dos pontos pode ser a imagem geométrica do número complexo $z_2$?
(A) Ponto $P$
(B) Ponto $Q$
(C) Ponto $R$
(D) Ponto $S$
33
Exame 2011, Época Especial
Sejam $k$ e $p$ dois números reais e sejam $z_1=(3k+2)+p\,\mathrm{i}$ e $z_2=(3p-4)+(2-5k)\mathrm{i}$ dois números complexos. Quais são os valores de $k$ e de $p$ para os quais $z_1$ é igual ao conjugado de $z_2$?
(A) $k=-1$ e $p=3$
(B) $k=1$ e $p=3$
(C) $k=0$ e $p=-2$
(D) $k=1$ e $p=-3$
34
Exame 2011, 2.ª Fase
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números complexos $z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6$. Qual é o número complexo que pode ser igual a $(z_2+z_4)\times\mathrm{i}$?
(A) $z_1$
(B) $z_3$
(C) $z_5$
(D) $z_6$
35
Exame 2011, 1.ª Fase
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos $z_1,z_2,z_3,z_4$. Qual é o número complexo que, com $n\in\mathbb{N}$, pode ser igual a $\mathrm{i}^{4n}+\mathrm{i}^{4n+1}+\mathrm{i}^{4n+2}$?
(A) $z_1$
(B) $z_2$
(C) $z_3$
(D) $z_4$
36
Teste Intermédio 12.º ano — 26.05.2011
Na figura ao lado está representada, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem $O$. Os pontos $A,B,C$ pertencem à circunferência. O ponto $A$ é a imagem geométrica do número complexo $3+4\mathrm{i}$; o ponto $C$ pertence ao eixo imaginário; o arco $BC$ tem $\dfrac{\pi}{9}$ radianos de amplitude. Qual é o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto $B$?
(A) $5e^{\,\mathrm{i}\frac{10\pi}{9}}$
(B) $5e^{\,\mathrm{i}\frac{25\pi}{18}}$
(C) $7e^{\,\mathrm{i}\frac{10\pi}{9}}$
(D) $7e^{\,\mathrm{i}\frac{25\pi}{18}}$
37
Exame 2010, Época Especial
Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, os pontos $P,Q,R,S,T$. O ponto $P$ é a imagem geométrica de um número complexo $z$. Qual dos pontos é a imagem geométrica do número complexo $-\mathrm{i}\times z$?
(A) $Q$
(B) $R$
(C) $S$
(D) $T$
38
Exame 2010, 1.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z=3e^{\,\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{8}-\theta\right)}$, com $\theta\in\mathbb{R}$. Para qual dos valores seguintes de $\theta$ podemos afirmar que $z$ é um número imaginário puro?
(A) $-\dfrac{\pi}{2}$
(B) $\dfrac{\pi}{2}$
(C) $\dfrac{\pi}{8}$
(D) $\dfrac{5\pi}{8}$
40
Exame 2009, Época Especial
Seja $\theta$ um número real pertencente ao intervalo $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$. Considere o número complexo $z=\mathrm{i}\cdot e^{\,\mathrm{i}\theta}$. Qual dos números complexos seguintes é o conjugado de $z$?
(A) $e^{\,\mathrm{i}(-\frac{\pi}{2}-\theta)}$
(B) $e^{\,\mathrm{i}(\frac{\pi}{2}-\theta)}$
(C) $e^{\,\mathrm{i}(\frac{\pi}{2}+\theta)}$
(D) $e^{\,\mathrm{i}(\frac{3\pi}{2}+\theta)}$
42
Exame 2009, 1.ª Fase
Seja $z$ um número complexo, em que um dos argumentos é $\dfrac{\pi}{3}$. Qual dos valores seguintes é um argumento de $\dfrac{2\mathrm{i}}{\overline{z}}$, sendo $\overline{z}$ o conjugado de $z$?
(A) $\dfrac{\pi}{6}$
(B) $\dfrac{2\pi}{3}$
(C) $\dfrac{5\pi}{6}$
(D) $\dfrac{7\pi}{6}$
44
Teste Intermédio 12.º ano — 27.05.2009
Para um certo número real positivo $\rho$ e para um certo número real $\alpha$ compreendido entre $0$ e $\dfrac{\pi}{2}$, o número complexo $\rho e^{\,\mathrm{i}\alpha}$ tem por imagem geométrica o ponto $P$, representado na figura. Qual é a imagem geométrica do número complexo $\rho^2 e^{\,\mathrm{i}(2\alpha)}$?
(A) Ponto $A$
(B) Ponto $B$
(C) Ponto $C$
(D) Ponto $D$
47
Exame 2008, 2.ª Fase
Seja $z$ um número complexo de argumento $\dfrac{\pi}{6}$. Qual dos seguintes valores é um argumento de $-z$?
(A) $-\dfrac{\pi}{6}$
(B) $\dfrac{5\pi}{6}$
(C) $\pi$
(D) $\dfrac{7\pi}{6}$
49
Exame 2008, 1.ª Fase
Seja $z=3\mathrm{i}$ um número complexo. Qual dos seguintes valores é um argumento de $z$?
(A) $0$
(B) $\dfrac{\pi}{2}$
(C) $\pi$
(D) $\dfrac{3\pi}{2}$
50
Exame 2007, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, seja $\mathrm{i}$ a unidade imaginária. Seja $n$ um número natural tal que $\mathrm{i}^n=-\mathrm{i}$. Indique qual dos seguintes é o valor de $\mathrm{i}^{n+1}$.
(A) $1$
(B) $\mathrm{i}$
(C) $-1$
(D) $-\mathrm{i}$
52
Exame 2006, Época Especial
Na figura está representada, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem. Os pontos $A,B,C$ pertencem à circunferência. O ponto $A$ é a imagem geométrica do número complexo $4+3\mathrm{i}$; o ponto $B$ pertence ao eixo imaginário; o arco $BC$ tem $18°$ de amplitude. Qual deles tem por imagem geométrica o ponto $C$?
(A) $7e^{\,\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
(B) $7e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{5}}$
(C) $5e^{\,\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
(D) $5e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{5}}$
54
Exame 2005, Época Especial
Considere, no plano complexo, um ponto $A$ imagem geométrica de um certo número complexo $z$. Sabe-se que $A$ não pertence a qualquer um dos eixos. Seja $B$ o ponto simétrico de $A$ relativamente ao eixo imaginário. Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o ponto $B$?
(A) $\overline{z}$
(B) $\dfrac{1}{z}$
(C) $-\overline{z}$
(D) $-z$
59
Exame 2003, Prova Militares
Em $\mathbb{C}$, considere $z=2e^{\,\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\pi}{5}\right)}$. Para qual dos seguintes valores de $\theta$ é que $z$ é um número real?
(A) $\dfrac{6\pi}{5}$
(B) $\dfrac{7\pi}{5}$
(C) $\dfrac{8\pi}{5}$
(D) $\dfrac{9\pi}{5}$
60
Exame 2003, 2.ª Fase
Na figura ao lado estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos $w,z_1,z_2,z_3,z_4$. Qual é o número complexo que pode ser igual a $1-w$?
(A) $z_1$
(B) $z_2$
(C) $z_3$
(D) $z_4$
62
Exame 2002, 2.ª Fase
Na figura ao lado está representado um retângulo de comprimento $4$ e largura $2$, centrado na origem. Seja $z$ um número complexo qualquer cuja imagem geométrica está no interior do retângulo. Qual dos seguintes números complexos tem também, necessariamente, a sua imagem geométrica no interior do retângulo?
(A) $z^{-1}$
(B) $\overline{z}$
(C) $z^2$
(D) $2z$
66
Exame 2001, 1.ª Fase — 1.ª Chamada
Seja $w$ um número complexo diferente de $0$, cuja imagem geométrica está no 1.º quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Seja $\overline{w}$ o conjugado de $w$. Na figura estão representadas as imagens geométricas de quatro números complexos $z_1,z_2,z_3,z_4$. Qual deles pode ser igual a $\dfrac{w}{\overline{w}}$?
(A) $z_1$
(B) $z_2$
(C) $z_3$
(D) $z_4$
67
Exame 2000, 1.ª Fase — 2.ª Chamada
Seja $z$ um número complexo de argumento $\dfrac{\pi}{5}$. Qual poderá ser um argumento do simétrico de $z$?
(A) $-\dfrac{\pi}{5}$
(B) $\pi+\dfrac{\pi}{5}$
(C) $\pi-\dfrac{\pi}{5}$
(D) $2\pi+\dfrac{\pi}{5}$
69
Exame 2000, Prova Modelo
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos; $\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária. Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos $w,z_1,z_2,z_3,z_4$. Qual deles pode ser igual a $2\mathrm{i}w$?
(A) $z_1$
(B) $z_2$
(C) $z_3$
(D) $z_4$
B — Resposta Aberta
11
Exame 2021, 1.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z_1=-3+2\mathrm{i}$, $z_2=1+2\mathrm{i}$ e $z_3=2-\mathrm{i}$. Seja $w$ o número complexo tal que $w=\dfrac{z_1\times z_2}{z_3}$.
Mostre, sem recorrer à calculadora, que a proposição seguinte é verdadeira: $$|w|=\sqrt{13}\quad\wedge\quad\mathrm{Arg}(w)\in\left]-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right[$$
16
Exame 2018, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z=\dfrac{(2-\mathrm{i})^2+1+\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}+3\,\mathrm{i}^{15}$.
Escreva o complexo $-\dfrac{1}{2}\times\overline{z}$ na forma trigonométrica.
23
Exame 2013, 2.ª Fase
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos. Seja $\alpha\in[-\pi,\pi[$. Mostre que:
$$\frac{\cos(\pi-\alpha)+\mathrm{i}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos\alpha+\mathrm{i}\,\mathrm{sen}\,\alpha}=e^{\,\mathrm{i}(\pi-2\alpha)}$$
27
Teste Intermédio 12.º ano — 24.05.2013
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos; $\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária. Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de
$$\frac{\mathrm{i}^6+2\,\mathrm{i}^7}{2-\mathrm{i}}$$
Apresente o resultado na forma algébrica.
30
Exame 2012, 2.ª Fase
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos. Seja $n$ um número natural. Determine
$$\frac{\sqrt{3}\times\mathrm{i}^{4n-6}+2e^{\,\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{6}\right)}}{2e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{5}}}$$
sem recorrer à calculadora. Apresente o resultado na forma trigonométrica.
39
Teste Intermédio 12.º ano — 19.05.2010
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos; $\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária. Determine
$$\frac{(1+2\mathrm{i})(3+\mathrm{i})-\mathrm{i}^6+\mathrm{i}^7}{3\mathrm{i}}$$
sem recorrer à calculadora. Apresente o resultado na forma $x+y\mathrm{i}$, com $x,y\in\mathbb{R}$.
41
Exame 2009, Época Especial
Considere, em $\mathbb{C}$, o número complexo $z_1=3-2\mathrm{i}$. Determine, sem recorrer à calculadora, o número complexo
$$z=\frac{z_1+z_1^2+2\,\mathrm{i}^{43}}{8e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}}$$
Apresente o resultado na forma algébrica.
43
Exame 2009, 1.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z_1=\dfrac{\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}-\mathrm{i}^{18}$. Determine $z_1$ na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.
45
Teste Intermédio 12.º ano — 27.05.2009
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos; $\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária. Determine
$$\frac{(2+\mathrm{i})^2+1+6\,\mathrm{i}^{35}}{1+2\mathrm{i}}$$
sem recorrer à calculadora. Apresente o resultado na forma algébrica.
46
Exame 2008, Época Especial
Em $\mathbb{C}$, sejam $z_1=(1-\mathrm{i})\cdot\!\left(1+e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\right)$ e $z_2=8e^{\,\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$. Determine, sem recorrer à calculadora, o número complexo $w=\dfrac{z_1}{z_2}$. Apresente o resultado na forma trigonométrica.
48
Exame 2008, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $z_1=1-\mathrm{i}$ ($\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária). Sem recorrer à calculadora, determine o valor de
$$\frac{2z_1-\mathrm{i}^{18}-3}{1-2\mathrm{i}}$$
Apresente o resultado na forma algébrica.
51
Exame 2007, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, sejam $z_1=3+y\mathrm{i}$ e $z_2=4\mathrm{i}z_1$ ($y\in\mathbb{R}$). Considere que $\mathrm{arg}(z)$ designa o argumento de $z$ pertencente a $[0,2\pi[$. Admitindo que $\mathrm{arg}(z_1)=\alpha$ e que $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$, determine o valor de $\mathrm{arg}(-z_2)$ em função de $\alpha$.
53
Exame 2006, 2.ª Fase
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos; $\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária. Considere $z_1=(2-\mathrm{i})\!\left(2+e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\right)$ e $z_2=\dfrac{1}{5}e^{\,\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{7}\right)}$. Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo $\dfrac{z_1}{z_2}$ na forma trigonométrica.
55
Exame 2005, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $w_1=1+\mathrm{i}$, $w_2=\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}$ e $w_3=\sqrt{3}\,e^{\,\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{2}\right)}$. Sem recorrer à calculadora, determine $\dfrac{w_1\times w_2-2}{w_3}$. Apresente o resultado na forma algébrica.
56
Exame 2005, 1.ª Fase
Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos; $\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária. Considere $w=\dfrac{2+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}-\mathrm{i}$. Sem recorrer à calculadora, escreva $w$ na forma trigonométrica.
57
Exame 2004, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $w=4-3\mathrm{i}$ ($\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária).
57.1.
Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrica, $2\mathrm{i}+\dfrac{w^2}{\mathrm{i}}$.
57.2.
Seja $\alpha$ um argumento do número complexo $w$. Exprima, na forma trigonométrica, em função de $\alpha$, o produto de $\mathrm{i}$ pelo conjugado de $w$.
58
Exame 2004, 1.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere os números complexos $z_1=-6+3\mathrm{i}$ e $z_2=1-2\mathrm{i}$. Sem recorrer à calculadora, determine $\dfrac{z_1+\mathrm{i}^{23}}{z_2}$, apresentando o resultado final na forma trigonométrica.
61
Exame 2003, 1.ª Fase — 1.ª Chamada
Em $\mathbb{C}$, considere $z_1=2-2\mathrm{i}$ e $z_2=\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$. Sem recorrer à calculadora, determine $\dfrac{z_1}{z_2}$, apresentando o resultado na forma algébrica.
63
Exame 2002, 1.ª Fase — 2.ª Chamada
De dois números complexos $z_1$ e $z_2$ sabe-se que: um argumento de $z_1$ é $\dfrac{\pi}{3}$; o módulo de $z_2$ é $4$. Seja $w=\dfrac{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$. Justifique que $w$ é diferente de $z_1$ e de $z_2$.
64
Exame 2001, Época Especial
Em $\mathbb{C}$, seja $z_1=1+\mathrm{i}$ ($\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária). Sem recorrer à calculadora, determine o valor de $\dfrac{z_1+\mathrm{i}^{23}+4}{2-\mathrm{i}}$. Apresente o resultado na forma algébrica.
65
Exame 2001, 2.ª Fase
Em $\mathbb{C}$, considere $w=2+\mathrm{i}$ ($\mathrm{i}$ designa a unidade imaginária). Averigue se o inverso de $w$ é, ou não, $\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$.
68
Exame 2000, 1.ª Fase — 1.ª Chamada
Seja $A$ o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do círculo de centro na origem do referencial e raio $1$. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo $\dfrac{1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}}{4e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}}$ pertence ao conjunto $A$.✦ Chave de Respostas — Escolha Múltipla ✦
1. (D) $3\theta+\dfrac{3\pi}{2}$
2. (D) $\dfrac{11\pi}{30}$
3. (B) $16$
4. (D) $-1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$
5. (B) $\dfrac{9\pi}{14}$
6. (C) $\dfrac{9\pi}{8}$
7. (A)
8. (C) Ponto $C$
9. (C) Terceiro
10. (C) $-\dfrac{2\pi}{5}$
12. (A) $0$
13. (A) $z(1+\mathrm{i})$
14. (D) $\left]\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right[$
15. (A) $\mathrm{i}$
17. (C) Ponto $C$
18. (A) $-\dfrac{3\pi}{10}$
19. (B) Segundo
20. (A) $z_1$
21. (C) $z_2$
22. (B) $3e^{\,\mathrm{i}(-\alpha)}$
24. (A) $10e^{\,\mathrm{i}(3\alpha-\frac{\pi}{2})}$
25. (D) $w_4$
26. (D) Quarto
28. (C) $\dfrac{5}{4}$
29. (A) $\dfrac{3}{2}$
31. (A) $z_1$
32. (D) Ponto $S$
33. (B) $k=1,\,p=3$
34. (C) $z_5$
35. (A) $z_1$
36. (B) $5e^{\,\mathrm{i}\frac{25\pi}{18}}$
37. (C) $S$
38. (D) $\dfrac{5\pi}{8}$
40. (A) $e^{\,\mathrm{i}(-\frac{\pi}{2}-\theta)}$
42. (C) $\dfrac{5\pi}{6}$
44. (C) Ponto $C$
47. (D) $\dfrac{7\pi}{6}$
49. (B) $\dfrac{\pi}{2}$
50. (A) $1$
52. (D) $5e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{5}}$
54. (C) $-\overline{z}$
59. (A) $\dfrac{6\pi}{5}$
60. (B) $z_2$
62. (B) $\overline{z}$
66. (A) $z_1$
67. (B) $\pi+\dfrac{\pi}{5}$
69. (B) $z_2$
✦ Indicações de Resolução — Resposta Aberta ✦
11. $z_1\times z_2=(-3+2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})=-7-4\mathrm{i}$. $w=\dfrac{-7-4\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}=\dfrac{(-7-4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}{5}=\dfrac{-10-15\mathrm{i}}{5}=-2-3\mathrm{i}$.
$|w|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ ✓. $w$ está no 3.º quadrante logo $\mathrm{Arg}(w)\in\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[$; como $\frac{3}{2}>\tan\!\frac{\pi}{4}=1$, vem $\mathrm{Arg}(w)>-\frac{3\pi}{4}$ ✓.
16. $(2-\mathrm{i})^2=3-4\mathrm{i}$; numerador $=3-4\mathrm{i}+1+\mathrm{i}=4-3\mathrm{i}$; $\frac{4-3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}=2+\mathrm{i}$; $3\mathrm{i}^{15}=-3\mathrm{i}$; $z=2-2\mathrm{i}$; $-\frac{1}{2}\overline{z}=-1-\mathrm{i}=\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$.
23. $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$; $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\mathrm{sen}\,\alpha$. Numerador $=-\cos\alpha+\mathrm{i}\,\mathrm{sen}\,\alpha=-e^{-\mathrm{i}\alpha}=e^{\mathrm{i}\pi}\cdot e^{-\mathrm{i}\alpha}=e^{\mathrm{i}(\pi-\alpha)}$. Denominador $=e^{\mathrm{i}\alpha}$. Quociente $=e^{\mathrm{i}(\pi-2\alpha)}$ ✓.
27. $\mathrm{i}^6=-1$, $\mathrm{i}^7=-\mathrm{i}$. Numerador $=-1-2\mathrm{i}$. $\frac{-1-2\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}\cdot\frac{2+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{-2-\mathrm{i}-4\mathrm{i}+2}{5}=\frac{-5\mathrm{i}}{5}=-\mathrm{i}$.
30. $\mathrm{i}^{4n-6}=\mathrm{i}^{-6}=(\mathrm{i}^4)^{-1}\cdot\mathrm{i}^{-2}=1\cdot(-1)=-1$ (ou: $\mathrm{i}^{4n-6}=\mathrm{i}^{-6}=\mathrm{i}^2=-1$). Numerador $=-\sqrt{3}+2(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})=-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\mathrm{i}=-\mathrm{i}=e^{-\mathrm{i}\pi/2}$. Resultado $=\frac{e^{-\mathrm{i}\pi/2}}{2e^{\mathrm{i}\pi/5}}=\frac{1}{2}e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{10}}$.
39. $(1+2\mathrm{i})(3+\mathrm{i})=1+7\mathrm{i}$; $-\mathrm{i}^6+\mathrm{i}^7=1-\mathrm{i}$; numerador $=2+6\mathrm{i}$; $\frac{2+6\mathrm{i}}{3\mathrm{i}}\cdot\frac{-3\mathrm{i}}{-3\mathrm{i}}=\frac{18-6\mathrm{i}}{9}=2-\frac{2}{3}\mathrm{i}$.
41. $z_1^2=(3-2\mathrm{i})^2=5-12\mathrm{i}$; $\mathrm{i}^{43}=\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}$; numerador $=(3-2\mathrm{i})+(5-12\mathrm{i})-2\mathrm{i}=8-16\mathrm{i}$. $8e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}=-8\mathrm{i}$. $z=\frac{8-16\mathrm{i}}{-8\mathrm{i}}=\frac{(8-16\mathrm{i})\cdot8\mathrm{i}}{64}=\frac{64\mathrm{i}+128}{64}=2+\mathrm{i}$.
43. $\frac{\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{2}=\frac{-1+\mathrm{i}}{2}$; $\mathrm{i}^{18}=-1$; $z_1=\frac{-1+\mathrm{i}}{2}+1=\frac{1+\mathrm{i}}{2}$. $|z_1|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\mathrm{Arg}(z_1)=\frac{\pi}{4}$. Forma trig.: $z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.
45. $(2+\mathrm{i})^2=3+4\mathrm{i}$; $\mathrm{i}^{35}=\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}$; numerador $=3+4\mathrm{i}+1-6\mathrm{i}=4-2\mathrm{i}$; $\frac{4-2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}\cdot\frac{1-2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}=\frac{4-8\mathrm{i}-2\mathrm{i}-4}{5}=\frac{-10\mathrm{i}}{5}=-2\mathrm{i}$.
46. $z_1=(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=(1-\mathrm{i})\cdot\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\,e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\cdot\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=2$. $w=\frac{2}{8e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}}=\frac{1}{4}e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.
48. $2z_1=2-2\mathrm{i}$; $\mathrm{i}^{18}=-1$; numerador $=2-2\mathrm{i}+1-3=-2\mathrm{i}$; $\frac{-2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}\cdot\frac{1+2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}=\frac{-2\mathrm{i}+4}{5}=\frac{4}{5}-\frac{2}{5}\mathrm{i}$.
51. $z_2=4\mathrm{i}z_1$, logo $\mathrm{arg}(z_2)=\mathrm{arg}(4\mathrm{i})+\mathrm{arg}(z_1)=\frac{\pi}{2}+\alpha$. $-z_2$ tem argumento $\frac{\pi}{2}+\alpha+\pi=\frac{3\pi}{2}+\alpha$. Como $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, temos $\frac{3\pi}{2}<\frac{3\pi}{2}+\alpha<2\pi$, portanto $\mathrm{arg}(-z_2)=\frac{3\pi}{2}+\alpha$.
53. $2+e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=2+\mathrm{i}$, logo $z_1=(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=5$. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{5}{\frac{1}{5}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{7}}}=25e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{7}}$.
55. $w_1=\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$; $w_1\cdot w_2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=2e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})=1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$. $w_1w_2-2=\sqrt{3}\,\mathrm{i}=\sqrt{3}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$. $\frac{\sqrt{3}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{3}\,e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}}=e^{\,\mathrm{i}\pi}=-1$.
56. $\frac{2+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\cdot\frac{1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{1+3\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}$. $w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}-\mathrm{i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.
57.1. $\frac{w^2}{\mathrm{i}}=\frac{(4-3\mathrm{i})^2}{\mathrm{i}}=\frac{7-24\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\cdot\frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\frac{-24-7\mathrm{i}}{1}$... $=\frac{7-24\mathrm{i}}{i}=(7-24\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i})=-24+7\mathrm{i}$... corr.: $\frac{7-24\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(7-24\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{1}=-7\mathrm{i}-24=$ $-24-7\mathrm{i}$... vamos recalcular: $w^2=(4-3\mathrm{i})^2=16-24\mathrm{i}-9=7-24\mathrm{i}$. $\frac{7-24\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\cdot\frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\frac{-7\mathrm{i}-24}{1}=-24-7\mathrm{i}$. $2\mathrm{i}+w^2/\mathrm{i}=2\mathrm{i}-24-7\mathrm{i}=-24-5\mathrm{i}$.
57.2. $|w|=5$; $\mathrm{i}\cdot\overline{w}=\mathrm{i}(4+3\mathrm{i})=-3+4\mathrm{i}=5e^{\,\mathrm{i}(\pi-\alpha)}$ (pois $|\mathrm{i}|=1$, $\mathrm{arg}(\mathrm{i})=\frac{\pi}{2}$, $\mathrm{arg}(\overline{w})=-\alpha$).
57.2. $|w|=5$; $\mathrm{i}\cdot\overline{w}=\mathrm{i}(4+3\mathrm{i})=-3+4\mathrm{i}=5e^{\,\mathrm{i}(\pi-\alpha)}$ (pois $|\mathrm{i}|=1$, $\mathrm{arg}(\mathrm{i})=\frac{\pi}{2}$, $\mathrm{arg}(\overline{w})=-\alpha$).
58. $z_1+\mathrm{i}^{23}=(-6+3\mathrm{i})+(-\mathrm{i})=-6+2\mathrm{i}$. $\frac{-6+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}\cdot\frac{1+2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}=\frac{-6-12\mathrm{i}+2\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2}{5}=\frac{-10-10\mathrm{i}}{5}=-2-2\mathrm{i}=2\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$.
61. $z_1=2-2\mathrm{i}=2\sqrt{2}\,e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{2\sqrt{2}\,e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}}=2e^{-\mathrm{i}\frac{6\pi}{4}}=2e^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}=2e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=2\mathrm{i}$.
63. $w=\frac{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\cdot\frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\frac{1-(-1)}{1}$... $=\frac{(-1+\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{1}=\mathrm{i}+1=1+\mathrm{i}$. $\mathrm{Arg}(w)=\frac{\pi}{4}\neq\frac{\pi}{3}=\mathrm{arg}(z_1)$, logo $w\neq z_1$. $|w|=\sqrt{2}\neq4=|z_2|$, logo $w\neq z_2$.
64. $\mathrm{i}^{23}=-\mathrm{i}$; $z_1+\mathrm{i}^{23}+4=(1+\mathrm{i})-\mathrm{i}+4=5$. $\frac{5}{2-\mathrm{i}}\cdot\frac{2+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{10+5\mathrm{i}}{5}=2+\mathrm{i}$.
65. $\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}=\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i})=-1+\mathrm{i}$. $w\cdot(-1+\mathrm{i})=(2+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})=-2+2\mathrm{i}-\mathrm{i}-1=-3+\mathrm{i}\neq1$. Logo $\sqrt{2}\,e^{\,\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ não é o inverso de $w$.
68. $1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}=2e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$. $\frac{2e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}{4e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}}=\frac{1}{2}e^{\,\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$. O módulo é $\frac{1}{2}<1$, logo o afixo pertence ao interior do círculo unitário, ou seja, o número pertence a $A$ ✓.