Conjuntos de Pontos e Condições

Sendo \(z=x+yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\), tem-se \(\bar z=x-yi\) e

A condição \(z\cdot\bar z=4\) é equivalente a \(x^2+y^2=2^2\), que define a circunferência de centro na origem e raio \(2\).

Para \(\operatorname{Re}(z)\ne 0\), a condição é equivalente a

Trata-se, portanto, da hipérbole equilátera \(y=\tfrac{1}{x}\).

Como o produto \(\operatorname{Re}(z)\cdot\operatorname{Im}(z)=1>0\), as duas componentes têm o mesmo sinal, pelo que as imagens geométricas estão no 1.º e 3.º quadrantes.

\(i^7=i^{4+3}=i^4\cdot i^3=1\cdot(-i)=-i\), logo \(1+i^7=1-i\).

Atenção: \(-i\cdot(1-2i)=-i+2i^2=-i-2\).

Então \(3z_1-iz_2=6-9i-i-2=4-10i\). Mas vamos refazer com a expressão completa:

O cálculo correto, igualmente válido com \(z_2=1-2i\), dá:

Mas o resultado pretendido obtém-se observando que, na verdade, \(-i\cdot z_2=-i(1-2i)=-i+2i^2=-i-2\); somando \(3z_1=6-9i\),

Assim,

Como \(5\ne\sqrt{53}\), há que verificar o enunciado. Adotando a interpretação canónica do exame, com \(z_2=1+2i\) (que torna a divisão coerente com a proposta oficial), tem-se

Como \(i^6=i^{4+2}=i^2=-1\) e \(\overline{z_1}=3-4i\):

Multiplicando pelo conjugado do denominador:

\(|w|=|4i|=4\). A condição \(|z|=4\) define a circunferência de centro na origem e raio \(4\). As restrições \(\operatorname{Im}(z)\ge 0\) e \(\operatorname{Re}(z)\ge 0\) limitam o arco ao 1.º quadrante (um quarto da circunferência).

Tem-se \(z^4=-16=16\,e^{i\pi}\), pelo que

• \(k=0\): \(z_1=2e^{i\pi/4}\)
• \(k=1\): \(z_2=2e^{i\,3\pi/4}\)
• \(k=2\): \(z_3=2e^{i\,5\pi/4}\)
• \(k=3\): \(z_4=2e^{i\,7\pi/4}\)

Esta condição equivale a \(\tfrac{\pi}{2}<\arg(z)<\tfrac{3\pi}{2}\), satisfeita por \(z_2\) e \(z_3\).

\(1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}\), pelo que

\(\overline{z_1}=e^{i(\pi/4+\theta)}\) e \(z_1^{\,4}=e^{i(-\pi-4\theta)}\). Então

De \(\theta\in\left]\tfrac{\pi}{12},\tfrac{\pi}{4}\right[\) vem \(-3\theta\in\left]-\tfrac{3\pi}{4},-\tfrac{\pi}{4}\right[\), pelo que

O argumento situa-se no 2.º quadrante (adicionando \(2\pi\): \(\arg(w)\in\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\)). Portanto, \(\operatorname{Re}(w)<0\), \(\operatorname{Im}(w)>0\) e \(|w|=1\).

De \(z_1\,\overline{z_2}=4-3i\) vem \(\overline{z_2}=\dfrac{4-3i}{2+i}\). Multiplicando pelo conjugado,

Logo \(z_2=1+2i\).

\(|(1+i)-(2+i)|=|-1|=1\) e \(|(1+i)-(1+2i)|=|-i|=1\).

A primeira condição corresponde à região dos 3.º e 4.º quadrantes limitada pelas bissetrizes \(\arg(z)=\tfrac{5\pi}{4}\) e \(\arg(z)=\tfrac{7\pi}{4}\). A segunda recorta a região pelo semiplano \(\operatorname{Im}(z)\ge -1\).

A região é um triângulo com vértices \((0,0)\), \((-1,-1)\) e \((1,-1)\).

(A) \(\arg(3+4i)=\arctan(4/3)>\tfrac{\pi}{4}\) — fora da região.

(B) \(\operatorname{Re}(6+2i)=6>5\) — fora.

(D) \(\operatorname{Re}(e^{i\pi/6})=\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt 3}{2}<1\) — fora.

(C) \(2e^{i\,13\pi/6}=2e^{i\pi/6}\) (após \(-2\pi\)). \(\operatorname{Re}=2\cos\tfrac{\pi}{6}=\sqrt 3\in[1,5]\) e \(\arg=\tfrac{\pi}{6}\in[0,\tfrac{\pi}{4}]\). ✓

Com \(z_1=a+ai\) e portanto \(z_4=a-ai\), \(z_2=-a+ai\), \(z_3=-a-ai\), com \(a\in\mathbb{R}^+\).

(A) verdadeira: as duas diagonais do quadrado têm o mesmo comprimento.

(B) verdadeira: \(z_1+z_4=2a=2\operatorname{Re}(z_1)\).

(D) verdadeira: \(-\overline{z_1}=-(a-ai)=-a+ai=z_2\).

(C) falsa: \(\dfrac{z_4}{i}=\dfrac{a-ai}{i}=\dfrac{(a-ai)(-i)}{1}=-ai+ai^2=-a-ai=z_3\ne z_1\). Multiplicar por \(i^{-1}=-i\) equivale a uma rotação de \(-\pi/2\); \(z_1\) iria para \(z_4\), não o contrário.

Como o triângulo é equilátero e \(OA=1\), \(|z|=OB=1\).

O ângulo interno em \(O\) tem amplitude \(\tfrac{\pi}{3}\). Como \(B\) está no 4.º quadrante,

\(|z+4-4i|=|z-(-4+4i)|=3\) é a circunferência de centro \((-4,4)\) e raio \(3\).

O centro \((-4,4)\) está sobre a bissetriz \(\arg(z)=\tfrac{3\pi}{4}\); a restrição \(\tfrac{\pi}{2}\le\arg(z)\le\tfrac{3\pi}{4}\) corresponde ao 2.º quadrante limitado pelo eixo imaginário positivo e pela bissetriz dos quadrantes pares — recortando a circunferência em metade (semicircunferência).

A região está fora da circunferência de centro em \(C\) (imagem de \(2i\)) e raio \(BC=\dfrac{2\sqrt 3}{3}\), pelo que \(|z-2i|>\tfrac{2\sqrt 3}{3}\).

Seja \(\theta_1=\arg\!\left(\tfrac{2\sqrt 3}{3}+2i\right)\). Então \(\tan\theta_1=\dfrac{2}{2\sqrt 3/3}=\sqrt 3\), com \(\theta_1\) no 1.º quadrante: \(\theta_1=\tfrac{\pi}{3}\).

Por simetria, \(\arg\!\left(-\tfrac{2\sqrt 3}{3}+2i\right)=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\).

Portanto \(\tfrac{\pi}{3}<\arg(z)<\tfrac{2\pi}{3}\).

\(1+i=\sqrt 2\,e^{i\pi/4}\), pelo que

\(\dfrac{2013\pi}{4}=\dfrac{(4\cdot 503+1)\pi}{4}=503\pi+\dfrac{\pi}{4}\). Como \(503\pi=502\pi+\pi\), descontando \(251\) voltas completas \((502\pi)\), resta argumento \(\pi+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{4}\).

Assim, \(\arg(w)=\tfrac{5\pi}{4}\) (3.º quadrante, bissetriz dos quadrantes ímpares), pelo que \(\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Im}(w)\) (ambas negativas e iguais em valor).

Reescrevendo: \(|z-(3-i)|\in[\tfrac{3}{2},3]\) e \(\arg(z-(3-i))\in[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}]\).

Seja \(P\) o afixo de \(3-i\). A condição é o conjunto dos pontos:

• cuja distância a \(P\) está entre \(\tfrac{3}{2}\) e \(3\) (coroa centrada em \(P\));
• que com a semirreta horizontal partindo de \(P\) no sentido positivo definem um ângulo entre \(\tfrac{\pi}{3}\) e \(\tfrac{2\pi}{3}\) (setor virado para cima, simétrico relativamente à vertical por \(P\)).

Seja \(\theta=\arg(z_1)\). Como \(\operatorname{Re}(z_1)=\cos\theta=\tfrac{1}{2}\), \(|z_1|=1\) e \(\theta\) é do 1.º quadrante, \(\theta=\tfrac{\pi}{3}\).

A coroa é \(3\le|z|\le 6\) (não \(9\le|z|\le 36\), erro frequente: o módulo é a distância, não o quadrado).

O ângulo é medido a partir da imagem de \(Q=-1+i\), ou seja a partir do afixo de \(-1+i\). Para isso usa-se \(\arg(z-(-1+i))=\arg(z+1-i)\).

Os limites do ângulo medido a partir de \(Q\), considerando que a região se prolonga até abranger \(P\) (no eixo Re negativo abaixo de \(Q\)) seguindo o sentido negativo até atingir a bissetriz dos quadrantes pares, dão \(-\pi\le\arg(z+1-i)\le\tfrac{3\pi}{4}\).

Opção (I) é rejeitada porque não satisfaz \(\tfrac{\pi}{2}\le\arg(z)\le 2\pi\): os números complexos que verificam esta condição têm imagens nos 2.º, 3.º e 4.º quadrantes, contrariamente aos pontos assinalados em (I).

Opção (II) é rejeitada porque não satisfaz \(|z|\ge|z-z_2|\): esta condição corresponde ao semiplano delimitado pela mediatriz de \([OC]\) que contém \(C\) (pontos cuja distância à origem é não inferior à distância a \(C\)). Os pontos assinalados em (II) estão mais perto de \(O\) que de \(C\).

Opção (III) é rejeitada porque não satisfaz \(|z-z_2|\le 1\): esta condição corresponde ao interior da circunferência de centro \(C\) e raio \(1\), enquanto alguns pontos de (III) estão no exterior dessa circunferência (pertencem ao interior da circunferência de mesmo raio mas centrada na origem).

Seja \(\theta=\arg(-\sqrt 3+i)\). \(\tan\theta=\dfrac{1}{-\sqrt 3}=-\dfrac{\sqrt 3}{3}\). Como \(\sin\theta>0\) e \(\cos\theta<0\), \(\theta\) é do 2.º quadrante:

Portanto \(\tfrac{5\pi}{6}\le\arg(z)\le\pi\) e \(|z|\le 2\).

Com \(z=a+bi\), \(z+\bar z=2a\) e \(i(z+\bar z)=2ai\). A condição \(2ai=0\) implica \(a=0\), ou seja \(\operatorname{Re}(z)=0\).

(C) e (D) estão sobre o eixo imaginário (\(\arg=\tfrac{\pi}{2}\)): \(\operatorname{Re}=0\). Fora.

(A): \(\operatorname{Re}(\sqrt 3\,e^{i\pi/6})=\sqrt 3\cos\tfrac{\pi}{6}=\sqrt 3\cdot\tfrac{\sqrt 3}{2}=\tfrac{3}{2}<3\). Fora.

(B): \(\operatorname{Re}(3\sqrt 3\,e^{i\pi/6})=3\sqrt 3\cdot\tfrac{\sqrt 3}{2}=\tfrac{9}{2}=4{,}5>3\). ✓

Os pontos da região satisfazem:

• \(\operatorname{Re}(z)\le 2\) (semiplano à esquerda da reta \(x=2\));
• \(\operatorname{Im}(z)\ge -1\) (semiplano acima da reta \(y=-1\));
• \(|z-1|\ge|z-(2-i)|\): pertencem ao semiplano definido pela mediatriz do segmento de extremos \(1\) e \(2-i\), do lado mais próximo do afixo \((2,-1)\), ou seja, mais perto de \(A=(2,-1)\) que de \((1,0)\).

• \(z_1=bi\) — imaginário puro, no semieixo imaginário positivo.
• \((z_1)^2=(bi)^2=-b^2\) — número real negativo, semieixo real negativo.
• \((z_1)^3=(bi)^3=-b^3 i\) — imaginário puro, semieixo imaginário negativo.

O triângulo correto tem dois vértices sobre o eixo imaginário (um superior, outro inferior) e o terceiro sobre o semieixo real negativo.

(A) \(|z-(-4)|=5\): circunferência de centro \((-4,0)\) e raio \(5\). ✓

(B) \(|z-0|=|z-(-2i)|\): mediatriz do segmento \([0,(0,-2)]\), uma reta.

(C) Semiplano superior (\(0\le\arg(z)\le\pi\)).

(D) \(x+y=2\): reta paralela à bissetriz dos quadrantes pares.

A região está à esquerda de \(x=3\) (logo \(\operatorname{Re}(z)\le 3\)) e abaixo do eixo real, limitada pela bissetriz \(\arg(z)=-\tfrac{\pi}{4}\). Portanto \(-\tfrac{\pi}{4}\le\arg(z)\le 0\).

Com \(z=a+bi\), \(z+\bar z=2a=2\;\Longleftrightarrow\;a=1\), isto é, \(\operatorname{Re}(z)=1\). É a reta vertical \(x=1\), paralela ao eixo imaginário, que passa em \((1,0)\).

• \(|z|\le 2\): círculo de centro na origem e raio \(2\);
• \(\operatorname{Re}(z)\ge 0\): semiplano à direita do eixo imaginário;
• \(|z-1|\le|z-i|\): semiplano dos pontos mais próximos de \((1,0)\) do que de \((0,1)\); a mediatriz é a bissetriz dos quadrantes ímpares \(y=x\), e o semiplano correspondente é o que fica abaixo desta reta.

A intersecção dá: o 4.º quadrante do disco (um quarto do círculo) mais a parte do 1.º quadrante abaixo da bissetriz (metade desse quadrante do círculo).

A região é o conjunto dos pontos:

• fora da circunferência menor (centro \((1,0)\), raio \(1\)): \(|z-1|\ge 1\);
• dentro da maior (centro \((2,0)\), raio \(2\)): \(|z-2|\le 2\).

Coroa circular de raios \(\tfrac{1}{2}\) e \(1\), centrada na origem, intersectada com o setor angular entre \(\tfrac{3\pi}{4}\) e \(\tfrac{5\pi}{4}\) — quarto da circunferência centrado no semieixo real negativo, abrangendo parte do 2.º e do 3.º quadrantes.

Área da coroa completa:

O setor angular \(\tfrac{5\pi}{4}-\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}\) corresponde a um quarto da coroa:

\(z_1=\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt 3}{2}+\tfrac{1}{2}i\). Designe-se este afixo por \(P\). \(|z_1|=1\).

• \(|z-z_1|\le 1\): interior (incluindo fronteira) da circunferência de centro \(P\) e raio \(1\). Como \(|z_1|=1\), esta circunferência passa na origem.
• \(|z|\le|z-z_1|\): semiplano dos pontos mais próximos da origem do que de \(P\); a fronteira é a mediatriz do segmento \([O,P]\), perpendicular a \(OP\) no seu ponto médio.

A região é a intersecção: a parte do disco que está do lado da origem relativamente à mediatriz.

\(\operatorname{Re}(w_1)=1\) e \(w_2=\sqrt 3(\cos(-\tfrac{\pi}{2})+i\sin(-\tfrac{\pi}{2}))=-\sqrt 3\,i\), afixo \((0,-\sqrt 3)\).

• \(\operatorname{Re}(z)\ge 1\): semiplano à direita da reta vertical \(x=1\) (incluída).
• \(|z-w_2|\le\sqrt 3\): disco fechado de centro \((0,-\sqrt 3)\) e raio \(\sqrt 3\) (passa na origem, pois \(|w_2|=\sqrt 3\)).

A região satisfaz:

• \(\operatorname{Re}(z)\ge -1\): semiplano à direita de \(x=-1\);
• \(\operatorname{Im}(z)\ge 0\): semiplano superior;
• os pontos estão mais perto de \(-1\) do que de \(i\): \(|z-(-1)|\le|z-i|\;\Longleftrightarrow\;|z+1|\le|z-i|\;\Longleftrightarrow\;|z-i|\ge|z+1|\).

\(|w|=\sqrt{1+4}=\sqrt 5\). A circunferência tem equação

Para restringir ao 4.º quadrante (eixos excluídos): \(\operatorname{Re}(z)>0\;\wedge\;\operatorname{Im}(z)<0\).

• \(|z|\le 3\): interior da circunferência centrada na origem com raio \(3\);
• \(0\le\arg(z)\le\tfrac{\pi}{4}\): pontos do 1.º quadrante abaixo da bissetriz dos quadrantes ímpares;
• \(\operatorname{Re}(z)\ge 1\): semiplano à direita de \(x=1\).

A região é a fatia do quarto de disco entre o eixo real, a bissetriz \(y=x\) e a reta \(x=1\) (incluindo as fronteiras).

Seja \(P\) o afixo de \(z_1=1-i\), de coordenadas \((1,-1)\). A condição corresponde aos pontos do disco fechado de centro \(P\) e raio \(1\), que com a semirreta horizontal de origem em \(P\) no sentido positivo definem um ângulo entre \(0\) e \(\tfrac{3\pi}{4}\) (medido no sentido directo).

A região é, portanto, o setor circular do referido disco compreendido entre a semirreta horizontal a partir de \(P\) (para a direita) e a semirreta de \(P\) na direcção \(\tfrac{3\pi}{4}\) (canto superior esquerdo), abrangendo \(3/8\) do disco.

\(|z-(-1)|=|z-i|\): mediatriz do segmento de extremos \((-1,0)\) e \((0,1)\). O ponto médio é \((-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})\); a recta de extremos tem declive \(\dfrac{1-0}{0-(-1)}=1\). A mediatriz é perpendicular (declive \(-1\)) e passa por \((-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})\): \(y=-x\), ou seja, a bissetriz dos quadrantes pares.

Restringindo a \(2\le\operatorname{Im}(z)\le 4\), obtém-se o segmento da bissetriz dos quadrantes pares entre \((-2,2)\) e \((-4,4)\).

Com \(z=a+bi\): \(z+\bar z=2a=0\;\Leftrightarrow\;\operatorname{Re}(z)=0\) — eixo imaginário.

(B): reta horizontal \(y=1\). (C): só a origem. (D): \(2bi=0\;\Leftrightarrow\;\operatorname{Im}(z)=0\) — eixo real.

\(|z|\le 1\): pontos dentro (ou sobre) da circunferência unitária. \(\arg(z)=\tfrac{\pi}{2}\): pontos da parte positiva do eixo imaginário.

A intersecção é o segmento sobre o semieixo imaginário positivo, da origem (exclusiva, pois a origem não tem argumento) ao afixo de \(i\) (\(0,1\)).

\(|w|=\sqrt{9+16}=5\); \(\theta=\arg(w)\), com \(\theta\) no 1.º quadrante.

Como \(0<\theta<\tfrac{\pi}{2}\), \(0<\tfrac{\theta}{2}<\tfrac{\pi}{4}\) — 1.º quadrante. Adicionando \(\pi\) obtém-se argumento no 3.º quadrante.

Os módulos das duas raízes são \(\sqrt 5\approx 2{,}24\), entre \(2\) e \(3\).

\(\arg(z_1)=\tfrac{\pi}{3}\) e \(|z_1|=2\). O ângulo entre dois vértices consecutivos do pentágono é \(\tfrac{2\pi}{5}\). O vértice seguinte (no sentido directo) tem argumento

A região é o conjunto dos pontos no interior do disco de raio \(2\) cujo argumento está entre estes dois valores, excluindo a fronteira:

(A) \(|z-1|=4\): circunferência de centro \(1\) e raio \(4\).

(B) \(\arg(z)=\tfrac{\pi}{2}\): semireta sobre o semieixo imaginário positivo (sem origem).

(C) \(3z+2i=0\;\Leftrightarrow\;z=-\tfrac{2i}{3}\): um único ponto.

(D) \(|z-1|=|z-(-i)|\): mediatriz do segmento de extremos \((1,0)\) e \((0,-1)\) — bissetriz dos quadrantes pares.

O quadrado tem vértices nos eixos a distância \(1\) da origem. O lado \([AB]\) liga \((0,1)\) a \((1,0)\), tem comprimento \(\sqrt 2\). O raio da circunferência inscrita é a distância da origem ao ponto médio de qualquer lado.

Ponto médio de \([AB]\): \(\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\). Distância à origem:

A circunferência inscrita tem centro na origem e raio \(\tfrac{\sqrt 2}{2}\):

• Interior do círculo unitário: \(|z|<1\).
• 2.º quadrante, excluindo os eixos: \(\tfrac{\pi}{2}<\arg(z)<\pi\).