Exercícios de Exame - Probabilidades (Noções Gerais) | 12.º ano

1

Exame 2024, 2.ª Fase

Considere um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.

Lança-se esse dado três vezes e regista-se o número da face que ficou voltada para cima em cada lançamento.

Qual é a probabilidade de, em exatamente dois desses lançamentos, se obter, na face voltada para cima, um múltiplo de 3?

(A) \(\frac{1}{27}\)

(B) \(\frac{2}{27}\)

(C) \(\frac{1}{9}\)

(D) \(\frac{2}{9}\)

Em cada lançamento há duas faces múltiplas de 3, \(3\) e \(6\). Logo, a probabilidade de obter um múltiplo de 3 é \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\), e a probabilidade do acontecimento contrário é \(\frac{2}{3}\).

3 \times \frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{2}{9}

Resposta: (D) \(\frac{2}{9}\)

2

Exame 2021, Época especial

Na figura está representada, a sombreado, num referencial o.n. \(xOy\), a região do plano cartesiano definida pela condição

0 \leq x \leq 10 \;\wedge\; 0 \leq y \leq 10

Considere todos os pontos que pertencem a essa região e cujas coordenadas são números inteiros. Escolhe-se, ao acaso, um desses pontos.

Qual é o valor, arredondado às milésimas, da probabilidade de esse ponto pertencer à reta de equação \(y=x+7\)?

(A) \(0,025\)

(B) \(0,033\)

(C) \(0,041\)

(D) \(0,057\)

Entre 0 e 10 existem 11 valores inteiros. Assim, a região contém \(11 \times 11 = 121\) pontos com coordenadas inteiras.

A reta \(y=x+7\) contém, nessa região, os pontos \((0,7)\), \((1,8)\), \((2,9)\) e \((3,10)\).

\dfrac{4}{121}\approx 0,033

Resposta: (B) \(0,033\)

3

Exame 2016, Época especial

Uma pessoa lança um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista o número da face que ficou voltada para cima.

Uma outra pessoa lança um dado com a forma de um tetraedro regular, com as faces numeradas de 1 a 4, e regista o número da face que ficou voltada para baixo. Admita que ambos os dados são equilibrados.

Qual é a probabilidade de, pelo menos, uma dessas pessoas registar o número 4?

(A) \(\frac{3}{8}\)

(B) \(\frac{5}{8}\)

(C) \(\frac{5}{12}\)

(D) \(\frac{7}{12}\)

Há \(6 \times 4=24\) pares de resultados equiprováveis. É mais rápido contar o acontecimento contrário: nenhum dos dados regista o número 4.

1-\frac{5}{6}\times\frac{3}{4} = 1-\frac{15}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

Resposta: (A) \(\frac{3}{8}\)

4

Exame 2012, Época especial

Considere um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um saco que contém cinco bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas com números diferentes: 0, 1, 2, 3 e 4.

Lança-se o dado uma vez e retira-se, ao acaso, uma bola do saco, registando-se os números que saíram.

Qual é a probabilidade de o produto desses números ser igual a zero?

(A) \(0\)

(B) \(\frac{1}{15}\)

(C) \(\frac{1}{30}\)

(D) \(\frac{1}{5}\)

O dado nunca mostra zero. Portanto, o produto só é zero quando a bola retirada é a bola com o número 0.

\dfrac{1}{5}

Resposta: (D) \(\frac{1}{5}\)

5

Exame 2010, 2.ª Fase

Uma caixa contém bolas indistinguíveis ao tato e de duas cores diferentes: azul e roxo.

Sabe-se que o número de bolas azuis é 8 e que, extraindo-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul é igual a \(\frac{1}{2}\).

Quantas bolas roxas há na caixa?

(A) \(16\)

(B) \(12\)

(C) \(8\)

(D) \(4\)

Como só há bolas azuis e roxas e a probabilidade de retirar uma bola azul é \(\frac{1}{2}\), existem tantas bolas azuis como bolas roxas.

Resposta: (C) 8 bolas roxas

6

Exame 2010, 1.ª Fase

Num saco estão dezoito bolas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, indistinguíveis ao tato. Das dezoito bolas do saco, doze são azuis e seis são vermelhas.

Se tirarmos duas bolas do saco, simultaneamente, ao acaso, qual é a probabilidade de elas formarem um par da mesma cor?

Uma resposta correta para este problema é

\dfrac{12 \times 11 + 6 \times 5}{18 \times 17}

Numa composição, explique porquê. A sua composição deve incluir:

uma referência à Regra de Laplace;
uma explicação do número de casos possíveis;
uma explicação do número de casos favoráveis.

Pela Regra de Laplace, a probabilidade é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, considerando casos equiprováveis.

Se a ordem for considerada, as duas bolas podem ser escolhidas em \(18 \times 17\) pares ordenados. Para que tenham a mesma cor, podem ser duas azuis, em \(12 \times 11\) pares ordenados, ou duas vermelhas, em \(6 \times 5\) pares ordenados.

\dfrac{12 \times 11 + 6 \times 5}{18 \times 17}

A expressão dada conta de forma coerente os casos possíveis e os casos favoráveis.

7

Exame 2009, Época especial

Duas crianças escrevem, em segredo e cada uma em seu papel, uma letra da palavra VERÃO.

Qual é a probabilidade de as duas crianças escreverem a mesma letra?

(A) \(\frac{1}{25}\)

(B) \(\frac{2}{25}\)

(C) \(\frac{1}{5}\)

(D) \(\frac{2}{5}\)

Depois de a primeira criança escolher uma letra, a segunda tem cinco letras possíveis e apenas uma coincide com a primeira escolha.

\dfrac{1}{5}

Resposta: (C) \(\frac{1}{5}\)

8

Exame 2009, 1.ª Fase

Uma caixa contém bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 têm cor verde, e as bolas numeradas de 11 a 20 têm cor amarela.

Retiram-se sucessivamente duas bolas da caixa, sem reposição da primeira, e regista-se a cor das bolas retiradas.

Determine a probabilidade de as duas bolas retiradas terem cores diferentes. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Depois de retirar a primeira bola, ficam 19 bolas na caixa. Exatamente 10 têm cor diferente da bola já retirada.

\dfrac{10}{19}

Resposta: \(\frac{10}{19}\)

9

Exame 2008, 2.ª Fase

Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe-se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é \(0,8\).

Qual é a probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar?

(A) \(0,0016\)

(B) \(0,0064\)

(C) \(0,0819\)

(D) \(0,4096\)

\(0,8^4=0,4096\)

Resposta: (D) \(0,4096\)

10

Exame 2007, 2.ª Fase

Dois cientistas, que vão participar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na mesma cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita pelo outro.

Sabendo que nessa cidade existem sete hotéis, todos com igual probabilidade de serem escolhidos, qual é a probabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel?

(A) \(\frac{1}{7}\)

(B) \(\frac{2}{7}\)

(C) \(\frac{5}{7}\)

(D) \(\frac{6}{7}\)

Depois de um cientista escolher o hotel, só um dos sete hotéis disponíveis coincide com essa escolha.

\dfrac{1}{7}

Resposta: (A) \(\frac{1}{7}\)

11

Exame 2004, 2.ª Fase

Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, três vezes.

Qual é a probabilidade de a face 6 sair, pela primeira vez, precisamente no terceiro lançamento?

Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às décimas.

Nos dois primeiros lançamentos a face 6 não pode sair e, no terceiro, tem de sair.

\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0,1157

Resposta: \(11,6\%\)

12

Exame 2003, Prova para militares

Suponha que o dono de um casino lhe faz uma proposta, no sentido de inventar um jogo para dois jogadores. Em cada jogada, é lançado um par de dados, numerados de um a seis, e observa-se a soma dos números saídos.

O jogo deve ser justo, deve permitir situações em que ninguém ganha e deve incluir uma situação de probabilidade bastante menor em que o prémio reverta a favor do casino.

Numa curta composição, apresente uma proposta de jogo que obedeça a estas condições e fundamente-a indicando, na forma de percentagem, a probabilidade de cada jogador ganhar e a probabilidade de o casino ganhar.

Distribuição das somas

No lançamento de dois dados, as somas possíveis distribuem-se por 36 pares equiprováveis.

Soma	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
N.º de pares	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Exemplo de proposta

O casino ganha se a soma for 2 ou 12. Se a soma for 7, ninguém ganha e o prémio transita. O jogador A ganha com somas 3, 4, 5 ou 6, e o jogador B ganha com somas 8, 9, 10 ou 11.

P(A)=P(B)=\frac{14}{36}\approx 38,9\% \qquad P(\text{casino})=\frac{2}{36}\approx 5,6\%

A proposta é justa para os jogadores e reserva ao casino uma probabilidade muito menor.

13

Exame 2003, 1.ª Fase - 2.ª chamada

O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: A, B, AB e O. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o fator Rhésus.

Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respetivos fatores Rhésus estão repartidos da seguinte forma:

	A	B	AB	O
Rh+	40%	6,9%	2,9%	35,4%
Rh-	6,5%	1,2%	0,4%	6,7%

Escolhido um português ao acaso, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo não ser o O?

Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades.

Somam-se as percentagens dos grupos A, B e AB, independentemente do fator Rhésus.

40+6,5+6,9+1,2+2,9+0,4=57,9\%

Resposta: \(58\%\)

14

Exame 2001, Época especial

Considere uma caixa com seis bolas brancas, seis bolas pretas fora da caixa e um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.

Lança-se duas vezes o dado. Tiram-se da caixa tantas bolas brancas quantas o número saído no primeiro lançamento e colocam-se na caixa tantas bolas pretas quantas o número saído no segundo lançamento.

Qual é a probabilidade de a caixa ficar com seis bolas? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

A caixa termina com seis bolas quando o número de bolas retiradas no primeiro lançamento é igual ao número de bolas colocadas no segundo lançamento.

Entre os \(6 \times 6=36\) pares de lançamentos, há seis pares com resultados iguais.

\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}

Resposta: \(\frac{1}{6}\)

15

Exame 2001, 2.ª Fase

Considere uma caixa com nove bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 9, e um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.

Lança-se o dado e tira-se, ao acaso, uma bola da caixa.

Qual é a probabilidade de os números saídos serem ambos menores que 4?

(A) \(\frac{1}{9}\)

(B) \(\frac{1}{6}\)

(C) \(\frac{5}{27}\)

(D) \(\frac{5}{54}\)

No dado são favoráveis os resultados 1, 2 e 3. Na caixa também são favoráveis as bolas 1, 2 e 3.

\frac{3}{6}\times\frac{3}{9} = \frac{1}{6}

Resposta: (B) \(\frac{1}{6}\)

16

Exame 2000, 2.ª Fase (programa antigo)

Lança-se duas vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.

Qual é a probabilidade de sair face 6 em exatamente um dos dois lançamentos?

(A) \(\frac{1}{36}\)

(B) \(\frac{5}{36}\)

(C) \(\frac{1}{18}\)

(D) \(\frac{5}{18}\)

A face 6 pode sair no primeiro lançamento e não no segundo, ou não sair no primeiro e sair no segundo.

2\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

Resposta: (D) \(\frac{5}{18}\)

17

Exame 2000, 1.ª Fase - 2.ª chamada

O António escolhe, ao acaso, uma página de um jornal de oito páginas. A Ana escolhe, ao acaso, uma página de uma revista de quarenta páginas.

Qual é a probabilidade de ambos escolherem a página 5?

(A) \(\frac{1}{320}\)

(B) \(\frac{3}{20}\)

(C) \(\frac{1}{48}\)

(D) \(\frac{5}{48}\)

\frac{1}{8}\times\frac{1}{40} = \frac{1}{320}

Resposta: (A) \(\frac{1}{320}\)

18

Exame 2000, 1.ª Fase - 1.ª chamada (programa antigo)

Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes.

Qual é a probabilidade de saírem três números ímpares?

(A) \(\frac{1}{27}\)

(B) \(\frac{1}{8}\)

(C) \(\frac{1}{3}\)

(D) \(\frac{1}{2}\)

Em cada lançamento, a probabilidade de sair um número ímpar é \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}

Resposta: (B) \(\frac{1}{8}\)

19

Exame 2000, 1.ª Fase - 1.ª chamada (programa antigo)

Uma turma de uma escola secundária tem nove rapazes e algumas raparigas.

Escolhendo ao acaso um aluno da turma, a probabilidade de ele ser um rapaz é \(\frac{1}{3}\).

Quantas raparigas tem a turma?

(A) \(27\)

(B) \(18\)

(C) \(15\)

(D) \(12\)

Se \(n\) for o número de raparigas, então o total de alunos é \(9+n\).

\frac{9}{9+n}=\frac{1}{3} \;\Longleftrightarrow\; 27=9+n \;\Longleftrightarrow\; n=18

Resposta: (B) 18

20

Exame 1999, 1.ª Fase - 2.ª chamada (programa antigo)

O João tem no bolso do casaco uma moeda de 50 cêntimos, duas moedas de um euro e três moedas de dois euros.

Retirando duas moedas ao acaso, qual é a probabilidade de, com elas, perfazer a quantia exata de dois euros e 50 cêntimos?

(A) \(\frac{1}{2}\)

(B) \(\frac{1}{3}\)

(C) \(\frac{1}{4}\)

(D) \(\frac{1}{5}\)

A quantia exata só se obtém com a moeda de 50 cêntimos e uma das três moedas de dois euros.

Há \(\binom{6}{2}=15\) pares de moedas possíveis e 3 pares favoráveis.

\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}

Resposta: (D) \(\frac{1}{5}\)

21

Prova Modelo 1999 (programa antigo)

Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.

Indique, justificando, qual dos dois acontecimentos seguintes é mais provável:

nunca sair o número 6;
saírem números todos diferentes.

Nunca sair o número 6

\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}\approx 0,58

Saírem números todos diferentes

\frac{6}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{120}{216}\approx 0,56

O acontecimento mais provável é nunca sair o número 6.

22

Exame 1998, Prova para militares (programa antigo)

Lança-se sucessivas vezes uma moeda portuguesa.

Qual é a probabilidade de serem necessários pelo menos três lançamentos, até sair a face nacional?

(A) \(\frac{1}{2}\)

(B) \(\frac{1}{4}\)

(C) \(\frac{1}{8}\)

(D) \(\frac{1}{16}\)

Para serem necessários pelo menos três lançamentos, a face nacional não pode sair nos dois primeiros.

\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

Resposta: (B) \(\frac{1}{4}\)

23

Exame 1998, 1.ª Fase - 2.ª chamada (programa antigo)

Lançou-se três vezes ao ar uma moeda equilibrada, tendo saído sempre a face coroa.

Qual é a probabilidade de, num quarto lançamento, sair a face cara?

(A) \(\frac{1}{4}\)

(B) \(\frac{1}{2}\)

(C) \(\frac{2}{3}\)

(D) \(\frac{3}{4}\)

Os lançamentos são independentes. O resultado dos três primeiros não altera a probabilidade do quarto lançamento.

Resposta: (B) \(\frac{1}{2}\)

24

Exame 1997, Prova para militares (programa antigo)

Considere uma caixa de doze aguarelas, sendo uma de cada cor, e também uma caixa de doze lápis de cera com as mesmas cores das referidas aguarelas.

Retirou-se, ao acaso, uma aguarela e um lápis de cera.

Qual é a probabilidade de ter obtido uma aguarela e um lápis de cera da mesma cor?

(A) \(\frac{1}{12}\)

(B) \(\frac{1}{24}\)

(C) \(\frac{1}{144}\)

(D) \(\frac{1}{12!}\)

Depois de escolhida a cor da aguarela, apenas um dos doze lápis tem essa mesma cor.

\dfrac{1}{12}

Resposta: (A) \(\frac{1}{12}\)

25

Exame 1997, 2.ª Fase (programa antigo)

Abre-se, ao acaso, um livro, ficando à vista duas páginas numeradas.

A probabilidade de a soma dos números dessas duas páginas ser ímpar é:

(A) \(0\)

(B) \(\frac{1}{3}\)

(C) \(\frac{1}{2}\)

(D) \(1\)

As duas páginas visíveis têm números inteiros consecutivos. Um é par e o outro é ímpar, pelo que a soma é sempre ímpar.

Resposta: (D) 1

26

Exame 1997, 1.ª Fase - 1.ª chamada (programa antigo)

Lançam-se simultaneamente dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os números saídos.

A probabilidade do acontecimento “o produto dos números saídos é 21” é:

(A) \(0\)

(B) \(\frac{1}{36}\)

(C) \(\frac{1}{18}\)

(D) \(\frac{21}{36}\)

Como \(21=3\times 7\) e nenhum dado tem a face 7, o produto 21 não pode ocorrer.

Resposta: (A) 0

Probabilidades - Noções gerais