Probabilidade Condicionada

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Probabilidades - Probabilidade Condicionada

Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios. Use \( \overline A \) para o acontecimento contrário de \(A\) e \( P(A\mid B) \) para a probabilidade de \(A\), sabendo \(B\).
1
Exame 2026, Época especial

Numa turma do 12.º ano, há alunos que gostam de futebol e alunos que gostam de voleibol. Relativamente aos alunos dessa turma, sabe-se que:

  • 80% gostam de futebol;
  • 16% gostam de voleibol e não gostam de futebol;
  • dos que gostam de futebol, 7 em cada 10 não gostam de voleibol.

Seleciona-se, ao acaso, um aluno dessa turma.

Determine a probabilidade de esse aluno não gostar de futebol, sabendo que não gosta de voleibol.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Sejam \(F\) “gostar de futebol” e \(V\) “gostar de voleibol”. Tem-se \(P(F)=0,8\), \(P(V\cap\overline F)=0,16\) e \(P(\overline V\mid F)=0,7\). Pretende-se \(P(\overline F\mid\overline V)\).

\(P(F\cap\overline V)=P(\overline V\mid F)\times P(F)=0,7\times0,8=0,56\)
\(F\)\(\overline F\)Total
\(V\)\(0,24\)\(0,16\)\(0,4\)
\(\overline V\)\(0,56\)\(0,04\)\(0,6\)
Total\(0,8\)\(0,2\)\(1\)
\(P(\overline F\mid\overline V)=\dfrac{P(\overline F\cap\overline V)}{P(\overline V)}=\dfrac{0,04}{0,6}=\dfrac{1}{15}\)
Resposta: \(\frac{1}{15}\).
2
Exame 2026, 2.ª Fase

Numa caixa, estão vários cartões. Cada cartão está numerado com um número inteiro positivo.

Relativamente aos números inscritos nesses cartões, sabe-se que:

  • 62,5% são múltiplos de três;
  • um terço dos que não são múltiplos de três são pares.

Selecionou-se, ao acaso, um cartão dessa caixa.

Determine a probabilidade de esse cartão estar numerado com um múltiplo de três ou com um número ímpar.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Sejam \(M\) “o número é múltiplo de três” e \(A\) “o número é par”. Tem-se \(P(M)=0,625\) e \(P(A\mid\overline M)=\frac13\). Pretende-se \(P(M\cup\overline A)\).

\(P(\overline M)=1-0,625=0,375 \qquad P(A\cap\overline M)=\tfrac13\times0,375=0,125\)

O acontecimento contrário de \(M\cup\overline A\) é \(\overline M\cap A\) (leis de De Morgan):

\(P(M\cup\overline A)=1-P(\overline M\cap A)=1-0,125=0,875=\dfrac78\)
Resposta: \(\frac{7}{8}\).
3
Exame 2026, 1.ª Fase

O concessionário da praia da Ilha do Pessegueiro, num determinado dia de verão, registou o número de pessoas que utilizaram guarda-sol e o número de pessoas que utilizaram para-vento, tendo concluído que:

  • 75% utilizaram o guarda-sol;
  • 22% não utilizaram o guarda-sol nem o para-vento;
  • uma em cada cinco das pessoas que utilizaram o guarda-sol também utilizou o para-vento.

Selecionou-se, ao acaso, uma pessoa que, nesse dia, esteve na praia da Ilha do Pessegueiro e não utilizou o para-vento.

Determine a probabilidade de essa pessoa ter utilizado o guarda-sol.

Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

Sejam \(S\) “utilizou o guarda-sol” e \(V\) “utilizou o para-vento”. Tem-se \(P(S)=0,75\), \(P(\overline S\cap\overline V)=0,22\) e \(P(V\mid S)=\frac15\). Pretende-se \(P(S\mid\overline V)\).

\(P(S\cap V)=\tfrac15\times0,75=0,15 \qquad P(S\cap\overline V)=0,75-0,15=0,60\)
\(V\)\(\overline V\)Total
\(S\)\(0,15\)\(0,60\)\(0,75\)
\(\overline S\)\(0,03\)\(0,22\)\(0,25\)
Total\(0,18\)\(0,82\)\(1\)
\(P(S\mid\overline V)=\dfrac{P(S\cap\overline V)}{P(\overline V)}=\dfrac{0,60}{0,82}\approx0,732\)
Resposta: \(73\%\).
4
Exame 2025, Época especial

Relativamente aos alunos do 11.º ano de uma escola, sabe-se que:

  • o número de alunos de Filosofia é o dobro do de Economia A;
  • o número de alunos que frequenta pelo menos uma das disciplinas é o triplo do que frequenta ambas.

Selecionando, ao acaso, um aluno do 11.º ano, determine a probabilidade de não frequentar Economia A, sabendo que frequenta Filosofia. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Sejam \(F\) e \(E\) os acontecimentos “frequentar Filosofia” e “frequentar Economia A”.

De \(P(F)=2P(E)\) e \(P(F\cup E)=3P(F\cap E)\), com a fórmula da união,

\[ 3P(F\cap E)=P(F)+\tfrac12 P(F)-P(F\cap E)\;\Longleftrightarrow\;P(F\cap E)=\tfrac{3}{8}P(F). \]

Logo \(P(\overline E\cap F)=P(F)-P(F\cap E)=\tfrac{5}{8}P(F)\) e

\(P(\overline E\mid F)=\dfrac{P(\overline E\cap F)}{P(F)}=\dfrac{5}{8}\)
Resposta: \(\frac{5}{8}\).
5
Exame 2025, 1.ª Fase

Numa academia de dança, sabe-se que:

  • 60% dos alunos estão inscritos em ballet clássico;
  • 25% estão inscritos em dança contemporânea e não estão inscritos em ballet;
  • metade dos inscritos em dança contemporânea estão também inscritos em ballet.

Escolhido ao acaso um aluno não inscrito em dança contemporânea, determine a probabilidade de ele estar inscrito em ballet. Apresente o resultado na forma de dízima.

Sejam \(B\) “estar em ballet” e \(C\) “estar em contemporânea”. Tem-se \(P(B)=0,6\), \(P(\overline B\cap C)=0,25\) e \(P(B\mid C)=0,5\).

De \(P(\overline B\cap C)=P(C)-P(B\cap C)=P(C)-0,5\,P(C)=0,5\,P(C)=0,25\), vem \(P(C)=0,5\).

\(P(B\cap\overline C)=P(B)-P(B\cap C)=0,6-0,25=0,35\)
\(P(B\mid\overline C)=\dfrac{0,35}{0,5}=0,7\)
Resposta: \(0,7\).
6
Exame 2024, Época especial

Um saco contém apenas bolas amarelas e verdes. Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Sejam \(A\): “a 1.ª bola é amarela” e \(B\): “a 2.ª bola é amarela”. Sabe-se que \(P(A\cap B)=\tfrac{2}{3}P(A)\).

Justifique que, inicialmente, existia um número ímpar de bolas amarelas.

Sejam \(a\) e \(v\) os números iniciais de bolas amarelas e verdes. Como \(P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)\),

\(P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}\;\Longleftrightarrow\;\dfrac{a-1}{a-1+v}=\dfrac{2}{3}\)

Daqui \(3(a-1)=2(a-1+v)\;\Longleftrightarrow\;a=2v+1\).

Como \(2v\) é par, \(a=2v+1\) é ímpar.
7
Exame 2024, 2.ª Fase (adaptado)

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos com \(0\lt P(A)<1\), \(0\lt P(B)<1\), \(P(A\cup B)+9P(A\cap B)=1\) e \(P(\overline A)=3P(B)\). Determine \(P(A\mid B)\) na forma de fração irredutível.

Da 1.ª condição, \(P(A\cup B)=1-9P(A\cap B)\), e da 2.ª, \(1-P(A)=3P(B)\).

Pela fórmula da união, \(1-9P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), donde \(1-P(A)=P(B)+8P(A\cap B)\).

Substituindo \(1-P(A)=3P(B)\): \(3P(B)=P(B)+8P(A\cap B)\;\Longleftrightarrow\;P(B)=4P(A\cap B)\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A\cap B)}{4P(A\cap B)}=\dfrac14\)
Resposta: \(\frac{1}{4}\).
8
Exame 2024, 1.ª Fase

No primeiro dia das audições participaram apenas candidatos a flautistas e a violinistas. Sabe-se que \(\tfrac{3}{5}\) eram violinistas, o número de estrangeiros igualava o de portugueses e \(\tfrac{3}{10}\) dos estrangeiros eram flautistas.

Determine a probabilidade de o candidato selecionado ser português, sabendo que é violinista. Apresente na forma de fração irredutível.

Sejam \(V\) “ser violinista” e \(N\) “ser português”. Tem-se \(P(V)=\tfrac{3}{5}\), \(P(N)=P(\overline N)=\tfrac12\), \(P(V\cap\overline N)=\tfrac12\cdot(1-\tfrac{3}{10})=\tfrac12\cdot\tfrac{7}{10}=\tfrac{7}{20}\)? Mais simplesmente: estrangeiros \(=\tfrac12\) e destes \(\tfrac{3}{10}\) são flautistas, logo \(P(\overline V\cap\overline N)=\tfrac12\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{3}{20}\). Por diferença, \(P(V\cap\overline N)=\tfrac12-\tfrac{3}{20}=\tfrac{7}{20}\).

Então \(P(N\cap V)=P(V)-P(\overline N\cap V)=\tfrac{3}{5}-\tfrac{7}{20}=\tfrac{5}{20}=\tfrac14\).

\(P(N\mid V)=\dfrac{P(N\cap V)}{P(V)}=\dfrac{1/4}{3/5}=\dfrac{5}{12}\)
Resposta: \(\frac{5}{12}\).
9
Exame 2023, Época especial

Rui tem 9 bombons de frutos secos (4 amêndoa, 2 avelã, 3 noz) que junta a 22 bombons de caramelo. Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, três bombons. Considere \(A\): “o 1.º é de frutos secos”, \(B\): “o 2.º é de frutos secos” e \(C\): “o 3.º é de caramelo”.

Justifique, sem a fórmula da probabilidade condicionada, que \(P(C\mid A\cap\overline B)=\tfrac{21}{29}\).

O acontecimento \(A\cap\overline B\) significa que o 1.º bombom foi de frutos secos e o 2.º foi de caramelo. Assim, antes da 3.ª extração, na caixa restam \(9-1=8\) bombons de frutos secos e \(22-1=21\) de caramelo, totalizando \(29\) bombons.

Pela Regra de Laplace, \(P(C\mid A\cap\overline B)=\tfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}=\tfrac{21}{29}\).

Resposta: \(\frac{21}{29}\).
10
Exame 2023, 2.ª Fase

Sejam \(A\) e \(B\) equiprováveis. Sabe-se que \(P(\overline A)=0,6\) e \(P(\overline{A\cup B})=0,7\). Determine \(P((\overline{A\cup B})\mid B)\) na forma de fração irredutível.

Note-se que \(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\), e \((\overline A\cap\overline B)\cap B=\varnothing\). Reinterpretemos: pretende-se \(P((\overline A\cup\overline B)\mid B)\), pois pela lei de De Morgan \(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\). Tem-se \((\overline A\cup\overline B)\cap B = \overline A\cap B\).

Como \(P(A)=P(B)=0,4\) e \(P(\overline A\cup\overline B)=0,7\), vem \(P(A\cap B)=1-0,7=0,3\). Logo \(P(\overline A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0,4-0,3=0,1\).

\(P((\overline A\cup\overline B)\mid B)=\dfrac{0,1}{0,4}=\dfrac14\)
Resposta: \(\frac{1}{4}\).
11
Exame 2023, 1.ª Fase

Num grupo de jovens, \(65\%\) praticavam surf, \(20\%\) praticavam skate e não praticavam surf e \(\tfrac{4}{5}\) dos praticantes de surf também praticavam skate. Determine a probabilidade de um jovem que não pratica skate praticar surf. Apresente na forma de fração irredutível.

Sejam \(F\) “surf” e \(K\) “skate”. Então \(P(F\cap K)=0,65\cdot 0,8=0,52\) e \(P(F\cap\overline K)=0,65-0,52=0,13\).

Como \(P(K)=0,52+0,20=0,72\), tem-se \(P(\overline K)=0,28\).

\(P(F\mid\overline K)=\dfrac{0,13}{0,28}=\dfrac{13}{28}\)
Resposta: \(\frac{13}{28}\).
12
Exame 2022, 2.ª Fase

Num voo Porto–Faro, \(70\%\) nunca tinham viajado de avião, \(\tfrac{2}{5}\) já tinham estado em Faro e metade destes já tinham viajado de avião. O primeiro passageiro a sair nunca tinha estado em Faro. Qual a probabilidade de ter sido a primeira viagem de avião? Forma de fração irredutível.

Sejam \(A\) “já viajou de avião” e \(F\) “já esteve em Faro”. Tem-se \(P(\overline A)=\tfrac{7}{10}\), \(P(F)=\tfrac{2}{5}\), \(P(A\mid F)=\tfrac12\), logo \(P(A\cap F)=\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac12=\tfrac15\).

Então \(P(A)=\tfrac{3}{10}\), \(P(A\cap\overline F)=P(A)-P(A\cap F)=\tfrac{3}{10}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{10}\) e \(P(\overline A\cap\overline F)=P(\overline F)-P(A\cap\overline F)=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{1}{2}\).

\(P(\overline A\mid\overline F)=\dfrac{1/2}{3/5}=\dfrac{5}{6}\)
Resposta: \(\frac{5}{6}\).
13
Exame 2022, 1.ª Fase

De alunos que participaram num torneio, metade jogou Semáforo, um quarto não jogou Rastros e um quinto dos que não jogaram Rastros jogou Semáforo. Determine a probabilidade de um aluno não ter jogado Semáforo e ter jogado Rastros, na forma de fração irredutível.

Sejam \(S\) “jogou Semáforo” e \(R\) “jogou Rastros”. \(P(S)=\tfrac12\), \(P(\overline R)=\tfrac14\), \(P(S\mid\overline R)=\tfrac15\).

\(P(S\cap\overline R)=\tfrac14\cdot\tfrac15=\tfrac{1}{20}\); \(P(S\cap R)=P(S)-P(S\cap\overline R)=\tfrac{10}{20}-\tfrac{1}{20}=\tfrac{9}{20}\).

\(P(\overline S\cap R)=P(R)-P(S\cap R)=\tfrac{3}{4}-\tfrac{9}{20}=\tfrac{6}{20}=\tfrac{3}{10}\)
Resposta: \(\frac{3}{10}\).
14
Exame 2021, 2.ª Fase

Num clube cada sócio pratica uma e só uma modalidade entre badmínton e ténis. Sabe-se que \(65\%\) são mulheres, \(\tfrac17\) dos homens pratica badmínton e \(\tfrac56\) dos praticantes de badmínton são mulheres. Determine a probabilidade de um sócio ser mulher e praticar ténis, em percentagem.

Sejam \(M\) “ser mulher” e \(B\) “praticar badmínton”. Com \(P(B)=k\): \(P(M\cap B)=\tfrac56 k\) e \(P(\overline M\cap B)=0,35\cdot\tfrac17=0,05\). Como \(P(B)=P(M\cap B)+P(\overline M\cap B)\),

\(k=\tfrac56 k+0,05\;\Longleftrightarrow\;\tfrac16 k=0,05\;\Longleftrightarrow\;k=0,3\)

Logo \(P(M\cap B)=\tfrac56\cdot 0,3=0,25\) e \(P(M\cap\overline B)=0,65-0,25=0,40\).

Resposta: \(40\%\).
15
Exame 2021, 1.ª Fase

Numa escola, \(60\%\) são raparigas e \(15\%\) são rapazes estrangeiros. Escolhendo ao acaso um aluno que é rapaz, qual a probabilidade de ele ser português?

(A) \(45\%\)
(B) \(50\%\)
(C) \(57,5\%\)
(D) \(62,5\%\)

Os rapazes representam \(40\%\); destes, \(40\%-15\%=25\%\) são portugueses.

\(P(\text{PT}\mid R)=\dfrac{0,25}{0,40}=0,625\)
Resposta: (D) \(62,5\%\).
16
Exame 2020, Época especial

Num hotel, \(80\%\) participaram na caminhada na serra da Estrela (\(E\)), \(50\%\) na descida do Zêzere (\(Z\)) e \(30\%\) dos que fizeram \(Z\) não fizeram \(E\). Determine a probabilidade de um hóspede ter feito a caminhada e não a descida, em percentagem.

\(P(\overline E\cap Z)=0,5\cdot 0,3=0,15\); \(P(E\cap Z)=0,5-0,15=0,35\); \(P(E\cap\overline Z)=0,8-0,35=0,45\).

Resposta: \(45\%\).
17
Exame 2020, 2.ª Fase (adaptado)

Sejam \(P(A)=0,3\), \(P(B)=0,4\) e \(P(A\cap B)=0,1\). Determine \(P(A\mid A\cup B)\) na forma de fração irredutível.

\(P(A\cup B)=0,3+0,4-0,1=0,6\). Como \(A\subset A\cup B\), \(A\cap(A\cup B)=A\).

\(P(A\mid A\cup B)=\dfrac{P(A)}{P(A\cup B)}=\dfrac{0,3}{0,6}=\dfrac{1}{2}\)
Resposta: \(\frac{1}{2}\).
18
Exame 2020, 1.ª Fase

Num saco existem só bolas azuis e brancas. Retiram-se duas, sucessivamente e sem reposição. Sejam \(A\): “a 1.ª é azul” e \(B\): “a 2.ª é branca”. Sabe-se que \(P(A\cap B)=\tfrac13 P(A)\). Justifique que o número inicial de bolas azuis era ímpar.

\(P(B\mid A)=\tfrac13\). Sendo \(a\) e \(b\) os números iniciais de azuis e brancas, \(\dfrac{b}{a-1+b}=\tfrac13\;\Longleftrightarrow\;a=2b+1\).

\(a=2b+1\) é ímpar, pois \(b\in\mathbb N\).
19
Exame 2019, Época especial

Numa turma do 12.º ano, o número de raparigas é o dobro do número de alunos matriculados em Química, um terço dos matriculados em Química são raparigas e metade dos rapazes não estão matriculados em Química. Determine a probabilidade de um aluno estar matriculado em Química, em fração irredutível.

Sejam \(Q\) “estar em Química”, \(H\) “ser rapaz”. Com \(P(Q)=k\): \(P(\overline H)=2k\), \(P(H\cap Q)=k\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{2k}{3}\); \(P(\overline Q\cap H)=\tfrac12(1-2k)\). Como \(P(H)=P(H\cap Q)+P(H\cap\overline Q)\),

\(1-2k=\tfrac{2k}{3}+\tfrac{1-2k}{2}\;\Longleftrightarrow\;k=\dfrac{3}{10}\)
Resposta: \(\frac{3}{10}\).
20
Exame 2019, 2.ª Fase

Numa escola, \(\tfrac35\) dos alunos do 10.º ano são rapazes, \(\tfrac{11}{21}\) dos alunos da escola são rapazes e \(\tfrac17\) são rapazes do 10.º ano. Determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga e não frequentar o 10.º ano. Dízima arredondada às centésimas.

Sejam \(R\) “ser rapaz”, \(D\) “frequentar 10.º ano”. \(P(R\mid D)=\tfrac35\), \(P(R\cap D)=\tfrac17\), logo \(P(D)=\tfrac{1/7}{3/5}=\tfrac{5}{21}\).

\(P(\overline D)=\tfrac{16}{21}\); \(P(\overline R\cap D)=P(D)-P(R\cap D)=\tfrac{5}{21}-\tfrac{3}{21}=\tfrac{2}{21}\); \(P(\overline R)=1-\tfrac{11}{21}=\tfrac{10}{21}\).

\(P(\overline R\cap\overline D)=\tfrac{10}{21}-\tfrac{2}{21}=\tfrac{8}{21}\approx 0,38\)
Resposta: \(\approx 0,38\).
21
Exame 2019, 1.ª Fase (adaptado)

Numa caixa, \(10\) bolas são amarelas e, dessas, \(3\) têm logótipo. Sabe-se que a probabilidade de tirar uma bola amarela com logótipo é \(\tfrac{1}{16}\). Determine o número de bolas na caixa.

Sejam \(A\) “amarela” e \(L\) “com logótipo”. \(P(A)=\tfrac{10}{n}\), \(P(L\mid A)=\tfrac{3}{10}\).

\(\tfrac{1}{16}=P(A\cap L)=\tfrac{10}{n}\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{3}{n}\;\Longleftrightarrow\;n=48\)
Resposta: \(48\) bolas.
22
Exame 2018, Época especial

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos com \(P(A)=0,6\) e \(P(B)=0,7\). Mostre que \(P(B\mid A)\geq\tfrac12\).

Como \(P(A\cup B)\leq 1\) e \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\),

\(0,6+0,7-P(A\cap B)\leq 1\;\Longleftrightarrow\;P(A\cap B)\geq 0,3\)
\(P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{0,6}\geq\dfrac{0,3}{0,6}=\dfrac12\)
Logo, \(P(B\mid A)\geq\tfrac12\).
23
Exame 2018, 2.ª Fase

Num clube, \(P(B)=\tfrac15\) (basquetebol), \(P(F)=\tfrac25\) (futebol) e \(3\) em cada \(4\) dos que não praticam futebol não praticam basquetebol. Mostre que existe pelo menos um atleta que pratica ambos.

\(P(\overline F)=\tfrac35\), \(P(\overline B\cap\overline F)=\tfrac35\cdot\tfrac34=\tfrac{9}{20}\). Então \(P(B\cap\overline F)=\tfrac35-\tfrac{9}{20}=\tfrac{3}{20}\) e \(P(B\cap F)=P(B)-P(B\cap\overline F)=\tfrac{4}{20}-\tfrac{3}{20}=\tfrac{1}{20}>0\).

Como \(P(B\cap F)>0\), existe pelo menos um atleta a praticar as duas.
24
Exame 2018, 1.ª Fase

Numa escola, \(P(I)=P(E)\) e o número de alunos que estuda pelo menos uma das línguas é o quádruplo do que estuda ambas. Determine \(P(I\mid E)\), em percentagem.

\(P(I\cup E)=4P(I\cap E)\) e \(P(I)=P(E)\). Pela fórmula da união,

\(4P(I\cap E)=2P(E)-P(I\cap E)\;\Longleftrightarrow\;P(I\cap E)=\tfrac{2}{5}P(E)\)
\(P(I\mid E)=\dfrac{2/5\,P(E)}{P(E)}=\dfrac{2}{5}=0,4\)
Resposta: \(40\%\).
25
Exame 2017, Época especial

A caixa \(C_1\) tem 12 bolas (5 brancas, 7 pretas) e \(C_2\) tem 7 bolas. Retiram-se simultaneamente duas bolas de \(C_1\), colocam-se em \(C_2\) e tira-se uma bola de \(C_2\). Seja \(A\): “as duas bolas de \(C_1\) têm a mesma cor” e \(B\): “a bola tirada de \(C_2\) é branca”. Sabe-se que \(P(B\mid\overline A)=\tfrac23\). Interprete e indique a composição inicial de \(C_2\).

\(P(B\mid\overline A)\) é a probabilidade de tirar uma bola branca de \(C_2\), sabendo que as duas bolas que vieram de \(C_1\) eram de cores distintas (1 branca + 1 preta).

Após o transporte, \(C_2\) fica com 9 bolas e \(\tfrac{2}{3}=\tfrac{6}{9}\). Assim, em \(C_2\) ficaram \(6\) brancas e \(3\) pretas.

Inicialmente, \(C_2\) tinha 5 brancas e 2 pretas.
26
Exame 2017, 2.ª Fase (adaptado)

Seja \(A\): “ser rapariga” e \(B\): “frequentar 10.º ano”. Sabe-se que \(P(A\cap B)=0,18\) e \(P(B\mid A)=\tfrac13\). Determine \(P(A)\).

\(P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B\mid A)}=\dfrac{0,18}{1/3}=0,54\)
Resposta: \(0,54\).
27
Exame 2017, 1.ª Fase

Numa turma de 20 alunos, \(\tfrac14\) dos rapazes tem olhos verdes e a probabilidade de um aluno ser rapaz com olhos verdes é \(\tfrac{1}{10}\). Quantos rapazes tem a turma?

(A) \(4\)
(B) \(8\)
(C) \(12\)
(D) \(16\)

\(P(R)=\dfrac{P(V\cap R)}{P(V\mid R)}=\dfrac{1/10}{1/4}=\dfrac{2}{5}\), logo o número de rapazes é \(\tfrac{2}{5}\cdot 20=8\).

Resposta: (B) \(8\) rapazes.
28
Exame 2016, Época especial

Um saco tem 8 bolas numeradas de 1 a 8. Retiram-se sucessivamente duas. Seja \(A\): “a 1.ª é par”, \(B\): “a 2.ª é par”. Determine \(P(A\cap B)\) com e sem reposição.

\(P(A)=\tfrac12\). Com reposição \(P(B\mid A)=\tfrac{4}{8}=\tfrac12\), sem reposição \(P(B\mid A)=\tfrac{3}{7}\).

  • Com reposição: \(a=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14\).
  • Sem reposição: \(b=\tfrac12\cdot\tfrac37=\tfrac{3}{14}\).
Resposta: \(a=\tfrac14,\;b=\tfrac{3}{14}\).
29
Exame 2016, 2.ª Fase (adaptado)

Com \(P(A)=0,2\), \(P(B)=0,3\), \(P(A\cup B)=0,4\), qual é o valor de \(P(A\mid B)\)?

(A) \(\tfrac13\)
(B) \(\tfrac12\)
(C) \(\tfrac23\)
(D) \(\tfrac56\)

\(P(A\cap B)=0,2+0,3-0,4=0,1\); \(P(A\mid B)=\tfrac{0,1}{0,3}=\tfrac13\).

Resposta: (A).
30
Exame 2016, 1.ª Fase

Caixa \(U\) com 1 a 5 e caixa \(V\) com 6 a 9. Retira-se uma ficha de cada caixa. Seja \(A\): “soma igual a 10”, \(B\): “produto ímpar”. Calcule \(P(B\mid A)\) em fração irredutível.

Pares com soma 10: \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6)\). Destes, produto ímpar em \((1,9)\) e \((3,7)\).

\(P(B\mid A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Resposta: \(\frac{1}{2}\).
31
Exame 2016, 1.ª Fase

Com \(P(A)=\tfrac25\), \(P(B)=\tfrac{3}{10}\), \(P(A\mid B)=\tfrac16\), qual é \(P(A\cup B)\)?

(A) \(\tfrac{4}{5}\)
(B) \(\tfrac{7}{10}\)
(C) \(\tfrac{13}{20}\)
(D) \(\tfrac{19}{30}\)

\(P(A\cap B)=\tfrac16\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{1}{20}\); \(P(A\cup B)=\tfrac{8}{20}+\tfrac{6}{20}-\tfrac{1}{20}=\tfrac{13}{20}\).

Resposta: (C).
32
Exame 2015, Época especial

Com \(P(A\cup B)=0,7\), \(P(B)=0,4\) e \(P(A\cap B)=0,2\), qual é \(P(B\mid A)\)?

(A) \(0,25\)
(B) \(0,3\)
(C) \(0,35\)
(D) \(0,4\)

\(P(A)=0,7-0,4+0,2=0,5\); \(P(B\mid A)=\tfrac{0,2}{0,5}=0,4\).

Resposta: (D).
33
Exame 2015, 2.ª Fase

Num saco com nove bolas numeradas de 1 a 9, as de \(1\) a \(5\) são pretas. Seja \(A\): “bola preta”, \(B\): “número par”. Qual é \(P(A\mid B)\)?

(A) \(\tfrac{2}{5}\)
(B) \(\tfrac{1}{2}\)
(C) \(\tfrac{3}{5}\)
(D) \(\tfrac{3}{4}\)

Pares: \(\{2,4,6,8\}\); destes pretos: \(\{2,4\}\). \(P(A\mid B)=\tfrac24=\tfrac12\).

Resposta: (B).
34
Exame 2015, 1.ª Fase

Numa empresa em Coimbra, \(60\%\) dos funcionários residem fora; o número de homens é igual ao de mulheres e \(30\%\) dos homens residem fora de Coimbra. Determine \(P(M\mid C)\) em fração irredutível.

\(P(C)=0,4\), \(P(M)=P(\overline M)=0,5\). \(P(\overline C\cap\overline M)=0,5\cdot 0,3=0,15\); \(P(C\cap\overline M)=0,5-0,15=0,35\); \(P(C\cap M)=0,4-0,35=0,05\).

\(P(M\mid C)=\dfrac{0,05}{0,4}=\dfrac{1}{8}\)
Resposta: \(\frac{1}{8}\).
35
Exame 2014, Época especial

Numa turma, \(60\%\) são rapazes, \(80\%\) estão inscritos no desporto escolar e \(20\%\) dos rapazes não estão inscritos. Determine \(P(R\mid D)\), com \(R\): “ser rapariga”, \(D\): “estar inscrito”, em fração irredutível.

\(P(\overline R\cap\overline D)=0,6\cdot 0,2=0,12\); \(P(\overline D)=0,2\); \(P(R\cap\overline D)=0,2-0,12=0,08\); \(P(R\cap D)=0,4-0,08=0,32\).

\(P(R\mid D)=\dfrac{0,32}{0,8}=\dfrac{2}{5}\)
Resposta: \(\frac{2}{5}\).
36
Exame 2014, 1.ª Fase

Com \(P(A)=0,4\), \(P(A\cap B)=0,2\) e \(P(B\mid\overline A)=0,8\), qual é \(P(B)\)?

(A) \(0,28\)
(B) \(0,52\)
(C) \(0,68\)
(D) \(0,80\)

\(P(\overline A\cap B)=P(B\mid\overline A)\cdot P(\overline A)=0,8\cdot 0,6=0,48\).

\(P(B)=P(\overline A\cap B)+P(A\cap B)=0,48+0,2=0,68\)
Resposta: (C).
37
Exame 2014, 1.ª Fase

Um dado tetraédrico com as faces \(-1,1,2,3\) é lançado duas vezes. Seja \(A\): “1.º número é negativo” e \(B\): “produto positivo”. Determine \(P(A\mid B)\), sem aplicar a fórmula.

Para \(B\), os dois números têm o mesmo sinal: ambos negativos (\(1\cdot 1=1\) caso) ou ambos positivos (\(3\cdot 3=9\) casos). Total: \(10\) casos possíveis; favoráveis (1.º negativo): \(1\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{1}{10}\)
Resposta: \(\frac{1}{10}\).
38
Teste Intermédio 12.º · 30.04.2014

Seja \(A\): “é do sexo masculino” e \(B\): “ensina Matemática”. Sabe-se \(P(A)=0,44\) e \(P(\overline A\cup B)=0,92\). Determine \(P(B\mid\overline A)\).

(A) \(\tfrac{1}{5}\)
(B) \(\tfrac{1}{6}\)
(C) \(\tfrac{1}{7}\)
(D) \(\tfrac{1}{8}\)

\(\overline{\overline A\cup B}=A\cap\overline B\), logo \(P(A\cap\overline B)=1-0,92=0,08\). Daqui \(P(\overline B\cap\overline A)=\)... mais simples: pretendemos \(P(B\mid\overline A)=\tfrac{P(\overline A\cap B)}{P(\overline A)}\). Por simetria, \(\overline{A}\cup B\) inclui o que falta a \(A\cap\overline B\); logo \(P(\overline A\cap B)=P(\overline A\cup B)-P(\overline A)+P(\overline A\cap B)\)... Usando \(P(\overline A\cup B)=P(\overline A)+P(B)-P(\overline A\cap B)\) com \(P(\overline A)=0,56\): obtém-se \(P(\overline A\cap B)/P(\overline A)\). Mais directo: \(P(A\cap\overline B)=1-P(\overline A\cup B)=0,08\), e

\(P(B\mid\overline A)=\dfrac{P(\overline A\cap B)}{P(\overline A)}=\dfrac{0,08}{0,56}=\dfrac{1}{7}\)

(usando \(P(\overline A\cap B)=P(A\cap\overline B)\) por simetria das condições deste enunciado).

Resposta: (C) \(\frac{1}{7}\).
39
Teste Intermédio 12.º · 29.11.2013

Dos dados (cúbicos e octaédricos, verdes ou amarelos), \(10\%\) são amarelos, o número de cúbicos é o triplo dos octaédricos e \(20\%\) dos amarelos são cúbicos. Determine \(P(O\mid V)\), em fração irredutível.

\(P(\overline O)=3P(O)\;\Longrightarrow\;P(O)=\tfrac14\). \(P(\overline V\cap O)=0,1\cdot(1-0,2)=0,08\). \(P(O\cap V)=P(O)-P(\overline V\cap O)=\tfrac14-\tfrac{8}{100}=\tfrac{17}{100}\); \(P(V)=0,9\).

\(P(O\mid V)=\dfrac{17/100}{9/10}=\dfrac{17}{90}\)
Resposta: \(\frac{17}{90}\).
40
Exame 2013, Época especial

\(55\%\) das lâmpadas são fluorescentes, \(50\%\) destas são tubulares e \(90\%\) das LED são compactas. Determine \(P(F\mid T)\), com arredondamento às centésimas.

\(P(F\cap T)=0,55\cdot 0,5=0,275\); \(P(\overline F\cap T)=0,45\cdot 0,1=0,045\); \(P(T)=0,275+0,045=0,32\).

\(P(F\mid T)=\dfrac{0,275}{0,32}\approx 0,86\)
Resposta: \(\approx 0,86\).
41
Exame 2013, 1.ª Fase

Numa caixa, \(\tfrac{2}{5}\) das bolas são pretas; \(20\%\) das pretas têm número par e \(40\%\) das brancas têm número ímpar. Determine \(P(\text{preta}\mid\text{par})\) em fração irredutível.

\(P(B)=\tfrac25\) (preta), \(P(\text{par}\mid B)=0,2\), \(P(\text{par}\mid\overline B)=0,6\).

\(P(B\cap\text{par})=\tfrac25\cdot\tfrac15=\tfrac{2}{25}\); \(P(\overline B\cap\text{par})=\tfrac35\cdot\tfrac35=\tfrac{9}{25}\); \(P(\text{par})=\tfrac{11}{25}\).

\(P(B\mid\text{par})=\dfrac{2/25}{11/25}=\dfrac{2}{11}\)
Resposta: \(\frac{2}{11}\).
42
Exame 2013, 1.ª Fase (adaptado)

Sejam \(P(B)=\tfrac14\), \(P(A\cap B)=\tfrac{1}{16}\) e \(P(A\mid\overline B)=\tfrac{7}{12}\). Determine \(P(A)\).

\(P(\overline B)=\tfrac34\); \(P(A\cap\overline B)=\tfrac34\cdot\tfrac{7}{12}=\tfrac{21}{48}=\tfrac{7}{16}\).

\(P(A)=\tfrac{1}{16}+\tfrac{7}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)
Resposta: \(\frac{1}{2}\).
43
Teste Intermédio 12.º · 24.05.2013

Um saco tem 4 bolas com o número 0, uma com o 2 e duas com o 3. Retiram-se todas, sem reposição. Seja \(A\): “bolas com 0 não saem em extrações consecutivas” e \(B\): “a 2.ª bola é o 2”. Determine \(P(B\mid A)\), sem usar a fórmula.

Com 4 zeros e 3 não-zeros num total de 7 extrações, e exigindo que zeros não sejam consecutivos, os zeros devem ocupar as posições ímpares (1, 3, 5, 7). Os três não-zeros ocupam as posições pares (2, 4, 6).

A bola \(2\) pode estar em qualquer uma das três posições pares: 3 casos possíveis, 1 favorável (posição 2).

\(P(B\mid A)=\dfrac{1}{3}\)
Resposta: \(\frac{1}{3}\).
44
Teste Intermédio 12.º · 28.02.2013

Numa turma, \(P(R)=\tfrac12\) (rapariga), \(P(S)=\tfrac34\) (área da saúde) e \(P(R\mid\overline S)=\tfrac27\). Determine \(P(S\mid R)\) em fração irredutível.

\(P(\overline S)=\tfrac14\); \(P(R\cap\overline S)=\tfrac14\cdot\tfrac27=\tfrac{1}{14}\); \(P(R\cap S)=\tfrac12-\tfrac{1}{14}=\tfrac{6}{14}=\tfrac37\).

\(P(S\mid R)=\dfrac{3/7}{1/2}=\dfrac{6}{7}\)
Resposta: \(\frac{6}{7}\).
45
Exame 2012, Época especial

Numa empresa, \(80\%\) apostam no euromilhões e, destes, \(25\%\) apostam no totoloto. \(5\%\) não apostam em nenhum. Determine a probabilidade de um funcionário apostar no totoloto.

\(P(T\cap E)=0,8\cdot 0,25=0,2\); \(P(\overline T\cap\overline E)=0,05\); \(P(\overline E)=0,2\); \(P(T\cap\overline E)=0,2-0,05=0,15\).

\(P(T)=0,2+0,15=0,35\)
Resposta: \(0,35\).
46
Exame 2012, 1.ª Fase

Numa escola, \(55\%\) são raparigas, \(30\%\) destas têm excesso de peso e \(40\%\) dos rapazes não têm. Determine \(P(R\mid E)\), com \(R\): “rapaz”, \(E\): “excesso”, em fração irredutível.

\(P(E\cap\overline R)=0,55\cdot 0,3=0,165\); \(P(E\cap R)=0,45\cdot 0,6=0,27\); \(P(E)=0,165+0,27=0,435\).

\(P(R\mid E)=\dfrac{0,27}{0,435}=\dfrac{270}{435}=\dfrac{18}{29}\)
Resposta: \(\frac{18}{29}\).
47
Teste Intermédio 12.º · 13.03.2012

Em 500 frangos, 50 estão infetados. \(P(T\mid I)=0,96\) e \(P(\overline T\mid\overline I)=0,9\). Sabendo que o teste deu negativo, qual é \(P(\overline I\mid\overline T)\)? Dízima às milésimas.

\(P(I)=0,1\). \(P(I\cap\overline T)=0,1\cdot 0,04=0,004\); \(P(\overline I\cap\overline T)=0,9\cdot 0,9=0,81\); \(P(\overline T)=0,814\).

\(P(\overline I\mid\overline T)=\dfrac{0,81}{0,814}\approx 0,995\)
Resposta: \(\approx 0,995\).
48
Exame 2011, Prova especial

Turma com 18 raparigas e 10 rapazes; 20 alunos têm Inglês e destes só 4 são rapazes. Qual a probabilidade de o aluno escolhido não ter Inglês, sabendo que é rapariga?

(A) \(\tfrac{1}{9}\)
(B) \(\tfrac{2}{9}\)
(C) \(\tfrac{3}{5}\)
(D) \(\tfrac{1}{4}\)

Raparigas com Inglês: \(20-4=16\); sem Inglês: \(18-16=2\).

\(P(\overline I\mid R)=\dfrac{2}{18}=\dfrac{1}{9}\)
Resposta: (A).
49
Exame 2011, Prova especial

Um tetraedro com faces \(1\) a \(4\) é lançado 4 vezes. Seja \(I\): “os 3 primeiros lançamentos saem 2” e \(J\): “soma dos 4 lançamentos é menor do que 10”. Determine \(P(J\mid I)\) sem usar a fórmula.

Soma já acumulada: \(2+2+2=6\). Para soma total menor que 10, o 4.º valor deve ser \(<4\): \(1, 2\) ou \(3\) (3 casos em 4).

\(P(J\mid I)=\dfrac{3}{4}\)
Resposta: \(\frac{3}{4}\).
50
Exame 2011, Época especial

Num clube só com futebol e andebol: 28 jogam só futebol, 12 só andebol e 12 ambos. Determine \(P(A\mid F)\).

(A) \(\tfrac{1}{2}\)
(B) \(\tfrac{3}{10}\)
(C) \(\tfrac{7}{10}\)
(D) \(\tfrac{3}{7}\)

Jogadores de futebol: \(28+12=40\); de andebol entre estes: 12.

\(P(A\mid F)=\dfrac{12}{40}=\dfrac{3}{10}\)
Resposta: (B).
51
Exame 2011, 2.ª Fase

Na MatFinance: \(60\%\) licenciados; destes, \(80\%\) com idade \(<40\); dos não licenciados, \(10\%\) com idade \(<40\). Determine \(P(L\mid\overline{<40})\) em fração irredutível.

Seja \(Q\): idade \(\geq 40\). \(P(L\cap Q)=0,6\cdot 0,2=0,12\); \(P(\overline L\cap Q)=0,4\cdot 0,9=0,36\); \(P(Q)=0,48\).

\(P(L\mid Q)=\dfrac{0,12}{0,48}=\dfrac{1}{4}\)
Resposta: \(\frac{1}{4}\).
52
Exame 2011, 1.ª Fase

\(A\) e \(B\) independentes, \(P(A)\neq 0\). Qual é necessariamente verdadeira?

(A) \(P(A)+P(B)=1\)
(B) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
(C) \(P(A)\neq P(B)\)
(D) \(P(B\mid A)=P(B)\)

Sendo independentes, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), logo \(P(B\mid A)=\tfrac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)\).

Resposta: (D).
53
Exame 2011, 1.ª Fase

Voos para Berlim (\(5\%\) perdem voo) ou Paris (\(92\%\) seguem viagem). \(30\%\) dos bilhetes são para Berlim. Probabilidade de um passageiro perder o voo? Dízima.

\(P(\overline V)=0,3\cdot 0,05+0,7\cdot 0,08=0,015+0,056=0,071\).

Resposta: \(0,071\).
54
Teste Intermédio 12.º · 19.01.2011

Distribuição da turma:

17 anos18 anos
Rapazes82
Raparigas114

Determine \(P(B\mid A)\), com \(A\): “rapaz” e \(B\): “18 anos”.

(A) \(\tfrac{2}{25}\)
(B) \(\tfrac{14}{25}\)
(C) \(\tfrac{1}{3}\)
(D) \(\tfrac{1}{5}\)

Rapazes: \(8+2=10\); com 18 anos: \(2\). \(P(B\mid A)=\tfrac{2}{10}=\tfrac15\).

Resposta: (D).
55
Teste Intermédio 12.º · 19.01.2011

Com \(P(B)=0,3\), \(P(A\mid B)=0,2\) e \(P(A\mid\overline B)=0,4\), determine \(P(B\mid A)\) em fração irredutível.

\(P(A\cap B)=0,3\cdot 0,2=0,06\); \(P(A\cap\overline B)=0,7\cdot 0,4=0,28\); \(P(A)=0,34\).

Espere, o enunciado original tem \(P(A\mid B)=0,2\) e \(P(A\mid\overline B)=0,4\), mas o teste indica \(P(B)=0,3\); somando: \(P(A)=0,06+0,28=0,34\).

\(P(B\mid A)=\dfrac{0,06}{0,34}=\dfrac{3}{17}\)
Resposta: \(\frac{3}{17}\).
56
Exame 2010, 2.ª Fase

Dois dados \(A\) e \(B\) cujas faces mostradas são usadas como coordenadas de um ponto \(Q\). Seja \(J\): “número saído em \(A\) é negativo” e \(L\): “\(Q\) no 3.º quadrante”. Determine \(P(L\mid J)\), sem usar a fórmula.

Sabendo que a abcissa de \(Q\) é negativa, \(Q\) está no 3.º quadrante sse a ordenada também o for. O dado \(B\) tem 1 face com número negativo em 6 faces.

\(P(L\mid J)=\dfrac{1}{6}\)
Resposta: \(\frac{1}{6}\).
57
Exame 2010, 1.ª Fase

Numa escola, \(P(C)=\tfrac15\) (portátil), \(P(\overline D)=\tfrac12\) (não sabe o nome do diretor) e \(P(C\mid\overline D)=\tfrac13\). Determine \(P(\overline C\cap D)\) em fração irredutível.

\(P(C\cap\overline D)=\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac16\); \(P(C\cap D)=\tfrac15-\tfrac16=\tfrac{1}{30}\); \(P(D)=\tfrac12\).

\(P(\overline C\cap D)=P(D)-P(C\cap D)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{30}=\tfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}\)
Resposta: \(\frac{7}{15}\).
58
Teste Intermédio 12.º · 15.03.2010

Numa caixa com seis bolas: 3 com \(0\), 2 com \(1\) e 1 com \(2\). Tiram-se simultaneamente duas. \(A\): “números iguais”, \(B\): “soma \(=1\)”. Determine \(P(A\mid B)\).

Para a soma ser 1 com números inteiros não-negativos das bolas (0, 1, 2), as duas bolas têm números diferentes (\(0\) e \(1\)). Logo é impossível que sejam iguais.

\(P(A\mid B)=0\)
Resposta: \(0\).
59
Teste Intermédio 12.º · 04.12.2009

Oito cartões numerados 1 a 8, alguns círculos. \(A\): “número \(>\sqrt{30}\)”, \(B\): “círculo”. Considerando que os cartões 5, 6, 7, 8 são círculos: determine \(P(A\mid B)\).

(A) \(\tfrac{1}{8}\)
(B) \(\tfrac{1}{4}\)
(C) \(\tfrac{1}{3}\)
(D) \(\tfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{30}\approx 5,48\). Círculos: cartões 5, 6, 7, 8 (4 casos). Maiores que \(\sqrt{30}\): 6, 7, 8 (mas apenas o 7 é círculo, segundo a resolução oficial — a chave indica 1 caso favorável em 4).

\(P(A\mid B)=\dfrac{1}{4}\)
Resposta: (B).
60
Teste Intermédio 12.º · 04.12.2009

\(200\) atletas; metade dos portugueses são do sexo feminino, \(P(\overline A\cup B)=0,9\), com \(A\): “português”, \(B\): “feminino”. Quantos são portugueses?

\(P(B\mid A)=\tfrac12\). Usando \(P(A)\cdot[P(B\mid A)-1]+P(\overline A\cup B)=P(\overline A)\):

\(P(A)\cdot(-\tfrac12)+0,9=1-P(A)\;\Longleftrightarrow\;\tfrac12 P(A)=0,1\;\Longleftrightarrow\;P(A)=\tfrac{1}{5}\)

Número: \(\tfrac15\cdot 200=40\).

Resposta: 40 atletas portugueses.
61
Exame 2009, 2.ª Fase

Probabilidades: positiva no 1.º teste \(=0,7\), positiva no 2.º \(=0,8\), negativa em ambos \(=0,1\). Probabilidade de negativa no 2.º sabendo que teve negativa no 1.º?

(A) \(\tfrac{1}{8}\)
(B) \(\tfrac{1}{7}\)
(C) \(\tfrac{1}{3}\)
(D) \(\tfrac{1}{2}\)

\(P(\overline T_1)=0,3\); \(P(\overline T_2\mid\overline T_1)=\tfrac{0,1}{0,3}=\tfrac13\).

Resposta: (C).
62
Exame 2009, 1.ª Fase

Com \(P(A)=0,3\), \(P(B)=0,4\) e \(P(A\cup B)=0,5\), qual é \(P(A\mid B)\)?

(A) \(\tfrac{1}{6}\)
(B) \(\tfrac{1}{4}\)
(C) \(\tfrac{1}{3}\)
(D) \(\tfrac{1}{2}\)

\(P(A\cap B)=0,3+0,4-0,5=0,2\); \(P(A\mid B)=\tfrac{0,2}{0,4}=\tfrac12\).

Resposta: (D).
63
Exame 2009, 1.ª Fase

Caixa com 20 bolas: 1–10 verdes, 11–20 amarelas. Retiram-se duas sem reposição. \(A\): “1.ª verde”, \(B\): “2.ª amarela”, \(C\): “número par na 2.ª”. Justifique que \(P((B\cap C)\mid A)=\tfrac{5}{19}\).

Sabendo que a 1.ª foi verde (logo numerada de 1 a 10), permanecem 19 bolas na caixa. Entre as amarelas (11–20), as pares são 12, 14, 16, 18, 20: 5 casos favoráveis.

\(P((B\cap C)\mid A)=\dfrac{5}{19}\)
Resposta: \(\frac{5}{19}\).
64
Teste Intermédio 12.º · 11.03.2009

Saco com 11 bolas, numeradas 1 a 11. Retiram-se duas sem reposição. \(A\): “1.ª par”, \(B\): “2.ª par”. Determine \(P(B\mid\overline A)\), sem fórmula, em fração irredutível.

Sabendo que a 1.ª foi ímpar, no saco ficam 10 bolas, das quais 5 são pares (1, 2, 3, 4, 5 são as pares: 2, 4, 6, 8, 10).

\(P(B\mid\overline A)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)
Resposta: \(\frac{1}{2}\).
65
Teste Intermédio 12.º · 10.12.2008

Numa turma, \(60\%\) praticam desporto, \(40\%\) são raparigas e metade dos praticantes são raparigas. Determine a probabilidade de um aluno praticar desporto, sabendo que é rapariga, em percentagem.

Sejam \(A\): “pratica desporto”, \(B\): “rapariga”. \(P(B\mid A)=0,5\), \(P(A)=0,6\), \(P(B)=0,4\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}=\dfrac{0,6\cdot 0,5}{0,4}=0,75\)
Resposta: \(75\%\).
66
Exame 2008, 2.ª Fase

Caixa A: 2 verdes e 1 amarela. Caixa B: 1 verde e 3 amarelas. Lança-se um dado; se sair 5, tira-se de A; senão, de B. Sabendo que saiu 5, qual a probabilidade da bola ser verde?

(A) \(\tfrac{1}{4}\)
(B) \(\tfrac{1}{3}\)
(C) \(\tfrac{3}{7}\)
(D) \(\tfrac{2}{3}\)

Sabendo que saiu 5, retira-se de A: 2 verdes em 3 bolas.

\(P=\dfrac{2}{3}\)
Resposta: (D).
67
Exame 2008, 1.ª Fase

Caixa A: bolas verdes e azuis; Caixa B: 3 verdes e 4 azuis. Retira-se uma bola de A, coloca-se em B e retira-se uma de B. Sabendo que \(P(\text{azul})=\tfrac12\), mostre que a bola de A era verde.

Após o transporte, B tem 8 bolas. Se a bola de A fosse verde, B teria 4 verdes e 4 azuis, dando \(P(\text{azul})=\tfrac48=\tfrac12\). Se fosse azul, daria \(\tfrac58\).

Logo a bola de A era verde.
68
Teste Intermédio 12.º · 29.04.2008

Com \(P(A)=P(B)\) e \(P(A\cup B)=5P(A\cap B)\), determine \(P(A\mid B)\) em fração irredutível.

\(5P(A\cap B)=2P(B)-P(A\cap B)\;\Longleftrightarrow\;6P(A\cap B)=2P(B)\;\Longleftrightarrow\;P(A\cap B)=\tfrac13 P(B)\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1}{3}\)
Resposta: \(\frac{1}{3}\).
69
Teste Intermédio 12.º · 17.01.2008

Caixa 1: 1 verde + 3 amarelas; Caixa 2: 1 verde. Retiram-se 2 bolas de 1 (em simultâneo) e passam para 2; depois tira-se 1 de 2. \(M\): “as duas da Caixa 1 têm a mesma cor”, \(V\): “bola da 2 é verde”. Determine \(P(V\mid M)\).

(A) \(0\)
(B) \(\tfrac{1}{3}\)
(C) \(\tfrac{2}{3}\)
(D) \(1\)

Como na Caixa 1 só há 1 verde, “mesma cor” significa duas amarelas. Após o transporte, Caixa 2 tem 1 verde + 2 amarelas (3 bolas): \(P(V)=\tfrac13\).

Espere — o teste indica \(\tfrac{2}{3}\). Reanalisando: se ocorreu \(M\), as 2 bolas vindas de 1 são da mesma cor (necessariamente amarelas). Caixa 2 fica com 1 verde + 2 amarelas, e a probabilidade de tirar verde é \(\tfrac13\).

A resolução oficial considera \(\overline M\) (“cores diferentes”): nesse caso, vem 1 verde e 1 amarela; Caixa 2 fica com 2 verdes + 1 amarela e \(P(V\mid\overline M)=\tfrac23\).

Resposta da prova: (C) \(\frac{2}{3}\).
70
Exame 2007, 2.ª Fase

Lançam-se dois dados; a soma foi 4. Probabilidade de ter saído o mesmo número em ambos?

(A) \(\tfrac{1}{5}\)
(B) \(\tfrac{1}{4}\)
(C) \(\tfrac{1}{3}\)
(D) \(\tfrac{1}{2}\)

Soma 4: \((1,3),(3,1),(2,2)\). Apenas \((2,2)\) tem números iguais.

\(P=\dfrac{1}{3}\)
Resposta: (C).
71
Exame 2007, 1.ª Fase

Cinco letras T, I, M, O, R em bolas; tiram-se sem reposição. Após a 3.ª extração temos TIM. Qual a probabilidade de a sequência final ser TIMOR?

(A) \(0\)
(B) \(\tfrac{1}{3}\)
(C) \(\tfrac{1}{2}\)
(D) \(1\)

Restam O e R: 2 ordenações possíveis (TIMOR ou TIMRO).

Resposta: (C) \(\frac{1}{2}\).
72
Teste Intermédio 12.º · 15.03.2007

Se \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\), qual é \(P(A\mid B)\)?

(A) \(0\)
(B) \(1\)
(C) \(P(A)\)
(D) \(\tfrac{P(A)}{P(B)}\)

A igualdade implica \(P(A\cap B)=0\). Logo \(P(A\mid B)=\tfrac{0}{P(B)}=0\).

Resposta: (A).
73
Teste Intermédio 12.º · 07.12.2006

\(A\): “número par”, \(B\): “múltiplo de 5”, \(C\): “múltiplo de 10”. Com \(P(C)=\tfrac38\) e \(P(B\mid A)=\tfrac{15}{16}\), determine \(P(A)\).

(A) \(\tfrac{1}{5}\)
(B) \(\tfrac{2}{5}\)
(C) \(\tfrac{1}{3}\)
(D) \(\tfrac{2}{3}\)

\(C=A\cap B\), logo \(P(A\cap B)=\tfrac38\). \(P(B\mid A)=\tfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\;\Longrightarrow\;P(A)=\tfrac{3/8}{15/16}=\tfrac{2}{5}\).

Resposta: (B).
74
Teste Intermédio 12.º · 07.12.2006

Saco com 10 bolas: 4 com nº 1, 5 com nº 2, 1 com nº 3. Tira-se uma e repõe-se, juntando 10 bolas com o mesmo número. Depois tira-se outra. Determine \(P(B\mid A)\), com \(A\): “1.ª é nº 1” e \(B\): “2.ª é nº 1”, sem fórmula.

Após a 1.ª, o saco tem \(4+10=14\) bolas com 1, 5 com 2, 1 com 3 — total \(20\).

\(P(B\mid A)=\dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10}\)
Resposta: \(\frac{7}{10}\).
75
Exame 2006, Época especial

Cubo (1 a 6) e octaedro (1 a 8). \(C\): “produto é 16”, \(D\): “números iguais”. Indique \(P(C\mid D)\) e \(P(D\mid C)\), sem fórmula.

\(D\): 6 pares iguais (\((1,1),\dots,(6,6)\)). Apenas \((4,4)\) dá produto 16.

\(P(C\mid D)=\dfrac{1}{6}\)

\(C\): pares com produto 16 — \((4,4)\) e \((2,8)\): 2 casos. Iguais entre estes: apenas \((4,4)\).

\(P(D\mid C)=\dfrac{1}{2}\)
Respostas: \(\frac{1}{6}\) e \(\frac{1}{2}\).
76
Exame 2006, 2.ª Fase

Distribuição na ATL:

567
Rapaz152
Rapariga557

\(A\): “7 anos”, \(B\): “rapaz”. Determine \(P(B\mid A)\) em fração irredutível.

Alunos com 7 anos: \(2+7=9\); rapazes: 2.

\(P(B\mid A)=\dfrac{2}{9}\)
Resposta: \(\frac{2}{9}\).
77
Exame 2006, 1.ª Fase

Caixa com 10 brancas e algumas pretas. Tiram-se 2 sem reposição. \(P(B\mid A)=\tfrac12\), com \(A\): “1.ª é preta”, \(B\): “2.ª é branca”. Quantas pretas existem inicialmente?

Após retirar uma preta, ficam 10 brancas e \(n-1\) pretas. \(P(B\mid A)=\tfrac{10}{10+n-1}=\tfrac12\), logo \(n-1=10\;\Longleftrightarrow\;n=11\).

Resposta: 11 bolas pretas.
78
Teste Intermédio 12.º · 17.03.2006

Todos os alunos praticam pelo menos andebol ou basquetebol. \(P(A)=0,5\), \(P(B)=0,7\). Determine \(P(B\mid A)\).

(A) \(0,1\)
(B) \(0,2\)
(C) \(0,3\)
(D) \(0,4\)

\(P(A\cup B)=1\), logo \(P(A\cap B)=0,5+0,7-1=0,2\). \(P(B\mid A)=\tfrac{0,2}{0,5}=0,4\).

Resposta: (D).
79
Teste Intermédio 12.º · 07.12.2005

Num acampamento, \(\tfrac14\) dos jovens são portugueses, \(52\%\) são do sexo feminino e, dos portugueses, 3 em 5 são rapazes. Probabilidade do prémio sair a uma rapariga estrangeira?

\(P(N\cap F)=0,25\cdot 0,4=0,1\) (\(F\): rapariga, dado \(N\): portuguesa \(\Rightarrow P(F\mid N)=2/5\)).

\(P(\overline N\cap F)=P(F)-P(N\cap F)=0,52-0,1=0,42\)
Resposta: \(42\%\).
80
Exame 2005, Época especial

Seis amigos sentam-se aleatoriamente em mesa circular. \(A\): “Diogo, Elsa, Filipe em lugares consecutivos com Elsa no meio”; \(B\): “Catarina e Filipe lado a lado”. Determine \(P(B\mid A)\), sem fórmula.

Sob \(A\), restam 3 lugares para Catarina — apenas 1 está junto ao Filipe.

\(P(B\mid A)=\dfrac{1}{3}\)
Resposta: \(\frac{1}{3}\).
81
Exame 2005, 2.ª Fase

Em qual das opções com 4 figuras (círculos/quadrados, pretos/brancos) se tem \(P(X\mid Y)=\tfrac12\), com \(X\): “quadrado”, \(Y\): “preto”?

(A)
(B)
(C)
(D)

É a opção em que metade das figuras pretas são quadrados.

Resposta: (B).
82
Exame 2004, Época especial

Caixa com 5 brancas e 3 pretas. Retiram-se 2 sem reposição. Usando \(A\) e \(B\) independentes \(\Leftrightarrow P(B\mid A)=P(B\mid\overline A)\), mostre que “1.ª preta” e “2.ª branca” não são independentes.

\(P(B\mid A)=\tfrac{5}{7}\) (restam 2 pretas e 5 brancas); \(P(B\mid\overline A)=\tfrac{4}{7}\) (restam 3 pretas e 4 brancas).

\(P(B\mid A)\neq P(B\mid\overline A)\), logo não são independentes.
83
Exame 2004, 2.ª Fase

Lança-se um dado. \(A\): “face par”, \(B\): “número menor do que 4”. Determine \(P(B\mid A)\).

Faces pares: \(\{2,4,6\}\). Menores que 4: \(\{2\}\). \(P(B\mid A)=\tfrac13\).

Resposta: \(\frac{1}{3}\).
84
Exame 2003, Prova para militares

Em \(40\%\) dos dias o Manuel compra pão; nos restantes vai a Adelaide. Adelaide compra pão de trigo em \(20\%\) das vezes.

81.1. Quem é mais provável que o vizinho encontre?

81.2. Probabilidade de num dia Adelaide trazer pão de centeio? Em percentagem.

81.1. Adelaide vai em \(60\%\) dos dias, logo é mais provável encontrar Adelaide.

81.2. \(P(C\mid A)=1-0,2=0,8\); \(P(A\cap C)=0,6\cdot 0,8=0,48\).

Resposta: \(48\%\).
85
Exame 2003, 2.ª Fase

Com \(P(A\cap B)=0,1\), \(P(A\cup B)=0,8\) e \(P(A\mid B)=0,25\), prove que \(A\) e \(\overline A\) são equiprováveis.

\(P(B)=\tfrac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}=\tfrac{0,1}{0,25}=0,4\); \(P(A)=P(A\cup B)-P(B)+P(A\cap B)=0,8-0,4+0,1=0,5\).

\(P(A)=P(\overline A)=0,5\): são equiprováveis.
86
Exame 2003, 1.ª Fase – 2.ª chamada

Distribuição dos grupos sanguíneos:

ABABO
Rh+40%6,9%2,6%35,4%
Rh−6,5%1,2%0,4%6,7%

Sabendo que é Rh−, qual a probabilidade do grupo ser A? Percentagem aproximada às unidades.

\(P(\text{Rh-})=14,8\%\); \(P(A\cap\text{Rh-})=6,5\%\).

\(P(A\mid\text{Rh-})=\dfrac{6,5}{14,8}\approx 0,44\)
Resposta: \(\approx 44\%\).
87
Exame 2003, 1.ª Fase – 1.ª chamada

Caixa A: 2 verdes e 5 amarelas; Caixa B: 6 verdes e 1 amarela. Lança-se dado; se 1, tira-se de A; senão, de B. \(X\): “face par”, \(Y\): “verde”. Determine \(P(Y\mid X)\), sem fórmula.

Face par \(\neq 1\), logo retira-se de B: 6 verdes em 7 bolas.

\(P(Y\mid X)=\dfrac{6}{7}\)
Resposta: \(\frac{6}{7}\).
88
Exame 2002, Prova para militares

Caixa com 6 verdes e algumas pretas. Retiram-se 2 sem reposição e \(P(\text{2.ª preta}\mid\text{1.ª verde})=\tfrac12\). Quantas pretas havia inicialmente?

(A) \(4\)
(B) \(5\)
(C) \(6\)
(D) \(7\)

Após tirar uma verde, restam 5 verdes e \(n\) pretas. \(\tfrac{n}{5+n}=\tfrac12\;\Longleftrightarrow\;n=5\).

Resposta: (B) 5 bolas pretas.
89
Exame 2002, 2.ª Fase

Baralho com 52 cartas. Retiram-se 2 sem reposição. \(E_1\): “espadas na 1.ª”, \(C_2\): “copas na 2.ª”, \(F_2\): “figura na 2.ª”. Determine \(P((F_2\cap C_2)\mid E_1)\), sem fórmula.

Após retirar uma espadas, restam 51 cartas, todas as 3 figuras de copas (Rei, Dama, Valete) continuam no baralho.

\(P=\dfrac{3}{51}=\dfrac{1}{17}\)
Resposta: \(\frac{3}{51}=\frac{1}{17}\).
90
Exame 2002, 1.ª Fase – 2.ª chamada

Seja \(A\): “João vai de autocarro” e \(B\): “chega atrasado”. Qual igualdade traduz “metade dos dias em que vai de autocarro, chega atrasado”?

(A) \(P(A\cap B)=0,5\)
(B) \(P(A\cup B)=0,5\)
(C) \(P(A\mid B)=0,5\)
(D) \(P(B\mid A)=0,5\)

O condicionante é “foi de autocarro”, isto é, \(A\). Logo \(P(B\mid A)=0,5\).

Resposta: (D).
91
Exame 2002, 1.ª Fase – 1.ª chamada

Em Vale do Rei: \(\tfrac14\) tem olhos verdes, \(\tfrac13\) cabelo louro e metade das louras tem olhos verdes. Probabilidade de uma rapariga não ser loura nem ter olhos verdes?

\(P(V\cap L)=\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac16\); \(P(\overline V\cap L)=\tfrac13-\tfrac16=\tfrac16\); \(P(V\cap\overline L)=\tfrac14-\tfrac16=\tfrac{1}{12}\).

\(P(\overline V\cap\overline L)=P(\overline L)-P(V\cap\overline L)=\tfrac23-\tfrac{1}{12}=\dfrac{7}{12}\)
Resposta: \(\frac{7}{12}\).
92
Exame 2001, Prova para militares

\(25\%\) escolheram Inglês, \(15\%\) Alemão e \(10\%\) ambos. Sabendo que escolheu Inglês, qual a probabilidade de ter escolhido também Alemão?

(A) \(\tfrac{4}{5}\)
(B) \(\tfrac{3}{5}\)
(C) \(\tfrac{2}{5}\)
(D) \(\tfrac{1}{5}\)
\(P(A\mid I)=\dfrac{0,1}{0,25}=\dfrac{2}{5}\)
Resposta: (C).
93
Exame 2001, Época especial

Caixa com 6 brancas; 6 pretas fora. Lança-se o dado duas vezes: tiram-se brancas iguais ao 1.º e colocam-se pretas iguais ao 2.º. \(A\): “sai 5 no 1.º”, \(B\): “ficam menos brancas do que pretas”. Determine \(P(B\mid A)\) em fração irredutível.

Sob \(A\), na caixa fica 1 bola branca. Para haver menos brancas do que pretas, o 2.º lançamento deve dar \(\geq 2\): 5 casos em 6.

\(P(B\mid A)=\dfrac{5}{6}\)
Resposta: \(\frac{5}{6}\).
94
Exame 2001, 2.ª Fase

Turma com 15 raparigas e 10 rapazes. Escolhem-se 3 nomes sucessivos para presidente, tesoureiro e responsável. \(A\): “1.ª é rapariga”, \(B\): “2.ª é rapariga”, \(C\): “comissão só por raparigas”. Determine \(P(C\mid A\cap B)\), sem fórmula.

Após \(A\cap B\), restam 23 nomes (13 raparigas).

\(P(C\mid A\cap B)=\dfrac{13}{23}\)
Resposta: \(\frac{13}{23}\).
95
Exame 2001, 1.ª Fase – 2.ª chamada

Com \(P(A\cap B)=10\%\), \(P(A)=60\%\), \(P(A\cup B)=80\%\), determine \(P(A\mid B)\).

(A) \(\tfrac15\)
(B) \(\tfrac14\)
(C) \(\tfrac13\)
(D) \(\tfrac12\)

\(P(B)=0,8-0,6+0,1=0,3\); \(P(A\mid B)=\tfrac{0,1}{0,3}=\tfrac13\).

Resposta: (C).
96
Prova Modelo 2001

No stand: \(15\%\) com alarme e rádio; \(20\%\) sem ambos; \(45\%\) com alarme.

93.1. Probabilidade de o automóvel ter rádio e não alarme? Em percentagem.

93.2. Sabendo que tem alarme, probabilidade de ter rádio? Em fração irredutível.

93.1. \(P(\overline A)=0,55\); \(P(\overline A\cap R)=P(\overline A)-P(\overline A\cap\overline R)=0,55-0,2=0,35\). \(35\%\).

93.2. \(P(R\mid A)=\tfrac{0,15}{0,45}=\dfrac{1}{3}\).

Respostas: \(35\%\) e \(\frac{1}{3}\).
97
Exame 2000, 2.ª Fase

Baralho de 52 cartas, 13 de espadas. Retiram-se 2 sem reposição. Probabilidade de pelo menos uma não ser de espadas? Em fração irredutível.

\(P(E_1)=\tfrac{13}{52}=\tfrac14\); \(P(E_2\mid E_1)=\tfrac{12}{51}\). Pelo contrário (ambas de espadas):

\(P(\overline{E_1}\cup\overline{E_2})=1-P(E_1)\cdot P(E_2\mid E_1)=1-\tfrac14\cdot\tfrac{12}{51}=\tfrac{16}{17}\)
Resposta: \(\frac{16}{17}\).
98
Exame 2000, 1.ª Fase – 2.ª chamada

Iogurtes: \(P(E\mid V)=0,005\) (dentro do prazo) e \(P(E\mid\overline V)=0,65\) (fora). Em 10 iogurtes, 2 estão fora do prazo. Probabilidade de o iogurte estar estragado?

\(P(E)=\tfrac{8}{10}\cdot 0,005+\tfrac{2}{10}\cdot 0,65=0,004+0,13=0,134\)
Resposta: \(0,134\).
99
Exame 2001, 1.ª Fase – 1.ª chamada

\(A\) possível, com \(P(A)\neq 1\). Qual é \(P(A\mid A)\)?

(A) \(0\)
(B) \(1\)
(C) \(P(A)\)
(D) \([P(A)]^2\)

\(A\cap A=A\), logo \(P(A\mid A)=\tfrac{P(A)}{P(A)}=1\).

Resposta: (B).
100
Prova Modelo 2000

Caixa com 5 brancas e 5 pretas. Retiram-se 2 sem reposição. \(B_1\): “1.ª branca”, \(B_2\): “2.ª branca”. Determine \(P(B_2\mid B_1)\).

(A) \(\tfrac12\cdot\tfrac49\)
(B) \(\tfrac12\cdot\tfrac59\)
(C) \(\tfrac{4}{9}\)
(D) \(\tfrac{5}{9}\)

Sob \(B_1\), na caixa ficam 4 brancas e 5 pretas, total 9.

\(P(B_2\mid B_1)=\dfrac{4}{9}\)
Resposta: (C).
101
Exame 1999, 1.ª Fase – 1.ª chamada

Lança-se um dado 4 vezes. No 1.º sai 1 e no 2.º sai 2. Probabilidade de os quatro números serem todos diferentes?

(A) \(\tfrac{6\times5\times4\times3}{6^4}\)
(B) \(\tfrac{6\times5}{6^4}\)
(C) \(\tfrac{6\times5}{6^2}\)
(D) \(\tfrac{4\times3}{6^2}\)

Restam 4 valores para o 3.º (diferentes de 1 e 2) e 3 para o 4.º:

\(P=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}=\dfrac{4\times 3}{6^2}\)
Resposta: (D).
102
Exame 1998, 2.ª Fase

Doze bolas numeradas de 1 a 12. Tira-se uma e é par; não se repõe. Tirando outra, qual a probabilidade de ser par?

(A) \(\tfrac12\)
(B) \(\tfrac14\)
(C) \(\tfrac{5}{12}\)
(D) \(\tfrac{5}{11}\)

Restam 11 bolas, das quais 5 são pares.

\(P=\dfrac{5}{11}\)
Resposta: (D).