- Propriedades dos logaritmos: \( \log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \), \( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \), \( \log_a(x^p) = p \log_a x \).
- Mudança de base: \( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \).
- Equações exponenciais: Isolar a base. Se \( e^x = k \) (com \( k > 0 \)), então \( x = \ln k \). Utilizar substituição de variável (ex: \( y = e^x \)) em equações de 2.º grau disfarçadas.
- Domínio de logaritmos: A expressão \( \log_a(u(x)) \) exige que \( u(x) > 0 \). Sempre determinar o domínio antes de resolver a equação.
Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine os números reais que são solução da equação:
Garantindo argumentos positivos: \( 4-x > 0 \land 7-2x > 0 \Rightarrow x < \frac{7}{2} \).
2.º Passo: ResoluçãoDa equação quadrática obtemos \( x = 3 \lor x = \frac{9}{2} \). Rejeita-se \( \frac{9}{2} \) por estar fora do domínio.
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = 3e^x - 2e^{-x}\).
Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a representação gráfica da função \(f\) e o trapézio \([OCAB]\), tais que:
- o ponto \(A\) é o ponto de intersecção do gráfico da função \(f\) com a reta de equação \(y=5\);
- o ponto \(B\) pertence ao gráfico da função \(f\) e ao eixo \(Oy\);
- o ponto \(C\) pertence ao eixo \(Ox\) e tem abcissa igual à abcissa do ponto \(A\).
Determine a área do trapézio \([OCAB]\). Apresente o resultado na forma \(\ln(a)\), com \(a>0\).
Abcissa de B: \( x=0 \Rightarrow f(0)=1 \). Base menor \( = 1 \).
Para o ponto A, fazemos \( 3e^x - 2e^{-x} = 5 \Rightarrow 3(e^x)^2 - 5e^x - 2 = 0 \). Usando substituição \( y=e^x \), obtemos \( e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2 \).
Base maior \( = 5 \), altura \( = \ln 2 \). Área \( = \frac{5+1}{2} \times \ln 2 = 3\ln 2 = \ln 8 \).
Resolva, em \(\mathbb{R}\), sem recorrer à calculadora, a equação:
Domínio: \( x > 0 \). Simplificando a equação: \( \log_2 x - \log_2(x+1) = -2 \Rightarrow \log_2\left(\frac{x}{x+1}\right) = -2 \).
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Na figura, estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\log_{2a}x\), com \(a>1\), e o trapézio \([ABCD]\).
Sabe-se que:
- os pontos \(A\) e \(B\) pertencem ao eixo \(Ox\) e têm abcissas \(a\) e \(a+4\), respetivamente;
- os pontos \(D\) e \(C\) pertencem ao gráfico de \(f\) e têm abcissas \(a\) e \(a+4\), respetivamente.
Determine o valor de \(a\) para o qual a área do trapézio \([ABCD]\) é igual a 4.
Altura \( = 4 \). Bases: \( \log_{2a}a \) e \( \log_{2a}(a+4) \).
Área \( = 4 \Rightarrow \frac{\log_{2a}a + \log_{2a}(a+4)}{2} \times 4 = 4 \Rightarrow \log_{2a}(a^2+4a) = 2 \).
Como \( a > 1 \), temos \( a = \frac{4}{3} \).
Para certos valores de \(a\) e de \(b\) (\(a>1\) e \(b>1\)) tem-se \(\log_{a}\left(\frac{b}{a}\right)=2\).
Qual é o valor de \(\log_{a}\left(\sqrt{a^{3}}\times b^{2}\right)\)?
\( \log_a b - \log_a a = 2 \Rightarrow \log_a b - 1 = 2 \Rightarrow \log_a b = 3 \).
Expressão pedida: \( \log_a(a^{3/2}) + \log_a(b^2) = \frac{3}{2} + 2\log_a b = \frac{3}{2} + 2(3) = \frac{15}{2} \).
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:
Multiplicando por \( e^x \): \( 2(e^x)^2 - 4 = 0 \Rightarrow e^{2x} = 2 \Rightarrow 2x = \ln 2 \Rightarrow x = \frac{\ln 2}{2} \).
Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=a+e^{bx}\), em que \(a\) e \(b\) são números reais.
Sabendo que o gráfico da função \(f\) contém os pontos de coordenadas (1,5) e (2,7), determine os valores de \(a\) e de \(b\).
Sistema: \( a + e^b = 5 \) e \( a + e^{2b} = 7 \).
Subtraindo as equações: \( e^{2b} - e^b = 2 \Rightarrow (e^b)^2 - e^b - 2 = 0 \). Resolvendo em ordem a \( e^b \), obtemos \( e^b = 2 \) (rejeita-se a negativa).
Portanto, \( b = \ln 2 \) e \( a = 5 - 2 = 3 \).
Considere a função \(g\) de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:
Resolva, sem recorrer à calculadora, no intervalo \([1, +\infty[\) a equação \(\log_{3}(g(x))=x+\log_{3}2\).
Escrevendo tudo na base 3: \( \frac{7}{3}\times3^x - 2\times3^x = 3 \Rightarrow \frac{1}{3}\times3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2 \).
Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são solução da equação:
Domínio: \( x > 0 \). Elevando ao quadrado ambos os membros: \( 9x + 1 = (6x)^2 \Rightarrow 36x^2 - 9x - 1 = 0 \).
Pela fórmula resolvente obtemos \( x = \frac{1}{3} \) ou \( x = -\frac{1}{12} \) (rejeitada).
Na figura, está representado um cabo suspenso pelas suas extremidades em dois postes iguais, distanciados 10 metros entre si. Os postes estão instalados perpendicularmente ao solo, num terreno plano e horizontal. O ponto do cabo mais próximo do solo é equidistante dos dois postes.
Seja \(h\) a função, de domínio \([0,10]\), definida por \(h(x)=6,3\left(e^{\frac{x-5}{12,6}}+e^{\frac{5-x}{12,6}}\right)-7,6\). Admita que \(h(x)\) é a altura, relativamente ao solo, em metros, de um ponto do cabo situado a \(x\) metros do poste da esquerda.
Qual é a distância, arredondada às décimas de metro, da base do poste da esquerda ao ponto do cabo que está mais próximo do solo?
O ponto mais baixo ocorre no ponto médio \( x=5 \). A altura é \( h(5) = 6,3(e^0+e^0)-7,6 = 12,6 - 7,6 = 5 \) metros.
Distância à origem via Pitágoras: \( d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7,1 \) m.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine os números reais que são solução da equação:
Domínio: \( x < \frac{5}{2} \). Agrupando os termos: \( (e^x - 1)\ln(5-2x) + (e^x - 1)\ln(3-x) = 0 \).
Fatorizando: \( (e^x - 1)[\ln(5-2x) + \ln(3-x)] = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0 \) ou \( (5-2x)(3-x) = 1 \).
A quadrática resulta em \( x = 2 \) ou \( x = \frac{7}{2} \) (rejeitada pois \( 7/2 > 5/2 \)).
Num laboratório cuja temperatura ambiente é constante, aqueceu-se uma substância até atingir uma certa temperatura, superior à temperatura ambiente, e, a seguir, deixou-se arrefecer essa substância durante uma hora.
Admita que a temperatura dessa substância, em graus Celsius, \(t\) minutos após o início do arrefecimento, é dada por
em que \(k\) é uma constante real positiva.
Durante o arrefecimento, houve um instante \(t_1\) em que a temperatura da substância foi \(30^{\circ}\text{C}\).
Qual é o valor de \(k\)?
Aplicando o logaritmo: \( -kt_1 = \ln(10^{-1}) \Rightarrow -kt_1 = -\ln 10 \Rightarrow k = \frac{\ln 10}{t_1} \).
Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação:
Domínio: \( x < 1 \). Fatorizando: \( (x-1)\ln(1-x) + (x-1)\ln(3-2x) = 0 \Rightarrow (x-1)[\ln(1-x) + \ln(3-2x)] = 0 \).
Como \( x=1 \) não pertence ao domínio, resolvemos \( (1-x)(3-2x) = 1 \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0 \).
Obtemos \( x = 2 \) (rejeitada) ou \( x = \frac{1}{2} \) (válida).
Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação:
Domínio: \( x < 1 \). Aplicando a definição de logaritmo: \( (1-x)e^{x-1} = e^x \).
Como \( e^{x-1} = \frac{e^x}{e} \), simplificamos dividindo por \( e^x \): \( \frac{1-x}{e} = 1 \Rightarrow 1-x = e \Rightarrow x = 1-e \).
Dados dois números reais positivos, sabe-se que a soma dos seus logaritmos na base 8 é igual a \( \frac{1}{3} \).
A que é igual o produto desses dois números?
\( \log_8 a + \log_8 b = \frac{1}{3} \Rightarrow \log_8(a \cdot b) = \frac{1}{3} \).
Pela definição de logaritmo: \( a \cdot b = 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
Seja \(f\) a função definida em \(]-\infty, 2]\) por \(f(x) = x + \ln(e^{x} + 1)\).
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
16.1. A equação \(f(x) = 2x + 1\) tem uma única solução. Determine essa solução e apresente-a na forma \(-\ln k\), com \(k > 0\), sem recorrer à calculadora.
16.2. Seja \(h\) a função definida em \(]-\infty, 2]\) por \(h(x) = f(x) - x\). Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica da função \(h^{-1}\), função inversa de \(h\)?
Resolvendo a equação, para \(x \in \, ]-\infty, 2]\):
Logo \(x = \ln\left(\frac{1}{e-1}\right)\). Apresentando na forma \(-\ln k\), com \(k > 0\):
Resolvendo \(y = f(x) - x\) em ordem a \(x\):
Assim, \(h^{-1}(x) = \ln(e^{x} - 1)\).
Considere a função \(h\), de domínio \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), definida por \(h(x) = \frac{e^{x}}{x - 1}\).
Resolva, em \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), a equação \((x - 1) \times h(x) + 2e^{-x} = 3\).
Substituindo \(h(x)\) e simplificando (com \(x \ne 1\)):
Multiplicando por \(e^{x}\) (com \(e^{x} \ne 0\)):
Fazendo a substituição \(y = e^{x}\) e aplicando a fórmula resolvente:
Como \(y = e^{x}\):
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais positivos tais que \(a > b\).
Sabe-se que \(a + b = 2(a - b)\).
Qual é o valor, arredondado às décimas, de \(\ln(a^{2} - b^{2}) - 2\ln(a + b)\)?
Usando as propriedades dos logaritmos:
Como \(a + b = 2(a - b)\):
Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por
Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x) = x + 1\).
Qual é o valor de \(\left(f \circ h^{-1}\right)(2)\)?
(o símbolo \(\circ\) designa a composição de funções)
Como \(h(x) = x + 1\), temos \(h(1) = 2\), logo \(h^{-1}(2) = 1\).
Assim, usando o ramo \(x \ge 1\):
Seja \(a\) um número real superior a 1.
Qual é o valor de \(4 + \log_{a}\left(5^{\ln a}\right)\)?
Usando as propriedades dos logaritmos:
Logo:
Pretende-se eliminar um poluente diluído na água de um tanque de um viveiro. Para tal, é escoada água por um orifício na base do tanque e, em simultâneo, é vertida no tanque água não poluída, de tal modo que a quantidade total de água no tanque se mantém.
Admita que a massa, \(p\), de poluente, medida em gramas, \(t\) horas após o início do processo, é, para um certo número real positivo \(k\), dada por \(p(t) = 120 e^{-kt}, \quad (t \ge 0)\).
Resolva os dois itens seguintes recorrendo exclusivamente a métodos analíticos. Na resolução do segundo item, pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.
21.1. Determine o valor de \(k\), sabendo que, duas horas após o início do processo, a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora. Apresente o resultado na forma \(\ln a\), com \(a > 1\).
21.2. Admita agora que \(k = 0,7\). Determine a taxa média de variação da função \(p\) no intervalo \([0,3]\) e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita. Apresente o valor da taxa média de variação arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
Como duas horas após o início (\(t = 2\)), a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora (\(t = 1\)), temos:
Dividindo ambos os membros por 120 e multiplicando por 2:
Calculamos as massas nos instantes \(t = 0\) e \(t = 3\):
Calculando a taxa média de variação:
Na figura ao lado, está representada uma secção de uma ponte pedonal que liga as duas margens de um rio. A ponte, representada pelo arco \(PQ\), está suportada por duas paredes, representadas pelos segmentos de reta \([OP]\) e \([RQ]\). A distância entre as duas paredes é 7 metros.
O segmento de reta \([OR]\) representa a superfície da água do rio.
Considere a reta \(OR\) como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto \(O\) e em que uma unidade corresponde a 1 metro.
Para cada ponto situado entre \(O\) e \(R\), de abcissa \(x\), a distância na vertical, medida em metros, desse ponto ao arco \(PQ\) é dada por
Resolva o item seguinte recorrendo a métodos analíticos; utilize a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.
Seja \(S\) o ponto pertencente ao segmento de reta \([OR]\) cuja abcissa \(x\) verifica a equação
Resolva esta equação, apresentando a solução arredondada às décimas, e interprete essa solução no contexto da situação descrita.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
Primeiro, calculamos \(f(0)\):
Substituindo na equação:
Como \(x \in [0,7]\), temos \(x = \sqrt{2,3616} \approx 1,5\).
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais superiores a 1, tais que \(a = b^3\). Qual dos valores seguintes é igual a \(\log_a b + \log_b a\)?
Pela definição de logaritmo, como \(a = b^3\), sabemos que \(\log_b a = 3\).
Pelas propriedades de mudança de base, temos que \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a} = \frac{1}{3}\).
Substituindo na expressão original:
Seja \(f\) a função, de domínio \([-3,3]\), cujo gráfico está representado na figura.
Tal como a figura sugere, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras.
Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x) = \ln x\).
Quais são as soluções da equação \((f \circ g)(x) = 0\)?
(o símbolo \(\circ\) designa a composição de funções)
Pela definição de função composta: \((f \circ g)(x) = 0 \Leftrightarrow f(g(x)) = 0\).
Sabemos que os zeros de \(f\) são \(-1\) e \(1\), logo \(f(\ln x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \lor \ln x = 1\).
O movimento de uma nave espacial é um movimento de propulsão provocado pela libertação de gases resultantes da queima e explosão de combustível.
Um certo tipo de nave tem por função o transporte de carga destinada ao abastecimento de uma estação espacial.
Designemos por \(x\) a massa, em milhares de toneladas, da carga transportada por uma nave desse tipo e por \(V\) a velocidade, em quilómetros por segundo, que essa mesma nave atinge no instante em que termina a queima do combustível.
Considere que \(V\) é dada, em função de \(x\), por:
Nos dois itens seguintes, a calculadora só pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.
25.1. Admita que uma nave do tipo referido transporta uma carga de 25 mil toneladas.
Determine quanto tempo demora essa nave a percorrer 200 quilómetros a partir do instante em que termina a queima do combustível, sabendo que a velocidade da nave se mantém constante a partir desse instante.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às unidades.
25.2. Determine qual deve ser a massa da carga transportada por uma dessas naves, de modo que atinja, após a queima da totalidade do combustível, uma velocidade de 3 quilómetros por segundo.
Apresente o resultado em milhares de toneladas, arredondado às unidades.
A carga transportada é de 25 mil toneladas, logo \(x = 25\). Calculamos a velocidade constante da nave no final da queima:
Sabendo que a velocidade é constante, a relação entre distância, velocidade e tempo é \(t = \frac{d}{V}\):
Pretendemos resolver a equação \(V(x) = 3\):
Pela definição de logaritmo (\(\ln u = 1 \Leftrightarrow u = e^1\)):
Multiplicando ambos os membros por \((x + 60)\) e isolando \(x\):
Para certos valores de \(a\) e de \(b\) (\(a > 1\) e \(b > 1\)), tem-se \(\log_a(ab^3) = 5\). Qual é, para esses valores de \(a\) e de \(b\), o valor de \(\log_b a\)?
Aplicando as propriedades do logaritmo do produto e da potência:
Como queremos \(\log_b a\), utilizamos a regra da mudança de base:
O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.
Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.
Nesse contrato, a prestação mensal \(p\), em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por
em que \(n\) é o número de meses em que o empréstimo será pago e \(x\) é a taxa de juro mensal.
Resolva recorrendo a métodos analíticos.
Na resolução, pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.
O José e o António acordaram que a taxa de juro mensal seria 0,3% (\(x=0,003\)).
Em quantos meses será pago o empréstimo, sabendo-se que o José irá pagar uma prestação mensal de 24 euros?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.
Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Passando a logaritmos:
Considere a função \(f\), de domínio \(]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[\) definida por:
Resolva o item seguinte recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Seja \(a\) um número real maior do que 1.
Mostre que a reta secante ao gráfico de \(f\) nos pontos de abcissas \(a\) e \(-a\) passa na origem do referencial.
O declive \(m\) da reta secante é dado por:
Avaliando \(f(-a)\):
Note-se que \(\frac{a+1}{a-1}\) é o inverso de \(\frac{a-1}{a+1}\). Pelas propriedades dos logaritmos:
Assim, o declive é \(m = \frac{f(a) - (-f(a))}{2a} = \frac{2f(a)}{2a} = \frac{f(a)}{a}\).
A equação da reta é \(y = mx + b \Rightarrow y = \frac{f(a)}{a}x + b\). Como o ponto \((a, f(a))\) pertence à reta:
Seja \(a\) um número real. Seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = e^{a\ln x}\).
Considere, num referencial o.n. \(xOy\), o ponto \(P(2,8)\).
Sabe-se que o ponto \(P\) pertence ao gráfico de \(f\).
Qual é o valor de \(a\)?
Como o ponto \(P(2,8)\) pertence ao gráfico, temos que \(f(2) = 8\).
Como \(e^{\ln 2} = 2\), a equação simplifica-se para:
Admita que, ao longo dos séculos XIX, XX e XXI, o número de habitantes, \(N\), em milhões, de uma certa região do globo é dado aproximadamente por
em que \(t\) é o tempo medido em décadas e em que o instante \(t = 0\) corresponde ao final do ano 1800.
30.1. Determine a taxa média de variação da função \(N\) no intervalo \([10, 20]\). Apresente o resultado arredondado às unidades. Interprete o resultado, no contexto da situação descrita.
30.2. Mostre analiticamente que \(t = \ln\left(\frac{50N}{200 - N}\right)^4\).
Calculamos o número de habitantes nos instantes \(t = 10\) e \(t = 20\):
A taxa média de variação é:
Interpretação: Na década avaliada (entre os instantes \(t = 10\) e \(t = 20\), correspondentes aos anos 1900 e 2000), a população cresceu, em média, cerca de 11 milhões de habitantes por década.
Resolução 30.2Isolando \(t\) na equação original:
Multiplicando por \(-4\) (já que \(0,25 = \frac{1}{4}\)):
Pela regra do logaritmo da potência:
Para certos valores de \(a\) e de \(b\) (\(a > 1\) e \(b > 1\)), tem-se \(\log_b a = \frac{1}{3}\).
Qual é, para esses valores de \(a\) e de \(b\), o valor de \(\log_a(a^2 b)\)?
Usando as propriedades dos logaritmos, temos:
Como \(\log_b a = \frac{1}{3}\), pela mudança de base sabemos que \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3\).
Assim, substituindo:
Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:
Resolva, em \(]-\infty, 3]\), a condição \(f(x) - 2x > 1\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Apresente o conjunto solução, usando a notação de intervalos de números reais.
Para \(x \in ]-\infty, 3]\), usamos o primeiro ramo da função: \(f(x) = 1 + x e^x\).
Determinando os zeros da equação correspondente:
Estudando o sinal do produto \(x(e^x - 2)\) no intervalo \(]-\infty, 3]\):
- Para \(x < 0\): \(x < 0\) e \(e^x - 2 < 0 \Rightarrow x(e^x - 2) > 0\)
- Para \(0 < x < \ln 2\): \(x > 0\) e \(e^x - 2 < 0 \Rightarrow x(e^x - 2) < 0\)
- Para \(\ln 2 < x \le 3\): \(x > 0\) e \(e^x - 2 > 0 \Rightarrow x(e^x - 2) > 0\)
Qual das seguintes expressões é, para qualquer número real \(k\), igual a \(\log_3\left(\frac{3^k}{9}\right)\)?
Usando as propriedades dos logaritmos para a divisão e potência:
Sabemos que \(\log_3(3^k) = k\) e \(\log_3(9) = \log_3(3^2) = 2\).
Na figura ao lado, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso.
Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto \(P\) por uma mola esticada. Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita que, \(t\) segundos após esse instante, a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto \(P\) é dada por
Sabe-se que a distância do ponto \(P\) à base do recipiente é 16 cm.
Determine o volume da esfera. Apresente o resultado em \(\text{cm}^3\), arredondado às centésimas.
No instante em que o movimento se inicia (\(t = 0\)), o centro da esfera está à distância de \(P\) dada por:
Nesse instante a esfera está presa à base, logo o ponto mais baixo da esfera toca na base. Sabendo que o ponto \(P\) está a 16 cm da base e o centro da esfera está a 15 cm de \(P\), a distância do centro da esfera à base (ou seja, o raio \(r\)) é:
O volume da esfera é dado pela fórmula \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\):
Seja \(b\) um número real. Sabe-se que \(\log b = 2014\) (sendo \(\log\) o logaritmo de base 10). Qual é o valor de \(\log(100b)\)?
Usando a propriedade do logaritmo do produto:
Sabemos que \(\log(100) = \log(10^2) = 2\) e o enunciado indica que \(\log b = 2014\).
Seja \(a\) um número real positivo. Considere o conjunto \(S = \{x \in \mathbb{R} : \ln(e^{-x} - a) \le 0\}\). Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto \(S\)?
A condição \(\ln(e^{-x} - a) \le 0\) implica duas restrições (argumento positivo e logaritmo não positivo):
Adicionando \(a\) em todos os termos da inequação:
Aplicando o logaritmo natural, mantendo o sentido das desigualdades (pois \(\ln\) é crescente):
Multiplicando por \(-1\) (invertendo as desigualdades):
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais tais que \(1 < a < b\) e \(\log_a b = 3\). Qual é, para esses valores de \(a\) e de \(b\), o valor de \(\log_a(a^5 \times \sqrt[3]{b}) + a^{\log_a b}\)?
Vamos simplificar a expressão por partes.
Primeira parte (usando logaritmo de um produto e de uma potência):
Como \(\log_a b = 3\), obtemos: \(5 + \frac{1}{3}(3) = 5 + 1 = 6\).
Segunda parte (usando a identidade fundamental dos logaritmos):
Somando as duas partes: \(6 + b\).
Para certos valores de \(a\) e de \(b\) (\(a > 1\) e \(b > 1\)), tem-se \(\log_a b = 2\). Qual é, para esses valores de \(a\) e de \(b\), o valor de \(\log_b a + \log_a \sqrt{b}\)?
Calculando cada um dos termos isoladamente. Para o primeiro, fazemos a mudança de base:
Para o segundo, usamos a propriedade da potência do logaritmo:
Somando ambos os valores:
Considere que dois balões esféricos, que designamos por balão A e por balão B, se deslocam na atmosfera, por cima de um solo plano e horizontal.
Num determinado instante, é iniciada a contagem do tempo. Admita que, durante o primeiro minuto imediatamente a seguir a esse instante, as distâncias, medidas em metros, do centro do balão A ao solo e do centro do balão B ao solo são dadas, respetivamente, por
A variável (\(t\)) designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo (\(t \in [0,60]\)).
Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos. Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
39.1. Determine a distância entre o centro do balão A e o centro do balão B, cinco segundos após o início da contagem do tempo, sabendo que, nesse instante, a distância entre as projeções ortogonais dos centros dos balões no solo era 7 metros.
39.2. Sabe-se que, alguns segundos após o início da contagem do tempo, os centros dos dois balóes estavam à mesma distância do solo.
Determine quanto tempo decorreu entre o instante inicial e o instante em que os centros dos dois balões estavam à mesma distância do solo.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às unidades.
Aos 5 segundos, calculamos as alturas \(a(5)\) e \(b(5)\):
A diferença de altura entre os centros é \(|b(5) - a(5)| \approx 6,345 - 3,761 = 2,584 \text{ m}\).
Aplicando o Teorema de Pitágoras com a distância no solo (cateto de 7 m):
Igualamos as duas expressões \(a(t) = b(t)\):
Fazendo a substituição \(y = e^{-0,03t}\) (logo \(e^{-0,06t} = y^2\)):
Pela fórmula resolvente:
Obtemos \(y = \frac{1}{2}\) ou \(y = -\frac{1}{3}\). Sendo \(y = e^{-0,03t} > 0\), rejeitamos a solução negativa. Assim:
Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) três números reais tais que \(a \in ]1, +\infty[\), \(b \in \mathbb{R}^+\) e \(c \in \mathbb{R}^+\). Sabe-se que \(\log_a b = c\) e que \(\log_a \sqrt{c} = 3\).
Qual das expressões seguintes é equivalente a \(\log_a(\sqrt{b \times c})\)?
Sabemos que \(\log_a \sqrt{c} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\log_a c = 3 \Leftrightarrow \log_a c = 6\).
Aplicando as propriedades do logaritmo à expressão pedida:
Substituindo os valores conhecidos (\(\log_a b = c\) e \(\log_a c = 6\)):
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:
Mostre que \(\ln(2 + 2\sqrt{2})\) é o único zero da função \(f\), recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determinamos os zeros resolvendo \(f(x) = 0\):
Multiplicando ambos os membros por \(e^2\) (com \(e^2 \ne 0\)):
Multiplicando por \(e^x\) (com \(e^x \ne 0\)):
Fazendo a substituição \(y = e^x\) e aplicando a fórmula resolvente:
Como \(y = e^x > 0\) e \(2 - 2\sqrt{2} < 0\), a solução \(e^x = 2 - 2\sqrt{2}\) é impossível. Assim:
Seja \(a\) um número real maior do que 1 e seja \(b = a^\pi\). Qual é o valor, arredondado às unidades, de \(\log_a(a^{12} \times b^{100})\)?
Pelas propriedades dos logaritmos:
Como \(b = a^\pi\), temos que \(\log_a b = \pi\). Substituindo:
Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = 2 + \log_3 x\).
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
43.1. Determine o conjunto dos números reais para os quais se tem \(f(x) \ge 4 + \log_3(x - 8)\). Apresente a sua resposta na forma de intervalo de números reais.
43.2. Determine o valor de \(f(36^{1000}) - f(4^{1000})\).
Domínio da condição: \(x > 0 \land x - 8 > 0 \Rightarrow x > 8\).
Resolvendo a inequação:
Como \(x > 8\), o denominador é positivo, logo podemos multiplicar ambos os membros por \((x - 8)\):
Fazendo a intersecção com o domínio (\(x > 8\)): \(x \in ]8, 9]\).
Resolução 43.2Um vírus atacou os frangos de um aviário.
Admita que \(x\) dias após o instante em que o vírus foi detetado, o número de frangos infetados é dado aproximadamente por
(considere que \(x = 0\) corresponde ao instante em que o vírus foi detetado).
Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.
No instante em que o vírus foi detetado, já existiam frangos infetados.
Passados alguns dias, o número de frangos infetados era dez vezes maior.
Quantos dias tinham passado?
Número de frangos inicialmente infetados (\(x = 0\)):
O número de frangos passou a ser dez vezes maior, ou seja, \(8 \times 10 = 80\). Resolvemos \(f(x) = 80\):
Igualando os expoentes:
O momento sísmico, \(M_0\), é uma medida da quantidade total de energia que se transforma durante um sismo. Só uma pequena fração do momento sísmico é convertida em energia sísmica irradiada, \(E\), que é a que os sismógrafos registam.
A energia sísmica irradiada é estimada, em Joules, por \(E = M_0 \times 1,6 \times 10^{-5}\).
A magnitude, \(M\), de um sismo é estimada por \(M = \frac{2}{3}\log_{10}(E) - 2,9\).
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
45.1. Admita que um sismo que ocorreu no Haiti, em 2010, teve magnitude 7,1. Determine o momento sísmico, \(M_0\), para esse sismo. Escreva o resultado na forma \(a \times 10^n\), com \(n\) inteiro relativo e com \(a\) entre 1 e 10.
45.2. Sejam \(M_1\) e \(M_2\) as magnitudes de dois sismos. Mostre que, se a diferença entre a magnitude \(M_1\) e a magnitude \(M_2\) é igual a \(\frac{2}{3}\), então a energia sísmica irradiada por um dos sismos é dez vezes superior à energia sísmica irradiada pelo outro sismo.
Substituindo \(M = 7,1\) na equação da magnitude:
Calculando o momento sísmico \(M_0\):
Sabemos que \(M_1 - M_2 = \frac{2}{3}\). Pela fórmula da magnitude:
Para um certo valor real de \(k\), admita que a quantidade de combustível, em litros, existente no depósito de uma certa máquina agrícola, \(t\) minutos após ter começado a funcionar, é dada aproximadamente por
Considere que essa máquina agrícola funcionou durante 20 minutos e que, nesse período de tempo, consumiu 2 litros de combustível.
Determine o valor de \(k\) recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Se a máquina consumiu 2 litros em 20 minutos, a diferença entre a quantidade inicial e a final é 2:
Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B.
Às zero horas do dia 1 de Março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber Victoria amazonica e Victoria cruziana.
\(N_A(t)\) é o número de nenúfares existentes no lago A, \(t\) dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem-se segundo o modelo
\(N_B(t)\) é o número de nenúfares existentes no lago B, \(t\) dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
47.1. Como referido, às zero horas do dia 1 de Março de 2010, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número aumentou. Determine de quanto foi esse aumento. Apresente o resultado com arredondamento às unidades.
47.2. Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B. Apresente o resultado com arredondamento às unidades.
Calculando \(N_A(0)\) e \(N_A(7)\):
O aumento foi de \(44,02 - 15 \approx 29\) nenúfares.
Resolução 47.2Igualamos as funções: \(N_A(t) = N_B(t)\)
Multiplicando em cruz e dividindo os coeficientes (120 e 150) por 30 (ficando 4 e 5):
Usando a fórmula resolvente (para a variável \(y = e^{-0,2t}\)):
Ficamos com \(y = \frac{80}{400} = \frac{1}{5}\) ou \(y = -\frac{10}{400}\) (rejeitada por ser negativa).
Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por
Resolva, sem recorrer à calculadora, no intervalo \([1, +\infty[\), a equação
Substituindo \(f(x)\) para \(x \ge 1\):
Multiplicando ambos os membros por 3 e passando tudo para um lado:
Multiplicando todos os termos por \(e^x\):
Fazendo a substituição \(y = e^x\) e usando a fórmula resolvente para a equação quadrática \(y^2 - 8y - 3 = 0\), de onde resulta (após algumas manipulações na resposta oficial):
A equação original da proposta oficial tem um arranjo ligeiramente diferente \(-3(e^x)^2 + 8e^x + 3 = 0\) (que seria equivalente a \(3(e^{-x})^2 ...\)). Vamos corrigir a análise algébrica exata baseada na nossa equação \(e^{2x} - 8e^x - 3 = 0\):
Um pequeno lapso de transcrição do PDF para o enunciado original: o PDF oficial diz \(e^{-x} + 2 = (e^x - 2) / 3\). Multiplicar por 3 fica \(3e^{-x} + 6 = e^x - 2\). Multiplicando por \(e^x\): \(3 + 6e^x = e^{2x} - 2e^x \implies e^{2x} - 8e^x - 3 = 0\). As raízes são \(\frac{8 \pm \sqrt{64 + 12}}{2}\). Isto difere da solução proposta do IAVE \(-3y^2 + 8y + 3 = 0\), que vem de \(3 = 3(e^x)^2 - 8e^x \implies 3y^2 - 8y - 3 = 0\). As duas equações são a mesma! (\(3y^2 - 8y - 3 = 0\) é para a raiz real \(y = 3\)). Vejamos de novo: a solução do exame assume \(1/e^x - e^x/3 + 8/3 = 0\), multiplicando tudo por \(3e^x\) dá \(3 - (e^x)^2 + 8e^x = 0 \Leftrightarrow e^{2x} - 8e^x - 3 = 0\).
Correção rigorosa: No PDF original, a equação que dá \(y=3\) deriva de \(y^2 - (8/3)y - 1 = 0 \implies 3y^2 - 8y - 3 = 0\). Logo as soluções são \(y = 3\) ou \(y = -1/3\).
Na figura ao lado, está parte da representação gráfica da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = \log_9(x)\).
\(P\) é o ponto do gráfico de \(f\) que tem ordenada \(\frac{1}{2}\).
Qual é a abcissa do ponto \(P\)?
A ordenada é \(f(x) = \frac{1}{2}\). Temos então a equação:
Pela definição de logaritmo:
Na década de sessenta do século passado, uma doença infecciosa atacou a população de algumas regiões do planeta.
Admita que, ao longo dessa década, e em qualquer uma das regiões afetadas, o número, em milhares, de pessoas que estavam infetadas com a doença, \(t\) anos após o início de 1960, é dado, aproximadamente, por
em que \(k\) e \(p\) são parâmetros reais.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.
50.1. Admita que, para uma certa região, \(k = \frac{1}{2}\) e \(p = 1\). Determine o ano em que o número de pessoas que estavam infetadas, nessa região, atingiu 2500.
50.2. Numa outra região, constatou-se que havia um milhar de pessoas que estavam infetadas no início de 1961. Qual é, para este caso, a relação entre \(k\) e \(p\)? Apresente a sua resposta na forma \(k = -\ln(A + pB)\), em que \(A\) e \(B\) são números reais.
Temos \(I(t) = \frac{3e^{t/2}}{1 + e^{t/2}}\). O valor de 2500 pessoas corresponde a 2,5 milhares. Resolvemos \(I(t) = 2,5\):
Somando a 1960, atingiu-se a marca em 1963.
Resolução 50.2No início de 1961 passou \(t = 1\) ano. Havia mil infetados, ou seja, \(I(1) = 1\).
Pelas propriedades dos logaritmos, o logaritmo do inverso é o simétrico do logaritmo:
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^-\), definida por \(f(x) = \ln(-3x)\).
Qual é a solução da equação \(f(x) = 2\)?
Igualamos a expressão da função a 2:
Passando para a forma exponencial (a base do \(\ln\) é \(e\)):
Seja \(g\) a função, de domínio \(]-2, +\infty[\), definida por \(g(x) = \ln(x + 2)\). Num referencial o.n. \(xOy\), considere um triângulo \([OAB]\) tal que:
- \(O\) é a origem do referencial;
- \(A\) é um ponto de ordenada 5;
- \(B\) é o ponto de interseção do gráfico da função \(g\) com o eixo das abcissas.
Qual é a área do triângulo \([OAB]\)?
Para determinar a abcissa de \(B\), determinamos o zero de \(g\):
Portanto, o ponto \(B\) tem coordenadas \((-1, 0)\). O segmento \([OB]\) assenta sobre o eixo \(Ox\) e tem comprimento \(|-1| = 1\).
Considerando \([OB]\) como a base do triângulo, a altura é a ordenada do ponto \(A\), que sabemos ser 5.
Na Internet, no dia 14 de Outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de um espetáculo. O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda.
Admita que, \(t\) horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é dado, aproximadamente, por
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
53.1. Mostre que \(N(t) = 16\log_4(3t+1)\), para qualquer \(t \in [0, 5]\).
53.2. Determine quanto tempo foi necessário para vender 2400 bilhetes. Apresente o resultado em horas e minutos.
Aplicando a regra do logaritmo de uma potência (\(\log(a^p) = p \log a\)) ao primeiro termo:
Fatorizando a expressão comum:
Atenção: A função dá-nos o número de bilhetes em centenas. Portanto, 2400 bilhetes correspondem a 24 centenas.
Sabendo que \(t\) está em horas: \(\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}\) horas. Como um terço de hora são 20 minutos:
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = 3 + 4x^2 e^{-x}\).
Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), definida por
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Determine, usando exclusivamente métodos analíticos, os zeros da função \(g\).
Procuramos resolver \(g(x) = 0\):
Pelas propriedades dos logaritmos, abrimos o produto:
Transformando para a forma exponencial:
Qual é o valor exato de \(\log_5\left(\frac{5^{1000}}{25}\right)\)?
Aplicando a propriedade do logaritmo de um quociente:
Avaliando cada parcela:
Numa certa região, uma doença está a afetar gravemente os coelhos que lá vivem. Em consequência dessa doença, o número de coelhos existentes nessa região está a diminuir.
Admita que o número, em milhares, de coelhos que existem nessa região, \(t\) semanas após a doença ter sido detetada, é dado aproximadamente por
Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.
56.1. Suponha que \(k = 10\). Ao fim de quantos dias, após a doença ter sido detetada, é que o número de coelhos existentes na referida região é igual a 9000?
56.2. Admita agora que o valor de \(k\) é desconhecido. Sabe-se que, durante a primeira semana após a deteção da doença, morreram dois mil coelhos e não nasceu nenhum. Determine o valor de \(k\) arredondado às décimas.
Com \(k = 10\), temos \(f(t) = 9\) (pois a função está em milhares):
Como uma semana tem 7 dias: \(0,4397 \times 7 \approx 3,08\), o que arredondado dá 3 dias.
Resolução 56.2A população diminuiu 2 milhares na 1.ª semana (\(t = 1\)), logo \(f(1) = f(0) - 2\).
Sabemos que \(f(0) = \frac{k}{3 - 2e^0} = \frac{k}{1} = k\).
Para facilitar os cálculos, seja \(C = 3 - 2e^{-0,13} \approx 1,2438\). Então:
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais superiores a 1 e tais que \(b = a^2\). Qual dos valores seguintes é igual a \(1 + \log_b a\)?
Se \(b = a^2\), então \(\log_a b = 2\).
Pela regra da mudança de base, sabemos que \(\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{2}\).
Substituindo na expressão original:
Na figura ao lado, está representada parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^x\).
Considere um ponto, \(P\), a deslocar-se sobre o semieixo positivo das abcissas.
Seja \(A\) o ponto pertencente ao gráfico da função que tem a mesma abcissa que o ponto \(P\).
Para cada posição do ponto \(P\), define-se um triângulo \([OAP]\).
Qual das expressões seguintes representa, em função de \(x\) (abcissa do ponto \(P\)), a área do triângulo \([OAP]\)?
O ponto \(P\) tem coordenadas \((x, 0)\), uma vez que repousa sobre o eixo das abcissas. A base do triângulo \([OP]\) tem medida \(x\).
O ponto \(A\), tendo a mesma abcissa, repousa sobre a reta vertical que passa por \(P\). Logo as coordenadas de \(A\) são \((x, e^x)\). A altura do triângulo em relação à base \([OP]\) é exatamente a ordenada de \(A\), ou seja, \(e^x\).
A área de um triângulo é dada por \(\frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}\):
Admita que a magnitude, \(M\), de um sismo é dada, na escala de Richter, por \(M = 0,67\log E - 3,25\), sendo \(E\) a energia, em joules, libertada por esse sismo.
(\(\log\) designa logaritmo de base 10.)
Resolva, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.
59.1. Sejam \(E_1\) e \(E_2\) as energias libertadas por dois sismos de magnitudes \(M_1\) e \(M_2\), respetivamente. Determine \(\frac{E_1}{E_2}\), com aproximação às unidades, sabendo que \(M_1 - M_2 = 1\). Interprete o valor obtido no contexto da situação apresentada.
59.2. O sismo que ocorreu nos Açores, no dia 1 de Abril de 2009, teve magnitude 4,7, na escala de Richter. Qual foi a energia libertada nesse sismo? Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma \(a \times 10^b\), sendo \(b\) um número inteiro, e \(a\) um número entre 1 e 10. Apresente o valor de \(a\) arredondado às unidades.
Interpretação: Uma diferença de 1 unidade na magnitude de Richter significa que o sismo mais forte libertou cerca de 31 vezes mais energia que o sismo mais fraco.
Resolução 59.2Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^{x+1}\). Qual dos pontos seguintes pertence ao gráfico de \(f\)?
Avaliamos as imagens de cada abcissa sugerida:
- Para \(x = -1\): \(f(-1) = e^{-1+1} = e^0 = 1 \ne 0\) (Falso)
- Para \(x = \ln 2\): \(f(\ln 2) = e^{\ln 2 + 1} = e^{\ln 2} \times e^1 = 2 \times e = 2e\) (Verdadeiro)
- Para \(x = \ln 5\): \(f(\ln 5) = e^{\ln 5 + 1} = 5e \ne 6\) (Falso)
- Para \(x = -2\): \(f(-2) = e^{-2+1} = e^{-1} = \frac{1}{e} \ne e\) (Falso)
Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doença que atinge as culturas. A área afetada pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir.
Admita que a área, em hectares, afetada pela doença, é dada, em função de \(t\), por
sendo \(t\) (\(0 \le t < 16\)) o tempo, em semanas, decorrido após ter sido detetada essa doença.
Quando a doença foi detetada, já uma parte da área de cultivo estava afetada. Passada uma semana, a área de cultivo afetada pela doença aumentou.
De quanto foi esse aumento?
Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos e apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas.
A área afetada quando a doença foi detetada (\(t = 0\)) é:
A área afetada uma semana depois (\(t = 1\)) é:
O aumento da área afetada na primeira semana é a diferença \(A(1) - A(0)\):
Seja \(x\) um número real positivo. Qual das expressões seguintes é igual a \(e^{4\ln x} - 10^{2\log x}\)? (onde \(\log\) designa o logaritmo de base 10)
Aplicamos a regra do logaritmo de uma potência: \(k\log a = \log(a^k)\).
Pela identidade fundamental dos logaritmos, temos que \(a^{\log_a b} = b\). Assim:
Sejam \(a\), \(x\) e \(y\) três números reais tais que \(\log_a x = 1 + 5\log_a y\). Qual das igualdades seguintes é necessariamente verdadeira?
Transformamos a equação para agrupar tudo num único logaritmo. Sabemos que \(1 = \log_a a\) e que \(5\log_a y = \log_a(y^5)\):
Pela propriedade da soma de logaritmos da mesma base (\(\log_a u + \log_a v = \log_a(uv)\)):
Se os logaritmos na mesma base são iguais, os argumentos também têm de ser iguais:
Quando uma substância radioativa se desintegra, a sua massa, medida em gramas, varia de acordo com uma função do tipo
em que a variável \(t\) designa o tempo, medido em milénios decorrido desde um certo instante inicial. A constante real \(b\) depende da substância e a constante real \(a\) é a massa da substância no referido instante inicial.
Resolva as alíneas seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.
64.1. O carbono-14 é uma substância radioativa utilizada na datação de fósseis em que esteja presente. Relativamente a um certo fóssil, sabe-se que:
- a massa de carbono-14 nele presente, mil anos depois de um certo instante inicial, era de 2,91 g;
- a massa de carbono-14 nele presente, dois mil anos depois do mesmo instante inicial, era de 2,58 g.
Tendo em conta estes dados, determine:
- o valor da constante \(b\) para o carbono-14;
- a massa de carbono-14 que existia no fóssil, no referido instante inicial.
Apresente os dois valores arredondados às centésimas.
Nota: se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
64.2. O rádio-226 é outra substância radioativa. Em relação ao rádio-226, sabe-se que \(b = -0,43\). Verifique que, quaisquer que sejam os valores de \(a\) e de \(t\), \(\frac{m(t + 1,6)}{m(t)}\) é constante. Determine o valor dessa constante, arredondado às décimas, e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.
A partir do enunciado, sabemos que \(m(1) = 2,91\) e \(m(2) = 2,58\):
Como \(a\) é o mesmo, isolamos \(a\) em ambas as equações:
Igualando as duas expressões:
Passando a logaritmos, temos \(b = \ln\left(\frac{2,58}{2,91}\right) \approx -0,12\).
Para determinar \(a\), podemos substituir \(e^b\) pelo valor exato \(\frac{2,58}{2,91}\):
Com \(b = -0,43\), calculamos o quociente \(\frac{m(t + 1,6)}{m(t)}\):
O resultado \(e^{1,6b}\) não depende de \(a\) nem de \(t\), logo é constante. Substituindo \(b = -0,43\):
Para todo o \(x \in \mathbb{R}\), qual das seguintes expressões é equivalente a \(x \cdot \ln(e^e)\)?
O logaritmo natural anula a base exponencial. Ou seja, \(\ln(e^y) = y\). Neste caso, \(\ln(e^e) = e\).
Multiplicando por \(x\):
Que se escreve normalmente como \(ex\).
Aqueceu-se água num recipiente, durante um determinado tempo, num local onde a temperatura ambiente é constante e igual a \(25^\circ\) Celsius. Interrompeu-se o processo de aquecimento, e nesse instante, a água começou a arrefecer.
O arrefecimento da água segue a Lei do arrefecimento de Newton, de acordo com o modelo matemático \(T(t) = 25 + 48e^{-0,05t}\), em que \(T(t)\) representa a temperatura da água em graus Celsius, \(t\) minutos após o início do arrefecimento.
Recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, determine ao fim de quanto tempo, após o início do arrefecimento, a temperatura da água atinge os \(36^\circ\) Celsius.
Apresente o resultado em minutos e segundos, com estes arredondados às unidades.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use quatro casas decimais.
Resolvemos a equação \(T(t) = 36\):
Temos 29 minutos completos. Convertemos a parte decimal (0,4661) em segundos:
Sabe-se que o ponto \(P(1, 3)\) pertence ao gráfico da função \(f(x) = 2^{ax} - 1\), com \(a \in \mathbb{R}\).
Qual é o valor de \(a\)?
Se o ponto \((1, 3)\) pertence ao gráfico, então \(f(1) = 3\).
Como \(4 = 2^2\):
A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que, para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de \(t\) horas de observação, é dada pelo modelo matemático \(M(t) = 15 \times e^{-0,02t}\), \(t \ge 0\).
Resolva, usando métodos analíticos, o item que se segue.
Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a massa inicial da amostra da substância radioativa?
Apresente o resultado em horas e minutos, estes arredondados às unidades.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.
A massa inicial obtém-se para \(t=0\):
A metade da massa inicial é \(\frac{15}{2} = 7,5\). Igualamos a função a 7,5:
Isto corresponde a 34 horas completas. A parte decimal (0,657) convertida em minutos é:
Seja \(a\) um número real maior do que 1. Qual dos seguintes valores é igual a \(2\log_a\left(a^{1/3}\right)\)?
Aplicando a regra da potência num logaritmo, podemos passar o expoente a multiplicar:
Como \(\log_a(a) = 1\):
Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva.
Admita que, \(t\) dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproximadamente, por
Resolva, usando métodos analíticos, o item seguinte.
Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 1000?
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use aproximações às milésimas.
Queremos resolver a equação \(N(t) = 1000\):
Aplicando o logaritmo neperiano:
Ao fim de 529 dias completos, a associação ainda não contava com 1000 sócios (a marca só foi atingida no decurso do dia seguinte).
Seja \(a\) um número real maior do que 1.
Indique qual das expressões seguintes é igual a \(\log_a 3 + 2\log_a 5\)?
Aplicando a propriedade do logaritmo de uma potência no segundo termo:
De seguida, usamos a propriedade do logaritmo de um produto:
Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes.
Admita que, \(t\) anos depois, o número de peixes existentes no lago é dado aproximadamente por
onde \(k\) designa um número real.
72.1. Determine o valor de \(k\), supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago.
72.2. Admita agora que \(k = 24\). Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, resolva o seguinte problema: Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
No momento em que os peixes foram introduzidos, tínhamos \(t = 0\). Portanto, \(f(0) = 100\).
Meio milhar de peixes é igual a 500. Queremos resolver \(f(t) = 500\), com \(k = 24\):
Passando a logaritmo:
De um número real \(x\) sabe-se que \(\log_5(x) = \pi - 1\).
Indique o valor de \(5x\).
Pela definição de logaritmo, se \(\log_5(x) = \pi - 1\), então \(x = 5^{\pi - 1}\).
Pretende-se o valor de \(5x\) (cinco vezes \(x\)):
Admita que uma certa população de seres vivos evolui de acordo com a seguinte lei: o número de indivíduos da população, \(t\) dias após um certo instante inicial, é dado aproximadamente por
em que
- \(a\) é o número de indivíduos da população no instante inicial (\(a > 0\));
- \(k\) é uma constante real.
74.1. Seja \(r\) um número real positivo. Considere que, ao fim de \(n\) dias, contados a partir do instante inicial, o número de indivíduos da população é igual a \(r\) vezes o número de indivíduos que existiam no referido instante inicial. Mostre que se tem \(k = \frac{\ln(r)}{n}\) (\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\)).
74.2. Admita que, às zero horas do dia 1 do corrente mês, se iniciou, em laboratório, uma cultura de bactérias, em pequena escala, na qual se juntaram
- 500 indivíduos de uma estirpe A;
- 500 indivíduos de uma estirpe B.
Nunca foram introduzidos mais indivíduos destas duas estirpes nesta cultura.
As condições da cultura são desfavoráveis para a estirpe A, mas são favoráveis para a estirpe B. De facto,
- decorrido exatamente um dia, a estirpe A estava reduzida a 250 indivíduos;
- decorridos exatamente seis dias, a estirpe B tinha alcançado 1000 indivíduos.
Quer a estirpe A, quer a estirpe B, evoluíram de acordo com a lei acima referida. No entanto, o valor da constante \(k\) para a estirpe A é diferente do valor dessa constante para a estirpe B.
Utilizando a igualdade da alínea anterior, verifique que:
- no caso da estirpe A, o valor da constante \(k_A\), com quatro casas decimais, é \(k_A = -0,6931\);
- no caso da estirpe B, o valor da constante \(k_B\), com quatro casas decimais, é \(k_B = 0,1155\).
Sabemos que \(P(n) = r \times a\). Por outro lado, \(P(n) = ae^{kn}\).
Aplicando o logaritmo neperiano a ambos os membros:
Para a Estirpe A: \(a = 500\) e \(P_A(1) = 250\).
Para a Estirpe B: \(a = 500\) e \(P_B(6) = 1000\).
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), definida por \(f(x) = 1 - \ln(x^2)\).
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine os pontos de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Ox\).
Os pontos de interseção com o eixo \(Ox\) ocorrem quando \(f(x) = 0\):
Aplicando a exponencial em ambos os lados (\(e^1\)):
As soluções da equação quadrática são:
Sabendo que \(\ln(x) - \ln\left(e^{\frac{1}{3}}\right) > 0\) (\(\ln\) designa logaritmo na base \(e\)), qual dos seguintes é um valor possível para \(x\)?
Resolvendo a inequação, notando primeiro o domínio (\(x > 0\)):
Como a função logarítmica de base maior que 1 (\(e \approx 2,718\)) é estritamente crescente, podemos "cortar" os logaritmos sem mudar o sentido da desigualdade:
Sabemos que \(e \approx 2,718\), logo \(\sqrt[3]{e}\) é um valor entre 1 e 2 (pois \(1^3 = 1\) e \(2^3 = 8\)). De facto, \(\sqrt[3]{e} \approx 1,4\).
O único valor possível das opções que é maior que \(1,4\) é o 2.
Admita que a intensidade da luz solar, \(x\) metros abaixo da superfície da água, é dada, numa certa unidade de medida, por
\(a\) e \(b\) são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição.
Sempre que se atribui um valor a \(a\) e um valor a \(b\) obtemos uma função de domínio \(\mathbb{R}_0^{+}\).
Medições efetuadas, num certo instante e em determinado local do oceano Atlântico, mostraram que, a 20 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua intensidade à superfície da água.
Determine o valor de \(b\) para esse instante e local. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
A intensidade à superfície (\(x = 0\)) é dada por:
A 20 metros de profundidade (\(x = 20\)), a intensidade é metade daquela à superfície (\(\frac{a}{2}\)):
Dividindo ambos os membros por \(a\) (visto que \(a > 0\)):
Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação \(e^{-x} > \frac{1}{e}\).
Sabemos que \(\frac{1}{e}\) pode ser reescrito na forma de potência de base \(e\):
A inequação transforma-se assim em:
Como a função exponencial de base \(e\) (\(e > 1\)) é estritamente crescente, mantemos o sentido da desigualdade nos expoentes:
Seja \(a\) um número real maior do que 1. Indique o valor de \(\log_a(a \times \sqrt[3]{a})\).
Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos e a representação de raízes como potências fracionárias:
A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu pH, que é dado por
onde \(x\) designa a concentração de iões \(H_3O^+\), medida em \(\text{mol/dm}^3\).
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes:
80.1. Admita que o pH do sangue arterial humano é 7,4. Qual é a concentração (em \(\text{mol/dm}^3\)) de iões \(H_3O^+\), no sangue arterial humano? Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma \(a \times 10^b\), com \(b\) inteiro e \(a\) entre 1 e 10. Apresente o valor de \(a\) arredondado às unidades.
80.2. A concentração de iões \(H_3O^+\) no café é tripla da concentração de iões \(H_3O^+\) no leite. Qual é a diferença entre o pH do leite e o pH do café? Apresente o resultado arredondado às décimas.
Sugestão: comece por designar por \(l\) a concentração de iões \(H_3O^+\) no leite e por exprimir, em função de \(l\), a concentração de iões \(H_3O^+\) no café.
Substituímos o valor do pH por 7,4:
Para colocar em notação científica clássica (\(a \times 10^b\) com \(1 \le a < 10\)):
Seja \(l\) a concentração de iões \(H_3O^+\) no leite. Logo, \(\text{pH}_{\text{leite}} = -\log(l)\).
A concentração no café será \(3l\), ou seja, \(\text{pH}_{\text{café}} = -\log(3l)\).
Calculando a diferença (\(\text{pH}_{\text{leite}} - \text{pH}_{\text{café}}\)):
Pela propriedade do quociente dos logaritmos:
Seja \(c\) um número real maior do que 1.
Na figura ao lado está representada uma parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^x - c\).
Tal como a figura sugere:
- \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Ox\);
- \(B\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Oy\).
Mostre que, se o declive da reta \(AB\) é \(c - 1\), então \(c = e\).
Para determinar o ponto \(A\) (interseção com \(Ox\)), fazemos \(f(x) = 0\):
Para determinar o ponto \(B\) (interseção com \(Oy\)), calculamos \(f(0)\):
O declive da reta \(AB\) é dado por \(m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\):
Sabemos que o declive é igual a \(c - 1\). Estabelecendo a igualdade:
Como \(c > 1\), temos que \(c - 1 \ne 0\). Podemos dividir ambos os membros por \(c - 1\):
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais positivos.
Na figura ao lado está parte do gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = a^x + b\).
Tal como a figura sugere, os pontos \((0, 2)\) e \((1, 3)\) pertencem ao gráfico de \(f\).
Quais são os valores de \(a\) e de \(b\)?
Como o ponto \((0, 2)\) pertence ao gráfico, \(f(0) = 2\):
Como o ponto \((1, 3)\) pertence ao gráfico, \(f(1) = 3\):
Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x) = \left(\ln\left(\sqrt{e^x}\right)\right)^2\).
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Qual das seguintes expressões pode também definir \(h\)?
Começamos por simplificar o argumento do logaritmo:
Aplicando o logaritmo natural:
Finalmente, elevamos o resultado ao quadrado, conforme a expressão de \(h(x)\):
Na figura seguinte estão representados:
- parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^{-x}\);
- um triângulo isósceles \([OPQ]\), (\(\overline{PO} = \overline{PQ}\)) em que:
- \(O\) é a origem do referencial;
- \(P\) é um ponto do gráfico de \(f\);
- \(Q\) pertence ao eixo das abcissas.
Considere que o ponto \(P\) se desloca no primeiro quadrante (eixos não incluídos), ao longo do gráfico de \(f\). O ponto \(Q\) acompanha o movimento do ponto \(P\), deslocando-se ao longo do eixo das abcissas, de tal modo que \(\overline{PO}\) permanece sempre igual a \(\overline{PQ}\).
Seja \(A\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^+\), que faz corresponder, à abcissa \(x\) do ponto \(P\), a área do triângulo \([OPQ]\).
Mostre que, para cada \(x \in \mathbb{R}^+\), se tem \(A(x) = x e^{-x}\).
Sendo o triângulo \([OPQ]\) isósceles com \(\overline{PO} = \overline{PQ}\) e a base \([OQ]\) assente sobre o eixo \(Ox\), a abcissa do vértice \(P\) corresponde ao ponto médio da base.
Logo, se a abcissa de \(P\) é \(x\), a abcissa de \(Q\) é o dobro, ou seja, \(2x\). O comprimento da base do triângulo \([OQ]\) é, portanto, \(2x\).
A altura do triângulo em relação a esta base é a ordenada do ponto \(P\). Como \(P\) pertence ao gráfico de \(f\), a sua ordenada é \(f(x) = e^{-x}\).
A área do triângulo \([OPQ]\) é dada por \(\frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}\):
Indique o número real que é solução da equação \(e^{x-2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\).
Começamos por escrever o segundo membro como uma potência de base \(e\):
Substituímos na equação original:
Igualando os expoentes:
Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação \(\log_3(1 - x) \le 1\).
Primeiro, definimos o domínio da inequação (o argumento do logaritmo tem de ser positivo):
Agora resolvemos a inequação. Como a base 3 é maior que 1, a função é crescente, e a desigualdade mantém-se:
Fazendo a intersecção com o domínio da função (\(x < 1\)), obtemos o intervalo:
Na figura abaixo estão representadas, em referencial o.n. \(xOy\):
- parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^x\);
- parte do gráfico da função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x) = \ln x\) (\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\)).
O ponto \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Oy\) e o ponto \(B\) é o ponto de interseção do gráfico de \(g\) com o eixo \(Ox\).
Na figura está também representado um triângulo \([CDE]\). O ponto \(C\) pertence ao eixo \(Oy\), o ponto \(D\) pertence ao gráfico de \(f\) e o ponto \(E\) pertence ao gráfico de \(g\).
Sabe-se ainda que:
- a reta \([BD]\) é paralela ao eixo \(Oy\) e a reta \([CE]\) é paralela ao eixo \(Ox\);
- \(\overline{AC} = \overline{OA}\).
Qual é a área do triângulo \([CDE]\)?
Ponto \(A\): Interseção de \(f\) com \(Oy \Rightarrow x=0\). \(f(0) = e^0 = 1 \Rightarrow A(0, 1)\).
Como \(\overline{AC} = \overline{OA}\), e \(O\) é a origem, a ordenada de \(C\) é o dobro da ordenada de \(A\), ou seja, \(y_C = 2 \Rightarrow C(0, 2)\).
Ponto \(B\): Interseção de \(g\) com \(Ox \Rightarrow g(x)=0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow B(1, 0)\).
A reta \(BD\) é paralela a \(Oy\), logo \(D\) tem a mesma abcissa que \(B\), \(x=1\). Como \(D\) está em \(f\), \(y_D = e^1 = e \Rightarrow D(1, e)\).
A reta \(CE\) é paralela a \(Ox\), logo \(E\) tem a mesma ordenada que \(C\), \(y=2\). Como \(E\) está em \(g\), \(\ln x = 2 \Rightarrow x = e^2 \Rightarrow E(e^2, 2)\).
O triângulo \([CDE]\) tem como base o segmento horizontal \([CE]\), cuja medida é a abcissa de \(E\): \(\overline{CE} = e^2\). A altura relativa a esta base é a diferença de ordenadas entre \(D\) e o segmento \([CE]\): \(\text{Altura} = y_D - y_C = e - 2\).
Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares, concluiu que a quantidade de azeite Azeitona do Campo, vendida num mês por essa empresa, depende do preço de venda ao público, de acordo com a função
sendo \(x\) o preço de venda ao público, em euros, de 1 litro desse azeite e \(V(x)\) a quantidade vendida num mês (medida em litros).
A empresa tem um conjunto de despesas (compra ao produtor, empacotamento, publicidade, transportes, etc.) com a compra e a venda do azeite.
Sabendo que cada litro de azeite vendido acarreta à empresa uma despesa total de 3 euros, justifique que o lucro mensal da empresa (em euros), resultante da venda do azeite, é dado por
O lucro obtido por cada litro de azeite vendido corresponde à diferença entre o preço de venda ao público (\(x\)) e a despesa que a empresa tem com cada litro (3 euros). Logo, o lucro unitário é \(x - 3\).
O lucro mensal total, \(L(x)\), será o produto do lucro unitário pela quantidade total de litros vendidos num mês (\(V(x)\)).
Considere a função \(f\), de domínio \(]0, +\infty[\), definida por \(f(x) = \frac{1 - \ln x}{x}\).
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Sem recorrer à calculadora, mostre que \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(4e^2)\).
Calculamos \(f\left(\frac{1}{2}\right)\):
Sabemos que \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2\). Substituindo:
Vamos manipular esta expressão usando as propriedades dos logaritmos (\(\ln e = 1\)):
Pela propriedade do logaritmo do produto:
O tempo \(t\), medido em anos, que um planeta demora a realizar uma translação completa, em torno do Sol, está relacionado com a distância média, \(d\), desse planeta ao Sol, medida em milhões de quilómetros, por meio da fórmula
(\(k\) é uma constante real e \(\ln\) designa o logaritmo de base \(e\))
Sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes:
90.1. Sabe-se que:
- a distância média de Urano ao Sol é (aproximadamente) o dobro da distância média de Saturno ao Sol;
- o planeta Urano demora (aproximadamente) 84 anos a realizar uma translação completa em torno do Sol.
Determine quanto tempo demora o planeta Saturno a realizar uma translação completa em torno do Sol. Apresente o resultado em anos, arredondado às décimas.
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
90.2. Sabendo que a distância média da Terra ao Sol é, aproximadamente, de 149,6 milhões de quilómetros, determine o valor de \(k\) (apresente o resultado arredondado às unidades).
Para Urano (\(t_U = 84\) e \(d_U = 2d_S\)):
Pela propriedade do logaritmo do produto:
Para Saturno (\(t_S\) e \(d_S\)):
Substituindo a expressão \(k + 3\ln d_S\) obtida da equação de Urano (\(k + 3\ln d_S = 2\ln(84) - 3\ln 2\)):
Para a Terra, o tempo de translação é 1 ano (\(t = 1\)) e \(d = 149,6\). Substituindo na fórmula:
Na figura ao lado está representada a trajetória de uma bola de futebol, depois de ter sido pontapeada por um jogador da seleção portuguesa, durante um treino de preparação para o EURO-2004.
Designou-se por \(a\) a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontapeada e o ponto onde ela caiu.
Considere a função \(h\) definida em \([0, a]\) por
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Admita que \(h(x)\) é a distância, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua projeção no solo se encontra a \(x\) metros do local onde foi pontapeada.
Sem utilizar a calculadora, mostre que a taxa de variação média da função \(h\), no intervalo \([1, 3]\) é \(\ln\left[e^2 \left(\frac{7}{9}\right)^5\right]\).
A taxa de variação média (TVM) no intervalo \([1, 3]\) é dada por \(\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1}\).
Substituindo na fórmula da TVM:
Utilizando a identidade \(2 = \ln(e^2)\) e a propriedade da potência do logaritmo:
Pela propriedade do logaritmo de um produto:
Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico da função \(f\), definida, em \(]-1, +\infty[\), por \(f(x) = \log_2(x + 1)\).
Na mesma figura, está também representado um triângulo retângulo \([ABO]\).
O ponto \(A\) tem abcissa 3 e pertence ao gráfico de \(f\). O ponto \(B\) pertence ao eixo \(Oy\).
Qual é a área do triângulo \([ABO]\)?
Determinamos a ordenada do ponto \(A\) substituindo a abcissa (\(x = 3\)) na função:
Como o triângulo tem um lado no eixo \(Oy\), considere-se a base \([OB]\). A medida da base é a ordenada do ponto \(A\) (se o triângulo for traçado na horizontal), isto é, \(\overline{OB} = 2\).
A altura associada a esta base será a abcissa do ponto \(A\), ou seja, \(\overline{BA} = 3\).
Admita que o número de elementos de uma população de aves, \(t\) anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por
em que \(N\) e \(M\) são duas constantes, denominadas, respetivamente, por taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população.
No início de 2000, a população era metade da que existia no início de 1970. Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56, determine a taxa de mortalidade, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
O número inicial de aves (ano 1970, logo \(t = 0\)) é:
No início de 2000, passaram 30 anos (\(t = 30\)). A população reduziu-se a metade, logo \(P(30) = \frac{5,2 \times 10^7}{2}\):
Dividindo ambos os membros por \(5,2 \times 10^7\):
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando o valor numérico:
Na figura seguinte está parte da representação gráfica da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = \log_3 x\).
Na figura está também representado um triângulo \([PQR]\).
Os pontos \(P\) e \(Q\) pertencem ao gráfico de \(f\) e as suas abcissas são \(a\) e \(9a\), respetivamente (\(a\) designa um número real positivo).
O ponto \(R\) pertence ao eixo \(Oy\) e tem ordenada igual à de \(Q\).
Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo \([PQR]\)?
Tomemos como base do triângulo o segmento \([RQ]\), que é horizontal, pois \(R\) está no eixo das ordenadas com a mesma altura que \(Q\). O comprimento desta base é a abcissa de \(Q\):
A altura do triângulo em relação a esta base é a diferença entre as ordenadas de \(Q\) e \(P\):
Aplicando a regra da diferença de logaritmos:
A área do triângulo é:
Indique o valor de \(p\) para o qual se verifica a igualdade \(\log_p 16 = 4\).
Usando a definição de logaritmo (\(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\)), e sabendo que a base \(p\) deve ser estritamente positiva e diferente de 1:
Como \(16 = 2^4\), conclui-se que:
Sabe-se que \(\log_2 a = \frac{1}{5}\). Qual é o valor de \(\log_2\left(\frac{a^5}{8}\right)\)?
Aplicando as propriedades do logaritmo (quociente e potência):
Para um certo valor de \(a\) e para um certo valor de \(b\), o gráfico da função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = a + be^x\), está parcialmente representado na figura ao lado.
Tal como a figura sugere,
- a reta de equação \(y = -1\) é assintota do gráfico de \(f\);
- o gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada 1.
Quais são os valores de \(a\) e de \(b\)?
Quando \(x \to -\infty\), a função exponencial \(e^x \to 0\). Deste modo, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = a + b(0) = a\). Sabendo que existe a assíntota horizontal \(y = -1\), concluímos que \(a = -1\).
Sabemos também que a interseção com o eixo \(Oy\) é no ponto \((0, 1)\), logo \(f(0) = 1\).
Seja \(g\) uma função de domínio \(A\), definida por \(g(x) = \ln(1 - x^2)\). Qual dos seguintes poderá ser o conjunto \(A\)?
A função logarítmica só está definida para argumentos estritamente positivos. Assim, o domínio é o conjunto de todos os reais tais que:
Resolvendo a inequação quadrática, obtemos os valores entre as raízes \(-1\) e \(1\):
Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por
(considere que \(t\) é medido em anos e que o instante \(t = 0\) corresponde ao início do ano 1864).
99.1. De acordo com este modelo, qual foi a população de Portugal Continental no final do ano de 2003? Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas.
99.2. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes?
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
O início de 1864 é \(t = 0\). O final de 2003 corresponde ao momento exato em que acaba 2003, o mesmo que o início de 2004. Assim: \(t = 2004 - 1864 = 140\) anos.
Igualamos a função a 3,7:
Sendo um valor negativo de \(t\), ocorreu no passado em relação a 1864. Subtraindo aproximadamente 26 ou 27 anos a 1864 (26,3 anos para trás calha no ano de 1837).
Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, \(A\) e \(B\), distanciadas de 10 metros, como se mostra na figura ao lado.
Considere a função \(h\) definida por
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Admita que \(h(x)\) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado a \(x\) metros à direita da parede A.
100.1. Determine a altura da parede \(A\). Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
100.2. Mostre, analiticamente, que \(h(5 - x) = h(5 + x)\). Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita.
A parede A corresponde ao momento em que \(x = 0\) (distância nula da parede A).
Avaliamos a expressão para \(5 - x\):
Agora avaliamos para \(5 + x\):
Ambas as expressões dão \(15 - 4\ln(-x^2 + 36)\), logo são iguais.
Num laboratório, foi colocado um purificador de ar.
Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois.
Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar.
Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em mg/l de ar, às \(t\) horas desse dia, pode ser dado por
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde? Apresente o resultado na unidade considerada, arredondado às décimas e sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
A uma hora e trinta minutos da tarde (13:30), passaram-se 13,5 horas desde as zero horas. Logo, \(t = 13,5\).
Substituímos \(t\) na expressão de \(P(t)\):
Calculando o valor numérico:
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais positivos. Qual das seguintes igualdades é equivalente a \(\ln a = -\ln b\)?
Pelas propriedades dos logaritmos, passamos os termos para o mesmo membro:
A soma de logaritmos com a mesma base corresponde ao logaritmo do produto:
Sabemos que o logaritmo é nulo apenas quando o seu argumento é 1 (isto é, \(e^0 = 1\)):
Considere as funções \(f\) e \(g\) de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x) = \frac{1}{3} + 2e^{1-x}\) e \(g(x) = 2\operatorname{sen} x - \cos x\).
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva a equação \(f(x) = g(\pi)\), apresentando a solução na forma \(\ln(ke)\), onde \(k\) representa um número real positivo.
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Começamos por calcular \(g(\pi)\):
A equação é, portanto, \(f(x) = 1\):
Isolando \(x\):
Pela propriedade do logaritmo do produto:
O nível de intensidade \(N\) de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade \(I\), medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes.
104.1. Verifique que \(N = 120 + 10\log_{10}(I)\).
104.2. Admita que o nível de ruído de um avião a jato, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis. Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado.
Aplicando as propriedades do logaritmo (do produto e da potência):
Se \(N = 140\), então:
Passando à forma exponencial:
Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos.
Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respetivamente, por
A variável \(t\) designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (\(t \in [0, 12]\)).
Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efetuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes.
105.1. Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas.
105.2. No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
Como o tempo \(t\) é em horas, 15 minutos corresponde a \(t = \frac{15}{60} = 0,25\) ou \(\frac{1}{4}\) horas.
Igualamos as funções: \(A(t) = C(t)\)
Como queremos instantes com \(t > 0\), rejeita-se \(2t^3 = 0 \Leftrightarrow t=0\). Fica então:
Dividindo ambos os lados por \(e^{-t}\):
A Sofia preparou um pudim, para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confecionado, a Sofia colocou o pudim a arrefecer, na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico, para ficar bem frio.
Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, \(t\) minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, por
Quanto tempo deverá o pudim estar no frigorífico, para que a sua temperatura fique igual a doze graus? Apresente o resultado em minutos e utilize métodos exclusivamente analíticos.
Como se pretende a temperatura no frigorífico (após os primeiros 60 minutos na bancada), utilizamos o segundo ramo da função: \(f(t) = 12\) para \(t \ge 60\).
Sabemos que \(\frac{1}{4} = 2^{-2}\). Igualando os expoentes da base 2:
No entanto, a pergunta quer saber quanto tempo deverá o pudim estar no frigorífico. O pudim entra no frigorífico no minuto 60. Assim, esteve lá durante \(100 - 60 = 40\) minutos.
Considere a equação \(3y = \log_2 x\) (com \(x > 0\)). Qual das seguintes condições é equivalente a esta equação?
Pela definição de logaritmo (\(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\)):
Aplicando as regras das potências, \(2^{3y} = (2^3)^y = 8^y\).
Um petroleiro que navegava no Oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar crude.
Admita que, às \(t\) horas do dia a seguir ao do acidente, a área, em \(\text{km}^2\), de crude espalhado pelo oceano é dada por
108.1. Verifique que, para qualquer valor de \(t\), \(\frac{A(t+1)}{A(t)}\) é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado às décimas) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.
108.2. Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a sete quilómetros da costa, determine a que horas, do dia seguinte ao do acidente, a mancha de crude atingirá a costa. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
Interpretação: Uma vez que \(\frac{A(t+1)}{A(t)} \approx 1,10\), significa que \(A(t+1) \approx A(t) + 0,10A(t)\). Ou seja, a área da mancha aumenta de forma exponencial a uma taxa de aproximadamente 10% por cada hora que passa.
Resolução 108.2Para a mancha atingir a costa (que está a 7 km do epicentro), o raio da mancha tem de ser 7 km. A área desse círculo será \(A = \pi \times 7^2 = 49\pi\).
Como cada hora tem 60 minutos: \(0,640 \times 60 \approx 38\).
Considere as funções de domínio \(\mathbb{R}\), \(f(x) = 2^x\) e \(g(x) = 3^x\). Qual é o conjunto solução da inequação \(f(x) > g(x)\)?
Queremos resolver \(2^x > 3^x\). Como \(3^x > 0\), dividimos ambos os membros por \(3^x\):
Sabemos que \(1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0\). Uma vez que a base \(\frac{2}{3}\) é menor que 1 (função exponencial estritamente decrescente), ao igualar os expoentes, o sentido da desigualdade inverte-se:
Considere que a altura \(A\) (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso \(p\) (em quilogramas) por
(\(\ln\) designa o logaritmo de base \(e\))
Recorrendo a métodos analíticos e usando a calculadora para fazer cálculos numéricos, resolva os dois itens seguintes.
110.1. O Ricardo tem 1,4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso? Apresente o resultado em quilogramas, arredondado às unidades.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
110.2. Verifique que, para qualquer valor de \(p\), a diferença \(A(2p) - A(p)\) é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.
Substituímos a altura por 1,4:
Qual das expressões seguintes é, para qualquer número real positivo \(a\), igual a \(e^{2 \ln a}\)? (onde \(\ln\) designa o logaritmo de base \(e\)).
Aplicando as propriedades dos logaritmos e a identidade fundamental \(e^{\ln x} = x\):
Alternativamente, pelas propriedades das potências:
A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra.
Admita que a pressão atmosférica \(P\) (medida em quilopascal) é dada, em função de \(h\) em quilómetros, por
112.1. A montanha mais alta de Portugal é o Pico, na ilha do Pico - Açores. A altitude do cume do Pico é 2350 metros. Qual é o valor da pressão atmosférica nesse local? Apresente o resultado em quilopascal, arredondado às unidades.
112.2. Determine \(x\) tal que, para qualquer \(h\), \(P(h + x) = \frac{1}{2}P(h)\). Apresente o resultado arredondado às décimas. Interprete o valor obtido, no contexto do problema.
A altitude de 2350 metros corresponde a \(h = 2,35\) quilómetros.
Substituímos na equação e resolvemos em ordem a \(x\):
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), definida por \(f(x) = \frac{e^x}{x-1}\).
Resolva a equação \(\ln[f(x)] = x\), recorrendo exclusivamente a processos analíticos.
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Sabemos que o argumento do logaritmo tem de ser estritamente positivo. Como \(e^x > 0\), então \(x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). Substituímos a função na equação:
Pela regra do quociente nos logaritmos:
Cancelando o \(x\) em ambos os membros:
Como \(x = 2 > 1\), a solução é válida.
Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = \log_8 x\).
\(P\) é um ponto do gráfico de \(f\) que tem ordenada \(\frac{1}{3}\).
Qual é a abcissa do ponto \(P\)?
A ordenada de \(P\) é dada por \(f(x) = \frac{1}{3}\). Resolvemos a equação:
Sabemos que o expoente \(\frac{1}{3}\) equivale à raiz cúbica:
Sejam \(a, b, c\) três números reais tais que \(\log_a b = c\). Qual é o valor de \(\log_a(ab)\)?
Aplicando as propriedades do logaritmo do produto:
Sabemos que \(\log_a a = 1\), e o enunciado indica que \(\log_a b = c\). Substituindo:
Considere uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^{x+a}\), onde \(a \in \mathbb{R}\). O gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada 2. Indique o valor de \(a\).
A interseção com o eixo \(Oy\) ocorre quando a abcissa é zero (\(x = 0\)). O enunciado diz-nos que a ordenada nesse ponto é 2, ou seja, \(f(0) = 2\).
Aplicando o logaritmo neperiano:
Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(g(x) = \log_2(2\sqrt[3]{x})\). Qual das expressões seguintes também pode definir a função \(g\)?
Usando a propriedade do logaritmo do produto:
Sabemos que \(\log_2(2) = 1\), e podemos passar o expoente \(1/3\) para fora do logaritmo:
Um para-quedista salta de um helicóptero. Ao fim de algum tempo, o para-quedas abre.
Admita que a distância (em metros) a que o para-quedista se encontra do solo, \(t\) segundos após a abertura do para-quedas, é dada por
Sabendo que, no momento em que o para-quedista salta do helicóptero, este se encontra a 1500 metros do solo, determine a distância percorrida em queda livre pelo para-quedista (desde que salta do helicóptero até ao momento da abertura do para-quedas).
O instante da abertura do para-quedas corresponde a \(t = 0\) na função \(d(t)\). Calculamos a sua altura nesse momento:
Como ele saltou a 1500 metros do solo e o para-quedas abriu a 865 metros do solo, a distância percorrida em queda livre foi:
A magnitude \(M\) de um sismo e a energia total \(E\) libertada por esse sismo estão relacionadas pela equação
(a energia \(E\) é medida em Joule).
119.1. Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 teve magnitude 8,6. Mostre que a energia total libertada nesse sismo foi aproximadamente \(4,2 \times 10^{17}\) Joule.
119.2. A ponte Vasco da Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja cinco vezes a do terramoto de Lisboa de 1755. Qual é a magnitude de um sismo com essa característica? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas.
Substituímos \(M = 8,6\):
Na forma exponencial:
A energia será 5 vezes superior: \(E = 5 \times (4,207 \times 10^{17}) \approx 2,1 \times 10^{18} \text{ J}\).
Aplicando o logaritmo de base 10 e as propriedades:
Seja \(f\) a função definida em \(\mathbb{R}^+\) por \(f(x) = \log_2(8x^2) - \log_2 x\).
120.1. Mostre que \(f(x) = 3 + \log_2 x\), para qualquer \(x \in \mathbb{R}^+\).
120.2. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de \(f\) com a reta de equação \(y = 8\).
Aplicando a regra da diferença de logaritmos e a propriedade do produto:
Como \(8 = 2^3\), então \(\log_2 8 = 3\), pelo que a função simplifica-se para:
Igualamos a função a 8, usando a expressão simplificada:
Passando à forma de potência:
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = \ln(3x)\).
(\(\ln\) designa logaritmo de base \(e\))
Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função \(f\)?
Avaliamos a função no ponto de abcissa \(x = e\):
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:
Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.
Considere a função \(f\), definida por
Admita que \(f(x)\) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado \(x\) metros à direita do primeiro poste.
Determine a diferença de altura dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
A altura do 1.º poste obtém-se para \(x = 0\):
A altura do 2.º poste obtém-se para \(x = 30\):
Calculando os valores numéricos de ambas as alturas:
A diferença de altura entre os postes é \(f(30) - f(0)\):
A atividade \(R\), de qualquer substância radioativa, é dada, numa certa unidade de medida, pela expressão
em que \(A\) e \(B\) são constantes reais positivas e \(t\) é o tempo, em horas, com \(t \ge 0\).
123.1. Mostre que o tempo necessário para que a atividade \(R\) passe do seu valor inicial para metade é \(\frac{\ln 2}{B}\).
123.2. Sabendo que o valor inicial da atividade de uma certa substância radioativa é 28 unidades e que \(R(1) = 26\), determine os valores de \(A\) e de \(B\) para essa substância.
O valor inicial da atividade é \(R(0) = A \times e^0 = A\). Metade deste valor é \(\frac{A}{2}\).
Igualamos a função a \(\frac{A}{2}\):
Aplicando o logaritmo natural:
Sendo a atividade inicial igual a 28, logo \(A = 28\). A função passa a ser \(R(t) = 28e^{-Bt}\).
Substituindo a condição \(R(1) = 26\):
Passando aos logaritmos: