Exercícios de Exame - Propriedades e Operações com Conjuntos | 12.º ano

1

Exame 2026, Época especial — item 7.(AE2018)

Seja \(E\), conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset E\) e \(B\subset E\)).

Sabe-se que:

\(P(B)=0,7\);
\(P(\overline A\cup\overline B)-P(A\cup\overline B)=0,1\).

Determine o valor de \(P(A\cap B)\).

Apresente o resultado na forma de dízima.

Pelas leis de De Morgan, \(\overline A\cup\overline B=\overline{A\cap B}\) e \(A\cup\overline B=\overline{\overline A\cap B}\). Assim:

P(\overline A\cup\overline B)=1-P(A\cap B)

P(A\cup\overline B)=1-P(\overline A\cap B)=1-\big[P(B)-P(A\cap B)\big]=0,3+P(A\cap B)

Substituindo na condição dada:

\big[1-P(A\cap B)\big]-\big[0,3+P(A\cap B)\big]=0,1 \Leftrightarrow 0,7-2P(A\cap B)=0,1 \Leftrightarrow P(A\cap B)=0,3

Resposta: \(0,3\).

2

Exame 2026, 2.ª Fase — item 3.(AE2018)

Seja \(E\), conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset E\) e \(B\subset E\)), tais que \(P(\overline A\cap\overline B)=0,4\).

Qual é o valor de \(P(A\cup B)\)?

(A) \(0,4\)

(B) \(0,6\)

(C) \(0,8\)

(D) \(1\)

Por uma lei de De Morgan, \(\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}\).

P(A\cup B)=1-P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-0,4=0,6

Resposta: (B).

3

Exame 2025, Época especial

Numa assembleia de alunos de uma escola secundária estão presentes alunos de vários anos de escolaridade. Dos alunos presentes, 25 são do 12.º ano e, destes, 10 frequentam a disciplina de Matemática A.

Seleciona-se, ao acaso, um aluno presente na assembleia. Sabe-se que a probabilidade de esse aluno não ser do 12.º ano ou não frequentar Matemática A é \(\frac{9}{11}\).

Determine o número de alunos presentes na assembleia.

Se \(D\) for o acontecimento “ser do 12.º ano” e \(A\) o acontecimento “frequentar Matemática A”, então

P(\overline D\cup\overline A)=\frac{9}{11} \;\Longleftrightarrow\; P(D\cap A)=\frac{2}{11}.

Se \(n\) for o número de alunos presentes, há 10 alunos em \(D\cap A\).

\frac{10}{n}=\frac{2}{11}\;\Longleftrightarrow\;n=55

Resposta: 55 alunos.

4

Exame 2025, 2.ª Fase

Seja \(E\) um espaço amostral finito e sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos.

Sabe-se que \(P(A\cap\overline B)=0,5\) e \(P(\overline A\cap\overline B)=0,3\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(0,2\)

(B) \(0,3\)

(C) \(0,7\)

(D) \(0,8\)

O acontecimento \(\overline B\) divide-se em \((A\cap\overline B)\cup(\overline A\cap\overline B)\).

P(B)=1-P(\overline B)=1-(0,5+0,3)=0,2.

Resposta: (A) \(0,2\).

5

Exame 2023, Época especial

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos de uma experiência aleatória.

Sabe-se que \(P(A\cup B)=0,8\) e \(P(A\cap\overline B)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(0,2\)

(B) \(0,3\)

(C) \(0,5\)

(D) \(0,6\)

Como \(P(A\cap\overline B)=P(A)-P(A\cap B)=0,5\), a fórmula da união dá:

0,8=P(B)+P(A)-P(A\cap B)=P(B)+0,5.

Resposta: (B) \(0,3\).

6

Exame 2022, 1.ª Fase

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(\overline B)=0,6\), \(P(A\cup B)=0,6\) e \(A\cap B=\varnothing\).

Qual é o valor de \(P(\overline A)\)?

(A) \(0,2\)

(B) \(0,4\)

(C) \(0,6\)

(D) \(0,8\)

Temos \(P(B)=1-0,6=0,4\). Como \(A\) e \(B\) são incompatíveis, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

0,6=P(A)+0,4\;\Longleftrightarrow\;P(A)=0,2

Resposta: (D) \(P(\overline A)=0,8\).

7

Exame 2019, Época especial (adaptado)

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos equiprováveis e independentes.

Sabe-se que \(P(\overline{A\cap B})=\frac{8}{9}\). Qual é o valor de \(P(A)\)?

(A) \(\frac{1}{4}\)

(B) \(\frac{3}{4}\)

(C) \(\frac{1}{3}\)

(D) \(\frac{2}{3}\)

Como \(A\) e \(B\) são independentes e \(P(A)=P(B)\),

1-P(A)^2=\frac{8}{9} \;\Longleftrightarrow\; P(A)^2=\frac{1}{9}.

Resposta: (C) \(P(A)=\frac{1}{3}\).

8

Exame 2018, Época especial

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes e equiprováveis. Sabe-se que \(P(A\cup B)=0,64\).

Qual é o valor de \(P(A)\)?

(A) \(0,42\)

(B) \(0,40\)

(C) \(0,38\)

(D) \(0,36\)

Se \(p=P(A)=P(B)\), então \(P(A\cap B)=p^2\).

0,64=2p-p^2 \;\Longleftrightarrow\; p^2-2p+0,64=0.

As soluções são \(1,6\) e \(0,4\); só \(0,4\) pode ser uma probabilidade.

Resposta: (B) \(0,40\).

9

Exame 2015, 1.ª Fase (adaptado)

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(A)=0,4\), \(P(\overline B)=0,7\) e \(P(A\cup B)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(\overline{A\cap B})\)?

(A) \(0,6\)

(B) \(0,7\)

(C) \(0,8\)

(D) \(0,9\)

De \(P(\overline B)=0,7\) vem \(P(B)=0,3\).

P(A\cap B)=0,4+0,3-0,5=0,2.

Resposta: (C) \(P(\overline{A\cap B})=0,8\).

10

Exame 2014, 2.ª Fase

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes. Sabe-se que \(P(A)=0,4\) e \(P(\overline A\cap\overline B)=0,48\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(0,08\)

(B) \(0,12\)

(C) \(0,2\)

(D) \(0,6\)

Os complementares de acontecimentos independentes também são independentes. Como \(P(\overline A)=0,6\),

0,6\,P(\overline B)=0,48\;\Longleftrightarrow\;P(\overline B)=0,8

Resposta: (C) \(P(B)=0,2\).

11

Exame 2013, Época especial (adaptado)

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos incompatíveis. Sabe-se que \(P(A)=0,3\) e \(P(\overline A\cap B)=0,55\).

Qual é o valor de \(P(\overline{A\cup B})\)?

(A) \(0,85\)

(B) \(0,25\)

(C) \(0,15\)

(D) \(0\)

Como \(A\cap B=\varnothing\), tem-se \(P(\overline A\cap B)=P(B)=0,55\).

P(A\cup B)=0,3+0,55=0,85.

Resposta: (C) \(1-0,85=0,15\).

12

Teste Intermédio 12.º ano · 28.02.2013

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(A)=0,3\), \(P(\overline B)=0,6\) e \(P(\overline A\cap\overline B)=0,4\).

Averigue se os acontecimentos \(A\) e \(B\) são independentes.

Temos \(P(B)=0,4\), \(P(A\cup B)=1-0,4=0,6\) e

\(P(A\cap B)=0,3+0,4-0,6=0,1\).

Mas \(P(A)P(B)=0,3\times0,4=0,12\neq0,1\).

Os acontecimentos não são independentes.

13

Teste Intermédio 12.º ano · 29.11.2013

Num referencial o.n. \(Oxyz\) está representado um octaedro regular \([ABCDEF]\), cujos vértices pertencem aos eixos coordenados.

Escolhe-se, ao acaso, um dos vértices do octaedro. Considere os acontecimentos:

\(X\): “o vértice escolhido pertence ao plano definido por \(y=0\)”;
\(Y\): “a soma das coordenadas do vértice escolhido é positiva”.

Averigue se \(X\) e \(Y\) são independentes e indique os vértices de \(X\), \(Y\) e \(X\cap Y\).

Da figura, \(X=\{A,B,D,E\}\), \(Y=\{A,B,C\}\) e \(X\cap Y=\{A,B\}\).

P(X)=\frac{4}{6},\qquad P(Y)=\frac{3}{6},\qquad P(X\cap Y)=\frac{2}{6}.

Como \(\frac{4}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{2}{6}\), verifica-se \(P(X)P(Y)=P(X\cap Y)\).

Os acontecimentos \(X\) e \(Y\) são independentes.

14

Exame 2012, 1.ª Fase

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes. Sabe-se que \(P(\overline A)=\frac{7}{10}\) e \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(\frac{5}{14}\)

(B) \(\frac{9}{14}\)

(C) \(\frac{9}{20}\)

(D) \(\frac{11}{20}\)

Temos \(P(A)=\frac{3}{10}\) e \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

\frac{3}{4}=\frac{3}{10}+P(B)-\frac{3}{10}P(B) \;\Longleftrightarrow\; P(B)=\frac{9}{14}.

Resposta: (B) \(\frac{9}{14}\).

15

Teste Intermédio 12.º ano · 13.03.2012

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos incompatíveis.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) \(P(A\cup B)=P(A\cap B)\)

(B) \(P(A)+P(B)=1\)

(C) \(P(A\cap B)=0\)

(D) \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)

Acontecimentos incompatíveis não ocorrem simultaneamente: \(A\cap B=\varnothing\).

Resposta: (C).

16

Exame 2011, Prova especial

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes. Sabe-se que \(P(\overline A)=0,9\) e \(P(A\cup B)=0,73\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(0,63\)

(B) \(0,657\)

(C) \(0,073\)

(D) \(0,7\)

Como \(P(A)=0,1\),

P(B)=\frac{P(A\cup B)-P(A)}{P(\overline A)} =\frac{0,73-0,1}{0,9}=0,7.

Resposta: (D) \(0,7\).

17

Exame 2011, Época especial (adaptado)

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos incompatíveis. Sabe-se que \(P(\overline{A\cup B})=0,3\) e \(P(A)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(0,2\)

(B) \(0\)

(C) \(0,5\)

(D) \(0,4\)

Temos \(P(A\cup B)=0,7\) e \(P(A\cap B)=0\).

\(P(B)=0,7-0,5=0,2\)

Resposta: (A).

18

Teste Intermédio 12.º ano · 19.01.2011

A Ana tem sete cartas diferentes: o ás, o rei, a dama e o valete de espadas, e o rei, a dama e o valete de copas. Retira uma carta ao acaso.

Considere \(A\): “a carta retirada é de espadas” e \(B\): “a carta retirada é um rei”. Averigue se \(A\) e \(B\) são independentes.

P(A)=\frac{4}{7},\quad P(B)=\frac{2}{7},\quad P(A\cap B)=\frac{1}{7}.

Como \(\frac{4}{7}\times\frac{2}{7}=\frac{8}{49}\neq\frac{1}{7}\),

os acontecimentos não são independentes.

19

Exame 2010, Época especial

Sabe-se que \(P(A)=0,4\), \(P(\overline B)=0,3\) e \(P(A\cap B)=0,3\).

Qual é o valor de \(P(A\cup B)\)?

(A) \(0,4\)

(B) \(0,6\)

(C) \(0,7\)

(D) \(0,8\)

\(P(B)=0,7\), logo

P(A\cup B)=0,4+0,7-0,3=0,8

Resposta: (D).

20

Exame 2010, Época especial

A Ana e a Joana vão acampar. Admita que o facto de uma telefonar à mãe é independente de a outra também o fazer.

Considere \(A\): “a Ana telefona à mãe” e \(B\): “a Joana telefona à mãe”. Sabendo que \(P(A)=70\%\) e \(P(B)=80\%\), determine a probabilidade de, pelo menos, uma telefonar. Apresente o resultado em percentagem.

P(A\cup B)=0,7+0,8-0,7\times0,8=0,94.

Resposta: 94%.

21

Exame 2010, 1.ª Fase

Sabe-se que \(P(A)=30\%\), \(P(A\cup B)=70\%\) e que \(A\) e \(B\) são incompatíveis.

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(21\%\)

(B) \(40\%\)

(C) \(60\%\)

(D) \(61\%\)

Como \(P(A\cap B)=0\),

P(B)=70\%-30\%=40\%

Resposta: (B).

22

Teste Intermédio 12.º ano · 15.03.2010

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes com \(P(A)=0,4\) e \(P(B)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(A\cup B)\)?

(A) \(0,6\)

(B) \(0,7\)

(C) \(0,8\)

(D) \(0,9\)

\(P(A\cap B)=0,4\times0,5=0,2\).

P(A\cup B)=0,4+0,5-0,2=0,7

Resposta: (B).

23

Teste Intermédio 12.º ano · 10.12.2008

Sabe-se que \(P(A)=0,5\) e \(P(B)=0,7\).

O que podemos garantir sobre \(A\) e \(B\)?

(A) \(A\) e \(B\) são contrários.

(B) \(A\) e \(B\) são compatíveis.

(C) \(A\) está contido em \(B\).

(D) \(A\cup B\) é certo.

Se \(P(A\cap B)=0\), então \(P(A\cup B)=1,2\), o que é impossível. Logo \(P(A\cap B)>0\).

Resposta: (B) são compatíveis.

24

Teste Intermédio 12.º ano · 10.12.2008

Na figura está representado um dado equilibrado e a respetiva planificação. Existem três números em cada face. Lança-se o dado uma só vez e observam-se os três números da face voltada para cima.

Dado e planificação com três números em cada face

Considere \(R\): “os números saídos são todos iguais” e \(S\): “a soma dos números saídos é igual a 3”.

Os acontecimentos \(R\) e \(S\) são independentes? Justifique.

Há duas faces com os três números iguais e duas faces com soma 3.

P(R)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad P(S)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Só a face \(1,1,1\) pertence a \(R\cap S\), pelo que \(P(R\cap S)=\frac{1}{6}\).

Como \(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\neq\frac{1}{6}\), \(R\) e \(S\) não são independentes.

25

Exame 2008, 2.ª Fase

Numa cidade, 160 raparigas e 120 rapazes fizeram o exame nacional de Matemática. Das raparigas, 65% tiveram classificação positiva; dos rapazes, 60% tiveram classificação positiva.

Escolhendo ao acaso um estudante que realizou o exame, qual é a probabilidade de o estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva?

Apresente o resultado em dízima, com aproximação às centésimas.

Defina \(A\): “o estudante é rapaz” e \(B\): “o estudante teve classificação positiva”. O total é \(280\).

P(\overline A)=\frac{160}{280},\quad P(B)=\frac{160\times0,65+120\times0,6}{280}=\frac{176}{280}, \quad P(A\cup B)=\frac{224}{280}.

P(\overline A\cup\overline B) =\frac{160}{280}-\frac{176}{280}+\frac{224}{280} =\frac{208}{280}\approx0,74.

Resposta: \(0,74\).

26

Exame 2008, 1.ª Fase

Sabe-se que \(P(A\cup B)=80\%\), \(P(B)=60\%\) e \(P(A\cap B)=10\%\).

Qual é o valor de \(P(A)\)?

(A) \(10\%\)

(B) \(20\%\)

(C) \(30\%\)

(D) \(40\%\)

P(A)=80\%-60\%+10\%=30\%

Resposta: (C).

27

Exame 2007, 2.ª Fase

Para dois acontecimentos independentes \(X\) e \(Y\), com \(P(X)=a\) e \(P(Y)=b\), a probabilidade de não ocorrer \(X\) nem \(Y\) é \(1-a-b+a\times b\).

Num frigorífico tira-se, ao acaso, um iogurte e um sumo. A probabilidade de o iogurte ser de pêssego é \(\frac{1}{5}\) e a probabilidade de o sumo ser de laranja é \(\frac{1}{3}\). Admita independência.

Usando a expressão dada, determine a probabilidade de o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

1-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\times\frac{1}{3} =\frac{8}{15}.

Resposta: \(\frac{8}{15}\).

28

Exame 2007, 1.ª Fase

Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. Escolhe-se um deles ao acaso.

Considere \(A\): “o número escolhido é múltiplo de 5” e \(B\): “o número escolhido tem os algarismos todos diferentes”.

Averigue se \(A\) e \(B\) são acontecimentos independentes.

Há \(9^3\) números possíveis. Os múltiplos de 5 têm unidade 5.

P(A)=\frac{9^2}{9^3}=\frac{1}{9},\quad P(B)=\frac{9\times8\times7}{9^3}=\frac{56}{9^2},\quad P(A\cap B)=\frac{8\times7}{9^3}.

Como \(P(A)P(B)=\frac{56}{9^3}=P(A\cap B)\),

os acontecimentos são independentes.

29

Exame 2007, 1.ª Fase

Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) acontecimentos tais que \((A\cup B)\cap C=\varnothing\). Sabe-se que \(P(A)=0,21\) e \(P(C)=0,47\).

Calcule \(P(A\cup C)\), usando propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.

Da condição dada resulta \(A\cap C=\varnothing\).

P(A\cup C)=0,21+0,47=0,68

Resposta: \(0,68\).

30

Teste Intermédio 12.º ano · 07.12.2006

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos tais que \(0<P(A)<1\), \(0<P(B)<1\) e \(A\subset B\).

Qual é o valor de \(P[(A\cup B)\cap\overline B]\)?

(A) \(0\)

(B) \(P(A)\)

(C) \(P(B)\)

(D) \(1\)

Como \(A\subset B\), \(A\cup B=B\).

(A\cup B)\cap\overline B=B\cap\overline B=\varnothing

Resposta: (A).

31

Teste Intermédio 12.º ano · 07.12.2006

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes, com \(P(B)=\frac{2}{3}\) e \(P(A\cap B)=\frac{1}{2}\).

Determine \(P(A\cup B)\) na forma de fração irredutível.

\frac{1}{2}=P(A)\times\frac{2}{3} \;\Longleftrightarrow\; P(A)=\frac{3}{4}.

P(A\cup B)=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{11}{12}.

Resposta: \(\frac{11}{12}\).

32

Exame 2006, Época especial

A Sofia lança dois dados equilibrados: um cubo com faces numeradas de 1 a 6 e um octaedro com faces numeradas de 1 a 8.

No âmbito desta experiência, dê um exemplo de dois acontecimentos \(A\) e \(B\), nem impossíveis nem certos, tais que \(A\neq B\) e \(P(A\cap B)=P(A)\).

A igualdade pede \(A\cap B=A\), isto é, \(A\subset B\).

Um exemplo é \(A\): “o produto dos números saídos é 48” e \(B\): “o produto dos números saídos é par”.

Neste exemplo, todo o resultado de \(A\) pertence a \(B\), mas \(A\neq B\).

33

Exame 2006, 2.ª Fase

Numa turma de 12.º ano há raparigas de 16 ou 17 anos e rapazes de 17 ou 18 anos. Escolhe-se um aluno e regista-se o número, a idade e o sexo.

Em apenas uma opção os acontecimentos \(X\) e \(Y\) verificam simultaneamente \(P(X\cup Y)>P(X)\), \(P(X\cup Y)<1\) e \(P(X\cap Y)>0\).

Opção 1 \(X\): idade \(\geq17\); \(Y\): idade 16 ou 17.

Opção 2 \(X\): número do aluno par; \(Y\): número do aluno múltiplo de 4.

Opção 3 \(X\): aluno com 18 anos; \(Y\): aluna rapariga.

Opção 4 \(X\): aluno rapaz; \(Y\): aluno com 17 anos.

Qual é essa opção? Explique por que rejeita as outras três.

Na opção 1, \(X\cup Y\) é o acontecimento certo, logo \(P(X\cup Y)<1\) falha.
Na opção 2, \(Y\subset X\), logo \(X\cup Y=X\) e \(P(X\cup Y)>P(X)\) falha.
Na opção 3, não há raparigas de 18 anos, logo \(X\cap Y=\varnothing\).

A opção correta é a Opção 4.

34

Exame 2006, 1.ª Fase

Sabe-se que \(P(A)=0,3\). Qual dos acontecimentos seguintes é o único que pode ter probabilidade inferior a \(0,3\)?

(A) \(A\cup B\)

(B) \(\overline A\cup B\)

(C) \(A\cap B\)

(D) \(\overline{A\cap B}\)

A união que contém \(A\) tem probabilidade pelo menos \(0,3\). Já \(A\cap B\subset A\), pelo que a sua probabilidade pode ser menor do que \(P(A)\).

Resposta: (C) \(A\cap B\).

35

Exame 2005, Época especial

Escolhe-se, ao acaso, um aluno. Considere \(A\): “o aluno é uma rapariga” e \(B\): “o aluno não usa óculos”.

Qual é o acontecimento contrário de \(A\cup B\)?

(A) O aluno é um rapaz e usa óculos.

(B) O aluno é um rapaz e não usa óculos.

(C) O aluno é um rapaz ou usa óculos.

(D) O aluno é um rapaz ou não usa óculos.

Pela lei de De Morgan, \(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\).

Resposta: (A).

36

Exame 2005, 1.ª Fase

Sejam \(X\) e \(Y\) dois acontecimentos. Qual das afirmações seguintes é a única que não é equivalente a \(P(X\cap Y)=0\)?

(A) \(X\) e \(Y\) são incompatíveis.

(B) \(X\) e \(Y\) não podem ocorrer simultaneamente.

(C) Se \(X\) ocorreu, \(Y\) não pode ocorrer.

(D) \(X\) e \(Y\) são ambos impossíveis.

Duas faces de uma moeda, “cara” e “coroa”, são incompatíveis sem serem acontecimentos impossíveis.

Resposta: (D).

37

Exame 2004, 2.ª Fase

Sabe-se que \(P(A)=0,3\), \(P(A\cap B)=0,1\) e \(P(A\cup B)=0,8\).

Qual é o valor de \(P(\overline B)\)?

(A) \(0,1\)

(B) \(0,2\)

(C) \(0,3\)

(D) \(0,4\)

\(P(B)=0,8+0,1-0,3=0,6\).

Resposta: (D) \(P(\overline B)=0,4\).

38

Exame 2004, 1.ª Fase

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1.

(B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1.

(C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1.

(D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1.

Para qualquer acontecimento \(A\), \(P(A)+P(\overline A)=1\).

Resposta: (C).

39

Exame 2003, 1.ª Fase - 2.ª chamada

Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas. Retira-se uma bola ao acaso.

Considere \(A\): “a bola retirada é azul” e \(B\): “a bola retirada é branca”. Qual afirmação é verdadeira?

(A) \(A\) e \(B\) são contrários.

(B) \(A\) e \(\overline B\) são contrários.

(C) \(A\) e \(B\) são incompatíveis.

(D) \(A\) e \(\overline B\) são incompatíveis.

Uma bola não pode ser simultaneamente azul e branca. Contudo, “não branca” inclui bolas azuis e pretas.

Resposta: (C).

40

Exame 2003, 1.ª Fase - 1.ª chamada

Sabe-se que \(P(A)=0,3\) e \(P(B)=0,5\). Qual dos números seguintes pode ser o valor de \(P(A\cup B)\)?

(A) \(0,1\)

(B) \(0,4\)

(C) \(0,6\)

(D) \(0,9\)

Como \(P(A\cap B)\) fica entre 0 e \(0,3\), \(P(A\cup B)=0,8-P(A\cap B)\) fica entre \(0,5\) e \(0,8\).

Resposta: (C) \(0,6\).

41

Exame 2002, Prova para militares

Numa turma de vinte e cinco jovens, as idades e os sexos distribuem-se como indica a tabela.

Idade	Rapazes	Raparigas
15	4	2
16	5	4
17	6	4

Escolhe-se um jovem ao acaso. Qual é a probabilidade de ter dezasseis anos ou ser uma rapariga? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

São favoráveis os 9 alunos de 16 anos e as 6 raparigas que não têm 16 anos: \(9+2+4=15\).

\frac{15}{25}=\frac{3}{5}

Resposta: \(\frac{3}{5}\).

42

Exame 2001, Época especial

Dois atiradores, António e Belmiro, disparam simultaneamente sobre um alvo. A probabilidade de António acertar é \(0,7\) e a de Belmiro acertar é \(0,6\). Admita independência.

Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido?

(A) \(0,86\)

(B) \(0,88\)

(C) \(0,90\)

(D) \(0,92\)

0,7+0,6-0,7\times0,6=0,88.

Resposta: (B).

43

Exame 2001, 1.ª Fase - 1.ª chamada

Num saco existem apenas algumas de quinze bolas possíveis: cinco amarelas, cinco verdes e cinco brancas, numeradas de 1 a 5 em cada cor.

Ao retirar uma bola ao acaso, sabe-se que a probabilidade de ser amarela é 50%, a probabilidade de ter número 1 é 25% e a probabilidade de ser amarela ou ter número 1 é 62,5%.

Prove que a bola amarela número 1 está no saco.

Defina \(A\): “a bola é amarela” e \(N\): “a bola tem número 1”.

P(A\cap N)=0,5+0,25-0,625=0,125.

Como \(P(A\cap N)>0\), a bola amarela número 1 está no saco.

44

Prova Modelo 2001

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos, nenhum impossível nem certo, tais que \(A\subset B\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) \(P(A)>P(B)\)

(B) \(P(A\cap B)=0\)

(C) \(P(A\cup B)=1\)

(D) \(P(\overline A)\geq P(\overline B)\)

De \(A\subset B\) vem \(P(A)\leq P(B)\). Ao passar aos complementares, a desigualdade inverte-se.

Resposta: (D).

45

Exame 2000, 1.ª Fase - 1.ª chamada

Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Considere \(A\): “sair face ímpar” e \(B\): “sair face de número maior ou igual a 4”.

Qual é o acontecimento contrário de \(A\cup B\)?

(A) Sair a face 1 ou a face 5.

(B) Sair a face 4 ou a face 6.

(C) Sair a face 2.

(D) Sair a face 5.

\(A\cup B=\{1,3,4,5,6\}\). A única face que fica fora da união é a face 2.

Resposta: (C).

Probabilidades - Propriedades e operações com conjuntos