Propriedades e Operações com Conjuntos

Numa assembleia de alunos de uma escola secundária estão presentes alunos de vários anos de escolaridade. Dos alunos presentes, 25 são do 12.º ano e, destes, 10 frequentam a disciplina de Matemática A.

Seleciona-se, ao acaso, um aluno presente na assembleia. Sabe-se que a probabilidade de esse aluno não ser do 12.º ano ou não frequentar Matemática A é \(\frac{9}{11}\).

Determine o número de alunos presentes na assembleia.

Seja \(E\) um espaço amostral finito e sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos.

Sabe-se que \(P(A\cap\overline B)=0,5\) e \(P(\overline A\cap\overline B)=0,3\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos de uma experiência aleatória.

Sabe-se que \(P(A\cup B)=0,8\) e \(P(A\cap\overline B)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(\overline B)=0,6\), \(P(A\cup B)=0,6\) e \(A\cap B=\varnothing\).

Qual é o valor de \(P(\overline A)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos equiprováveis e independentes.

Sabe-se que \(P(\overline{A\cap B})=\frac{8}{9}\). Qual é o valor de \(P(A)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes e equiprováveis. Sabe-se que \(P(A\cup B)=0,64\).

Qual é o valor de \(P(A)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(A)=0,4\), \(P(\overline B)=0,7\) e \(P(A\cup B)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(\overline{A\cap B})\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes. Sabe-se que \(P(A)=0,4\) e \(P(\overline A\cap\overline B)=0,48\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos incompatíveis. Sabe-se que \(P(A)=0,3\) e \(P(\overline A\cap B)=0,55\).

Qual é o valor de \(P(\overline{A\cup B})\)?

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(A)=0,3\), \(P(\overline B)=0,6\) e \(P(\overline A\cap\overline B)=0,4\).

Averigue se os acontecimentos \(A\) e \(B\) são independentes.

Num referencial o.n. \(Oxyz\) está representado um octaedro regular \([ABCDEF]\), cujos vértices pertencem aos eixos coordenados.

Escolhe-se, ao acaso, um dos vértices do octaedro. Considere os acontecimentos:

• \(X\): “o vértice escolhido pertence ao plano definido por \(y=0\)”;
• \(Y\): “a soma das coordenadas do vértice escolhido é positiva”.

Averigue se \(X\) e \(Y\) são independentes e indique os vértices de \(X\), \(Y\) e \(X\cap Y\).

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes. Sabe-se que \(P(\overline A)=\frac{7}{10}\) e \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos incompatíveis.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes. Sabe-se que \(P(\overline A)=0,9\) e \(P(A\cup B)=0,73\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos incompatíveis. Sabe-se que \(P(\overline{A\cup B})=0,3\) e \(P(A)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

A Ana tem sete cartas diferentes: o ás, o rei, a dama e o valete de espadas, e o rei, a dama e o valete de copas. Retira uma carta ao acaso.

Considere \(A\): “a carta retirada é de espadas” e \(B\): “a carta retirada é um rei”. Averigue se \(A\) e \(B\) são independentes.

Sabe-se que \(P(A)=0,4\), \(P(\overline B)=0,3\) e \(P(A\cap B)=0,3\).

Qual é o valor de \(P(A\cup B)\)?

A Ana e a Joana vão acampar. Admita que o facto de uma telefonar à mãe é independente de a outra também o fazer.

Considere \(A\): “a Ana telefona à mãe” e \(B\): “a Joana telefona à mãe”. Sabendo que \(P(A)=70\%\) e \(P(B)=80\%\), determine a probabilidade de, pelo menos, uma telefonar. Apresente o resultado em percentagem.

Sabe-se que \(P(A)=30\%\), \(P(A\cup B)=70\%\) e que \(A\) e \(B\) são incompatíveis.

Qual é o valor de \(P(B)\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes com \(P(A)=0,4\) e \(P(B)=0,5\).

Qual é o valor de \(P(A\cup B)\)?

Sabe-se que \(P(A)=0,5\) e \(P(B)=0,7\).

O que podemos garantir sobre \(A\) e \(B\)?

Na figura está representado um dado equilibrado e a respetiva planificação. Existem três números em cada face. Lança-se o dado uma só vez e observam-se os três números da face voltada para cima.

Considere \(R\): “os números saídos são todos iguais” e \(S\): “a soma dos números saídos é igual a 3”.

Os acontecimentos \(R\) e \(S\) são independentes? Justifique.

Numa cidade, 160 raparigas e 120 rapazes fizeram o exame nacional de Matemática. Das raparigas, 65% tiveram classificação positiva; dos rapazes, 60% tiveram classificação positiva.

Escolhendo ao acaso um estudante que realizou o exame, qual é a probabilidade de o estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva?

Apresente o resultado em dízima, com aproximação às centésimas.

Sabe-se que \(P(A\cup B)=80\%\), \(P(B)=60\%\) e \(P(A\cap B)=10\%\).

Qual é o valor de \(P(A)\)?

Para dois acontecimentos independentes \(X\) e \(Y\), com \(P(X)=a\) e \(P(Y)=b\), a probabilidade de não ocorrer \(X\) nem \(Y\) é \(1-a-b+a\times b\).

Num frigorífico tira-se, ao acaso, um iogurte e um sumo. A probabilidade de o iogurte ser de pêssego é \(\frac{1}{5}\) e a probabilidade de o sumo ser de laranja é \(\frac{1}{3}\). Admita independência.

Usando a expressão dada, determine a probabilidade de o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. Escolhe-se um deles ao acaso.

Considere \(A\): “o número escolhido é múltiplo de 5” e \(B\): “o número escolhido tem os algarismos todos diferentes”.

Averigue se \(A\) e \(B\) são acontecimentos independentes.

Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) acontecimentos tais que \((A\cup B)\cap C=\varnothing\). Sabe-se que \(P(A)=0,21\) e \(P(C)=0,47\).

Calcule \(P(A\cup C)\), usando propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos tais que \(0<P(A)<1\), \(0<P(B)<1\) e \(A\subset B\).

Qual é o valor de \(P[(A\cup B)\cap\overline B]\)?

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos independentes, com \(P(B)=\frac{2}{3}\) e \(P(A\cap B)=\frac{1}{2}\).

Determine \(P(A\cup B)\) na forma de fração irredutível.

A Sofia lança dois dados equilibrados: um cubo com faces numeradas de 1 a 6 e um octaedro com faces numeradas de 1 a 8.

No âmbito desta experiência, dê um exemplo de dois acontecimentos \(A\) e \(B\), nem impossíveis nem certos, tais que \(A\neq B\) e \(P(A\cap B)=P(A)\).

Numa turma de 12.º ano há raparigas de 16 ou 17 anos e rapazes de 17 ou 18 anos. Escolhe-se um aluno e regista-se o número, a idade e o sexo.

Em apenas uma opção os acontecimentos \(X\) e \(Y\) verificam simultaneamente \(P(X\cup Y)>P(X)\), \(P(X\cup Y)<1\) e \(P(X\cap Y)>0\).

Qual é essa opção? Explique por que rejeita as outras três.

Sabe-se que \(P(A)=0,3\). Qual dos acontecimentos seguintes é o único que pode ter probabilidade inferior a \(0,3\)?

Escolhe-se, ao acaso, um aluno. Considere \(A\): “o aluno é uma rapariga” e \(B\): “o aluno não usa óculos”.

Qual é o acontecimento contrário de \(A\cup B\)?

Sejam \(X\) e \(Y\) dois acontecimentos. Qual das afirmações seguintes é a única que não é equivalente a \(P(X\cap Y)=0\)?

Sabe-se que \(P(A)=0,3\), \(P(A\cap B)=0,1\) e \(P(A\cup B)=0,8\).

Qual é o valor de \(P(\overline B)\)?

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas. Retira-se uma bola ao acaso.

Considere \(A\): “a bola retirada é azul” e \(B\): “a bola retirada é branca”. Qual afirmação é verdadeira?

Sabe-se que \(P(A)=0,3\) e \(P(B)=0,5\). Qual dos números seguintes pode ser o valor de \(P(A\cup B)\)?

Numa turma de vinte e cinco jovens, as idades e os sexos distribuem-se como indica a tabela.

Escolhe-se um jovem ao acaso. Qual é a probabilidade de ter dezasseis anos ou ser uma rapariga? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Dois atiradores, António e Belmiro, disparam simultaneamente sobre um alvo. A probabilidade de António acertar é \(0,7\) e a de Belmiro acertar é \(0,6\). Admita independência.

Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido?

Num saco existem apenas algumas de quinze bolas possíveis: cinco amarelas, cinco verdes e cinco brancas, numeradas de 1 a 5 em cada cor.

Ao retirar uma bola ao acaso, sabe-se que a probabilidade de ser amarela é 50%, a probabilidade de ter número 1 é 25% e a probabilidade de ser amarela ou ter número 1 é 62,5%.

Prove que a bola amarela número 1 está no saco.

Sejam \(A\) e \(B\) acontecimentos, nenhum impossível nem certo, tais que \(A\subset B\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Considere \(A\): “sair face ímpar” e \(B\): “sair face de número maior ou igual a 4”.

Qual é o acontecimento contrário de \(A\cup B\)?