- Potências de \(i\): repetem-se de 4 em 4 — \(i^{0}=1,\ i^{1}=i,\ i^{2}=-1,\ i^{3}=-i\) (usar o resto da divisão do expoente por 4).
- Forma trigonométrica: \(z=\rho\,e^{i\theta}\), com \(\rho=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) e \(\tan\theta=\tfrac{b}{a}\) (quadrante pelos sinais de \(a,b\)).
- Fórmula de De Moivre: \(\left(\rho e^{i\theta}\right)^{n}=\rho^{n}e^{in\theta}\); no quociente dividem-se módulos e subtraem-se argumentos.
- Raízes de índice \(n\): \(\sqrt[n]{\rho}\;e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\), \(k=0,\dots,n-1\). Têm todas o mesmo módulo \(\sqrt[n]{\rho}\) e argumentos que diferem de \(\tfrac{2\pi}{n}\).
- Polígono regular: os \(n\) afixos das raízes são vértices de um polígono regular centrado em \(O\); o ângulo ao centro entre vértices consecutivos é \(\tfrac{2\pi}{n}\).
- Casos especiais: real \(\Leftrightarrow \arg z=k\pi\); imaginário puro \(\Leftrightarrow \arg z=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\); bissetriz dos ímpares \(\Leftrightarrow \arg z=\tfrac{\pi}{4}+k\pi\).
1. Afixo de z²
Considere \(z=e^{i\theta}\), com \(\theta\in\left]0,\tfrac{\pi}{6}\right[\). Na figura, no 1.º quadrante, está o ponto \(P\), afixo de \(z\), e outros quatro pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\). Qual desses pontos pode ser o afixo de \(z^{2}\)?
Procura-se o ponto à mesma distância da origem que \(P\), mas com o dobro do ângulo — é o ponto \(C\).
2. Equação z² = w
Considere \(w=\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2e^{i\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}}\). Determine as soluções da equação \(z^{2}=w\), na forma \(a+bi\) (sem calculadora).
3. Afixo de iw³
Na figura estão os afixos de cinco números complexos. Sabe-se que \(W\) pertence ao 1.º quadrante e é o afixo de \(w\), com \(\operatorname{Im}(w)=\operatorname{Re}(w)\). Qual dos pontos pode ser o afixo de \(iw^{3}\)?
Como \(\arg(iw^{3})=\tfrac{5\pi}{4}\), o afixo pertence ao 3.º quadrante — o ponto \(C\).
4. Raiz sexta — determinar iz
Considere \(w=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{e^{i\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}}\). Sabe-se que \(w\) é uma das raízes sextas de um número complexo \(z\). Determine \(iz\) (sem calculadora).
5. Raízes cúbicas — determinar w
Na figura está o triângulo \([ABC]\), com vértices na circunferência de raio 2 centrada na origem e \(A\) no semieixo imaginário negativo. \(A\), \(B\) e \(C\) são os afixos das raízes cúbicas de um número complexo \(w\). Qual é \(w\) na forma trigonométrica?
6. Triângulo equilátero — quadrante
Na figura, o triângulo equilátero \([ABC]\) está inscrito numa circunferência de centro \(O\). \(A\) pertence ao semieixo imaginário positivo; \(A\) e \(B\) são os afixos de \(z_1\) e \(z_2\). A que quadrante pertence o afixo de \(z_1^{\,2}\times z_2\)?
Como \(0<\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{2}\), o afixo pertence ao 1.º quadrante.
7. Restantes raízes cúbicas
Considere \(z=\dfrac{4}{1-i}+4i^{18}\). Sabe-se que \(z\) é uma das raízes cúbicas de um número complexo \(w\). Determine as restantes raízes cúbicas de \(w\), na forma trigonométrica (sem calculadora).
8. Solução no 3.º quadrante
Considere a equação \(z^{3}=\left(\dfrac{-\sqrt{3}+i}{\sqrt{2}\,i}\right)^{6}\). Determine a solução cujo afixo pertence ao 3.º quadrante, na forma \(a+bi\) (sem calculadora).
A do 3.º quadrante é \(2e^{i\frac{4\pi}{3}}\):
9. Polígono regular — nº de vértices
Considere \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{4}}\) e \(z_2=2e^{i\frac{3\pi}{28}}\), e \(w=\dfrac{z_1}{z_2}\). O afixo de \(w\) é um dos vértices de um polígono regular centrado na origem com outro vértice sobre o semieixo real positivo. Qual é o número mínimo de vértices?
10. Determinar a e b
Considere \(z_1=-1-i\). Determine os números reais \(a\) e \(b\) de forma que \(z_1\) seja solução da equação \(\dfrac{a}{z^{2}}+bz^{4}=-2+i\) (sem calculadora).
11. Raiz quadrada — valor de k
Seja \(k\) real. Sabe-se que \(k+i\) é uma das raízes quadradas de \(3-4i\). Qual é o valor de \(k\)?
12. Menor n com zⁿ real negativo
Considere \(z=\dfrac{5+(1+i)^{4}}{2+2i^{15}}-\dfrac{i}{2}\). Determine o menor natural \(n\) para o qual \(z^{n}\) é um número real negativo (sem calculadora).
Testando \(n=1,2,3,4\): só \(n=4\) dá \(\arg=-\pi\) (real negativo).
13. Pentágono — valor de z⁵
Na figura, o pentágono regular \([ABCDE]\) está inscrito numa circunferência de centro na origem e raio 1. O ponto \(C\) pertence ao semieixo real negativo. Seja \(z\) o número complexo cujo afixo é \(A\). Qual é o valor de \(z^{5}\)?
14. Raiz quarta no 1.º quadrante
Considere \(w=1+\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}\,i^{5}}{1+2i}\). Sabe-se que \(w\) é uma raiz quarta de um número complexo \(z\). Determine a raiz quarta de \(z\) cujo afixo pertence ao 1.º quadrante, na forma trigonométrica com argumento em \(\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\) (sem calculadora).
Para \(k=1\), obtém-se o afixo no 1.º quadrante:
15. Equação w³ = z̄
Seja \(z=\dfrac{2i}{1-i}+2i^{23}\). Determine os números complexos \(w\) tais que \(w^{3}=\overline{z}\), na forma trigonométrica (sem calculadora).
16. Perímetro do hexágono
Seja \(z=3+4i\), uma das raízes de índice 6 de um número complexo \(w\). Considere o polígono cujos vértices são os afixos das raízes de índice 6 de \(w\). Qual é o perímetro do polígono?
17. Vértices consecutivos — valor de n
Sejam \(z_1=(1+i)^{6}\) e \(z_2=\dfrac{8i}{e^{i\left(-\frac{6\pi}{5}\right)}}\). Os afixos de \(z_1\) e \(z_2\) são vértices consecutivos de um polígono regular de \(n\) lados centrado na origem. Determine \(n\) (sem calculadora).
18. Equação z⁴ = z̄₁
Seja \(z_1=\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}}}\). Determine os números complexos \(z\) que são solução de \(z^{4}=\overline{z_1}\), na forma trigonométrica (sem calculadora).
19. Hexágono — vértice E
Na figura, o polígono regular \([ABCDEF]\) tem por vértices os afixos das \(n\) raízes de índice \(n\) de um número complexo \(z\). O vértice \(C\) tem coordenadas \((-2\sqrt{2},2\sqrt{2})\). Qual número complexo tem por afixo o vértice \(E\)?
\(C\) está no 2.º quadrante com \(\operatorname{Re}=-\operatorname{Im}\), logo \(\arg(w_C)=\tfrac{3\pi}{4}\). Como as raízes de índice 6 diferem de \(\tfrac{\pi}{3}\), de \(C\) para \(E\) somam-se dois passos:
20. Polígono — determinar w
Considere \(z_2=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}}\). Os afixos de \(z_2\) e do seu conjugado \(\overline{z_2}\) são vértices consecutivos de um polígono regular, cujos vértices são os afixos das raízes de índice \(n\) de um número complexo \(w\). Determine \(w\) na forma algébrica. Comece por calcular \(n\) (sem calculadora).
\(\overline{z_2}=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{12}}\); o ângulo entre os afixos é \(2\times\tfrac{\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}\).
21. Raiz quarta — determinar w
Considere \(z_1=\sqrt{2}+2e^{i\frac{3\pi}{4}}\) e \(z_2=1+i\). Sabe-se que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) é uma raiz quarta de um número complexo \(w\). Determine \(w\) na forma algébrica (sem calculadora).
22. Raízes de índice 4
Considere \(z=8\sqrt{3}-8i\). Determine as raízes de índice 4 de \(z\), na forma trigonométrica (sem calculadora).
23. Eneágono — vértice F
Na figura, o polígono regular \([ABCDEFGHI]\) tem por vértices os afixos das raízes de índice \(n\) de \(z\). O vértice \(A\) tem coordenadas \((0,-3)\). Qual número complexo tem por afixo o vértice \(F\)?
24. Raiz de índice 6
Considere \(z=8e^{i\frac{\pi}{6}}\). Qual dos números seguintes é uma das raízes de índice seis de \(z\)?
Para \(k=2\): \(\arg=\tfrac{\pi}{36}+\tfrac{24\pi}{36}=\tfrac{25\pi}{36}\).
25. Octógono — vértice C
O afixo de \(w\) é o vértice \(A\) do octógono \([ABCDEFGH]\), cujos vértices são os afixos das raízes de índice 8 de um número complexo. Qual dos números tem por afixo o vértice \(C\)?
26. Raiz cúbica — determinar z
Considere \(z_1=2+\sqrt{3}i+i^{4n+2014}\), com \(n\in\mathbb{N}\). Sabe-se que \(z_1\) é uma das raízes cúbicas de um número complexo \(z\). Determine \(z\) na forma algébrica (sem calculadora).
27. Área do setor circular
Na figura está sombreado um setor circular. \(A\) está no 1.º quadrante e \(B\) no 4.º; \([AB]\) é um lado do polígono regular cujos vértices são os afixos das raízes de índice 5 de \(32e^{i\frac{\pi}{2}}\); o arco \(AB\) tem raio \(\overline{OA}\). Qual é a área do setor circular \(AOB\)?
28. z = 16e^{iπ/4}; área do quadrado
Considere \(z=\dfrac{(-1-i)^{8}}{\left(e^{i\frac{\pi}{8}}\right)^{2}}\times e^{i\frac{5\pi}{2}}\).
28.1. Verifique, por métodos exclusivamente analíticos, que \(z=16e^{i\frac{\pi}{4}}\).
28.2. Determine a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes quartas de \(z\).
29. Pentágono — vértice D
Na figura, o pentágono \([ABCDE]\) tem por vértices os afixos das raízes de índice \(n\) de um número complexo \(w\). O vértice \(A\) tem coordenadas \((1,0)\). Qual número tem por afixo o vértice \(D\)?
30. A que reta pertence w⁶
Seja \(w\) o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura (semieixo imaginário negativo). A qual das retas pertence a imagem de \(w^{6}\)?
\(\arg(w^{6})=\pi\): \(w^{6}\) é um número real negativo, logo o seu afixo pertence ao eixo real.
31. Forma trigonométrica de w
Considere \(z=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\). Determine, por métodos exclusivamente analíticos, \(w=\dfrac{z^{4}+4i}{i}\), na forma trigonométrica.
32. Forma trigonométrica de w
Considere \(z_1=e^{i\frac{\pi}{7}}\) e \(z_2=2+i\). Determine \(w=\dfrac{3-i\times(z_1)^{7}}{\overline{z_2}}\), na forma trigonométrica (métodos analíticos).
33. Quadrado — vértice D
Considere \(w=2e^{i\frac{\pi}{6}}\). O afixo de \(w\) é o vértice \(A\) do quadrado \([ABCD]\) centrado em \(O\). Qual número tem por afixo o vértice \(D\)?
34. Forma algébrica de z
Considere \(z=\dfrac{\left(e^{i\frac{\pi}{7}}\right)^{7}+(2+i)^{3}}{4e^{i\frac{3\pi}{2}}}\). Determine \(z\) na forma algébrica (sem calculadora).
35. Pentágono — vértice de 2e^{−i3π/5}
Na figura, o polígono \([EFGHI]\) está inscrito numa circunferência de centro na origem e raio 2. Os vértices são os afixos das raízes de índice 5 de um número complexo; um vértice pertence ao eixo real. Qual vértice é a imagem de \(2e^{i\left(-\frac{3\pi}{5}\right)}\)?
O único vértice no 3.º quadrante é \(H\).
36. Raiz quarta no 3.º quadrante
Considere \(z_1=1-i\), uma das raízes quartas de um número complexo \(z\). Determine outra raiz quarta de \(z\) cujo afixo pertence ao 3.º quadrante, na forma trigonométrica (sem calculadora).
A raiz com \(\arg=\tfrac{5\pi}{4}\) tem afixo no 3.º quadrante.
37. −z₁ raiz cúbica de z₂
Considere \(z_1=1-\sqrt{3}i\) e \(z_2=8e^{i\times 0}\). Mostre, sem recorrer à calculadora, que \((-z_1)\) é uma raiz cúbica de \(z_2\).
38. Duas raízes quadradas
Qual das opções apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?
Só a opção (D) verifica isto: \(-1+i=-(1-i)\), com o mesmo módulo e argumentos a diferir de \(\pi\) (ambos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares).
39. Raiz quadrada — determinar z
Os pontos \(A\) e \(B\) da figura são os afixos das raízes quadradas de um número complexo \(z\). Qual dos números pode ser \(z\)?
Das opções, só \(-i=e^{i\frac{3\pi}{2}}\) tem argumento nesse intervalo.
40. Forma trigonométrica
Sem recorrer à calculadora, determine \(\dfrac{4+2i\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^{6}}{3+i}\), na forma trigonométrica.
41. Forma algébrica
Considere \(z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}\). Sem calculadora, determine \(\dfrac{\left[i\times(z_1)^{6}-1\right]^{2}}{i}\), na forma algébrica.
42. Duas raízes cúbicas
Em qual das opções estão duas raízes cúbicas de um mesmo número complexo?
Diferenças: (A) \(\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}\) ✔; (B) \(\tfrac{\pi}{3}\); (C) \(\tfrac{\pi}{2}\); (D) \(\pi\).
43. Lado de polígono — valor de n
Considere \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{4}}\) e \(z_2=2i\), com afixos \(P_1\) e \(P_2\). \([P_1P_2]\) é um dos lados do polígono cujos vértices são os afixos das raízes de índice \(n\) de um número complexo \(w\). Qual é \(n\)?
44. Raízes cúbicas — qual o triângulo
Um número complexo \(w\) tem a sua imagem geométrica na parte positiva do eixo imaginário. As imagens geométricas das raízes cúbicas de \(w\) são os vértices de um dos triângulos representados. Qual é esse triângulo?
45. Cálculo com módulos e conjugado
De \(z_1\) e \(z_2\) sabe-se que um argumento de \(z_1\) é \(\tfrac{\pi}{4}\) e \(|z_2|=3\sqrt{2}\). Sem calculadora, determine \(\dfrac{z_2\times\overline{z_2}}{9}+\left(\dfrac{z_1}{|z_1|}\right)^{8}\).
46. Raízes quartas — qual o quadrilátero
Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são os afixos das raízes quartas de um número complexo \(w\). Qual poderá ser esse quadrilátero?
De entre as opções, só a (B) é um quadrado centrado na origem.
47. Restantes raízes quartas
Considere \(w=1+2i\), uma raiz quarta de um número complexo \(z\). Sem calculadora, determine as restantes raízes quartas de \(z\).
48. Raízes quartas de 1 + √3 i
Sem calculadora, calcule na forma trigonométrica as raízes quartas de \(1+\sqrt{3}i\), simplificando o mais possível.
49. Cálculo; raízes cúbicas
49.1. Sem calculadora, determine \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-2i\right)^{2}+\left(2e^{i\frac{\pi}{9}}\right)^{3}}{e^{i\frac{3\pi}{2}}}\), na forma algébrica.
49.2. Sejam \(z_1=e^{i\alpha}\) e \(z_2=e^{i(\alpha+\pi)}\). Mostre que \(z_1\) e \(z_2\) não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo.
Se fossem raízes cúbicas do mesmo número, \(|\arg(z_2)-\arg(z_1)|=\tfrac{2\pi}{3}\). Mas:
50. A que reta pertence w⁴
Seja \(w\) um número complexo não nulo cujo afixo pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. A que reta pertence a imagem geométrica de \(w^{4}\)?
\(w^{4}\) é real negativo, logo pertence ao eixo real.
51. Reta das raízes quadradas
Seja \(w\) um número complexo cujo afixo pertence à parte negativa do eixo real. A que reta pertencem as imagens das raízes quadradas de \(w\)?
As duas raízes são imaginários puros (um positivo, outro negativo), sobre o eixo imaginário.
52. Raízes quartas — determinar z₂
De \(z_1\) e \(z_2\) sabe-se que um argumento de \(z_1\) é \(\tfrac{\pi}{3}\) e \(|z_2|=4\). São duas das raízes quartas de um número complexo \(z\). Sabendo que o afixo de \(z_2\) pertence ao 2.º quadrante, determine \(z_2\) na forma algébrica.
53. Verificar raízes quartas
Considere \(z_1=1+i\) e \(z_2=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\). Verifique que \(z_1\) e \(z_2\) são raízes quartas de um mesmo número complexo e determine-o, na forma algébrica.
54. Afixo no interior do círculo
Qual dos números tem a imagem geométrica no interior do círculo de centro na origem e raio 1?
55. Raízes quadradas
Considere \(z_1=\rho\,e^{i\frac{\pi}{3}}\) (\(\rho\in\mathbb{R}^{+}\)). Determine, na forma trigonométrica, as raízes quadradas de \(\dfrac{z_1}{|z_1|}\).
56. Forma algébrica
Considere \(w=2+i\). Determine \((w-2)^{11}(1+3i)^{2}\) na forma algébrica.
57. Heptágono — valor de z
Na figura, um heptágono regular está inscrito numa circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices pertence ao eixo imaginário. Os vértices são os afixos das raízes de índice \(n\) de um número complexo \(z\). Qual é o valor de \(z\)?
58. Imaginário puro
Seja \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}\). Sem calculadora, verifique que \(\dfrac{z_1^{\,3}+2}{i}\) é um imaginário puro.
59. Afixo de z⁴
Seja \(z=yi\), com \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Qual dos pontos da figura (\(A\), \(B\), \(C\) ou \(D\)) pode ser o afixo de \(z^{4}\)?
\(z^{4}\) é um número real positivo, logo o afixo está no semieixo real positivo — o ponto \(A\).
60. Hexágono — vértice D
Na figura, um hexágono tem por vértices os afixos das raízes de índice 6 de um número complexo. O vértice \(C\) é o afixo de \(\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\). Qual número tem por afixo o vértice \(D\)?
