Exercícios de Exame — Números Complexos: Equações e Problemas | 12.º ano

1. Equação em ℂ

1

Exame 2025, ép. especialResposta aberta

Seja \(w\) um número complexo de argumento \(\theta\), com \(\theta\in\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\). Sabe-se que \(w\) é uma das soluções da equação

(1-i)z^{3}-8\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}=0

Determine \(w\), apresentando o resultado na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\) (sem calculadora).

Como interpretar. Escreve-se \(1-i\) na forma trigonométrica, isola-se \(z^{3}\) e calculam-se as três raízes cúbicas. Depois escolhe-se a que tem argumento em \(\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

1.º — Forma trigonométrica de 1 − i

1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}

2.º — Isolar z³

z^{3}=\dfrac{8\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}=8\,e^{i\frac{\pi}{2}}

3.º — Raízes cúbicas

z=2\,e^{i\frac{\pi/2+2k\pi}{3}}\Rightarrow z=2e^{i\frac{\pi}{6}}\ \lor\ 2e^{i\frac{5\pi}{6}}\ \lor\ 2e^{i\frac{3\pi}{2}}

O argumento em \(\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\) é \(\tfrac{5\pi}{6}\), logo \(w=2e^{i\frac{5\pi}{6}}\).

w=2\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}+i

\(w=-\sqrt{3}+i\).

2. Condição Im(z) − Re(z) = 1

2

Exame 2025, 2.ª faseResposta aberta

Considere \(z=\dfrac{5a\,i^{15}}{1-2i}+\sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{4}}\), com \(a\in\mathbb{R}\). Sabe-se que \(\operatorname{Im}(z)-\operatorname{Re}(z)=1\). Determine \(z\) na forma trigonométrica (sem calculadora).

1.º — Simplificar as parcelas

i^{15}=i^{3}=-i \qquad \dfrac{5}{1-2i}=1+2i \qquad \sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{4}}=1-i

\(z=a(1+2i)(-i)+(1-i)=a(2-i)+1-i=2a+1+i(-a-1)\)

2.º — Aplicar a condição

(-a-1)-(2a+1)=1\Leftrightarrow -3a=3\Leftrightarrow a=-1

Logo \(z=2(-1)+1+i(1-1)=-1\).

Forma trigonométrica. O afixo de \(z=-1\) está no semieixo real negativo e \(|z|=1\).

\(z=e^{i\pi}\).

3. Afixos equidistantes

3

Exame 2025, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=2i^{19}\) e \(z_2=\dfrac{-3+i}{1+i}\). Seja \(w=-\sqrt{2}\,k\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\), com \(k\in\mathbb{R}\). Determine o valor de \(k\) para o qual o afixo de \(w\) é equidistante dos afixos de \(z_1\) e de \(z_2\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar z₁, z₂ e w

z_1=2i^{19}=-2i \qquad z_2=\dfrac{-3+i}{1+i}=-1+2i \qquad w=-\sqrt{2}k\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=k-ki

2.º — Condição de equidistância

Como interpretar. "Afixo equidistante" traduz-se por \(|w-z_1|=|w-z_2|\).

\(|k+i(-k+2)|=|k+1+i(-k-2)|\)

k^{2}+(-k+2)^{2}=(k+1)^{2}+(-k-2)^{2}\Leftrightarrow -10k=1

\(k=-\dfrac{1}{10}\).

4. Condição z² + 2z z̄ − 6

4

Exame 2024, ép. especialResposta aberta

Considere \(z=2e^{i\theta}\), com \(\theta\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\). Determine o valor de \(\theta\) tal que \(z^{2}+2z\overline{z}-6=2\sqrt{3}\,i\) (sem calculadora).

1.º — Calcular z² e 2z z̄

z^{2}=4e^{i(2\theta)} \qquad 2z\overline{z}=2|z|^{2}=2\times 4=8

2.º — Substituir e isolar

4e^{i(2\theta)}+8-6=2\sqrt{3}i\Leftrightarrow 4e^{i(2\theta)}=-2+2\sqrt{3}i=4e^{i\frac{2\pi}{3}}

3.º — Determinar θ

2\theta=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{3}+k\pi

Em \(\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\) (com \(k=0\)):

\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).

5. Módulo e bissetriz do 3.º quadrante

5

Exame 2024, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z=\dfrac{4}{1+i}-\dfrac{2}{i^{7}}\). Determine \(w\) tal que \(z\times w\) tenha módulo \(5\sqrt{2}\) e afixo pertencente à bissetriz do terceiro quadrante. Apresente \(w\) na forma \(a+bi\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar z

i^{7}=-i \Rightarrow z=\dfrac{4}{1+i}-\dfrac{2}{-i}=(2-2i)-2i=2-4i

2.º — Escrever z × w

Como interpretar. Bissetriz do 3.º quadrante significa \(\arg(z\times w)=\pi+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{4}\), com módulo \(5\sqrt{2}\).

z\times w=5\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}=-5-5i

3.º — Isolar w

w=\dfrac{-5-5i}{2-4i}=\dfrac{(-5-5i)(2+4i)}{20}=\dfrac{10-30i}{20}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i

\(w=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\).

6. Menor n para imaginário puro

6

Exame 2023, ép. especialResposta aberta

Considere \(z_1=-5i\) e \(z_2=-1-\sqrt{3}\,i\). Determine o menor número natural \(n\) para o qual \(w=\dfrac{z_1+i^{23}}{z_2^{\,n}}\) é um imaginário puro.

1.º — Formas trigonométricas

z_2=-1-\sqrt{3}i=2e^{i\frac{4\pi}{3}} \qquad z_1+i^{23}=-5i-i=-6i=6e^{i\frac{3\pi}{2}}

2.º — Simplificar w

w=\dfrac{6e^{i\frac{3\pi}{2}}}{2^{n}e^{i\left(\frac{4n\pi}{3}\right)}}=\dfrac{6}{2^{n}}\,e^{i\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{4n\pi}{3}\right)}

3.º — Imaginário puro

\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{4n\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow k=\dfrac{3-4n}{3}

Para \(k\) inteiro, o menor natural é \(n=3\) (dá \(k=-3\)).

\(n=3\).

7. Re(z) = −Im(z), afixo no 4.º quadrante

7

Exame 2023, 2.ª faseResposta aberta

Considere \(z=\dfrac{2i^{11}e^{i\alpha}}{-1-\sqrt{3}\,i}\), com \(\alpha\in[0,2\pi[\). Sabe-se que \(\operatorname{Re}z=-\operatorname{Im}z\) e que o afixo de \(z\) pertence ao 4.º quadrante. Determine \(\alpha\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar z

2i^{11}=-2i=2e^{i\frac{3\pi}{2}} \qquad -1-\sqrt{3}i=2e^{i\frac{4\pi}{3}}

z=\dfrac{2e^{i\frac{3\pi}{2}}e^{i\alpha}}{2e^{i\frac{4\pi}{3}}}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}

2.º — Traduzir as condições

Como interpretar. \(\operatorname{Re}z=-\operatorname{Im}z\) com afixo no 4.º quadrante corresponde à bissetriz do 4.º quadrante: \(\arg z=\tfrac{7\pi}{4}\).

\tfrac{\pi}{6}+\alpha=\tfrac{7\pi}{4}+2k\pi\Rightarrow \alpha=\tfrac{19\pi}{12}+2k\pi

Em \([0,2\pi[\): \(\alpha=\dfrac{19\pi}{12}\).

8. Equação z² = w

8

Exame 2023, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(w=\dfrac{e^{i\frac{5\pi}{6}}-i^{17}}{i}\). Determine, em ℂ, as soluções da equação \(z^{2}=w\), na forma \(a+bi\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar w

e^{i\frac{5\pi}{6}}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{1}{2}i \qquad i^{17}=i

w=\dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}i}{i}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\frac{2\pi}{3}}

2.º — Raízes quadradas

z=e^{i\frac{2\pi/3+2k\pi}{2}}\Rightarrow z=e^{i\frac{\pi}{3}}\ \lor\ z=e^{i\frac{4\pi}{3}}

\(z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\ \ \lor\ \ z=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).

9. z₂ = sen θ + i cos θ

9

Exame 2022, ép. especialResposta aberta

Sejam \(z_1=(1+i)^{2}\times(2+i)+i^{7}\) e \(z_2=\operatorname{sen}\theta+i\cos\theta\), com \(\theta\in[0,2\pi[\). Determine \(\theta\) tal que \(z_1\times z_2=3+2i\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar z₁

(1+i)^{2}=2i,\ \ i^{7}=-i \Rightarrow z_1=2i(2+i)-i=-2+3i

2.º — Determinar z₂

z_2=\dfrac{3+2i}{-2+3i}=\dfrac{(3+2i)(-2-3i)}{13}=-i

3.º — Resolver em θ

\operatorname{sen}\theta+i\cos\theta=-i\Leftrightarrow \operatorname{sen}\theta=0\ \land\ \cos\theta=-1

\(\theta=\pi\).

10. Equação em z

10

Exame 2021, ép. especialResposta aberta

Sejam \(z_1=\tfrac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) e \(z_2=2i\). Determine os números complexos \(z\) que são solução da equação \(iz^{2}+z_1^{\,2}\times(\overline{z_2})^{3}-2=0\), na forma trigonométrica (sem calculadora).

1.º — Calcular as parcelas conhecidas

z_1^{\,2}=\tfrac{1}{4}e^{i\frac{\pi}{2}}=\tfrac{1}{4}i \qquad (\overline{z_2})^{3}=(-2i)^{3}=8i

z_1^{\,2}\times(\overline{z_2})^{3}=\tfrac{1}{4}i\times 8i=2i^{2}=-2

2.º — Resolver a equação

iz^{2}-2-2=0\Leftrightarrow z^{2}=\dfrac{4}{i}=-4i=4e^{i\frac{3\pi}{2}}

z=2e^{i\frac{3\pi/2+2k\pi}{2}}\Rightarrow z=2e^{i\frac{3\pi}{4}}\ \lor\ z=2e^{i\frac{7\pi}{4}}

\(z=2e^{i\frac{3\pi}{4}}\ \lor\ z=2e^{i\frac{7\pi}{4}}\).

11. Reta — número de menor módulo

11

Exame 2021, 2.ª faseResposta aberta

Em ℂ, a condição \((1+2i)z+(1-2i)\overline{z}+10=0\) define uma reta no plano complexo. De entre todos os números complexos cujos afixos pertencem a esta reta, determine o de menor módulo, na forma \(a+bi\) (sem calculadora).

1.º — Equação cartesiana da reta

Com \(z=x+yi\), desenvolvendo a condição:

(1+2i)(x+yi)+(1-2i)(x-yi)+10=0\Leftrightarrow x-2y+5=0

2.º — Menor módulo = pé da perpendicular

Como interpretar. O afixo de menor módulo é o ponto da reta mais próximo da origem — a interseção com a perpendicular à reta que passa em \(O\). A reta tem declive \(\tfrac{1}{2}\); a perpendicular por \(O\) é \(y=-2x\).

\begin{cases}x-2y+5=0\\ y=-2x\end{cases}\Rightarrow x=-1,\ y=2

O número de menor módulo é \(-1+2i\).

12. Triângulo equilátero [OFG]

12

Exame 2020, ép. especialEscolha múltipla

Considere \(z_1=-1-i\). Na figura está o triângulo equilátero \([OFG]\), em que \(F\) é o afixo de \(z_1\) e \(G\) é o afixo de \(z_1\times z_2\), pertencente ao quarto quadrante. A que é igual \(z_2\)?

Triângulo equilátero OFG no plano complexo

(A) \(\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}i\)

(B) \(\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

(C) \(1+\sqrt{2}i\)

(D) \(1+\sqrt{3}i\)

Como interpretar. Como \([OFG]\) é equilátero, \(G\) tem o mesmo módulo de \(F\) e o seu argumento resulta de rodar \(\arg z_1\) de \(\tfrac{\pi}{3}\). Assim obtém-se \(z_1\times z_2\) e daí \(z_2\).

1.º — z₁ e o afixo G

z_1=-1-i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}} \Rightarrow z_1\times z_2=\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\frac{19\pi}{12}}

2.º — Isolar z₂

z_2=\dfrac{\sqrt{2}\,e^{i\frac{19\pi}{12}}}{\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}}=e^{i\frac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i

Opção: (B) \(\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

13. Afixo com coordenadas iguais

13

Exame 2020, 2.ª faseResposta aberta

Seja \(z_1=\dfrac{2}{1-i}+\dfrac{4}{i^{5}}\) e \(z_2\) um número complexo tal que \(|z_2|=\sqrt{5}\). Sabe-se que o afixo de \(z_1\times z_2\) tem coordenadas positivas e iguais. Determine \(z_2\) na forma \(a+bi\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar z₁

i^{5}=i \Rightarrow z_1=\dfrac{2}{1-i}+\dfrac{4}{i}=(1+i)-4i=1-3i

2.º — Condições sobre z₂ = a + bi

\(z_1 z_2=(1-3i)(a+bi)=(a+3b)+(b-3a)i\)

Coordenadas iguais: \(a+3b=b-3a\Leftrightarrow b=-2a\). Com \(|z_2|=\sqrt{5}\):

a^{2}+(-2a)^{2}=5\Leftrightarrow a=\pm 1

Coordenadas positivas. É preciso \(a+3b>0\); testando, obtém-se \(a=-1\) e \(b=2\).

\(z_2=-1+2i\).

14. Equação z² = z̄ — perímetro

14

Exame 2020, 1.ª faseResposta aberta

Considere, em ℂ, a equação \(z^{2}=\overline{z}\). Os afixos das soluções não nulas são os vértices de um polígono regular. Determine o perímetro desse polígono (sem calculadora).

1.º — Resolver z² = z̄

z=\rho e^{i\theta}:\ \rho^{2}e^{i2\theta}=\rho e^{-i\theta}\Rightarrow \rho^{2}=\rho\ \land\ 2\theta=-\theta+2k\pi

Das não nulas: \(\rho=1\) e \(\theta=\tfrac{2k\pi}{3}\). Soluções distintas:

z_1=e^{i0}=1,\quad z_2=e^{i\frac{2\pi}{3}},\quad z_3=e^{i\frac{4\pi}{3}}

2.º — Perímetro (triângulo equilátero)

Como interpretar. Três afixos num polígono regular são um triângulo equilátero; o lado é a distância entre dois afixos.

P=3\,|z_1-z_2|=3\left|\tfrac{3}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\right|=3\sqrt{3}

Perímetro \(=3\sqrt{3}\).

15. Condição Im(z) = ⅓ Re(z)

15

Exame 2018, 1.ª faseEscolha múltipla + calculadora

Para um certo \(x\in\left]0,\tfrac{\pi}{12}\right[\), o número \(z=(\cos x+i\operatorname{sen}x)^{10}\) verifica \(\operatorname{Im}(z)=\tfrac{1}{3}\operatorname{Re}(z)\). Qual é o valor de \(x\) arredondado às centésimas?

(A) 0,02

(B) 0,03

(C) 0,12

(D) 0,13

Como interpretar. Pela fórmula de De Moivre, \(z=e^{i\,10x}\), logo \(\operatorname{Re}(z)=\cos(10x)\) e \(\operatorname{Im}(z)=\operatorname{sen}(10x)\). A condição vira uma equação trigonométrica que se resolve graficamente.

\operatorname{sen}(10x)=\tfrac{1}{3}\cos(10x)

Na calculadora, intersetando \(y=\operatorname{sen}(10x)\) e \(y=\tfrac{1}{3}\cos(10x)\) em \(\left]0,\tfrac{\pi}{12}\right[\), obtém-se \(x\approx 0{,}03\).

Opção: (B) 0,03

16. Distância entre afixos

16

Exame 2017, 1.ª faseResposta aberta

Sejam \(z_1=\dfrac{1-3i^{19}}{1+i}\) e \(z_2=-3k\,e^{i\frac{3\pi}{2}}\), com \(k\in\mathbb{R}^{+}\). Sabe-se que a distância entre as imagens geométricas de \(z_1\) e \(z_2\) é \(\sqrt{5}\). Determine \(k\) (sem calculadora).

1.º — Simplificar z₁ e z₂

i^{19}=-i\Rightarrow z_1=\dfrac{1+3i}{1+i}=2+i \qquad z_2=-3k\,e^{i\frac{3\pi}{2}}=3ik

2.º — Distância = |z₁ − z₂|

|z_1-z_2|=|2+i(1-3k)|=\sqrt{4+(1-3k)^{2}}=\sqrt{9k^{2}-6k+5}

\sqrt{9k^{2}-6k+5}=\sqrt{5}\Leftrightarrow 9k^{2}-6k=0\Leftrightarrow k=0\ \lor\ k=\tfrac{2}{3}

Como \(k\in\mathbb{R}^{+}\): \(k=\dfrac{2}{3}\).

17. z = w — valores de ρ e θ

17

Exame 2016, 2.ª faseResposta aberta

Seja \(\rho\in\mathbb{R}^{+}\) e \(\theta\in\,]0,\pi[\). Considere \(z=\dfrac{-1+i}{\left(\rho e^{i\theta}\right)^{2}}\) e \(w=-\sqrt{2}\,i\). Sabendo que \(z=w\), determine \(\rho\) e \(\theta\).

1.º — Simplificar z

-1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\Rightarrow z=\dfrac{\sqrt{2}}{\rho^{2}}\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}-2\theta\right)}

2.º — Igualar módulos e argumentos

w=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{2}}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{\rho^{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \rho=1

\tfrac{3\pi}{4}-2\theta=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow \theta=-\tfrac{3\pi}{8}-k\pi

Em \(]0,\pi[\) (com \(k=-1\)): \(\theta=\tfrac{5\pi}{8}\).

\(\rho=1\) e \(\theta=\dfrac{5\pi}{8}\).

18. z̄₁ × z₂ real

18

Exame 2016, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=\dfrac{8e^{i\theta}}{-1+\sqrt{3}\,i}\) e \(z_2=e^{i(2\theta)}\). Determine \(\theta\in\,]0,\pi[\) de modo que \(\overline{z_1}\times z_2\) seja um número real.

1.º — Simplificar z₁ e o conjugado

-1+\sqrt{3}i=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\Rightarrow z_1=4e^{i\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)}\Rightarrow \overline{z_1}=4e^{i\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)}

2.º — Produto e condição de número real

\overline{z_1}\times z_2=4e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)}

\tfrac{2\pi}{3}+\theta=k\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{3}\ (k=1)

\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).

19. Valores de θ para imaginário puro

19

Exame 2015, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z=\dfrac{-2+2i^{19}}{\sqrt{2}\,e^{i\theta}}\). Determine os valores de \(\theta\in\,]0,2\pi[\) para os quais \(z\) é um imaginário puro (sem calculadora).

1.º — Simplificar z

i^{19}=-i\Rightarrow -2+2i^{19}=-2-2i=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}

z=\dfrac{2\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}}{\sqrt{2}\,e^{i\theta}}=2e^{i\left(\frac{5\pi}{4}-\theta\right)}

2.º — Imaginário puro

\tfrac{5\pi}{4}-\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{3\pi}{4}-k\pi

Em \(]0,2\pi[\): \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\ \lor\ \theta=\dfrac{7\pi}{4}\).

20. Bissetriz e forma trigonométrica

20

Exame 2014, ép. especialResposta aberta

20.1. Considere \(z_1=\dfrac{1-i}{2i}-i^{-1}\) e \(z_2=e^{-i\frac{\pi}{4}}\). Averigue se o afixo de \((z_1)^{4}\times\overline{z_2}\) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

20.2. Considere \(w=\operatorname{sen}(2\alpha)+2i\cos^{2}\alpha\), com \(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\). Escreva \(w\) na forma trigonométrica.

20.1 — Afixo de (z₁)⁴ × z̄₂

z_1=\dfrac{1-i}{2i}-\dfrac{1}{i}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}i=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}

(z_1)^{4}=\tfrac{1}{4}e^{i\pi} \qquad \overline{z_2}=e^{i\frac{\pi}{4}}\Rightarrow (z_1)^{4}\times\overline{z_2}=\tfrac{1}{4}e^{i\frac{5\pi}{4}}

Conclusão. \(\arg=\tfrac{5\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}+\pi\), da forma \(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\): pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

20.2 — Forma trigonométrica de w

Como interpretar. Usando \(\operatorname{sen}(2\alpha)=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\) e pondo \(2\cos\alpha\) em evidência, reconhece-se a forma trigonométrica.

w=2\cos\alpha\left(\operatorname{sen}\alpha+i\cos\alpha\right)=2\cos\alpha\left(\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+i\operatorname{sen}\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)

Como \(\cos\alpha>0\) em \(\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\):

\(w=2\cos\alpha\;e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\), com \(|w|=2\cos\alpha\).

21. Área e equação do 2.º grau

21

Exame 2014, 2.ª faseResposta aberta

21.1. Considere \(z=2e^{i\frac{\pi}{6}}\) e \(w=\dfrac{(z-i)^{4}}{1+zi}\). Sejam \(A\) o afixo de \(\overline{z}\) e \(B\) o afixo de \(w\). Determine a área do triângulo \([AOB]\) (sem calculadora).

21.2. Seja \(\alpha\in\,]0,\pi[\). Resolva, em ℂ, a equação \(z^{2}-2\cos\alpha\,z+1=0\), apresentando as soluções em função de \(\alpha\), na forma trigonométrica.

21.1 — Área do triângulo

z=2e^{i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}+i\Rightarrow \overline{z}=\sqrt{3}-i\quad(A)

w=\dfrac{(\sqrt{3})^{4}}{1+(\sqrt{3}+i)i}=\dfrac{9}{\sqrt{3}i}=-3\sqrt{3}\,i\quad(B)

Base e altura. \(A(\sqrt{3},-1)\) e \(B(0,-3\sqrt{3})\); com \([OB]\) sobre \(Oy\) (altura \(=|{\operatorname{Im}w}|=3\sqrt{3}\)) e base \(=\operatorname{Re}(z)=\sqrt{3}\).

A_{[AOB]}=\dfrac{\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9}{2}

21.2 — Equação do 2.º grau

z=\dfrac{2\cos\alpha\pm\sqrt{4\cos^{2}\alpha-4}}{2}=\cos\alpha\pm i\operatorname{sen}\alpha

\(A_{[AOB]}=\dfrac{9}{2}\); soluções: \(z=e^{i\alpha}\ \lor\ z=e^{-i\alpha}\).

22. Imaginário puro; |z| ≤ 2

22

Exame 2014, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

22.1. Considere \(z_1=\dfrac{\left(-1+\sqrt{3}i\right)^{3}}{1-i}\) e \(z_2=e^{i\alpha}\), com \(\alpha\in[0,\pi[\). Determine os valores de \(\alpha\) para os quais \(z_1\times(z_2)^{2}\) é um imaginário puro (sem calculadora).

22.2. Seja \(z\) um número complexo tal que \(|1+z|^{2}+|1-z|^{2}\le 10\). Mostre que \(|z|\le 2\).

22.1 — Valores de α

\left(-1+\sqrt{3}i\right)^{3}=8\ ,\ \ 1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\Rightarrow z_1=4\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}

z_1\times(z_2)^{2}=4\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)}

\tfrac{\pi}{4}+2\alpha=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow \alpha=\tfrac{\pi}{8}+\tfrac{k\pi}{2}

Em \([0,\pi[\): \(\alpha=\tfrac{\pi}{8}\ \lor\ \alpha=\tfrac{5\pi}{8}\).

22.2 — Mostrar |z| ≤ 2

Com \(z=a+bi\):

|1+z|^{2}+|1-z|^{2}=2+2(a^{2}+b^{2})\le 10\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\le 4\Leftrightarrow |z|\le 2

\(\alpha=\tfrac{\pi}{8}\ \lor\ \tfrac{5\pi}{8}\); e fica provado que \(|z|\le 2\).

23. z / z₁ real negativo

23

Exame 2013, ép. especialResposta aberta

Considere \(z_1=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{1+2i\,e^{i\frac{5\pi}{6}}}\) e \(z=e^{i\theta}\), com \(\theta\in[0,2\pi[\). Determine \(\theta\) de modo que \(\dfrac{z}{z_1}\) seja um número real negativo (sem calculadora).

1.º — Simplificar z₁

1+2i\,e^{i\frac{5\pi}{6}}=-\sqrt{3}i=\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{2}} \qquad 1+\sqrt{3}i=2e^{i\frac{\pi}{3}}

z_1=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\,e^{i\frac{5\pi}{6}}

2.º — Quociente e condição

\dfrac{z}{z_1}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\,e^{i\left(\theta-\frac{5\pi}{6}\right)}

Real negativo: \(\arg=\pi+2k\pi\).

\theta-\tfrac{5\pi}{6}=\pi+2k\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Em \([0,2\pi[\): \(\theta=\dfrac{11\pi}{6}\).

24. Menor n com (z₂)ⁿ real negativo

24

Exame 2013, 2.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}+i^{22}\) e \(z_2=\dfrac{-2}{i\,z_1}\). Determine o menor número natural \(n\) tal que \((z_2)^{n}\) é um número real negativo (sem calculadora).

1.º — Simplificar z₁ e z₂

i^{22}=-1\Rightarrow z_1=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\frac{2\pi}{3}}

z_2=\dfrac{-2}{i\,z_1}=\dfrac{2e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{2\pi}{3}}}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}

2.º — (z₂)ⁿ real negativo

(z_2)^{n}=2^{n}e^{i\left(-\frac{n\pi}{6}\right)},\quad -\tfrac{n\pi}{6}=\pi+2k\pi\Rightarrow n=-6-12k

O menor natural é \(n=6\) (com \(k=-1\)).

25. z₃ + z̄₂ real

25

Exame 2013, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_2=1+i\) e \(z_3=e^{i\alpha}\). Determine \(\alpha\in\,]-2\pi,-\pi[\) sabendo que \(z_3+\overline{z_2}\) é um número real.

Como interpretar. Um complexo é real quando a sua parte imaginária é nula.

z_3+\overline{z_2}=\cos\alpha+i\operatorname{sen}\alpha+1-i=(\cos\alpha+1)+i(\operatorname{sen}\alpha-1)

\operatorname{sen}\alpha-1=0\Leftrightarrow \operatorname{sen}\alpha=1\Leftrightarrow \alpha=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi

Em \(]-2\pi,-\pi[\) (com \(k=-1\)):

\(\alpha=-\dfrac{3\pi}{2}\).

26. Verificar uma solução

26

Teste Intermédio 12.º ano · 24.05.2013Resposta aberta · demonstração

Mostre, sem recorrer à calculadora, que o número \(2e^{i\frac{\pi}{10}}\) é solução da equação \(z^{6}\times\overline{z}=128i\).

Como interpretar. Substitui-se \(z=2e^{i\frac{\pi}{10}}\) na equação e verifica-se que se obtém uma igualdade verdadeira.

z^{6}=2^{6}e^{i\frac{6\pi}{10}}=64e^{i\frac{3\pi}{5}} \qquad \overline{z}=2e^{-i\frac{\pi}{10}}

z^{6}\times\overline{z}=128\,e^{i\left(\frac{6\pi}{10}-\frac{\pi}{10}\right)}=128\,e^{i\frac{\pi}{2}}=128i

A substituição dá uma proposição verdadeira, logo \(2e^{i\frac{\pi}{10}}\) é solução da equação.

27. Conjugado igual a metade do inverso

27

Exame 2012, ép. especialResposta aberta · demonstração

Seja \(w\) um número complexo não nulo. Mostre que, se o conjugado de \(w\) é igual a metade do inverso de \(w\), então a imagem geométrica de \(w\) pertence à circunferência de centro na origem e raio \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Como interpretar. A hipótese é \(\overline{w}=\dfrac{1}{2w}\). Multiplicando por \(w\) aparece \(w\overline{w}=|w|^{2}\), o que dá o módulo (= raio da circunferência centrada em \(O\)).

\overline{w}=\dfrac{1}{2w}\Leftrightarrow w\times\overline{w}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow |w|^{2}=\dfrac{1}{2}

|w|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Como \(|w-0|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), a imagem de \(w\) pertence à circunferência de centro \(O\) e raio \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). c.q.m.

28. z₁ + z₂ no 2.º quadrante

28

Exame 2012, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Seja \(\alpha\in\left]\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right[\) e sejam \(z_1=e^{i\alpha}\) e \(z_2=e^{i\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}\). Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de \(z_1+z_2\) pertence ao 2.º quadrante.

Como interpretar. Um afixo está no 2.º quadrante quando \(\operatorname{Re}<0\) e \(\operatorname{Im}>0\). Escreve-se \(z_1+z_2\) na forma algébrica e analisa-se o sinal.

z_1+z_2=(\cos\alpha-\operatorname{sen}\alpha)+i(\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha)

Em \(\left]\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right[\), \(\cos\alpha<\operatorname{sen}\alpha\Rightarrow \operatorname{Re}(z_1+z_2)<0\).
Como \(\alpha\) é do 1.º quadrante, \(\operatorname{sen}\alpha>0\) e \(\cos\alpha>0\Rightarrow \operatorname{Im}(z_1+z_2)>0\).

\(\operatorname{Re}<0\) e \(\operatorname{Im}>0\): o afixo de \(z_1+z_2\) pertence ao 2.º quadrante. c.q.m.

29. Equação z³ e raízes de índice n

29

Exame 2012, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=(-2+i)^{3}\) e \(z_2=\dfrac{1+28i}{2+i}\).

29.1. Resolva a equação \(z^{3}+z_1=z_2\), apresentando as soluções na forma trigonométrica (sem calculadora).

29.2. Seja \(w\) um número complexo não nulo. Mostre que, se \(w\) e \(\dfrac{1}{w}\) são raízes de índice \(n\) de um mesmo número complexo \(z\), então \(z=1\) ou \(z=-1\).

29.1 — Resolver z³ + z₁ = z₂

z_1=(-2+i)^{3}=-2+11i \qquad z_2=\dfrac{1+28i}{2+i}=6+11i

z^{3}=z_2-z_1=8=8e^{i0}\Rightarrow z=2e^{i\frac{2k\pi}{3}}

z=2e^{i0}\ \lor\ 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\ \lor\ 2e^{i\frac{4\pi}{3}}

29.2 — Demonstração

Se \(w\) e \(\tfrac{1}{w}\) são raízes de índice \(n\) de \(z\), então \(w^{n}=z\) e \(\left(\tfrac{1}{w}\right)^{n}=z\).

w^{n}=\dfrac{1}{w^{n}}\Leftrightarrow (w^{n})^{2}=1\Leftrightarrow w^{n}=\pm 1

Como \(w^{n}=z\): \(z=1\) ou \(z=-1\). c.q.m.

30. Número real — valor de k

30

Teste Intermédio 12.º ano · 24.05.2012Resposta aberta

Para um certo número inteiro \(k\), a expressão \(\dfrac{\left(\sqrt{2}\,i\right)^{3}\times e^{i\frac{\pi}{4}}}{k+i}\) designa um número real. Determine esse número \(k\).

1.º — Simplificar o numerador

\left(\sqrt{2}i\right)^{3}=-2\sqrt{2}i \qquad e^{i\frac{\pi}{4}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}i

-2\sqrt{2}i\times\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)=2-2i

2.º — Impor parte imaginária nula

\dfrac{2-2i}{k+i}=\dfrac{(2-2i)(k-i)}{k^{2}+1}\Rightarrow \operatorname{Im}=\dfrac{-2-2k}{k^{2}+1}

-2-2k=0\Leftrightarrow k=-1

\(k=-1\).

31. Equação z² + z + 1 = 0

31

Exame 2011, prova especialResposta aberta

31.1. Seja \(w\) o número complexo com coeficiente da parte imaginária positivo que é solução da equação \(z^{2}+z+1=0\). Determine \(\dfrac{1}{w}\), na forma trigonométrica (sem calculadora).

31.2. Seja \(z\) um número complexo. Mostre que \((\overline{z}+i)\times(z-i)=|z-i|^{2}\), para qualquer \(z\).

31.1 — Resolver e inverter

z=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=-\tfrac{1}{2}\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\Rightarrow w=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\frac{2\pi}{3}}

\dfrac{1}{w}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}

31.2 — Identidade

Com \(z=a+bi\), desenvolvendo ambos os membros:

(\overline{z}+i)(z-i)=a^{2}+b^{2}-2b+1 \qquad |z-i|^{2}=a^{2}+(b-1)^{2}=a^{2}+b^{2}-2b+1

\(\dfrac{1}{w}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}\); e verifica-se a igualdade \((\overline{z}+i)(z-i)=|z-i|^{2}\). c.q.m.

32. w real; identidade com módulos

32

Exame 2011, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

32.1. Considere \(z_1=1+2i\) e \(w=\dfrac{z_1\times i^{4n+3}-b}{\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}}\), com \(b\in\mathbb{R}\) e \(n\in\mathbb{N}\). Determine \(b\) para o qual \(w\) é um número real.

32.2. Seja \(z\) um número complexo tal que \(|z|=1\). Mostre que \(|1+z|^{2}+|1-z|^{2}=4\).

32.1 — Determinar b

i^{4n+3}=-i\Rightarrow z_1\times i^{4n+3}-b=(1+2i)(-i)-b=2-b-i

\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}=-1-i\Rightarrow w=\dfrac{2-b-i}{-1-i}=\dfrac{-1+b}{2}+\dfrac{3-b}{2}i

\operatorname{Im}(w)=0\Leftrightarrow \dfrac{3-b}{2}=0\Leftrightarrow b=3

32.2 — Identidade

Com \(z=a+bi\) e \(a^{2}+b^{2}=1\):

|1+z|^{2}+|1-z|^{2}=2+2(a^{2}+b^{2})=2+2=4

\(b=3\); e fica provado que \(|1+z|^{2}+|1-z|^{2}=4\). c.q.m.

33. Raízes de um polinómio

33

Exame 2011, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=1\), \(z_2=5i\) e \(z_3=e^{i\frac{n\pi}{40}}\), com \(n\in\mathbb{N}\).

33.1. \(z_1\) é raiz do polinómio \(z^{3}-z^{2}+16z-16\). Determine as restantes raízes, na forma trigonométrica.

33.2. Determine o menor \(n\) natural para o qual o afixo de \(z_2\times z_3\) está no 3.º quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

33.1 — Regra de Ruffini e raízes

z^{3}-z^{2}+16z-16=(z-1)(z^{2}+16)

z^{2}+16=0\Leftrightarrow z=\pm 4i\Rightarrow z=4e^{i\frac{\pi}{2}}\ \lor\ z=4e^{-i\frac{\pi}{2}}

33.2 — Menor n

z_2\times z_3=5e^{i\frac{\pi}{2}}\times e^{i\frac{n\pi}{40}}=5e^{i\frac{20\pi+n\pi}{40}}

Bissetriz do 3.º quadrante: \(\arg=\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\).

\dfrac{20\pi+n\pi}{40}=\dfrac{5\pi+8k\pi}{4}\Rightarrow n=30+80k

Restantes raízes: \(4e^{i\frac{\pi}{2}}\) e \(4e^{-i\frac{\pi}{2}}\); menor \(n=30\).

34. Perímetro do triângulo

34

Teste Intermédio 12.º ano · 26.05.2011Resposta aberta

A equação \(z^{3}-z^{2}+4z-4=0\) tem três soluções em ℂ, sendo uma delas o número real 1. As imagens geométricas das três soluções são vértices de um triângulo. Determine o perímetro desse triângulo (sem calculadora).

1.º — Fatorizar e resolver

z^{3}-z^{2}+4z-4=(z-1)(z^{2}+4)=0\Rightarrow z=1\ \lor\ z=2i\ \lor\ z=-2i

2.º — Medidas dos lados

|1-2i|=\sqrt{5} \qquad |1+2i|=\sqrt{5} \qquad |2i-(-2i)|=4

Perímetro \(=\sqrt{5}+\sqrt{5}+4=4+2\sqrt{5}\).

35. |z₁ + z₂|²

35

Exame 2010, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

Considere \(z_1=e^{i\frac{\pi}{7}}\) e \(z_2=2+i\). Mostre que \(|z_1+z_2|^{2}=6+4\cos\left(\tfrac{\pi}{7}\right)+2\operatorname{sen}\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\), por métodos exclusivamente analíticos.

Como interpretar. Não se somam complexos na forma trigonométrica: passa-se \(z_1\) à forma algébrica, soma-se e calcula-se o módulo ao quadrado (soma dos quadrados das partes).

z_1+z_2=\left(2+\cos\tfrac{\pi}{7}\right)+i\left(1+\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{7}\right)

|z_1+z_2|^{2}=\left(2+\cos\tfrac{\pi}{7}\right)^{2}+\left(1+\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{7}\right)^{2}

Desenvolvendo e usando \(\operatorname{sen}^{2}+\cos^{2}=1\):

=5+4\cos\tfrac{\pi}{7}+2\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{7}+1=6+4\cos\tfrac{\pi}{7}+2\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{7}

Fica provada a igualdade. c.q.m.

36. Bissetriz do 3.º quadrante

36

Exame 2009, ép. especialResposta aberta

Determine \(\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]\) de modo que a imagem geométrica de \(\left(2e^{i\theta}\right)^{2}\times\left(1+\sqrt{3}i\right)\) pertença à bissetriz do 3.º quadrante.

1.º — Simplificar

1+\sqrt{3}i=2e^{i\frac{\pi}{3}}\Rightarrow \left(2e^{i\theta}\right)^{2}\times 2e^{i\frac{\pi}{3}}=8e^{i\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right)}

2.º — Bissetriz do 3.º quadrante

2\theta+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{11\pi}{24}+k\pi

Em \(\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]\): \(\theta=\dfrac{11\pi}{24}\).

37. Imaginário puro — valor de k

37

Exame 2009, 2.ª faseEscolha múltipla

Seja \(k\) um número real e \(z_1=(k-i)(3-2i)\). Qual é o valor de \(k\) para que \(z_1\) seja um imaginário puro?

(A) \(-\tfrac{3}{2}\)

(B) \(-\tfrac{2}{3}\)

(C) \(\tfrac{2}{3}\)

(D) \(\tfrac{3}{2}\)

Como interpretar. Imaginário puro \(\Leftrightarrow\) parte real nula.

\(z_1=(k-i)(3-2i)=(3k-2)+i(-2k-3)\)

\operatorname{Re}(z_1)=0\Leftrightarrow 3k-2=0\Leftrightarrow k=\tfrac{2}{3}

Opção: (C) \(\tfrac{2}{3}\)

38. Área do triângulo [ABC]

38

Exame 2009, 2.ª faseResposta aberta

Considere \(w\) com imagem geométrica \(A\) no 1.º quadrante. Sejam \(B\) e \(C\) as imagens de \(\overline{w}\) e de \(-w\). Sabe-se que \(\overline{BC}=8\) e \(|w|=5\). Determine a área do triângulo \([ABC]\).

Como interpretar. Com \(w=a+bi\) (\(a,b>0\)): \(\overline{w}=a-bi\) e \(-w=-a-bi\). \(B\) e \(C\) têm a mesma ordenada, logo \(\overline{BC}=|2a|\); de \(|w|=5\) tira-se \(b\).

\overline{BC}=|2a|=8\Rightarrow a=4 \qquad |w|=\sqrt{16+b^{2}}=5\Rightarrow b=3

Assim \(A(4,3)\), \(B(4,-3)\), \(C(-4,-3)\): base \(\overline{BC}=8\) e altura \(\overline{AB}=6\).

A_{[ABC]}=\dfrac{8\times 6}{2}=24

Área \(=24\).

39. (−i z₂)ⁿ = −1

39

Exame 2009, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_2=e^{i\frac{5\pi}{6}}\). Determine o menor \(n\in\mathbb{N}\) tal que \((-i\,z_2)^{n}=-1\).

1.º — Simplificar −i z₂

-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}\Rightarrow -i\,z_2=e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6}\right)}=e^{i\frac{\pi}{3}}

2.º — Condição (…)ⁿ = −1

(-i\,z_2)^{n}=e^{i\frac{n\pi}{3}}=e^{i\pi}\Rightarrow \tfrac{n\pi}{3}=\pi+2k\pi\Rightarrow n=3+6k

O menor natural é \(n=3\).

40. Área do triângulo [AOB]

40

Exame 2008, ép. especialResposta aberta

Seja \(z_2=8e^{-i\frac{\pi}{4}}\) e \(z=\overline{z_2}\). Sejam \(A\) e \(B\) as imagens de \(z\) e de \(z_2\). Determine a área do triângulo \([AOB]\), sendo \(O\) a origem.

Como interpretar. \(z=\overline{z_2}\) é o simétrico de \(z_2\) em relação ao eixo real; \(A\) e \(B\) têm a mesma abcissa. Tomando \([AB]\) como base (vertical), a altura é \(|\operatorname{Re}(z)|\).

z_2=8e^{-i\frac{\pi}{4}}=4\sqrt{2}-4\sqrt{2}i\Rightarrow z=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i

\text{base}=2|\operatorname{Im}(z)|=8\sqrt{2}\qquad \text{altura}=\operatorname{Re}(z)=4\sqrt{2}

A_{[AOB]}=\dfrac{8\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}}{2}=32

Área \(=32\).

41. Comprimento de [AB]

41

Exame 2008, 1.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=1-\sqrt{3}i\). Sejam \(A\) e \(B\) as imagens de \(z_1\) e de \(z_2=z_1\cdot i^{46}\). Determine o comprimento do segmento \([AB]\).

1.º — Determinar z₂

i^{46}=i^{2}=-1\Rightarrow z_2=-z_1=-1+\sqrt{3}i

2.º — Comprimento = |z₁ − z₂|

\overline{AB}=|z_1-z_2|=|2-2\sqrt{3}i|=\sqrt{4+12}=4

\(\overline{AB}=4\).

42. Partes imaginárias iguais

42

Exame 2007, 2.ª faseResposta aberta

Sejam \(z_1=3+yi\) e \(z_2=4i\,z_1\), com \(y\in\mathbb{R}\). Sabendo que \(\operatorname{Im}(z_1)=\operatorname{Im}(z_2)\), determine \(z_2\) na forma algébrica.

1.º — Escrever z₂

z_2=4i(3+yi)=-4y+12i\Rightarrow \operatorname{Im}(z_2)=12

2.º — Impor Im(z₁) = Im(z₂)

\operatorname{Im}(z_1)=y=12\Rightarrow z_2=-4(12)+12i=-48+12i

\(z_2=-48+12i\).

43. Paralelogramo [AOBC]; z³/i real

43

Exame 2007, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

Considere \(z=e^{i\alpha}\), com \(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\).

43.1. Na figura, \([AOBC]\) é um paralelogramo em que \(A\) e \(B\) são as imagens de \(z\) e \(\overline{z}\), e \(C\) é a imagem de \(w\). Justifique que \(w=2\cos\alpha\).

43.2. Determine \(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\) para o qual \(\dfrac{z^{3}}{i}\) é um número real.

43.1 — Justificar w = 2 cos α

Como interpretar. Num paralelogramo \([AOBC]\), o vértice \(C\) é a imagem da soma \(z+\overline{z}\) (regra do paralelogramo).

w=z+\overline{z}=(\cos\alpha+i\operatorname{sen}\alpha)+(\cos\alpha-i\operatorname{sen}\alpha)=2\cos\alpha

43.2 — z³/i real

\dfrac{z^{3}}{i}=\dfrac{e^{i(3\alpha)}}{e^{i\frac{\pi}{2}}}=e^{i\left(3\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}

Real \(\Leftrightarrow \operatorname{Im}=0\Leftrightarrow 3\alpha-\tfrac{\pi}{2}=k\pi\Rightarrow \alpha=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3}\).

\(w=2\cos\alpha\) (justificado); em \(\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\): \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\).

44. Solução no 3.º quadrante

44

Exame 2006, ép. especialResposta aberta

Considere a equação \(iz^{3}-\sqrt{3}-i=0\). Uma das soluções tem imagem geométrica no 3.º quadrante. Sem calculadora, determine essa solução, na forma trigonométrica.

1.º — Isolar z³

iz^{3}=\sqrt{3}+i\Rightarrow z^{3}=\dfrac{\sqrt{3}+i}{i}=1-\sqrt{3}i=2e^{-i\frac{\pi}{3}}

2.º — Raízes cúbicas

z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{-\frac{\pi}{3}+2k\pi}{3}}:\ \sqrt[3]{2}\,e^{-i\frac{\pi}{9}},\ \sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{5\pi}{9}},\ \sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{11\pi}{9}}

Qual delas? A do 3.º quadrante é a que tem \(\pi<\arg<\tfrac{3\pi}{2}\), isto é, \(\tfrac{11\pi}{9}\).

\(z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{11\pi}{9}}\).

45. Triângulo equilátero [AOB]

45

Exame 2006, 2.ª faseResposta aberta

Seja \(z\) com imagem \(A\) no 1.º quadrante e \(B\) a imagem de \(\overline{z}\). Sabe-se que o triângulo \([AOB]\) é equilátero e tem perímetro 6. Determine \(z\) na forma algébrica.

Como interpretar. Perímetro 6 \(\Rightarrow\) lado 2, logo \(|z|=|\overline{z}|=\overline{OA}=2\). Como \(B\) é o simétrico de \(A\) no eixo real e \(\overline{AB}=2\), tem-se \(\operatorname{Im}(z)=1\).

z=a+i,\ a>0:\ |z|=\sqrt{a^{2}+1}=2\Rightarrow a^{2}=3\Rightarrow a=\sqrt{3}

\(z=\sqrt{3}+i\).

46. z₁ + z₂ na bissetriz dos ímpares

46

Exame 2005, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

Considere \(z_1=e^{i\alpha}\) e \(z_2=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\). Mostre que a imagem geométrica de \(z_1+z_2\) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Como interpretar. Um afixo pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares quando \(\operatorname{Re}=\operatorname{Im}\).

z_2=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+i\operatorname{sen}\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{sen}\alpha+i\cos\alpha

z_1+z_2=(\cos\alpha+\operatorname{sen}\alpha)+i(\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha)

Como \(\operatorname{Re}(z_1+z_2)=\operatorname{Im}(z_1+z_2)\), o afixo pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. c.q.m.

47. Retângulo [OPQR]

47

Exame 2004, ép. especialResposta aberta

De \(z_1\) e \(z_2\) sabe-se que um argumento de \(z_1\) é \(\tfrac{\pi}{4}\) e \(|z_2|=3\sqrt{2}\). Na figura, \(P\) é a imagem de \(z_1\), \(R\) a de \(z_2\), \(O\) a origem, e o retângulo \([OPQR]\) tem área 6. Determine \(z_1\) e \(z_2\) na forma algébrica.

1.º — Determinar |z₁|

\overline{OP}\times\overline{OR}=6\Rightarrow \overline{OP}\times 3\sqrt{2}=6\Rightarrow |z_1|=\sqrt{2}

2.º — Escrever z₁ e z₂

z_1=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}=1+i

Argumento de z₂. Os lados \([OP]\) e \([OR]\) são perpendiculares, logo \(\arg(z_2)=-\tfrac{\pi}{4}\) (4.º quadrante).

z_2=3\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}=3-3i

\(z_1=1+i\) e \(z_2=3-3i\).

48. z³ e os quadrantes

48

Exame 2004, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

Seja \(z\) com imagem geométrica no 1.º quadrante (eixos não incluídos). Justifique que a imagem geométrica de \(z^{3}\) não pode pertencer ao 4.º quadrante.

Como interpretar. Ao elevar ao cubo, o argumento triplica. Basta ver os valores possíveis de \(\arg(z^{3})\).

0<\theta<\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow 0<3\theta<\tfrac{3\pi}{2}

Logo \(\arg(z^{3})\) pode estar no 1.º (\(0<3\theta<\tfrac{\pi}{2}\)), 2.º (\(\tfrac{\pi}{2}<3\theta<\pi\)) ou 3.º quadrante (\(\pi<3\theta<\tfrac{3\pi}{2}\)), mas nunca no 4.º (que exigiria \(\tfrac{3\pi}{2}<3\theta<2\pi\)).

A imagem de \(z^{3}\) nunca pertence ao 4.º quadrante. c.q.m.

49. Área = 8; determinar z

49

Exame 2003, 2.ª faseResposta aberta

Seja \(z\) com imagem \(A\) no 2.º quadrante, pertencente à reta \(\operatorname{Re}(z)=-2\). Seja \(B\) a imagem de \(\overline{z}\) e \(O\) a origem. Sabendo que a área do triângulo \([AOB]\) é 8, determine \(z\) na forma algébrica.

Como interpretar. Com \(z=-2+bi\) (\(b>0\)), \(B=\overline{z}=-2-bi\). Tomando \([AB]\) como base (vertical, comprimento \(2b\)), a altura é a distância de \(O\) à reta \(\operatorname{Re}=-2\), ou seja, 2.

A_{[AOB]}=\dfrac{2b\times 2}{2}=8\Rightarrow 2b=8\Rightarrow b=4

\(z=-2+4i\).

50. Equação z² = z̄ × z₁

50

Exame 2002, prova para militaresResposta aberta

Seja \(z_1=1-i\). Determine, na forma trigonométrica, os valores não nulos de \(z\) para os quais \(z^{2}=\overline{z}\times z_1\).

1.º — Formas trigonométricas

z_1=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}} \qquad z=\rho e^{i\theta}\Rightarrow z^{2}=\rho^{2}e^{i(2\theta)},\ \ \overline{z}\,z_1=\rho\sqrt{2}\,e^{i\left(-\theta-\frac{\pi}{4}\right)}

2.º — Igualar módulos e argumentos

\rho^{2}=\rho\sqrt{2}\Rightarrow \rho=\sqrt{2}\qquad 3\theta=-\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\Rightarrow \theta=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{2k\pi}{3}

\(z=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{12}}\ \lor\ \sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{12}}\ \lor\ \sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}\).

51. Raiz de um polinómio

51

Exame 2002, 2.ª faseResposta aberta

Considere \(z_1=1+i\).

51.1. Determine os números reais \(b\) e \(c\) para os quais \(z_1\) é raiz do polinómio \(x^{2}+bx+c\).

51.2. Seja \(z_2=e^{i\alpha}\). Determine \(\alpha\in[0,2\pi]\) para o qual \(z_1\times\overline{z_2}\) é um número real negativo.

51.1 — Determinar b e c

(1+i)^{2}+b(1+i)+c=0\Leftrightarrow (b+c)+(2+b)i=0

\begin{cases}b+c=0\\ 2+b=0\end{cases}\Rightarrow b=-2,\ c=2

51.2 — Valor de α

z_1=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}},\ \overline{z_2}=e^{-i\alpha}\Rightarrow z_1\times\overline{z_2}=\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}

\tfrac{\pi}{4}-\alpha=\pi+2k\pi\Rightarrow \alpha=-\tfrac{3\pi}{4}-2k\pi

Em \([0,2\pi]\) (com \(k=-1\)): \(\alpha=\tfrac{5\pi}{4}\).

\(b=-2\), \(c=2\); \(\alpha=\dfrac{5\pi}{4}\).

52. Perímetro do triângulo [ABO]

52

Exame 2002, 1.ª fase - 1.ª chamadaResposta aberta

Considere \(z_1=1+i\) e \(z_2=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\). Sejam \(A\), \(B\) e \(O\) as imagens de \(z_1\), \(z_2\) e a origem. Determine o perímetro do triângulo \([ABO]\).

1.º — z₂ na forma algébrica

z_2=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=-1+i

2.º — Medidas dos lados

\overline{OA}=|z_1|=\sqrt{2}\quad \overline{OB}=|z_2|=\sqrt{2}\quad \overline{AB}=|z_1-z_2|=|2|=2

Perímetro \(=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}\).

53. Área = 16; determinar z₁

53

Exame 2001, prova para militaresResposta aberta

Considere \(z_1=\rho\,e^{i\frac{\pi}{3}}\) (\(\rho\in\mathbb{R}^{+}\)) e \(z_2=2i\times z_1\). Sejam \(A\) e \(B\) as imagens de \(z_1\) e \(z_2\) e \(O\) a origem. Sabendo que a área do triângulo \([AOB]\) é 16, determine \(z_1\) na forma algébrica.

Como interpretar. \(z_2=2i\,z_1\) roda \(z_1\) de \(\tfrac{\pi}{2}\), logo o ângulo \(AOB\) é reto — \([OA]\) e \([OB]\) servem de base e altura.

z_2=2\rho\,e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}\Rightarrow \arg(z_2)-\arg(z_1)=\tfrac{\pi}{2}

A_{[AOB]}=\dfrac{|z_1||z_2|}{2}=\dfrac{\rho\times 2\rho}{2}=\rho^{2}=16\Rightarrow \rho=4

z_1=4e^{i\frac{\pi}{3}}=2+2\sqrt{3}i

\(z_1=2+2\sqrt{3}i\).

54. Bissetriz dos quadrantes ímpares

54

Exame 2001, ép. especialResposta aberta · demonstração

Seja \(z_1=1+i\). Prove que, qualquer que seja o número natural \(n\), a imagem geométrica de \(z_1^{\,4n+1}\) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

1.º — Forma trigonométrica e potência

z_1=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\Rightarrow z_1^{\,4n+1}=\left(\sqrt{2}\right)^{4n+1}e^{i\left(\frac{\pi}{4}+n\pi\right)}

2.º — Argumento

O argumento é da forma \(\tfrac{\pi}{4}+n\pi\), com \(n\in\mathbb{N}\), ou seja, \(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\).

Como \(\arg\left(z_1^{\,4n+1}\right)=\tfrac{\pi}{4}+n\pi\), a imagem está sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares para todo o \(n\). c.q.m.

55. Losango; equação

55

Exame 2001, 1.ª fase - 2.ª chamadaResposta aberta

Seja \(z_1=4i\).

55.1. A imagem de \(z_1\) é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 20, centrado na origem. Determine os números complexos cujas imagens são os restantes vértices.

55.2. Resolva a equação \(\left(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2}\cdot z=2+z_1\), na forma algébrica (sem calculadora).

55.1 — Vértices do losango

Como interpretar. Lado \(=\tfrac{20}{4}=5\). Como o losango está centrado em \(O\), as diagonais estão sobre os eixos: o vértice oposto a \(A\) é \(-z_1\), e os outros dois são reais \(\pm a\) com \(|z_1-a|=5\).

|4i-a|=5\Rightarrow a^{2}+16=25\Rightarrow a=\pm 3

z_2=-4i,\quad z_3=3,\quad z_4=-3

55.2 — Resolver a equação

\left(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2}=2i\Rightarrow 2i\,z=2+4i\Rightarrow z=\dfrac{2+4i}{2i}=2-i

Restantes vértices: \(-4i\), \(3\) e \(-3\); \(z=2-i\).

56. Raiz quadrada; quadrante

56

Exame 2001, prova modeloResposta aberta

Considere \(z_1=7+24i\).

56.1. Um ponto \(P\) é a imagem de uma das raízes quadradas de \(z_1\), e tem abcissa 4. Determine a sua ordenada.

56.2. Seja \(z_2=e^{i\alpha}\) com \(\alpha\in\left]\tfrac{3\pi}{4},\pi\right[\). Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem de \(z_1\times z_2\).

56.1 — Ordenada de P

(4+bi)^{2}=z_1\Rightarrow 16-b^{2}+8bi=7+24i\Rightarrow 8b=24\Rightarrow b=3

56.2 — Quadrante de z₁ × z₂

Como \(\operatorname{Re}(z_1)>0\), \(\operatorname{Im}(z_1)>0\) e \(\operatorname{Re}(z_1)<\operatorname{Im}(z_1)\), tem-se \(\tfrac{\pi}{4}<\arg(z_1)<\tfrac{\pi}{2}\). Somando \(\arg(z_2)=\alpha\in\left]\tfrac{3\pi}{4},\pi\right[\):

\pi<\arg(z_1\times z_2)<\tfrac{3\pi}{2}

Ordenada de \(P\): \(3\). A imagem de \(z_1\times z_2\) situa-se no 3.º quadrante.

57. Ângulo reto; forma algébrica

57

Exame 2000, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Sejam \(z_1\) e \(z_2\) tais que \(z_1\) tem argumento \(\tfrac{\pi}{6}\) e \(z_2=z_1^{\,4}\). Sejam \(A_1\) e \(A_2\) as imagens de \(z_1\) e \(z_2\).

57.1. Justifique que o ângulo \(A_1OA_2\) é reto.

57.2. A circunferência \(C\) definida por \(|z|=|z_1|\) tem perímetro \(4\pi\). Represente \(z_1\) na forma algébrica.

57.1 — Ângulo reto

z_2=z_1^{\,4}=\rho^{4}e^{i\frac{2\pi}{3}}\Rightarrow \arg(z_2)-\arg(z_1)=\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{2}

O ângulo \(A_1OA_2\) mede \(\tfrac{\pi}{2}\), logo é reto.

57.2 — z₁ na forma algébrica

P_C=2\pi r=4\pi\Rightarrow r=2=|z_1|

z_1=2e^{i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}+i

O ângulo é reto; \(z_1=\sqrt{3}+i\).

58. Raízes; ângulo reto

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Exame 2000, prova modeloResposta aberta

58.1. Considere o polinómio \(x^{3}-3x^{2}+6x-4\). Determine analiticamente as suas raízes em ℂ, sabendo que uma delas é 1, na forma algébrica.

58.2. Seja \(z\) de módulo 2 e \(\overline{z}\) o seu conjugado. \(A\) é a imagem de \(z\) (no 1.º quadrante) e \(B\) a de \(\overline{z}\); o ângulo \(AOB\) é reto. Determine \(\dfrac{z}{i}\) na forma algébrica.

58.1 — Raízes do polinómio

x^{3}-3x^{2}+6x-4=(x-1)(x^{2}-2x+4)

x^{2}-2x+4=0\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}i

Raízes: \(1,\ 1+\sqrt{3}i,\ 1-\sqrt{3}i\).

58.2 — Determinar z/i

Como interpretar. \(B=\overline{z}\) é o simétrico de \(A\) no eixo real; se \(A_1OA_2\)... o ângulo \(AOB\) reto dá \(2\arg(z)=\tfrac{\pi}{2}\), logo \(\arg(z)=\tfrac{\pi}{4}\).

z=2e^{i\frac{\pi}{4}}\Rightarrow \dfrac{z}{i}=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{4}}}{e^{i\frac{\pi}{2}}}=2e^{-i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-\sqrt{2}i

Raízes: \(1,\ 1\pm\sqrt{3}i\); \(\dfrac{z}{i}=\sqrt{2}-\sqrt{2}i\).