- Regra de Laplace: \(P=\dfrac{\text{n.º de casos favoráveis}}{\text{n.º de casos possíveis}}\) (casos equiprováveis).
- Arranjos sem repetição: \({}^{n}A_{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) — a ordem conta e não há repetição.
- Arranjos com repetição: \({}^{n}A'_{p}=n^{p}\) — a ordem conta e pode repetir.
- Combinações: \({}^{n}C_{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!\,p!}\) — a ordem não conta.
- Permutações: \(P_{n}=n!\) (ordenar \(n\) elementos).
- "Pelo menos": muitas vezes é mais rápido pelo acontecimento contrário, \(P(A)=1-P(\overline{A})\).
- Elementos "juntos": trata-se o bloco como um único elemento e multiplica-se pelas permutações internas do bloco.
1. Sapatos em compartimentos adjacentes
A Margarida tem cinco pares de sapatos, de cores diferentes, e uma sapateira com dez compartimentos (A a J), dispostos em 5 linhas por 2 colunas. Guarda ao acaso um par por compartimento. Determine a probabilidade de o par branco e o par preto ficarem em compartimentos adjacentes (que partilham um lado). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Mesma linha: \(5\times 2\) posições; mesma coluna adjacente: \(8\times 2\) posições. Em ambos os casos os restantes 3 pares dispõem-se em \({}^{8}A_{3}\).
2. Pelo menos um de Matemática A
Numa assembleia, 25 alunos são do 12.º ano e, destes, 10 frequentam Matemática A. Vão ser selecionados três alunos do 12.º ano, ao acaso. Qual é a probabilidade de, pelo menos, um frequentar Matemática A?
3. Grupo de seis alunos
Uma turma tem 25 alunos com 17 ou 18 anos. A Isabel e o José têm 17 anos. Sabe-se que 64% são rapazes, \(\tfrac34\) dos rapazes têm 17 anos e \(\tfrac13\) das raparigas têm 18 anos. Escolhe-se ao acaso um grupo de seis alunos. Determine a probabilidade de o grupo ser constituído pela Isabel, pelo José, por outro aluno com 17 anos e por três alunos com 18 anos. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.
Rapazes: \(25\times 0{,}64=16\); rapazes com 17: \(16\times\tfrac34=12\), com 18: 4. Raparigas: 9; com 18: \(9\times\tfrac13=3\). Total com 18 anos: \(4+3=7\); com 17 anos: 18.
Casos favoráveis / possíveisFixam-se a Isabel e o José; falta 1 dos restantes \(18-2=16\) com 17 anos e 3 dos 7 com 18 anos.
4. Código multibanco
O código de um cartão multibanco é uma sequência de quatro algarismos (de 0 a 9), atribuído ao acaso. Determine a probabilidade de o código ter todos os algarismos diferentes, um deles ser o zero e a soma dos quatro ser ímpar. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
5. Pelo menos três bolas verdes
Um saco tem 200 bolas (amarelas e verdes), das quais 49% são verdes. Extraem-se ao acaso quatro bolas. Determine a probabilidade de o conjunto conter, pelo menos, três bolas verdes. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas.
6. Vértices do prisma
Na figura está o prisma reto \([ABCDEFGH]\), de bases \([ABCD]\) e \([EFGH]\) (trapézios retângulos). Selecionam-se, ao acaso, dois vértices de cada base. Determine a probabilidade de os quatro vértices selecionados não pertencerem a uma mesma face lateral. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Há 4 faces laterais (4 casos favoráveis a \(F\)):
7. Bombons numa caixa
O Rui tem nove bombons: quatro de amêndoa, dois de avelã e três de noz. Coloca-os ao acaso numa caixa com nove compartimentos (3 linhas × 3 colunas), um por compartimento. Determine a probabilidade de uma das três linhas ficar preenchida só com bombons de amêndoa. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Escolhe-se 1 das 3 linhas para os amêndoas; sobra 1 amêndoa (\({}^{6}C_{1}\)), 2 avelãs (\({}^{5}C_{2}\)) e as nozes:
8. Hexágonos concêntricos
Uma composição tem \(n\) hexágonos regulares inscritos em circunferências concêntricas de centro \(V\) (\(n>3\)). Considere o conjunto formado por \(V\) e por todos os vértices. Selecionando ao acaso dois pontos, a probabilidade de serem vértices do mesmo hexágono é \(\tfrac{5}{49}\). Determine \(n\).
9. Jovens de idades distintas
Num grupo há 70 jovens com 13 ou 14 anos, havendo mais de 14 anos do que de 13. Selecionam-se dois ao acaso. Sabe-se que a probabilidade de terem idades distintas é \(\tfrac{16}{35}\). Determine o número de jovens com 13 anos.
10. Regime presencial — explicar a expressão
Uma empresa tem 60 funcionários: 40% presencial todos os dias, 25% à distância todos os dias, os restantes 2 dias presencial e 3 à distância. Selecionam-se quatro. A expressão \(\dfrac{{}^{60}C_{4}-{}^{45}C_{4}}{{}^{60}C_{4}}\) dá a probabilidade de, no máximo, três trabalharem presencialmente pelo menos dois dias. Explique a expressão (Laplace, casos possíveis e favoráveis).
Casos possíveis — \({}^{60}C_{4}\): grupos de 4 funcionários de entre os 60 (a ordem é irrelevante).
Casos favoráveis — trabalham presencialmente, pelo menos 2 dias por semana, os que estão sempre presenciais (40%) e os que estão 2 dias presenciais: \(40\%+35\%=75\%\) de 60 \(=45\). "No máximo três" é o contrário de "os quatro"; por isso subtraem-se os grupos formados só por esses 45: \({}^{60}C_{4}-{}^{45}C_{4}\).
11. Cartões azuis juntos
Um saco tem 12 cartões: 3 azuis, 2 brancos, 3 pretos e 4 vermelhos. Retiram-se sucessivamente e alinham-se pela ordem de saída. Determine a probabilidade de os cartões azuis ficarem todos juntos. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
12. Raquetes de badmínton e ténis
Com 12 raquetes distintas (6 de badmínton e 6 de ténis) formam-se, ao acaso, dois conjuntos de seis. Qual é o valor, arredondado às centésimas, da probabilidade de cada conjunto ficar com três de badmínton e três de ténis?
13. Cinco alunos da turma
Numa turma de 30 alunos (15, 16 e 17 anos), 60% são raparigas; um terço dos rapazes tem 17 anos e um terço das raparigas tem 15 ou 16 anos. O André e a Beatriz têm 16 anos. Escolhem-se cinco alunos ao acaso. Determine a probabilidade de o grupo ser formado pelo André, pela Beatriz, por dois alunos com 17 anos e por outro com 15 ou 16 anos. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
14. Dado — número capicua
Lança-se um dado (faces 1 a 6) quatro vezes, formando um número de quatro algarismos. Qual é a probabilidade de esse número ser par, menor do que 5000 e capicua?
15. Plano com uma face do cubo
Num cubo \([MNPQRSTU]\) escolhem-se ao acaso três vértices distintos. Qual é a probabilidade de o plano por eles definido conter uma das faces do cubo?
16. Escolher o número 5
Quatro pessoas escolhem, cada uma em segredo, um número de 1 a 5. Qual é a probabilidade de exatamente duas escolherem o número 5?
17. Menor 3 e maior 8
Um saco tem nove cartões (1 a 9). Retiram-se simultaneamente quatro. Qual é a probabilidade de o menor ser 3 e o maior ser 8?
18. Vetor de cota nula
No paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\) (com \(A\) em \(Ox\) e \(B\) em \(Oy\)) escolhem-se ao acaso dois vértices distintos, \(X\) e \(Y\). Determine a probabilidade de a terceira coordenada de \(\overrightarrow{XY}\) ser zero. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
19. Bolas com logotipo juntas
De dez bolas amarelas, três têm logotipo. Dispõem-se ao acaso as dez em linha. Qual é a probabilidade de as três com logotipo ficarem juntas?
20. Código com produto ímpar
Dispõe-se de 14 caracteres (algarismos 1 a 9 e vogais a, e, i, o, u) para formar códigos de quatro caracteres (repetidos ou não). Escolhe-se um ao acaso. Determine a probabilidade de ser constituído por quatro algarismos diferentes cujo produto seja ímpar. Apresente o resultado arredondado às milésimas.
21. Vértices numa face lateral
Num prisma hexagonal regular, escolhem-se ao acaso dois vértices de cada base. Determine a probabilidade de os quatro pontos pertencerem a uma mesma face lateral. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
22. Menores números 7 e 22
De 30 cartões (1 a 30) retiram-se simultaneamente quatro. Qual é a probabilidade de os dois menores números serem 7 e 22? Apresente o resultado arredondado às milésimas.
23. Plano perpendicular a xOy
No prisma quadrangular regular \([OPQRSTUV]\) (face \([OPQR]\) no plano \(xOy\)), escolhem-se ao acaso três vértices. Determine a probabilidade de o plano por eles definido ser perpendicular ao plano \(xOy\). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
24. Significado de P(Ā∪B)
Um saco tem \(n\) bolas (\(n\) par, \(>6\)), numeradas de 1 a \(n\). Retira-se uma. Sejam \(A\): "número \(\le 6\)" e \(B\): "número par". Escreva o significado de \(P(\overline{A}\cup B)\) e determine uma expressão, em função de \(n\), na forma de fração.
Números \(>6\): \(n-6\); números pares \(\le 6\) (não contados antes): 2, 4, 6 → 3. Total favorável: \((n-6)+3=n-3\).
25. Duas pares e uma ímpar
Um saco tem \(n\) bolas (1 a \(n\), \(n\) par \(>3\)). Retiram-se simultaneamente três. Escreva uma expressão, em função de \(n\), para a probabilidade de duas terem número par e uma ter número ímpar. Não simplifique.
26. Produto das três bolas igual a 2
Um saco tem nove bolas (1 a 9). Retiram-se sucessivamente três, com reposição. Qual é a probabilidade de o produto dos números ser igual a 2? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
27. Colorir o poliedro
O poliedro \([NOPQRSTUV]\) (cubo + pirâmide) tem 9 faces: 4 triangulares e 5 quadradas. Colorem-se ao acaso com 7 cores (uma branca, uma azul). Determine a probabilidade de ficar com exatamente duas faces brancas (ambas triangulares), duas azuis (ambas quadradas) e as restantes com cores todas diferentes. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.
28. Residentes em Coimbra — explicar
Numa empresa com 80 funcionários, 60% residem fora de Coimbra. Escolhem-se três ao acaso. A probabilidade de, no máximo, dois residirem em Coimbra é \(\dfrac{{}^{80}C_{3}-{}^{32}C_{3}}{{}^{80}C_{3}}\). Explique a expressão (Laplace, casos possíveis e favoráveis).
Casos possíveis — \({}^{80}C_{3}\): grupos de 3 de entre os 80 (ordem irrelevante).
Casos favoráveis — residem em Coimbra 40% de 80 \(=32\). "No máximo dois em Coimbra" é o contrário de "os três em Coimbra"; subtraem-se os grupos só com esses 32: \({}^{80}C_{3}-{}^{32}C_{3}\).
29. Desporto escolar
Numa turma de 25 alunos, 80% estão inscritos no desporto escolar. Escolhem-se três ao acaso. Determine a probabilidade de, pelo menos, dois estarem inscritos. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
30. Plano paralelo a z = 5
No octaedro \([ABCDEF]\) (vértices nos eixos) escolhem-se ao acaso três vértices. Qual é a probabilidade de definirem um plano paralelo ao plano \(z=5\)?
31. Bolas azuis lado a lado
Uma caixa tem seis bolas (só distinguíveis pela cor): duas azuis e quatro pretas. Retiram-se todas, uma a uma, sem reposição, colocando-as lado a lado. Determine a probabilidade de as duas azuis ficarem uma ao lado da outra. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
32. Bolas não todas da mesma cor
Uma caixa tem nove bolas (só distinguíveis pela cor): seis pretas, duas brancas e uma amarela. Retiram-se simultaneamente três. Determine a probabilidade de não terem todas a mesma cor. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
33. Epidemia de gripe
Numa escola com 300 alunos, 17 estão com gripe. Escolhem-se 3 ao acaso. Qual é a probabilidade de pelo menos um estar com gripe? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
34. Reta paralela do octaedro
Num octaedro regular \([ABCDEF]\) (vértices nos eixos) escolhem-se ao acaso dois vértices. Qual é a probabilidade de a reta que definem ser paralela à reta \(x=1\wedge y=2\)? Apresente o resultado na forma de fração.
35. Apostadores no euromilhões
Numa empresa de 50 funcionários, 80% apostam no euromilhões. Escolhem-se oito ao acaso. Determine a probabilidade de, pelo menos, sete serem apostadores. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
36. João e Margarida não juntos
Sete amigos (incluindo o João e a Margarida) sentam-se ao acaso numa fila de sete lugares. Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem lado a lado?
37. Duas raparigas e um rapaz
Numa escola com 200 alunos, 55% são raparigas. Escolhem-se três ao acaso. Determine a probabilidade de serem duas raparigas e um rapaz. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
38. Probabilidade condicionada P(B̄|A)
A caixa 1 tem 1 bola branca e 2 pretas; a caixa 2 tem 3 brancas e 4 pretas. Tiram-se 2 da caixa 1 para a caixa 2; depois tiram-se 2 da caixa 2. \(A\): "as da caixa 1 são da mesma cor"; \(B\): "as da caixa 2 são da mesma cor". Determine \(P(\overline{B}|A)\), sem a fórmula da probabilidade condicionada.
Se as da caixa 1 são da mesma cor, são as duas pretas (não há duas brancas). A caixa 2 fica com 3 brancas e 6 pretas (9 bolas).
39. Cor preferida no tetraedro
Um tetraedro tem as faces numeradas de 1 a 4. O João tem 12 cores (uma preferida) e seleciona ao acaso 4 cores diferentes para pintar as 4 faces (uma cor por face). Determine a probabilidade de uma das faces ficar pintada com a cor preferida. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
40. Pelo menos duas figuras
Das 13 cartas do naipe de copas (ás, 3 figuras e 9 cartas do 2 ao 10), retiram-se ao acaso 4. Determine a probabilidade de obter pelo menos duas figuras. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
41. Caixas do medicamento Y
Um lote tem 10 caixas do medicamento X e 20 do Y (indistinguíveis). Retiram-se ao acaso quatro. Qual é a probabilidade de serem todas do medicamento Y?
42. Soma igual a 7
Um saco tem 16 bolas (1 a 16). Retiram-se simultaneamente duas e somam-se os números. Qual é a probabilidade de a soma ser 7?
43. Pelo menos uma carta de copas
A Ana tem sete cartas: quatro de espadas e três de copas. Baralha e tira três ao acaso. Qual é a probabilidade de haver pelo menos uma de copas? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
44. P(B|A) — Maria e Manuel
Numa turma de 27 alunos (17 rapazes), escolhe-se ao acaso um grupo de cinco. \(A\): "a Maria e o Manuel são escolhidos"; \(B\): "dos cinco, dois são rapazes e três raparigas". Uma resposta correta para \(P(B|A)\) é \(\dfrac{16\times {}^{9}C_{2}}{{}^{25}C_{3}}\). Explique porquê.
Casos possíveis — sabendo que a Maria e o Manuel entram, faltam 3 alunos de entre os outros 25: \({}^{25}C_{3}\).
Casos favoráveis — ao Manuel (rapaz) junta-se 1 dos restantes 16 rapazes; à Maria (rapariga) juntam-se 2 das restantes 9 raparigas: \(16\times {}^{9}C_{2}\). Assim o grupo fica com 2 rapazes e 3 raparigas.
45. Os três amigos
De dez trabalhadores (três amigos: João, António e Manuel) escolhem-se três ao acaso. Qual é a probabilidade de serem, exatamente, os três amigos?
46. Teste de escolha múltipla
Um teste tem oito perguntas; a sequência correta é \(A\,A\,B\,D\,A\,D\,A\,A\). O Pedro respondeu ao acaso, tendo escolhido cinco opções A, uma B e duas D. Qual é a probabilidade de ter acertado em todas?
47. Prisma pentagonal
Um prisma pentagonal regular tem 10 vértices (quatro designados por \(A\), \(B\), \(E\), \(O\)).
47.1. Escolhem-se ao acaso três dos dez vértices. Qual é a probabilidade de pertencerem todos a uma mesma face? (fração irredutível)
47.2. Escolhe-se ao acaso um vértice em cada base. Qual é a probabilidade de o segmento definido ser diagonal de uma face? (fração irredutível)
Casos possíveis: \({}^{10}C_{3}\). Trios numa base: \(2\times {}^{5}C_{3}\); trios numa face lateral: \(5\times {}^{4}C_{3}\).
Um vértice em cada base: \(5\times 5=25\) escolhas. Diagonais de faces laterais: 5 faces × 2 diagonais \(=10\).
48. Redigir um problema
Um saco tem bolas azuis e verdes. Redija um problema de probabilidade cuja resposta seja \(\dfrac{{}^{7}C_{4}\times 3+{}^{7}C_{5}}{{}^{10}C_{5}}\), explicitando o total de bolas, o número de cada cor, a experiência e o acontecimento.
49. Dois CD
A Maria gravou nove CD: sete de rock e dois de música popular. Escolhe dois ao acaso. Qual é a probabilidade de um ser de rock e o outro de popular?
50. Exatamente dois ases
De um baralho de 52 cartas (4 ases), cada jogador recebe três cartas. Uma resposta correta para a probabilidade de receber exatamente dois ases é \(\dfrac{{}^{4}C_{2}\times 48}{{}^{52}C_{3}}\). Justifique (Laplace, casos possíveis e favoráveis).
Casos possíveis — \({}^{52}C_{3}\): conjuntos de 3 cartas de entre as 52 (ordem irrelevante).
Casos favoráveis — escolhem-se 2 dos 4 ases (\({}^{4}C_{2}\)) e 1 carta das \(52-4=48\) que não são ases.
51. Sequência de cartas
De um baralho de 40 cartas (4 naipes; cada naipe tem Ás, Dama, Valete, Rei e seis cartas do 2 ao 7), dão-se sucessivamente seis a um jogador. Qual é a probabilidade de obter a sequência 2 – 4 – 6 – 7 – Dama – Rei?
52. Produto ímpar
Um saco tem onze bolas (1 a 11). Extraem-se simultaneamente três. Qual é a probabilidade de o produto ser ímpar? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
53. Cubo e octaedro
Um cubo \([ABCDEFGH]\) e um octaedro \([IJKLMN]\): cada vértice do octaedro pertence a uma face do cubo (14 vértices ao todo). Escolhem-se ao acaso cinco. Qual é a probabilidade de pertencerem todos à mesma face do cubo? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
54. Chave do Totoloto
A chave do Totoloto tem seis números distintos de 1 a 49. Qual é a probabilidade de a próxima chave incluir os números 1, 2 e 3?
55. Ana dança com o João
Três rapazes (João, Rui, Paulo) e três raparigas (Ana, Maria, Francisca) dançam aos pares, ao acaso. A probabilidade de a Ana dançar com o João é \(\dfrac{2}{3!}\). Explique o raciocínio (Laplace, casos possíveis e favoráveis).
Casos possíveis — fixando a ordem das raparigas, os pares correspondem às ordenações dos 3 rapazes: \(3!\).
Casos favoráveis — a Ana dança com o João; os outros dois rapazes distribuem-se pelas outras duas raparigas de 2 maneiras.
56. João e Maria lado a lado
O João, a Maria e três amigos ocupam ao acaso cinco lugares seguidos numa fila. Qual é a probabilidade de o João e a Maria ficarem lado a lado?
57. Rifa com um único algarismo 5
As rifas têm três algarismos (000 a 999). Sorteia-se uma. Qual é a probabilidade de a rifa premiada ter um único algarismo cinco? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às centésimas.
58. Produto igual a 6
Lança-se três vezes um dado (1 a 6) e multiplicam-se os números. Uma resposta correta para a probabilidade de o produto ser 6 é \(\dfrac{3!+3}{6^{3}}\). Explique (Laplace, casos possíveis e favoráveis).
Casos possíveis — \({}^{6}A'_{3}=6^{3}\): três lançamentos com repetição e ordem relevante.
Casos favoráveis — produto 6: \(1\times 2\times 3\) (em qualquer ordem → \(3!\)) ou \(1\times 1\times 6\) (3 posições para o 6 → 3).
59. Teste do Gonçalo
Cinco condutores (um é o Gonçalo) foram parados. A Brigada escolhe ao acaso dois para o teste de alcoolemia. Qual é a probabilidade de o Gonçalo ter de fazer o teste? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
60. Ás, rei, dama e valete
De 16 cartas (4 ases, 4 reis, 4 damas, 4 valetes), separadas em dois grupos (ases+reis; damas+valetes), retiram-se duas de cada grupo. Determine a probabilidade de obter um ás, um rei, uma dama e um valete. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
61. Extremos de uma aresta
Escolhem-se ao acaso dois vértices distintos de um paralelepípedo retângulo. Qual é a probabilidade de serem extremos de uma aresta?
62. Maior número ser 10
Um saco tem 20 bolas (1 a 20). Extraem-se simultaneamente três. Qual é a probabilidade de o maior número ser 10?
63. Um e um só Ás
De um baralho de 52 cartas (4 ases), retiram-se sucessivamente e sem reposição seis cartas. Qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Ás? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
64. Bolas com o mesmo número
Um saco tem dez bolas: quatro com o número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3. Tiram-se simultaneamente duas. Determine a probabilidade de terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
65. Soma das idades igual a 12
Numa sala de Tempos Livres, a distribuição por idade e sexo é:
| 5 anos | 6 anos | 7 anos | |
|---|---|---|---|
| Rapaz | 1 | 5 | 2 |
| Rapariga | 3 | 5 | 7 |
Escolhem-se dois alunos ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma das suas idades ser 12? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
66. Reta paralela a Oz
Um prisma hexagonal regular tem uma base no plano \(z=2\). Escolhem-se ao acaso dois vértices. Qual é a probabilidade de definirem uma reta paralela ao eixo \(Oz\)? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
67. Plano perpendicular a Oy
Num octaedro regular (vértices nos eixos, dois por eixo) escolhem-se ao acaso três vértices. Qual é a probabilidade de definirem um plano perpendicular ao eixo \(Oy\)?
68. Segmento que interseta Ox
No gráfico de \(f(x)=x^{2}-9\), consideram-se os pontos de abcissas \(-4,-2,0,2,4\). Escolhem-se ao acaso dois e traça-se o segmento. Qual é a probabilidade de intersetar o eixo das abcissas?
69. Triângulo equilátero no hexágono
Num hexágono regular (vértices 1 a 6), lança-se três vezes um dado; em cada lançamento seleciona-se o vértice correspondente. Qual é a probabilidade de se selecionarem três pontos que sejam vértices de um triângulo equilátero?
70. Probabilidade condicionada P(B|A)
A caixa 1 tem 2 pretas e 3 verdes; a caixa 2 tem 2 pretas e 1 verde. Tiram-se 3 da caixa 1 para a caixa 2; depois tiram-se 2 da caixa 2. \(A\): "as 3 da caixa 1 são da mesma cor"; \(B\): "as 2 da caixa 2 são de cores diferentes". Determine \(P(B|A)\), sem a fórmula da probabilidade condicionada, na forma de fração irredutível.
71. Amarela e verde
Uma caixa tem 2 pretas e 1 verde; juntam-se \(n\) amarelas (fica com 2 pretas, 1 verde e \(n\) amarelas). Tiram-se simultaneamente duas. Sabendo que a probabilidade de uma ser amarela e a outra verde é \(\tfrac{5}{39}\), determine \(n\).
72. Diogo, Elsa e Filipe
Seis amigos sentam-se ao acaso numa mesa redonda com seis lugares (numerados de 1 a 6). Determine a probabilidade do acontecimento \(A\): "o Diogo, a Elsa e o Filipe sentam-se em lugares consecutivos, com a Elsa no meio". Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
73. Produto par
Duas caixas A e B, cada uma com quatro bolas numeradas (ver figura). Extraem-se duas da caixa A e uma da B, e multiplicam-se os três números. Qual é a probabilidade de o produto ser par?
Logo o produto é sempre par: a probabilidade é 1.
74. Doze bolas extraídas
Num saco há 3 bolas pretas e 9 brancas (indistinguíveis). Extraem-se, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas.
74.1. Probabilidade de as duas primeiras não serem da mesma cor. (fração irredutível)
74.2. Probabilidade de as três pretas serem extraídas consecutivamente. (fração irredutível)
Só as duas primeiras: \({}^{12}A_{2}\) pares ordenados. Favoráveis: (preta, branca) ou (branca, preta): \(3\times 9+9\times 3\).
Bloco das 3 pretas (\(3!\)) entre 10 elementos (as 9 brancas e o bloco): \(10!\); total: \(12!\).
75. Soma igual a cinco — explicar
Um saco tem 12 bolas: três com o número 1, cinco com o número 2 e quatro com o número 3. Retiram-se três ao acaso. Uma resposta correta para a probabilidade de a soma ser 5 é \(\dfrac{{}^{3}C_{2}\times 4+{}^{5}C_{2}\times 3}{{}^{12}C_{3}}\). Explique-a.
Casos possíveis — \({}^{12}C_{3}\): conjuntos de 3 bolas de entre as 12.
Casos favoráveis — soma 5 = \(1+1+3\) ou \(2+2+1\). Do tipo \(1+1+3\): \({}^{3}C_{2}\) (duas das três bolas "1") \(\times 4\) (uma das quatro "3"). Do tipo \(2+2+1\): \({}^{5}C_{2}\times 3\).
76. Moedas do João
O João tem seis moedas: duas de 1 € e quatro de 50 cêntimos. Retira ao acaso duas, informando que são iguais. A Inês aposta que a quantia é 2 €. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
77. Filas de cinema — explicar
25 jovens (12 rapazes, 13 raparigas) e apenas 20 bilhetes (duas filas de 10). Distribuem-se ao acaso. Uma resposta correta para a probabilidade de uma fila ficar só com rapazes e a outra só com raparigas é \(\dfrac{{}^{12}C_{10}\times {}^{13}C_{10}\times 2\times 10!\times 10!}{{}^{25}C_{20}\times 20!}\). Explique-a.
Casos possíveis — escolher os 20 jovens que assistem (\({}^{25}C_{20}\)) e sentá-los nos 20 lugares (\(20!\)).
Casos favoráveis — 10 dos 12 rapazes (\({}^{12}C_{10}\)) ordenados (\(10!\)) numa fila; 10 das 13 raparigas (\({}^{13}C_{10}\)) ordenadas (\(10!\)) na outra; \(\times 2\) porque os rapazes podem ficar em qualquer das duas filas.
78. Sexo diferente e mesma idade
Numa turma de 25 jovens, a distribuição por idade e sexo é:
| Idade | Rapazes | Raparigas |
|---|---|---|
| 15 | 4 | 2 |
| 16 | 5 | 4 |
| 17 | 6 | 4 |
Escolhem-se dois ao acaso. Qual é a probabilidade de serem de sexo diferente e terem a mesma idade? (fração irredutível)
79. Um e um só Rei
De um baralho de 52 cartas (4 reis), retiram-se ao acaso seis. Qual é a probabilidade de haver um e um só Rei? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.
80. Números de quatro algarismos
Consideram-se todos os números de quatro algarismos formados com os algarismos de 1 a 9. Escolhe-se um ao acaso.
80.1. Probabilidade de ter exatamente dois algarismos iguais a 1. (percentagem, às unidades)
80.2. Probabilidade de ter algarismos todos diferentes e ser maior do que 9800. (dízima, três casas)
Escolhem-se 2 das 4 posições para os "1" (\({}^{4}C_{2}\)); as outras 2 posições com 8 algarismos, com repetição (\(8^{2}\)).
Maior do que 9800 com algarismos diferentes: milhar = 9, centena = 8 (únicas hipóteses); dezena e unidade: 7 e 6 dos restantes.
81. Número par com dezena par
Cinco cartões (1 a 5) são retirados sucessivamente e alinhados, formando um número de cinco algarismos. Qual é a probabilidade de esse número ser par e ter o algarismo das dezenas também par?
82. Três casais no cinema
Três casais (Nunes, Martins, Santos) vão ao cinema.
82.1. Escolhe-se ao acaso uma mulher (das três) para pagar três bilhetes e um homem (dos três) para pagar outros três. Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? (fração)
82.2. Numa fila com seis lugares consecutivos, distribuem-se ao acaso. Explique por que razão \(\dfrac{2^{4}}{6!}\) é a probabilidade de os membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Martins no meio.
Casos possíveis: \(6!\). Favoráveis: o casal Martins ocupa os dois lugares centrais (2 ordens); os casais Nunes e Santos ficam nos pares laterais (2 formas de escolher qual fica de que lado), e cada um troca entre si (2 × 2). Total: \(2\times 2\times 2\times 2=2^{4}\).
83. Quinze bolas coloridas
Um saco tem 15 bolas: 5 amarelas, 5 verdes e 5 brancas; em cada cor, numeradas de 1 a 5.
83.1. Dispostas ao acaso numa fila, probabilidade de as da mesma cor ficarem juntas. (dízima, sete casas)
83.2. Extraindo três simultaneamente, probabilidade de terem cores e números diferentes. (fração irredutível)
Total: \(15!\). Favoráveis: ordenar os 3 grupos (\(3!\)) e, dentro de cada, as 5 bolas (\(5!\)):
Com ordem (\({}^{15}A_{3}\)): a 1.ª bola qualquer (15), a 2.ª de cor e número diferentes (8), a 3.ª (3).
84. Auto-Hexágono
Um stand hexagonal expõe seis automóveis de três tipos (dois utilitários, dois desportivos, dois comerciais), cada um voltado para um vértice. A montra ocupa um dos lados.
84.1. Arrumando ao acaso, probabilidade de os dois desportivos ficarem nos vértices das extremidades da montra. (fração irredutível)
84.2. Escolhendo ao acaso dois automóveis, probabilidade de serem de tipos diferentes. (fração irredutível)
Total: \(6!\). Os dois desportivos nas extremidades da montra (2 ordens) e os outros 4 nas outras posições (\(4!\)):
Pelo contrário: pares do mesmo tipo são 3 (um par por tipo). Casos possíveis: \({}^{6}C_{2}\).
85. Seis cartas de espadas
De um baralho de 52 cartas (13 de espadas), cada jogador recebe 13. Qual é a probabilidade de receber exatamente seis cartas de espadas? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
86. Iogurtes na mesma fila
Uma caixa tem doze compartimentos (3 filas × 4 colunas). Colocam-se ao acaso quatro iogurtes. Qual é a probabilidade de ficarem todos na mesma fila? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
87. Plano paralelo a y = 0
Um poliedro de 10 vértices (cubo + duas pirâmides). Escolhem-se ao acaso três vértices. Qual é a probabilidade de definirem um plano paralelo ao plano \(y=0\)? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
88. Seis dados diferentes
Cada uma de seis pessoas lança um dado (1 a 6). Qual é a probabilidade de os números saídos serem todos diferentes?
89. Reta no plano x = y
Um octaedro regular com um vértice na origem e \(ST\) paralela a \(Oz\). Escolhem-se ao acaso dois vértices. Qual é a probabilidade de definirem uma reta contida no plano \(x=y\)? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
90. Adeptos Alfa e Beta
Sete amigos (3 do clube Alfa e 4 do Beta) sentam-se ao acaso na mesma fila. Qual é a probabilidade de os adeptos de cada clube ficarem todos juntos?
91. Colorir o sólido
O sólido \([ABCDEFGHI]\) tem 9 faces, coloridas ao acaso com 5 cores. Determine a probabilidade de exatamente cinco faces ficarem brancas e as restantes com cores todas distintas. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.
92. Centro do cubo
Escolhem-se ao acaso dois vértices distintos de um cubo. Qual é a probabilidade de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles definido?
93. Equipas do mesmo sexo
Dez jovens (5 rapazes e 5 raparigas) dividem-se ao acaso em duas equipas de cinco. Determine a probabilidade de as equipas ficarem constituídas por elementos do mesmo sexo. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.
94. Dois guarda-redes
De dez jogadores (2 guarda-redes, 4 defesas, 4 avançados) escolhem-se cinco ao acaso para uma viagem. Determine a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
95. Livros de Saramago juntos
A Joana selecionou seis livros (2 de Saramago, 1 de Sophia, 3 de Carl Sagan) e vai lê-los numa sequência aleatória. Determine a probabilidade de os dois de Saramago serem lidos um a seguir ao outro. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
96. Marina de sentinela
De 30 soldados (um é a Marina) escolhem-se três ao acaso para sentinela. Qual é a probabilidade de a Marina ficar de sentinela? Apresente o resultado na forma de percentagem.
97. Clubes de futebol primeiro
Um fiscal inspeciona sete empresas (três são clubes de futebol), por ordem aleatória. Qual é a probabilidade de as três primeiras inspecionadas serem exatamente os três clubes? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
98. Código com dígitos diferentes
O código de um cartão multibanco tem quatro algarismos, atribuído ao acaso. Qual é a probabilidade de ter os quatro algarismos diferentes? Apresente o resultado na forma de dízima.
99. Raparigas juntas na foto
Uma comissão de 7 membros — 4 raparigas e 3 rapazes (um é o delegado) — alinha-se ao acaso para uma fotografia. Qual é a probabilidade de as raparigas ficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.
100. Diagonal só com peças brancas
Num tabuleiro 3×3 colocam-se ao acaso nove peças: quatro brancas e cinco pretas (uma por casa). Determine a probabilidade de uma das diagonais ficar só com peças brancas.
101. Vértices da pirâmide
Um prisma quadrangular regular e uma pirâmide (base coincidente com a base superior do prisma, vértice no centro da base de topo): 9 vértices ao todo. Escolhem-se ao acaso cinco. Qual é a probabilidade de pelo menos quatro serem da pirâmide? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
102. Uma pastilha de cada sabor
Uma embalagem tem doze pastilhas: três de ananás, três de cereja, três de laranja e três de morango. Retiram-se quatro ao acaso. Qual é a probabilidade de retirar uma de cada sabor? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
103. Código com três zeros
Um código secreto tem quatro algarismos, atribuído ao acaso. Qual é a probabilidade de ter exatamente três zeros?
104. Roda gigante alternada
Uma roda gigante tem doze cadeiras numeradas de 1 a 12. Seis raparigas e seis rapazes sorteiam os lugares. Qual é a probabilidade de ficarem sentados alternadamente? Apresente o resultado na forma de percentagem.
105. Joana e Rui em frente
Seis amigos sentam-se ao acaso numa mesa retangular com três lugares de cada lado. Determine a probabilidade de a Joana e o Rui ficarem sentados em frente um do outro.
