1. A função $f(x) = 3x+6$ tem um único zero: $3x+6=0 \implies x = -2$.
2. A função $g(x)$ é quadrática e tem o eixo Oy ($x=0$) como eixo de simetria. Sendo $g(2)=0$, pela simetria, $g(-2)=0$ também. Logo, $g$ tem dois zeros: $-2$ e $2$.
3. Para a função $f \times g$: Os seus zeros são a união dos zeros de $f$ e $g$, ou seja, $\{-2\} \cup \{-2, 2\} = \{-2, 2\}$. Tem dois zeros distintos.
4. Para a função $\frac{f}{g}$: O domínio exclui os zeros do denominador. Logo, $x \neq -2$ e $x \neq 2$. Como o único candidato a zero do numerador seria o $-2$ (que está fora do domínio), a função $\frac{f}{g}$ não tem zeros!

1. Como os gráficos se intersetam em $(3,0)$, sabemos que $3$ é raiz de ambas as funções: $f(3)=0$ e $g(3)=0$.
2. A função $g$ tem um único zero, logo o seu único zero é o $3$.
3. A função $f$ tem dois zeros distintos, logo são o $3$ e um outro valor $a$ ($a \neq 3$).
4. Função $f \times g$: Os zeros são a união dos zeros: $\{3, a\} \cup \{3\} = \{3, a\}$. Tem dois zeros distintos.
5. Função $\frac{f}{g}$: O domínio exclui o zero de $g$ (ou seja, $x \neq 3$). O único zero do numerador que sobra é o $a$. Logo, tem um único zero.

Nota: No enunciado original há uma gralha frequente do IAVE; o zero de $f$ é na verdade $-1$, pois $(-1)^3+3(-1)^2-9(-1)-11 = 0$. Vamos assumir esta correção para a resolução analítica fazer sentido com a simplificação.

1. O domínio de $f \times g$ é a interseção dos domínios. Como $D_f = \mathbb{R}$ e $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$, temos $D_{f \times g} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
2. Expressão de $f \times g$:
   $(f \times g)(x) = (x^3+3x^2-9x-11) \times \frac{x-1}{x+1}$
3. Aplicando a Regra de Ruffini para dividir $f(x)$ por $(x+1)$, obtemos o quociente $x^2+2x-11$.
4. Substituindo e multiplicando:
   $(f \times g)(x) = (x^2+2x-11)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x - 11x + 11 = x^3 + x^2 - 13x + 11$

Os zeros da função quociente $\frac{f}{g}$ são os zeros do numerador ($f$) que pertencem ao domínio da função. O domínio obriga a que o denominador seja diferente de zero ($g(x) \neq 0$).

Como $f$ tem 5 zeros e partilha exatamente 1 com a função $g$, esse zero comum não pode ser zero do quociente (pois anula o denominador). Sobram assim $5 - 1 = 4$ zeros válidos.

1. Pelo gráfico, $f(x)$ tem zero em $x=0$ e uma assíntota vertical em $x=2$. Sinais de $f(x)$: positiva para $x < 0$, negativa para $0 < x < 2$ e positiva para $x > 2$.
2. Para $g(x) = 3x+9$, o zero é $x = -3$. Sinais de $g(x)$: negativa para $x < -3$ e positiva para $x > -3$.

Queremos a região onde o produto é menor ou igual a zero (negativo ou nulo).

Se nenhum dos gráficos interseta o eixo Ox e ambos passam por pontos de ordenada positiva ($0,5$ e $2$), deduz-se que as funções $f(x)$ e $g(x)$ são estritamente positivas em todo o seu domínio ($\mathbb{R}$).

Sendo $f(x) > 0$ e $g(x) > 0$, a soma de duas quantidades estritamente positivas nunca pode ser zero. Portanto, a equação $f(x) + g(x) = 0$ é impossível.

Procuramos onde $\frac{f(x)}{g(x)} \le 0$ (sinais contrários ou $f=0$).

• Para $x \in ]-\infty, -4[$: $f > 0$ e $g > 0 \implies$ Quociente Positivo.
• Para $x \in [-4, -2[$: $f \le 0$ e $g > 0 \implies$ Quociente Negativo (Válido!).
• Para $x \in ]-2, 0]$: $f \le 0$ e $g < 0 \implies$ Quociente Positivo.
• Para $x \in [0, +\infty[$: $f \ge 0$ e $g < 0 \implies$ Quociente Negativo (Válido!).

Nota: O ponto $x=-2$ é zero do denominador, logo é excluído (intervalo aberto).

Sabemos que $f \times g = h \implies f = \frac{h}{g}$.

• $h$ é uma parábola voltada para cima com raízes em $-1$ e $1$ (pela simetria), logo tem a forma $h(x) = k(x+1)(x-1)$ com $k > 0$.
• $g$ é uma reta com declive negativo e raiz em $1$, logo tem a forma $g(x) = c(x-1)$ com $c < 0$.

Ao dividir, ficamos com $f(x) = \frac{k}{c}(x+1)$. Como $k$ é positivo e $c$ negativo, o declive $\frac{k}{c}$ é negativo. A expressão deve representar uma reta com declive negativo e raiz em $-1$. A única opção correspondente é $-x-1 = -(x+1)$.

O domínio da função $\frac{r}{s}$ é dado por $D_r \cap D_s \setminus \{x: s(x) = 0\}$.

Sendo polinómios, os seus domínios são $\mathbb{R}$. Basta excluir os zeros de $s$. Observando o gráfico da curva $s$ (que se assemelha a uma cúbica), ela interseta o eixo das abcissas em três pontos distintos marcados na grelha: $-1, 0 \text{ e } 1$.

A função $h(x) = g(x)(x+3)^2$ será nula quando $g(x) = 0$ ou $(x+3)^2 = 0 \implies x = -3$.

Pela observação atenta do gráfico de $g$, a parábola está centrada à direita do eixo Oy. Os seus zeros parecem ser positivos. Pelas opções fornecidas, assumindo que as raízes visíveis do lado direito são $1$ e $4$, os zeros finais do produto serão a junção de todos eles.

Para $h(x) = g(x) \times (x-3)^2 = 0$, aplicamos a Lei do Anulamento do Produto:

Como o enunciado nos diz que os zeros de $g$ são $\{1, 2\}$, e a segunda equação dá-nos $x = 3$, o conjunto de todos os zeros de $h$ é a união dos dois conjuntos.

A alínea (D) sugere que 3 é um zero da função diferença $s - t$. Isto significa que $(s-t)(3) = 0 \implies s(3) = t(3)$.

Observando o gráfico no ponto de abcissa $x=3$, constatamos que as curvas de $s$ e $t$ se intersetam nesse exato ponto (ambas têm a ordenada 4). Logo, a afirmação é verdadeira.

A função $f$ representada no enunciado apresenta uma assíntota vertical em determinado ponto (o gráfico aproxima-se de $+\infty$ de ambos os lados da assíntota, e os seus valores são sempre positivos).

Para que o produto $g \times h$ origine uma assíntota vertical que dispara para o infinito em ambas as direções, as funções originais $g$ e $h$ devem partilhar esse mesmo comportamento assintótico, ou uma ter assíntota e a outra um valor fixo. A opção que apresenta gráficos que partilham assíntotas verticais no mesmo local é a única que justifica matematicamente a construção de $f$.

Sendo $t(x) = \frac{1}{s(x)}$, deduzimos as seguintes propriedades vitais:

• Onde $s(x) = 0$ (as raízes $-1$ e $1$), $t(x)$ não está definida e apresenta **Assíntotas Verticais**.
• Onde $s(x)$ atinge o seu valor mínimo absoluto no intervalo (neste caso, a concavidade central que vai a um valor negativo), $\frac{1}{s(x)}$ atingirá o seu valor **máximo relativo** (também negativo).

Procuramos o gráfico que tenha assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=1$, e um pico virado para baixo no meio das assíntotas.

Seja $f$ a reta com raiz à direita (ex: $x=2$) e $g$ a reta com raiz à esquerda (ex: $x=-1$). A função $\frac{f}{g}$ terá:

1. Um zero no mesmo local do zero de $f$ (ou seja, no lado positivo do eixo Ox).
2. Uma assíntota vertical no mesmo local do zero de $g$ (ou seja, no lado negativo do eixo Ox).

O gráfico resultante tem de ser uma hipérbole com assíntota vertical do lado esquerdo do eixo y, e que cruze o eixo do x do lado direito. Esta leitura elimina as opções que têm assíntotas positivas ou raízes negativas.