Enunciado original. Os enunciados e as figuras foram transcritos das provas nacionais indicadas. As resoluções seguem os critérios oficiais de classificação.
- Polígonos regulares e estrelados: se \(n\) pontos estão igualmente espaçados numa circunferência, o ângulo ao centro entre dois consecutivos é \(\frac{360^\circ}{n}\).
- Lei dos cossenos: \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\); num triângulo com um vértice no centro, os lados adjacentes são raios.
- Semelhança: com razão de semelhança \(k\), os comprimentos multiplicam-se por \(k\) e as áreas por \(k^{2}\); logo \(k=\sqrt{\frac{\text{área da cópia}}{\text{área do original}}}\).
- Coordenadas de um ponto de uma circunferência de centro na origem e raio \(r\), na direção que faz um ângulo \(\alpha\) com \(Ox\): \((r\cos\alpha,\ r\sin\alpha)\).
1. Tigela de Mértola
A Figura 6 é uma fotografia de uma tigela, datada do século XI, com a representação de uma corça, exposta no Museu de Mértola. A Figura 7 é uma representação geométrica plana da vista de cima dessa tigela.
No esquema da Figura 7, que não está à escala, podem observar-se:
- duas circunferências concêntricas, de centro O, com diâmetros 20 cm e 12 cm;
- uma linha poligonal constituída por dezasseis segmentos de reta, com igual comprimento, cujos vértices pertencem, alternadamente, a uma e outra circunferências.
Em cada uma das circunferências, os arcos de circunferência entre dois pontos consecutivos têm o mesmo comprimento.
6.1. Determine o comprimento da linha poligonal constituída pelos dezasseis segmentos de reta.
Apresente o resultado em centímetros, arredondado às décimas.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize quatro casas decimais.
6.2. Na Figura 8, está representado, em referencial ortogonal e monométrico, Oxy, o esquema da Figura 7, em que:
- o ponto A é um vértice da linha poligonal;
- os pontos de intersecção da circunferência de diâmetro 20 cm com os eixos coordenados são vértices da linha poligonal.
A unidade de medida no referencial é o centímetro.
Determine as coordenadas do ponto A.
Apresente os valores das coordenadas arredondados às décimas.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize duas casas decimais.
Os 16 vértices estão igualmente espaçados em ângulo (8 em cada circunferência, alternados). Entre dois vértices consecutivos, M (circunferência menor, raio 6) e T (circunferência maior, raio 10), o ângulo ao centro é
No triângulo [MOT], pela lei dos cossenos:
Na circunferência maior (raio 10) há 8 vértices igualmente espaçados, a começar nos pontos dos eixos: estão a \(0^\circ, 45^\circ, 90^\circ,\ldots\) do semieixo positivo Ox. Assim, [OA] faz \(45^\circ\) com Ox e A é vértice de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 10:
2. Reproduções de um vitral
Muitos artistas, conhecidos pelas suas obras de arte abstrata, utilizam a matemática nas suas criações. Na Figura 8, que não está à escala, reproduz-se o vitral Dans I, do artista Theo van Doesburg, de 1917, que se encontra exposto no Museu Kröller-Müller, nos Países Baixos. No seu tamanho original, este vitral tem a forma de um retângulo, com 37,4 cm por 57,4 cm.
Na loja do museu, os visitantes podem adquirir reproduções do vitral Dans I. Existem reproduções do vitral com diferentes dimensões, mas todas são semelhantes ao original. Uma dessas reproduções tem 614 cm² de área.
Determine o comprimento e a largura dessa reprodução do vitral.
Apresente os valores pedidos em centímetros, arredondados às unidades.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve duas casas decimais.