Exercícios de Exame — Trigonometria | 11.º ano

Ferramentas úteis.

No círculo trigonométrico, um ponto a um ângulo \(\alpha\) tem coordenadas \((\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\); o sinal de cada razão depende do quadrante.
Fórmula fundamental: \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\); e \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\).
Redução ao 1.º quadrante: usar \(\operatorname{sen}(-\alpha)=-\operatorname{sen}\alpha\), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), \(\operatorname{sen}\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\), etc.
Área de um triângulo \(=\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}\); setor circular de raio \(r\) e ângulo \(\alpha\): \(\dfrac{\alpha r^2}{2}\).
Funções inversas: \(\cos^{-1}\), \(\operatorname{sen}^{-1}\) devolvem o ângulo (em radianos) cujo cosseno/seno é dado.

As resoluções seguem as propostas oficiais (IAVE).

1. Área do triângulo [ABC]

Exame 2025, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Na figura seguinte, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência centrada na origem e raio 1, o triângulo \([ABC]\) e a reta de equação \(x=1\).

Círculo trigonométrico, triângulo [ABC] e reta x=1

Sabe-se que:

o ponto \(A\) pertence à circunferência;
o ponto \(B\) pertence à reta de equação \(x=1\);
o ponto \(O\) pertence à reta \(AB\);
\(\alpha\) é a inclinação, em radianos, da reta \(AB\), \(\left(\alpha\in\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\right)\);
o ponto \(C\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\);
a reta \(AC\) é paralela ao eixo \(Ox\).

Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha(1-\cos\alpha)}{2}\).

Como interpretar. Escrevem-se as coordenadas de \(A\), \(B\) e \(C\) à custa de \(\alpha\) (lendo-as no círculo trigonométrico). A base \([AC]\) é horizontal e a altura é a distância vertical de \(B\) à reta \(AC\). Substituindo e simplificando chega-se à expressão pedida — usando a relação \(\cos\alpha\tan\alpha=\operatorname{sen}\alpha\).

1.º — Coordenadas dos pontos

\(A\) está na circunferência: \(A(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\), com \(\cos\alpha<0\) e \(\operatorname{sen}\alpha>0\) (2.º quadrante). Como \(AC\parallel Ox\) e \(C\) está em \(Oy\): \(C(0,\operatorname{sen}\alpha)\). A reta \(AB\) passa por \(O\) com inclinação \(\alpha\), logo \(B(1,\tan\alpha)\), com \(\tan\alpha<0\).

2.º — Base e altura

Base: \(\overline{AC}=|\cos\alpha-0|=-\cos\alpha\). Altura (distância vertical de \(B\) à reta \(AC\), que está em \(y=\operatorname{sen}\alpha\)): \(\operatorname{sen}\alpha-\tan\alpha\).

3.º — Área

A_{[ABC]}=\dfrac{\overline{AC}\times h}{2}=\dfrac{(-\cos\alpha)(\operatorname{sen}\alpha-\tan\alpha)}{2}=\dfrac{-\cos\alpha\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha\tan\alpha}{2}

=\dfrac{-\cos\alpha\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\alpha}{2}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha(1-\cos\alpha)}{2}

Passo-chave. \(\cos\alpha\tan\alpha=\cos\alpha\cdot\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{sen}\alpha\): é isso que faz a expressão "fechar".

Logo \(A_{[ABC]}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha(1-\cos\alpha)}{2}\), c.q.m.

2. Área do quadrilátero [ABCD]

Exame 2024, época especialResposta aberta · demonstração

Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), o quadrilátero \([ABCD]\) e a circunferência de centro \(O\) e raio 4.

Quadrilátero [ABCD] e circunferência de centro O e raio 4

Sabe-se que:

o segmento de reta \([AC]\) é um diâmetro da circunferência;
\(\alpha\) é a inclinação, em radianos, da reta \(AC\), \(\left(\alpha\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]\right)\);
o ponto \(B\) pertence ao semieixo negativo \(Ox\), e o ponto \(D\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\);
as retas \(AB\) e \(CD\) são paralelas ao eixo \(Oy\).

Mostre que a área do quadrilátero \([ABCD]\) é dada pela expressão \(-32\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\).

Como interpretar. O quadrilátero decompõe-se em dois triângulos iguais, \([ABC]\) e \([ACD]\) (por \([AC]\) ser diâmetro e haver simetria em relação a \(O\)). Calcula-se a área de um deles, com coordenadas em função de \(\alpha\), e multiplica-se por 2.

1.º — Coordenadas

\(A(4\cos\alpha,4\operatorname{sen}\alpha)\) (2.º quadrante: \(\cos\alpha<0\), \(\operatorname{sen}\alpha>0\)). Como \([AC]\) é diâmetro, \(C(-4\cos\alpha,-4\operatorname{sen}\alpha)\). Com \(AB\parallel Oy\): \(B(4\cos\alpha,0)\).

2.º — Área de um triângulo

No triângulo \([ABC]\), tomamos como base \(\overline{AB}=|4\operatorname{sen}\alpha|=4\operatorname{sen}\alpha\); a altura é a distância (horizontal) de \(C\) à reta \(AB\) (\(x=4\cos\alpha\)): \(|-4\cos\alpha-4\cos\alpha|=-8\cos\alpha\).

A_{[ABC]}=\dfrac{4\operatorname{sen}\alpha\times(-8\cos\alpha)}{2}=-16\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

3.º — Área total

A_{[ABCD]}=2\times A_{[ABC]}=-32\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Porquê o resultado é positivo? Em \(\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]\), \(\cos\alpha\le 0\); logo \(-32\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\ge 0\), como tem de ser uma área.

Logo \(A_{[ABCD]}=-32\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\), c.q.m.

3. Área da região sombreada

Exame 2024, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

Na figura, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica de centro em \(O\) e raio 2 e uma região sombreada composta pelo trapézio \([OBCD]\), retângulo em \(C\) e em \(D\), e pelo setor circular correspondente ao ângulo orientado \(AOB\), de amplitude \(\alpha\), em radianos, com \(\alpha\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right[\), e em que \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência, sendo \(C\) o simétrico de \(B\) em relação ao eixo \(Oy\) e \(A\) pertencente à circunferência e ao semieixo positivo \(Ox\).

Trapézio [OBCD] e setor circular numa circunferência de raio 2

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de \(\alpha\), pela expressão \(2\alpha+6\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\).

Como interpretar. A região é a soma de duas peças: um setor circular (parcela com \(\alpha\)) e um trapézio (parcela com \(\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)). Calcula-se cada uma e somam-se.

Setor circular (raio 2, ângulo α)

A_{\text{setor}}=\dfrac{\alpha r^2}{2}=\dfrac{\alpha\times 2^2}{2}=2\alpha

Trapézio [OBCD]

\(B(2\cos\alpha,2\operatorname{sen}\alpha)\), \(C(-2\cos\alpha,2\operatorname{sen}\alpha)\), \(D(-2\cos\alpha,0)\). As bases paralelas são horizontais: \(\overline{BC}=4\cos\alpha\) e \(\overline{OD}=2\cos\alpha\); a altura é \(2\operatorname{sen}\alpha\).

A_{\text{trapézio}}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{OD}}{2}\times h=\dfrac{4\cos\alpha+2\cos\alpha}{2}\times 2\operatorname{sen}\alpha=6\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Área total

A_{\text{região}}=2\alpha+6\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Logo a área da região sombreada é \(2\alpha+6\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\), c.q.m.

4. Área com cos α = 1/3

Exame 2023, época especialResposta aberta

Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica, o triângulo \([ABC]\) e a reta de equação \(x=1\).

Sabe-se que:

o ponto \(A\) tem coordenadas \((1,0)\);
o ponto \(B\) pertence à reta de equação \(x=1\);
\(C\) é o ponto de interseção da semirreta \(\dot{OB}\) com a circunferência trigonométrica;
\(A\hat{O}B=\alpha\), \(0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}\) e \(\cos\alpha=\tfrac13\).

Determine a área do triângulo \([ABC]\).

Como interpretar. A base \([AB]\) está sobre a reta \(x=1\), pelo que \(\overline{AB}=\tan\alpha\) (a tangente lê-se nessa reta). A altura é a distância horizontal de \(C\) à reta \(x=1\). Tudo se calcula a partir de \(\cos\alpha=\tfrac13\).

1.º — Base e altura

Seja \(P\) a projeção de \(C\) na reta \(AB\); \(\overline{CP}\) é a altura. \(\overline{AB}=\tan\alpha\). Como \(C(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\): \(\overline{CP}=1-\cos\alpha=1-\tfrac13=\tfrac23\).

2.º — Determinar tan α

1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\left(\frac13\right)^2}=9 \Rightarrow \tan^2\alpha=8 \Rightarrow \tan\alpha=2\sqrt2

Porquê \(+2\sqrt2\)? Como \(0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}\), a tangente é positiva.

3.º — Área

A_{[ABC]}=\dfrac{\overline{AB}\times\overline{CP}}{2}=\dfrac{2\sqrt2\times\frac23}{2}=\dfrac{2\sqrt2}{3}

\(A_{[ABC]}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\).

5. Triângulo isósceles

Exame 2023, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), uma semicircunferência de raio 2, e centro na origem do referencial, e o triângulo isósceles \([ABC]\).

Semicircunferência de raio 2 e triângulo isósceles [ABC]

Sabe-se que:

o vértice \(A\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\);
o vértice \(B\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\);
o vértice \(C\) pertence ao semieixo negativo \(Ox\);
\(\overline{AB}=\overline{BC}\);
o lado \([AB]\) é tangente à semicircunferência no ponto \(T\);
\(A\hat{O}T=\alpha\), \(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\).

Prove que a área do triângulo \([ABC]\) é dada em função de \(\alpha\), por \(\dfrac{4}{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}\).

Como interpretar. O triângulo é isósceles com base \([AC]\) sobre o eixo \(Ox\); a altura é \(\overline{OB}\). Exprimem-se \(\overline{OA}\) e \(\overline{OB}\) em função de \(\alpha\) usando o raio 2 e o ponto de tangência \(T\).

1.º — Estrutura da área

A_{[ABC]}=\dfrac{\overline{AC}\times\overline{OB}}{2}=\dfrac{2\overline{OA}\times\overline{OB}}{2}=\overline{OA}\times\overline{OB}

2.º — Determinar \(\overline{OA}\) e \(\overline{OB}\)

No triângulo retângulo \(OTA\) (\(\overline{OT}=2\) é o raio): \(\cos\alpha=\dfrac{2}{\overline{OA}}\Rightarrow \overline{OA}=\dfrac{2}{\cos\alpha}\). E \(\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\dfrac{2}{\overline{OB}}\Rightarrow \operatorname{sen}\alpha=\dfrac{2}{\overline{OB}}\Rightarrow \overline{OB}=\dfrac{2}{\operatorname{sen}\alpha}\).

3.º — Área

A_{[ABC]}=\dfrac{2}{\cos\alpha}\times\dfrac{2}{\operatorname{sen}\alpha}=\dfrac{4}{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}

Logo \(A_{[ABC]}=\dfrac{4}{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}\), c.q.m.

6. Região numa semicircunferência

Exame 2022, época especialResposta aberta · demonstração

Na figura ao lado, está representado um triângulo, \([ABC]\), inscrito numa semicircunferência de diâmetro \(\overline{AC}=4\).

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(CAB\).

Triângulo [ABC] inscrito numa semicircunferência de diâmetro AC=4

Mostre que a área da região sombreada na figura é dada, em função de \(\alpha\), por \(2\pi-8\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\).

Como interpretar. A região sombreada é a semicircunferência menos o triângulo \([ABC]\). O detalhe-chave: qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo (no vértice oposto ao diâmetro), o que permite escrever os catetos com seno e cosseno.

Área da semicircunferência

\(r=\dfrac{\overline{AC}}{2}=\dfrac42=2\), logo \(A_{\text{semic.}}=\dfrac{\pi r^2}{2}=\dfrac{4\pi}{2}=2\pi\).

Área do triângulo

Sendo o triângulo retângulo em \(B\): \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\Rightarrow\overline{BC}=4\operatorname{sen}\alpha\) e \(\cos\alpha=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\Rightarrow\overline{AB}=4\cos\alpha\).

A_{[ABC]}=\dfrac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}=\dfrac{4\cos\alpha\times 4\operatorname{sen}\alpha}{2}=8\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Região sombreada

A_{\text{região}}=A_{\text{semic.}}-A_{[ABC]}=2\pi-8\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Logo a área da região sombreada é \(2\pi-8\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\), c.q.m.

7. Área do triângulo [AOB]

Exame 2022, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Na figura ao lado, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), as retas \(r\) e \(s\). A reta \(r\) é definida pela equação \(y=\dfrac{\sqrt3}{2}x+1\). A reta \(s\) passa pela origem do referencial e tem inclinação \(\alpha\).

O ponto \(A\) é o ponto de interseção da reta \(r\) com o eixo \(Ox\). O ponto \(B\) é o ponto de interseção das duas retas. Sabe-se que \(\cos\alpha=\dfrac12\). Determine a área do triângulo \([AOB]\).

Como interpretar. Tomando \([OA]\) como base (sobre o eixo \(Ox\)), a altura é \(|y_B|\). Determina-se \(A\) (interseção de \(r\) com \(Ox\)) e \(B\) (interseção de \(r\) com \(s\)); para \(s\) precisamos do declive \(=\tan\alpha\), que vem de \(\cos\alpha=\tfrac12\).

1.º — Ponto A

\(A\) está em \(r\cap Ox\): \(\dfrac{\sqrt3}{2}x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{\sqrt3}=-\dfrac{2\sqrt3}{3}\). Logo \(\overline{OA}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

2.º — Reta s e ponto B

\(\cos\alpha=\tfrac12\Rightarrow\alpha=\tfrac{\pi}{3}\), logo o declive de \(s\) é \(\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\): \(s:\ y=\sqrt3 x\). Interseção com \(r\):

\sqrt3 x=\dfrac{\sqrt3}{2}x+1 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt3}{2}x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt3}{3}\Rightarrow y_B=\sqrt3\cdot\dfrac{2\sqrt3}{3}=2

3.º — Área

A_{[AOB]}=\dfrac{\overline{OA}\times|y_B|}{2}=\dfrac{\frac{2\sqrt3}{3}\times 2}{2}=\dfrac{2\sqrt3}{3}

\(A_{[AOB]}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

8. Arco de circunferência

Exame 2021, época especialResposta aberta · demonstração

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), o arco de circunferência \(AB\), contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujo centro é a origem do referencial e cujo raio é igual a \(r\) (\(r>0\)).

Arco de circunferência AB no primeiro quadrante

O ponto \(A\) pertence ao eixo \(Ox\) e o ponto \(B\) pertence ao eixo \(Oy\). Seja \(P\) um ponto do arco \(AB\), distinto de \(A\) e de \(B\), e seja \(d\) o comprimento do arco \(AP\). O ponto \(S\) pertence ao eixo das ordenadas e tem ordenada igual à do ponto \(P\). O ponto \(T\) pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa igual à do ponto \(P\).

Mostre que uma expressão que dá o valor de \(\overline{BS}+\overline{TA}\), em função de \(d\) e de \(r\), é \(r\left(2-\operatorname{sen}\left(\dfrac{d}{r}\right)-\cos\left(\dfrac{d}{r}\right)\right)\).

Como interpretar. Chamando \(\alpha\) ao ângulo \(AOP\), as projeções de \(P\) dão \(\overline{BS}\) e \(\overline{TA}\) em função de \(\alpha\). Depois usa-se a relação entre comprimento de arco e ângulo (\(d=r\alpha\)) para substituir \(\alpha=\dfrac{d}{r}\).

1.º — As duas distâncias

Seja \(\alpha=A\hat{O}P\). Então \(P(r\cos\alpha,\,r\operatorname{sen}\alpha)\). Logo:

\overline{BS}=\overline{OB}-\overline{OS}=r-r\operatorname{sen}\alpha \qquad \overline{TA}=\overline{OA}-\overline{OT}=r-r\cos\alpha

2.º — Relação arco–ângulo

O perímetro da circunferência é \(2\pi r\) e corresponde a \(2\pi\). Por proporcionalidade, ao arco \(d\) corresponde \(\alpha=\dfrac{d\times 2\pi}{2\pi r}=\dfrac{d}{r}\).

3.º — Conclusão

\overline{BS}+\overline{TA}=r-r\operatorname{sen}\alpha+r-r\cos\alpha=r\left(2-\operatorname{sen}\left(\tfrac{d}{r}\right)-\cos\left(\tfrac{d}{r}\right)\right)

c.q.m.

9. Redução ao 1.º quadrante

Exame 2021, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Sabe-se que \(\operatorname{sen}\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac15\) e que \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de \(\tan(\pi-\alpha)+2\cos\left(-\dfrac{7\pi}{2}+\alpha\right)\).

Apresente o resultado na forma \(\dfrac{a\sqrt{b}}{c}\), \(a\in\mathbb{Z}\), \(b\) e \(c\in\mathbb{N}\).

Como interpretar. Primeiro reduzem-se todas as expressões ao 1.º quadrante (em \(\operatorname{sen}\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\)). A condição dada fornece \(\cos\alpha\); a relação fundamental dá \(\tan\alpha\) e \(\operatorname{sen}\alpha\).

1.º — Reduções

\operatorname{sen}\left(\alpha-\tfrac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha \qquad \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha \qquad \cos\left(-\tfrac{7\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{sen}\alpha

2.º — Valores de cos, tan e sen

De \(-\cos\alpha=-\tfrac15\) vem \(\cos\alpha=\tfrac15\). Então:

\(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=25\Rightarrow\tan^2\alpha=24\Rightarrow\tan\alpha=2\sqrt6\) (1.º quadrante)

\operatorname{sen}\alpha=\cos\alpha\tan\alpha=\tfrac15\times2\sqrt6=\dfrac{2\sqrt6}{5}

3.º — Valor final

-\tan\alpha-2\operatorname{sen}\alpha=-2\sqrt6-2\times\dfrac{2\sqrt6}{5}=-2\sqrt6-\dfrac{4\sqrt6}{5}=-\dfrac{14\sqrt6}{5}

O valor é \(-\dfrac{14\sqrt6}{5}\).

10. Área do triângulo [ABC]

Exame 2021, 1.ª faseResposta aberta · demonstração

Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o triângulo \([ABC]\).

Círculo trigonométrico e triângulo [ABC]

Sabe-se que:

o segmento de reta \([AB]\) é um diâmetro da circunferência;
\(\alpha\) é a inclinação da reta \(AB\), \(\left(\alpha\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]\right)\);
o ponto \(C\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\);
a reta \(BC\) é paralela ao eixo \(Oy\).

Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada pela expressão \(-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\).

Como interpretar. O raio é 1, logo \(A(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\) e \(B\) é o ponto diametralmente oposto. Toma-se \([BC]\) (vertical) como base e a distância horizontal de \(A\) à reta \(BC\) como altura.

1.º — Coordenadas

\(A(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\); como \([AB]\) é diâmetro, \(B(-\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)\). Com \(BC\parallel Oy\) e \(C\) em \(Ox\): \(C(-\cos\alpha,0)\) (note que \(-\cos\alpha>0\), pois \(\cos\alpha\le 0\)).

2.º — Base e altura

Base \(\overline{BC}=|0-(-\operatorname{sen}\alpha)|=\operatorname{sen}\alpha\). Altura (distância de \(A\) à reta \(x=-\cos\alpha\)): \(|\cos\alpha-(-\cos\alpha)|=-2\cos\alpha\).

3.º — Área

A_{[ABC]}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\times(-2\cos\alpha)}{2}=-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Logo \(A_{[ABC]}=-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\), c.q.m.

11. Abcissa de um ponto

Exame 2020, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica, a reta \(r\) de equação \(x=1\) e um ponto \(A\), de ordenada \(a\) (\(a>1\)), pertencente à reta \(r\).

Círculo trigonométrico, reta x=1 e ponto A

Está também representada a semirreta \(\dot{OA}\), que interseta a circunferência trigonométrica no ponto \(B\).

Qual das expressões seguintes dá, em função de \(a\), a abcissa do ponto \(B\)?

(A) \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)

(B) \(\sqrt{a^2+1}\)

(C) \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-1}}\)

(D) \(\sqrt{a^2-1}\)

Como interpretar. Seja \(\alpha\) o ângulo que a semirreta \(\dot{OA}\) faz com \(Ox\). A abcissa de \(B\) (na circunferência de raio 1) é \(\cos\alpha\). Como \(A=(1,a)\) está na reta \(x=1\), tem-se \(\tan\alpha=a\); daí obtém-se \(\cos\alpha\).

\tan\alpha=\dfrac{a}{1}=a \Rightarrow 1+a^2=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\Rightarrow\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+a^2}

\(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\) (1.º quadrante, \(\cos\alpha>0\))

Porquê \(\tan\alpha=a\)? A reta \(x=1\) é o "eixo das tangentes": a ordenada do ponto onde a semirreta a corta é precisamente \(\tan\alpha\).

Opção: (A)

12. sen(3·cos⁻¹(½))

Exame 2019, 2.ª faseEscolha múltipla

Qual é o valor de \(\operatorname{sen}\left(3\cos^{-1}\left(\dfrac12\right)\right)\)?

(A) \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

(B) \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)

(C) 0

(D) 1

Como interpretar. Resolve-se "de dentro para fora": primeiro \(\cos^{-1}\left(\tfrac12\right)\) (o ângulo cujo cosseno é \(\tfrac12\)), depois multiplica-se por 3 e aplica-se o seno.

\operatorname{sen}\left(3\cos^{-1}\left(\tfrac12\right)\right)=\operatorname{sen}\left(3\times\tfrac{\pi}{3}\right)=\operatorname{sen}\pi=0

Opção: (C)

13. Equação 2cos x + 1 = 0

Exame 2019, 1.ª faseEscolha múltipla

Qual é a solução da equação \(2\cos x+1=0\) no intervalo \([-\pi,0]\)?

(A) \(-\dfrac{5\pi}{6}\)

(B) \(-\dfrac{2\pi}{3}\)

(C) \(-\dfrac{\pi}{3}\)

(D) \(-\dfrac{\pi}{6}\)

Como interpretar. Isola-se \(\cos x\), escreve-se a solução geral e escolhe-se o valor que cai no intervalo pedido \([-\pi,0]\).

2\cos x+1=0\Leftrightarrow\cos x=-\tfrac12\Leftrightarrow\cos x=\cos\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)

x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\ \lor\ x=-\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Para \(k=0\): \(x=\tfrac{2\pi}{3}\notin[-\pi,0]\) ou \(x=-\tfrac{2\pi}{3}\in[-\pi,0]\).

Opção: (B)

14. Projeções num triângulo

Exame 2018, 2.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representado um triângulo \([ABC]\). Sabe-se que: \(\overline{AC}=5\); \(B\hat{A}C=57°\); \(A\hat{B}C=81°\).

Triângulo [ABC] com AC=5, ângulos 57° e 81°

Qual é o valor de \(\overline{AB}\), arredondado às centésimas?

(A) 3,31

(B) 3,25

(C) 3,39

(D) 3,43

Como interpretar. Traça-se a altura \([CP]\) a partir de \(C\) sobre \([AB]\), criando dois triângulos retângulos. No primeiro (com o ângulo 57°) obtêm-se \(\overline{AP}\) e \(\overline{CP}\); no segundo (com 81°) obtém-se \(\overline{BP}\). Soma-se: \(\overline{AB}=\overline{AP}+\overline{BP}\).

1.º — Triângulo com o ângulo 57°

\cos 57°=\dfrac{\overline{AP}}{\overline{AC}}\Rightarrow\overline{AP}=5\cos57° \qquad \operatorname{sen}57°=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{AC}}\Rightarrow\overline{CP}=5\operatorname{sen}57°

2.º — Triângulo com o ângulo 81°

\tan 81°=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{BP}}\Rightarrow\overline{BP}=\dfrac{5\operatorname{sen}57°}{\tan81°}

3.º — Somar

\overline{AB}=\overline{AP}+\overline{BP}=5\cos57°+\dfrac{5\operatorname{sen}57°}{\tan81°}\approx 3{,}39

Opção: (C)

15. Funções trigonométricas inversas

Exame 2018, 1.ª faseEscolha múltipla

Qual é o valor de \(\operatorname{sen}^{-1}(1)+\cos^{-1}\left(-\dfrac12\right)\)?

(A) \(\dfrac{7\pi}{6}\)

(B) \(\dfrac{\pi}{6}\)

(C) \(\dfrac{3\pi}{4}\)

(D) \(\dfrac{\pi}{4}\)

Como interpretar. \(\operatorname{sen}^{-1}\) devolve o ângulo (em \(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\)) cujo seno é dado; \(\cos^{-1}\) devolve o ângulo (em \([0,\pi]\)) cujo cosseno é dado. Calcula-se cada um e soma-se.

\operatorname{sen}^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{2} \qquad \cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}

Opção: (A)

16. Área do triângulo [PQR]

Exame 2016, 2.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representada uma circunferência trigonométrica de centro no ponto \(O\) e raio 1.

Circunferência trigonométrica com triângulo [PQR] sombreado

Sabe-se que:

os diâmetros \([AC]\) e \([BD]\) são perpendiculares;
o ponto \(P\) pertence ao arco \(AB\);
\([PQ]\) é um diâmetro da circunferência;
o ponto \(R\) pertence à reta \([OD]\) e é tal que \([QR]\) é paralelo a \([AC]\).

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(AOP\), \(\left(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\right)\). Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo \([PQR]\), representado a sombreado, em função de \(\alpha\)?

(A) \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{4}\)

(B) \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}\)

(C) \(2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)

(D) \(\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)

Como interpretar. O triângulo \([PQR]\) decompõe-se nos triângulos \([OPR]\) e \([OQR]\), que partilham a "base" \([OR]\) (vertical). Com as coordenadas de \(P\), \(Q\) e \(R\) em função de \(\alpha\), somam-se as duas áreas.

1.º — Coordenadas

\(P(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\); \(Q\) é o ponto diametralmente oposto: \(Q(-\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)\). Como \([QR]\parallel[AC]\) (horizontal) e \(R\) está na reta \([OD]\) (eixo \(Oy\)): \(R(0,-\operatorname{sen}\alpha)\).

2.º — Somar as duas áreas

Base comum \(\overline{OR}=\operatorname{sen}\alpha\); alturas \(|x_P|=\cos\alpha\) e \(|x_Q|=\cos\alpha\):

A_{[PQR]}=\dfrac{\overline{OR}\cdot|x_P|}{2}+\dfrac{\overline{OR}\cdot|x_Q|}{2}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}+\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}=\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

Opção: (D)

17. Área do trapézio [OPQR]

Exame 2016, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura, estão representados o círculo trigonométrico e um trapézio retângulo \([OPQR]\).

Círculo trigonométrico e trapézio retângulo [OPQR]

Sabe-se que:

o ponto \(P\) tem coordenadas \((0,1)\);
o ponto \(R\) pertence ao quarto quadrante e à circunferência.

Seja \(\alpha\) a amplitude de um ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\) e cujo lado extremidade é a semirreta \(\dot{OR}\). Qual das expressões seguintes dá a área do trapézio \([OPQR]\), em função de \(\alpha\)?

(A) \(\dfrac{\cos\alpha}{2}+\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)

(B) \(\dfrac{\cos\alpha}{2}-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)

(C) \(\cos\alpha+\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}\)

(D) \(\cos\alpha-\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}\)

Como interpretar. Identificam-se as coordenadas dos vértices em função de \(\alpha\) (com \(R\) no 4.º quadrante, \(\operatorname{sen}\alpha<0\)). Depois aplica-se a fórmula da área do trapézio: \(\dfrac{\text{base maior}+\text{base menor}}{2}\times\text{altura}\).

1.º — Coordenadas e lados

\(P(0,1)\), \(Q(\cos\alpha,1)\), \(R(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\). Bases paralelas (verticais): \(\overline{QR}=1-\operatorname{sen}\alpha\) (com \(\operatorname{sen}\alpha<0\)) e \(\overline{OP}=1\). Altura (horizontal): \(\overline{PQ}=\cos\alpha\).

2.º — Área

A_{[OPQR]}=\dfrac{\overline{QR}+\overline{OP}}{2}\times\overline{PQ}=\dfrac{1-\operatorname{sen}\alpha+1}{2}\times\cos\alpha=\dfrac{2-\operatorname{sen}\alpha}{2}\times\cos\alpha

=\dfrac{2\cos\alpha-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}=\cos\alpha-\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}

Opção: (D)

18. Área do quadrilátero [ABCD]

Exame 2015, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico.

Círculo trigonométrico com quadrilátero [ABCD] sombreado

Sabe-se que:

o ponto \(A\) pertence ao primeiro quadrante e à circunferência;
o ponto \(B\) pertence ao eixo \(Ox\);
o ponto \(C\) tem coordenadas \((1,0)\);
o ponto \(D\) pertence à semirreta \(\dot{OA}\);
os segmentos de reta \([AB]\) e \([DC]\) são paralelos ao eixo \(Oy\).

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(COD\) \(\left(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\right)\). Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero \([ABCD]\), representado a sombreado, em função de \(\alpha\)?

(A) \(\tan\alpha-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)

(B) \(\dfrac{\tan\alpha-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}\)

(C) \(\dfrac{\tan\alpha}{2}-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\)

(D) \(\tan\alpha-\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}\)

Como interpretar. Identificam-se os vértices em função de \(\alpha\): \(A\) na circunferência, \(D\) sobre a reta \(x=1\) (logo com ordenada \(\tan\alpha\)). É um trapézio com as bases verticais \([AB]\) e \([DC]\).

1.º — Coordenadas e lados

\(A(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\), \(B(\cos\alpha,0)\), \(C(1,0)\), \(D(1,\tan\alpha)\). Bases: \(\overline{CD}=\tan\alpha\) e \(\overline{AB}=\operatorname{sen}\alpha\); altura \(\overline{BC}=1-\cos\alpha\).

2.º — Área do trapézio

A_{[ABCD]}=\dfrac{\overline{CD}+\overline{AB}}{2}\times\overline{BC}=\dfrac{\tan\alpha+\operatorname{sen}\alpha}{2}\times(1-\cos\alpha)=\dfrac{\tan\alpha-\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2}

Opção: (B)

19. Área da região sombreada

Exame 2014, época especialEscolha múltipla

Na figura ao lado, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro \(O\) e a reta \(r\).

Circunferência de centro O, reta r tangente e região sombreada

Sabe-se que:

os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
o ponto \(B\) tem coordenadas \((0,1)\);
a reta \(r\) é tangente à circunferência no ponto \(B\);
o ponto \(C\) é o ponto de interseção da reta \(r\) com a semirreta \(\dot{OA}\);
\(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(AOB\), com \(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\).

Qual das expressões seguintes representa, em função de \(\alpha\), a área da região a sombreado?

(A) \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha-\alpha}{2}\)

(B) \(\dfrac{\tan\alpha-\alpha}{2}\)

(C) \(\dfrac{\tan\alpha}{2}\)

(D) \(\dfrac{\alpha}{2}\)

Como interpretar. A região sombreada é o triângulo \([OBC]\) menos o setor circular de ângulo \(\alpha\). A reta \(r\) é tangente em \(B=(0,1)\), pelo que é horizontal e \(\overline{BC}=\tan\alpha\) (raio 1).

Triângulo [OBC]

\(\overline{OB}=1\) e \(\tan\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{OB}}\Rightarrow\overline{BC}=\tan\alpha\). Logo \(A_{[OBC]}=\dfrac{\overline{BC}\times\overline{OB}}{2}=\dfrac{\tan\alpha}{2}\).

Setor circular

A_{\text{setor}}=\dfrac{\alpha r^2}{2}=\dfrac{\alpha\times 1^2}{2}=\dfrac{\alpha}{2}

Região sombreada

A_{\text{região}}=A_{[OBC]}-A_{\text{setor}}=\dfrac{\tan\alpha}{2}-\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\tan\alpha-\alpha}{2}

Opção: (B)

20. Área do quadrilátero [PQRS]

Exame 2014, 2.ª faseResposta aberta

Na figura, estão representados uma circunferência de centro \(O\) e raio 2 e os pontos \(P\), \(Q\), \(R\) e \(S\).

Circunferência de centro O e raio 2 com quadrilátero [PQRS]

Sabe-se que:

os pontos \(P\), \(Q\), \(R\) e \(S\) pertencem à circunferência;
\([PR]\) é um diâmetro da circunferência;
\(\overline{PQ}=\overline{PS}\);
\(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(QPR\), \(\left(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\right)\).

20.1. Mostre que a área do quadrilátero \([PQRS]\) é dada, em função de \(\alpha\), pela expressão \(16\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\).

20.2. Para um certo número real \(\theta\), com \(\theta\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\), tem-se que \(\tan\theta=2\sqrt2\). Determine o valor exato da área do quadrilátero \([PQRS]\) correspondente ao número real \(\theta\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Como interpretar (20.1). Por simetria (\(\overline{PQ}=\overline{PS}\)), o quadrilátero é o dobro do triângulo \([PQR]\). Como \([PR]\) é diâmetro, \([PQR]\) é retângulo em \(Q\), o que dá os catetos com seno e cosseno.

20.1 — Área

\(\overline{PR}=4\) (diâmetro). Triângulo retângulo em \(Q\): \(\cos\alpha=\dfrac{\overline{PQ}}{4}\Rightarrow\overline{PQ}=4\cos\alpha\); \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\overline{QR}}{4}\Rightarrow\overline{QR}=4\operatorname{sen}\alpha\).

A_{[PQR]}=\dfrac{\overline{PQ}\times\overline{QR}}{2}=\dfrac{4\cos\alpha\times 4\operatorname{sen}\alpha}{2}=8\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha

A_{[PQRS]}=2\times A_{[PQR]}=16\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\quad\text{c.q.m.}

Como interpretar (20.2). Conhecida \(\tan\theta\), obtêm-se \(\cos\theta\) (pela relação \(1+\tan^2\theta=\tfrac{1}{\cos^2\theta}\)) e \(\operatorname{sen}\theta\) (pela fórmula fundamental); substituem-se na expressão da área.

20.2 — Cálculo de cos θ e sen θ

\(\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\Rightarrow 8+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\Rightarrow\cos^2\theta=\dfrac19\Rightarrow\cos\theta=\dfrac13\) (1.º quadrante)

\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\dfrac19=\dfrac89\Rightarrow\operatorname{sen}\theta=\dfrac{2\sqrt2}{3}

20.2 — Área

A_{[PQRS]}=16\operatorname{sen}\theta\cos\theta=16\times\dfrac{2\sqrt2}{3}\times\dfrac13=\dfrac{32\sqrt2}{9}

A área é \(\dfrac{32\sqrt2}{9}\).

21. Área do triângulo [BCD]

Exame 2014, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro \(O\) e raio 1.

Circunferência de centro O e raio 1 com triângulo [BCD]

Sabe-se que:

os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
o ponto \(A\) tem coordenadas \((1,0)\);
os pontos \(B\) e \(C\) têm a mesma abcissa;
o ponto \(C\) tem ordenada zero;
o ponto \(D\) tem coordenadas \((-3,0)\);
\(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(AOB\), \(\alpha\in\left]\tfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

Qual das expressões seguintes representa, em função de \(\alpha\), a área do triângulo \([BCD]\)?

(A) \(\dfrac12(-3-\operatorname{sen}\alpha)\cos\alpha\)

(B) \(\dfrac12(-3+\operatorname{sen}\alpha)\cos\alpha\)

(C) \(\dfrac12(3+\cos\alpha)\operatorname{sen}\alpha\)

(D) \(\dfrac12(3-\cos\alpha)\operatorname{sen}\alpha\)

Como interpretar. Toma-se \([CD]\) (sobre o eixo \(Ox\)) como base e \(\overline{BC}\) (vertical) como altura. Atenção aos sinais: \(B\) está no 2.º quadrante, logo \(\cos\alpha<0\).

1.º — Base e altura

\(B(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\), \(C(\cos\alpha,0)\). Altura \(\overline{BC}=\operatorname{sen}\alpha\) (\(\operatorname{sen}\alpha>0\)). Como \(\cos\alpha<0\), \(\overline{OC}=-\cos\alpha\); e \(\overline{OD}=3\), com \(C\) entre \(O\) e \(D\):

\overline{CD}=\overline{OD}-\overline{OC}=3-(-\cos\alpha)=3+\cos\alpha

2.º — Área

A_{[BCD]}=\dfrac{\overline{CD}\times\overline{BC}}{2}=\dfrac{(3+\cos\alpha)\operatorname{sen}\alpha}{2}=\dfrac12(3+\cos\alpha)\operatorname{sen}\alpha

Opção: (C)

22. Sinal de expressões

Teste Intermédio 11.º ano · março 2014Escolha múltipla

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer \(x\) pertencente ao intervalo \(\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\)?

(A) \(\operatorname{sen}x+\cos x\)

(B) \(\dfrac{\cos x}{\tan x}\)

(C) \(\tan x-\operatorname{sen}x\)

(D) \(\operatorname{sen}x\times\tan x\)

Como interpretar. O intervalo \(\left]\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right[\) é o 3.º quadrante: aí \(\operatorname{sen}x<0\), \(\cos x<0\) e \(\tan x>0\). Analisa-se o sinal de cada opção.

(A) \(\operatorname{sen}x+\cos x\): soma de dois negativos → \(<0\).
(B) \(\dfrac{\cos x}{\tan x}\): negativo a dividir por positivo → \(<0\).
(C) \(\tan x-\operatorname{sen}x\): \(\tan x>0\) e \(-\operatorname{sen}x>0\), soma de dois positivos → \(>0\). ✓
(D) \(\operatorname{sen}x\times\tan x\): negativo vezes positivo → \(<0\).

Opção: (C)

23. Número de soluções

Teste Intermédio 11.º ano · março 2014Escolha múltipla

Considere, em \(\mathbb{R}\), a equação trigonométrica \(\operatorname{sen}x=0{,}3\). Quantas soluções tem esta equação no intervalo \([-20\pi,20\pi]\)?

(A) 20

(B) 40

(C) 60

(D) 80

Como interpretar. A equação \(\operatorname{sen}x=0{,}3\) (com \(0<0{,}3<1\)) tem 2 soluções por cada período \(2\pi\). Conta-se quantos períodos cabem no intervalo dado.

Em cada intervalo de amplitude \(2\pi\) há 2 soluções. O intervalo \([0,20\pi[\) contém \(10\) períodos \(\Rightarrow 10\times 2=20\) soluções; o intervalo \(]-20\pi,0]\) contém igualmente 20 soluções.

20+20=40\text{ soluções}

Opção: (B)