Exercícios de Exame — Sucessões | 11.º ano

1. Progressão aritmética — ordem de um termo

1

Exame 2025, época especialResposta aberta

Seja \((a_n)\) a progressão aritmética, de termos positivos, em que \(a_{10}-a_{4}=3\) e \(a_{4}\times a_{10}=40\). Sabe-se que 173 é termo da sucessão \((a_n)\).

Determine a ordem desse termo.

Como interpretar. Temos duas informações sobre dois termos da progressão. Escrevendo cada termo à custa de \(a_1\) e da razão \(r\) (\(a_n=a_1+r(n-1)\)), obtemos um sistema que dá \(r\) e \(a_1\). Com o termo geral, resolve-se \(a_n=173\) para encontrar \(n\).

1.º — Determinar a razão

Como \(a_{10}=a_1+9r\) e \(a_{4}=a_1+3r\):

a_{10}-a_{4}=3 \Leftrightarrow (a_1+9r)-(a_1+3r)=3 \Leftrightarrow 6r=3 \Leftrightarrow r=\tfrac12

2.º — Determinar o primeiro termo

Substituindo \(r=\tfrac12\) em \(a_{4}\times a_{10}=40\):

\left(a_1+\tfrac32\right)\left(a_1+\tfrac92\right)=40 \Leftrightarrow 4a_1^{2}+24a_1-133=0 \Leftrightarrow a_1=-\tfrac{19}{2}\ \lor\ a_1=\tfrac72

Porquê \(a_1=\tfrac72\)? A progressão é de termos positivos, por isso rejeita-se a solução negativa \(a_1=-\tfrac{19}{2}\).

3.º — Termo geral e ordem do termo 173

a_n=a_1+r(n-1)=\tfrac72+\tfrac12(n-1)=3+\tfrac{n}{2}

3+\tfrac{n}{2}=173 \Leftrightarrow \tfrac{n}{2}=170 \Leftrightarrow n=340

173 é o termo de ordem 340.

2. Tapete de Sierpinski

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Exame 2025, 2.ª faseResposta aberta

Na figura, apresentam-se as quatro primeiras composições geométricas da construção do Tapete de Sierpinski.

Quatro primeiras composições do Tapete de Sierpinski

Tal como a figura sugere, nesta construção:

a 1.ª composição é um quadrado;
a 2.ª composição, com 8 quadrados, obtém-se decompondo a 1.ª em 9 quadrados iguais e removendo o quadrado central;
cada uma das composições seguintes obtém-se decompondo cada um dos quadrados obtidos na composição anterior em 9 quadrados iguais e removendo os quadrados centrais.

Admita que, fixada uma unidade de medida, o quadrado inicial tem área igual a 9 e que se continuará a construção, de acordo com o procedimento descrito, até se obter a 50.ª composição.

Determine a área da 50.ª composição, ou seja, a área total dos quadrados que formam essa composição.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Como interpretar. Em cada passo divide-se cada quadrado em 9 partes iguais e remove-se 1 (o central): fica-se sempre com \(\tfrac{8}{9}\) da área anterior. Logo, as áreas das composições formam uma progressão geométrica de razão \(\tfrac{8}{9}\), com primeiro termo igual à área inicial.

1.º — Identificar a progressão

De cada composição para a seguinte remove-se \(\tfrac19\) da área, restando \(9-\tfrac19\times 9=\tfrac{8}{9}\) da área anterior. A razão é \(\tfrac{8}{9}\) e \(a_1=9\):

a_n=9\times\left(\tfrac{8}{9}\right)^{\,n-1}

2.º — Área da 50.ª composição

a_{50}=9\times\left(\tfrac{8}{9}\right)^{\,50-1}\approx 0{,}028

A área da 50.ª composição é, aproximadamente, 0,028.

3. Semicírculos — perímetro

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Exame 2025, 1.ª faseResposta aberta

Considere uma sucessão de composições geométricas, construídas a partir de um semicírculo de raio 1.

Na figura, estão representadas as três primeiras composições dessa sucessão.

Três primeiras composições obtidas a partir de um semicírculo de raio 1

Tal como ilustrado na figura:

a 1.ª composição foi obtida retirando-se ao semicírculo inicial um semicírculo nele contido, de raio \(\tfrac12\);
a 2.ª composição foi obtida retirando-se à 1.ª composição um semicírculo nela contido, de raio \(\tfrac14\);
a 3.ª composição foi obtida retirando-se à 2.ª composição um semicírculo nela contido, de raio \(\tfrac18\);
e assim sucessivamente, retirando-se, em cada composição, um semicírculo contido na composição anterior, com metade do raio do semicírculo retirado nessa composição, de modo que o diâmetro de cada semicírculo retirado seja colinear com o diâmetro do semicírculo inicial.

Determine o perímetro da 20.ª composição geométrica dessa sucessão.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Como interpretar. O perímetro de cada composição decompõe-se em três parcelas: o arco exterior \(a_n\) (sempre o mesmo), o segmento da base \(b_n\) e os arcos interiores \(c_n\) (que se vão acumulando). Estuda-se cada parcela separadamente. Para a 20.ª composição: \(P_{20}=a_{20}+b_{20}+S_{20}\), onde \(S_{20}\) é a soma dos 20 primeiros arcos interiores.

Arco exterior \(a_n\)

É sempre o mesmo (semicircunferência de raio 1), logo é uma sucessão constante:

a_n=\dfrac{2\pi\times 1}{2}=\pi \;\Rightarrow\; a_{20}=\pi

Segmento da base \(b_n\)

Cada segmento é metade do anterior — progressão geométrica de razão \(\tfrac12\), com \(b_1=1\):

b_n=1\times\left(\tfrac12\right)^{\,n-1} \;\Rightarrow\; b_{20}=\left(\tfrac12\right)^{19}

Arcos interiores \(c_n\)

\(c_1=\dfrac{2\pi\times\frac12}{2}=\dfrac{\pi}{2}\); \(\;c_2=\dfrac{\pi}{4}\); \(\;c_3=\dfrac{\pi}{8}\). É uma progressão geométrica de razão \(\tfrac12\). A soma dos 20 primeiros:

S_{20}=\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{20}}{1-\frac12}=\pi\left(1-\left(\tfrac12\right)^{20}\right)

Perímetro da 20.ª composição

P_{20}=a_{20}+b_{20}+S_{20}=\pi+\pi\left(1-\left(\tfrac12\right)^{20}\right)+\left(\tfrac12\right)^{19}\approx 6{,}28

O perímetro da 20.ª composição é, aproximadamente, 6,28.

4. Sucessão por recorrência

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Exame 2024, época especialEscolha múltipla

Seja \((u_n)\) a sucessão definida por \(\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=2u_n+2\,,\ \forall n\in\mathbb{N}\end{cases}\)

Qual é o terceiro termo da sucessão \((u_n)\)?

(A) 8

(B) 10

(C) 18

(D) 38

Como interpretar. Numa sucessão definida por recorrência, cada termo calcula-se a partir do anterior. Para chegar ao 3.º termo, calcula-se primeiro o 2.º.

u_1=3 \;;\; u_2=2u_1+2=2\times3+2=8 \;;\; u_3=2u_2+2=2\times8+2=18

Opção: (C)

5. Triângulo de Pascal — cartões

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Exame 2024, época especialResposta aberta

Usando cartões numerados, constrói-se uma figura, com forma triangular, constituída pelas \(n\) primeiras linhas do triângulo de Pascal.

Na figura, estão representadas as cinco primeiras linhas dessa construção.

Cinco primeiras linhas do triângulo de Pascal construídas com cartões

Calcule o valor de \(n\), sabendo que, na construção da figura, foram utilizados, exatamente, 3081 cartões.

Como interpretar. A linha \(k\) do triângulo de Pascal tem exatamente \(k\) cartões (a 1.ª linha tem 1, a 2.ª tem 2, …). O número de cartões por linha forma então a progressão aritmética \(1,2,3,\dots,n\) (razão 1). O total de cartões é a soma dessa progressão.

Soma do número de cartões

Sendo o número de cartões da linha \(k\) igual a \(k\), o total das \(n\) linhas é \(S_n=\dfrac{1+n}{2}\times n\). Igualando a 3081:

\dfrac{1+n}{2}\times n=3081 \Leftrightarrow n^{2}+n-6162=0 \Leftrightarrow n=-79\ \lor\ n=78

Porquê \(n=78\)? \(n\) é o número de linhas, logo tem de ser um natural positivo: rejeita-se \(n=-79\).

\(n=\textbf{78}\).

6. Progressão aritmética — é termo?

6

Exame 2024, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

De uma progressão aritmética \((u_n)\), sabe-se que a soma do primeiro com o quinto termo é igual a 26 e que o nono termo é igual a 31.

Averigue se 385 é termo da progressão \((u_n)\).

Como interpretar. Traduzem-se os dados num sistema em \(a_1\) e \(r\), determina-se o termo geral e, finalmente, vê-se se a equação \(u_n=385\) tem solução natural. Se \(n\in\mathbb{N}\), então 385 é termo (e \(n\) é a sua ordem).

1.º — Sistema com \(u_1\) e \(r\)

\begin{cases}u_1+u_5=26\\ u_9=31\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2u_1+4r=26\\ u_1+8r=31\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}r=3\\ u_1=7\end{cases}

2.º — Termo geral

\(u_n=u_1+r(n-1)=7+3(n-1)=3n+4\)

3.º — Verificar se 385 é termo

3n+4=385 \Leftrightarrow n=\dfrac{381}{3}=127\in\mathbb{N}

Sim: 385 é o termo de ordem 127 da progressão.

7. Audições — minutos de prática

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Exame 2024, 1.ª faseResposta aberta

Uma orquestra está a realizar audições para novos instrumentistas.

Para se preparar para a audição de violino, a Constança praticou \(m\) dias.

Sabe-se que a Constança praticou:

em cada dia, exceto no primeiro, sempre mais 10 minutos do que no dia anterior;
60 minutos no quarto dia;
2970 minutos no total dos \(m\) dias.

Determine o valor de \(m\).

Como interpretar. "Mais 10 minutos por dia" indica uma progressão aritmética de razão \(r=10\). Conhece-se um termo (\(u_4=60\)) e a soma (\(S_m=2970\)). Escreve-se o termo geral e resolve-se a equação da soma — que dá uma equação do 2.º grau em \(m\).

1.º — Termo geral

Com \(r=10\) e \(u_4=60\): \(u_n=u_4+10(n-4)=60+10n-40\), logo \(u_n=10n+20\).

2.º — Equação da soma

S_m=2970 \Leftrightarrow \dfrac{u_1+u_m}{2}\times m=2970 \Leftrightarrow \dfrac{30+10m+20}{2}\times m=2970

m(25+5m)-2970=0 \Leftrightarrow 5m^{2}+25m-2970=0 \Leftrightarrow m=-27\ \lor\ m=22

Porquê \(m=22\)? \(m\) é um número de dias, logo \(m\in\mathbb{N}\): rejeita-se \(m=-27\).

\(m=\textbf{22}\) dias.

8. Sucessão monótona

8

Exame 2023, época especialEscolha múltipla

Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona?

(A) \((n-5)^{2}\)

(B) \(\dfrac{(-1)^{n}}{n+3}\)

(C) \((-2)^{n}\)

(D) \(\dfrac{1}{n}\)

Como interpretar. Uma sucessão é monótona se for sempre crescente ou sempre decrescente. Basta encontrar a única opção sem "altos e baixos". As que oscilam de sinal (por causa de \((-1)^n\) ou de uma base negativa) não são monótonas.

(A) \((n-5)^2\) — parábola com a concavidade para cima e zero em \(n=5\): decresce até \(n=5\) e cresce depois. Não é monótona.

(B) \(\dfrac{(-1)^n}{n+3}\) — oscila entre valores positivos e negativos. Não é monótona.

(C) \((-2)^n\) — oscila entre positivos e negativos. Não é monótona.

(D) \(\dfrac1n\) — estuda-se \(d_{n+1}-d_n\):

\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\dfrac{-1}{n(n+1)}<0,\ \forall n\in\mathbb{N}

Logo é monótona decrescente.

Truque. Termos gerais com \((-1)^n\) ou com base negativa elevada a \(n\) trocam de sinal — nunca são monótonos.

Opção: (D)

9. Semicircunferências

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Exame 2023, época especialResposta aberta

Uma composição geométrica é constituída por uma sequência de 25 semicircunferências em que, à exceção da primeira, o raio de cada semicircunferência é o dobro do raio da semicircunferência anterior.

A figura ao lado representa parte dessa composição, em que \(c_1\), \(c_2\) e \(c_3\) são as três primeiras semicircunferências, com 1 cm, 2 cm e 4 cm de raio, respetivamente.

Composição com semicircunferências de raio dobro do anterior

Determine o comprimento total da linha obtida com esta composição geométrica.

Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades.

Como interpretar. Os raios duplicam: \(1,2,4,8,\dots\) — progressão geométrica de razão 2. O comprimento de cada semicircunferência é \(\pi\times\text{raio}\), pelo que os comprimentos também formam uma progressão geométrica de razão 2. O total é a soma dos 25 primeiros.

Comprimento de cada semicircunferência

c_n=\dfrac{2\pi\, r_n}{2}=\pi\, r_n=\pi\times 2^{\,n-1}

Soma dos 25 comprimentos

S_{25}=\pi\times\dfrac{1-2^{25}}{1-2}=\pi\left(2^{25}-1\right)\approx 105\,414\,353{,}9\text{ cm}

\(105\,414\,353{,}9\text{ cm}\approx 1054{,}1\text{ km}\approx \textbf{1054 km}\).

10. Triângulos encaixados

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Exame 2023, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Considere um triângulo equilátero, \([ABC]\), com \(\overline{AB}=1\). Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo equilátero; unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se o terceiro triângulo equilátero. Continuando a proceder deste modo, obtém-se uma sequência de \(n\) triângulos, sendo \(n>4\).

Na figura ao lado, representam-se os primeiros quatro triângulos da sequência.

Triângulo equilátero com triângulos obtidos unindo pontos médios

Mostre que a soma dos perímetros dos \(n\) triângulos da sequência é menor do que 6 unidades, qualquer que seja o valor de \(n\).

Como interpretar. Unir os pontos médios dá um triângulo com lado metade do anterior; logo o perímetro também fica reduzido a metade. Os perímetros formam uma progressão geométrica de razão \(\tfrac12\). Mostra-se que a soma \(S_n\) é sempre inferior a 6.

1.º — A progressão dos perímetros

\(P_{[ABC]}=3\times 1=3\). Unindo pontos médios, o lado passa a \(\tfrac12\), logo \(P_2=3\times\tfrac12=\tfrac32\). A razão é \(\dfrac{P_2}{P_1}=\tfrac12\): progressão geométrica de razão \(\tfrac12\) com \(P_1=3\).

2.º — Soma dos \(n\) perímetros

S_n=3\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n}}{1-\frac12}=6\left(1-\left(\tfrac12\right)^{n}\right)=6-6\left(\tfrac12\right)^{n}

3.º — Conclusão

Como \(\left(\tfrac12\right)^{n}>0\) para todo o \(n\in\mathbb{N}\), tem-se \(6\left(\tfrac12\right)^{n}>0\), logo:

S_n=6-6\left(\tfrac12\right)^{n}<6,\quad \forall n\in\mathbb{N}

A soma dos perímetros é sempre menor do que 6 unidades, como se pretendia mostrar.

11. Linha poligonal

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Exame 2023, 1.ª faseResposta aberta

A figura ao lado representa uma linha poligonal simples que começa a ser construída a partir do segmento de reta \([AB]\). O segundo segmento de reta, com uma das extremidades em \(B\), foi construído com mais 2 cm do que o primeiro; o terceiro segmento foi construído com mais 2 cm do que o segundo, e assim sucessivamente, tendo cada segmento de reta sempre mais 2 cm do que o anterior.

Linha poligonal construída a partir do segmento [AB]

Continuando a construção da linha poligonal, do modo acima descrito, até ao 100.º segmento de reta, obtém-se uma linha poligonal com o comprimento total de 104 metros.

Determine o comprimento do segmento de reta \([AB]\).

Apresente o valor pedido em centímetros.

Como interpretar. Os comprimentos dos segmentos formam uma progressão aritmética de razão 2 cm (cada um tem mais 2 cm do que o anterior). O comprimento total da linha é a soma dos 100 primeiros. Conhecida essa soma, descobre-se \(u_1=\overline{AB}\). Atenção às unidades: \(104\text{ m}=10\,400\text{ cm}\).

1.º — Termo geral

Razão \(r=2\) (pois \(u_{n+1}-u_n=2\)), logo \(u_{100}=u_1+99\times 2=u_1+198\).

2.º — Equação da soma

S_{100}=10\,400 \Leftrightarrow \dfrac{u_1+u_{100}}{2}\times 100=10\,400 \Leftrightarrow (u_1+u_1+198)\times 50=10\,400

2u_1+198=208 \Leftrightarrow 2u_1=10 \Leftrightarrow u_1=5

O segmento \([AB]\) tem 5 cm.

12. Progressão aritmética — é termo?

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Exame 2022, época especialResposta aberta · sem calculadora

De uma progressão aritmética, \((v_n)\), sabe-se que \(v_3=1\) e \(v_{10}=\dfrac54\,v_9\).

Averigue, sem recorrer à calculadora, se \(-50\) é termo da progressão \((v_n)\).

Como interpretar. Escrevem-se \(v_3\), \(v_9\) e \(v_{10}\) à custa de \(v_1\) e \(r\). A condição \(v_{10}=\tfrac54 v_9\) dá a razão; depois obtém-se \(v_1\) e o termo geral. Por fim resolve-se \(v_n=-50\): se \(n\in\mathbb{N}\), é termo.

1.º — Razão e primeiro termo

De \(v_3=1\): \(v_1+2r=1\Leftrightarrow v_1=1-2r\). Então \(v_9=1+6r\) e \(v_{10}=1+7r\).

1+7r=\tfrac54(1+6r) \Leftrightarrow 4+28r=5+30r \Leftrightarrow -2r=1 \Leftrightarrow r=-\tfrac12

v_1=1-2\left(-\tfrac12\right)=2

2.º — Termo geral

v_n=2-\tfrac12(n-1)=\tfrac52-\tfrac{n}{2}

3.º — Verificar se \(-50\) é termo

\tfrac52-\tfrac{n}{2}=-50 \Leftrightarrow 5-n=-100 \Leftrightarrow n=105\in\mathbb{N}

Sim: \(-50\) é o termo de ordem 105.

13. Progressão geométrica — quinto termo

13

Exame 2022, 1.ª faseResposta aberta

A soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \(\dfrac23\) é 211.

Determine o quinto termo desta progressão.

Como interpretar. Conhecendo a razão e a soma dos 5 primeiros termos, usa-se a fórmula da soma da progressão geométrica para achar \(u_1\); depois calcula-se \(u_5=u_1\times r^{4}\).

1.º — Determinar \(u_1\)

u_1\times\dfrac{1-\left(\frac23\right)^{5}}{1-\frac23}=211 \Leftrightarrow u_1\times\dfrac{633}{243}=211 \Leftrightarrow u_1=\dfrac{211\times243}{633}=81

2.º — Calcular \(u_5\)

u_5=u_1\times r^{\,5-1}=81\times\left(\tfrac23\right)^{4}=81\times\dfrac{16}{81}=16

\(u_5=\textbf{16}\).

14. Soma de termos de ordem ímpar

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Exame 2021, época especialResposta aberta · sem calculadora

Seja \((u_n)\) a sucessão definida por \(u_n=2n+1\).

Determine, sem recorrer à calculadora, a soma dos primeiros duzentos termos de ordem ímpar da sucessão \((u_n)\).

Como interpretar. "Termos de ordem ímpar" são \(u_1, u_3, u_5,\dots\) — ordens \(1,3,5,\dots\), que se escrevem como \(2p-1\), \(p\in\mathbb{N}\). Substituindo, obtém-se uma nova progressão aritmética (a subsucessão), cuja soma dos 200 primeiros termos se calcula.

1.º — Termo geral da subsucessão

A ordem ímpar é \(2p-1\). Substituindo em \(u_n=2n+1\):

u_{2p-1}=2(2p-1)+1=4p-1

É uma progressão aritmética de razão 4 (com primeiro termo \(4\times1-1=3\)).

2.º — Soma dos 200 primeiros

S_{200}=\dfrac{(4\times1-1)+(4\times200-1)}{2}\times 200=\dfrac{3+799}{2}\times 200=802\times 100=80\,200

A soma é 80 200.

15. Progressão aritmética — soma de 16 termos

15

Exame 2021, 2.ª faseResposta aberta

Seja \((u_n)\) uma progressão aritmética. Sabe-se que, relativamente a \((u_n)\), a soma do sexto termo com o vigésimo é igual a \(-5\) e que o décimo nono termo é igual ao quádruplo do sétimo termo.

Determine a soma dos dezasseis primeiros termos desta progressão.

Como interpretar. Escrevem-se os termos referidos à custa de \(u_1\) e \(r\); as duas condições dão um sistema que determina \(u_1\) e \(r\). Depois calcula-se \(S_{16}=\dfrac{u_1+u_{16}}{2}\times 16\).

1.º — Sistema

u_6+u_{20}=-5 \Leftrightarrow 2u_1+24r=-5

u_{19}=4u_7 \Leftrightarrow u_1+18r=4(u_1+6r) \Leftrightarrow u_1=-2r

2.º — Resolver

2(-2r)+24r=-5 \Leftrightarrow 20r=-5 \Leftrightarrow r=-\tfrac14 \;\Rightarrow\; u_1=-2\left(-\tfrac14\right)=\tfrac12

3.º — Soma dos 16 primeiros

\(u_{16}=u_1+15r=\tfrac12+15\left(-\tfrac14\right)=-\tfrac{13}{4}\). Então:

S_{16}=\dfrac{u_1+u_{16}}{2}\times 16=\dfrac{\frac12-\frac{13}{4}}{2}\times 16=-22

\(S_{16}=\textbf{−22}\).

16. Progressão geométrica — um termo

16

Exame 2021, 1.ª faseEscolha múltipla

Seja \((u_n)\) uma progressão geométrica. Sabe-se que \(v_3=4\) e \(v_6=108\).

Qual é o valor de \(v_4\)?

(A) 12

(B) 24

(C) 48

(D) 60

Como interpretar. Numa progressão geométrica, dois termos relacionam-se por \(v_n=v_p\times r^{\,n-p}\). Com \(v_3\) e \(v_6\) determina-se a razão; depois calcula-se \(v_4=v_3\times r\).

v_6=v_3\times r^{\,6-3} \Leftrightarrow 108=4\times r^{3} \Leftrightarrow r^{3}=27 \Leftrightarrow r=3

v_4=v_3\times r=4\times 3=12

Opção: (A)

17. Termos num intervalo

17

Exame 2021, 1.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Seja \((u_n)\) a sucessão definida por \(u_n=2+\dfrac{(-1)^{\,n+1}}{n}\).

Determine, sem recorrer à calculadora, quantos termos de ordem ímpar da sucessão \((u_n)\) pertencem ao intervalo \(\left[\dfrac{83}{41},\dfrac{67}{33}\right]\).

Como interpretar. Para \(n\) ímpar, \((-1)^{n+1}=1\), pelo que a subsucessão dos termos de ordem ímpar é \(2+\dfrac1n\). Resolve-se a inequação dupla \(\dfrac{83}{41}\le 2+\dfrac1n\le\dfrac{67}{33}\) e contam-se as ordens ímpares que a verificam.

Resolver a inequação

\dfrac{83}{41}\le 2+\dfrac1n\le\dfrac{67}{33} \Leftrightarrow \dfrac{1}{41}\le\dfrac1n\le\dfrac{1}{33} \Leftrightarrow 33\le n\le 41

Contar as ordens ímpares

As ordens ímpares entre 33 e 41 são: \(33,35,37,39\) e \(41\).

Existem 5 termos de ordem ímpar no intervalo.

18. Progressão geométrica — termo geral

18

Exame 2020, época especialResposta aberta

Considera uma progressão geométrica não monótona \((u_n)\). Sabe-se que \(u_3=\dfrac{1}{12}\) e que \(u_{18}=4u_{20}\).

Determina uma expressão do termo geral de \(u_n\). Apresenta essa expressão na forma \(a\times b^{\,n}\), em que \(a\) e \(b\) são números reais.

Como interpretar. Usando \(u_n=u_p\times r^{\,n-p}\), a condição \(u_{18}=4u_{20}\) dá a razão. O facto de a progressão ser não monótona é decisivo para escolher o sinal de \(r\). Depois passa-se de \(u_3\times r^{\,n-3}\) para a forma pedida \(a\times b^n\).

1.º — Determinar a razão

u_{18}=4u_{20} \Leftrightarrow u_3 r^{15}=4\,u_3 r^{17} \Leftrightarrow 1=4r^{2} \Leftrightarrow r^{2}=\tfrac14 \Leftrightarrow r=\pm\tfrac12

Porquê \(r=-\tfrac12\)? A progressão é não monótona; isso só acontece com razão negativa (os termos alternam de sinal). Logo \(r=-\tfrac12\).

2.º — Primeiro termo e termo geral

De \(u_3=u_1 r^{2}=\tfrac{1}{12}\) vem \(u_1=\dfrac{1}{12r^{2}}=\dfrac{1}{12\cdot\frac14}=\dfrac13\). Então:

u_n=\tfrac13\left(-\tfrac12\right)^{n-1}=\tfrac13\left(-\tfrac12\right)^{n}\left(-\tfrac12\right)^{-1}=\tfrac13\left(-\tfrac12\right)^{n}\times(-2)=-\tfrac23\left(-\tfrac12\right)^{n}

\(u_n=-\dfrac23\left(-\dfrac12\right)^{n}\) (forma \(a\times b^n\) com \(a=-\tfrac23\) e \(b=-\tfrac12\)).

19. Progressão aritmética — ordem de um termo

19

Exame 2020, 2.ª faseResposta aberta

De uma progressão aritmética \(u_n\) sabe-se que o sétimo termo é igual ao dobro do segundo e que a soma dos doze primeiros termos é igual a 57.

Sabe-se ainda que 500 é termo da sucessão \(u_n\). Determina a ordem deste termo.

Como interpretar. Traduzem-se as duas condições à custa de \(u_1\) e \(r\): a primeira relaciona \(u_1\) com \(r\); a segunda (soma) dá o valor de \(r\). Com o termo geral, resolve-se \(u_n=500\).

1.º — Relacionar \(u_1\) e \(r\)

u_7=2u_2 \Leftrightarrow u_1+6r=2(u_1+r) \Leftrightarrow u_1=4r

2.º — Usar a soma

S_{12}=57 \Leftrightarrow \dfrac{u_1+u_{12}}{2}\times 12=57 \Leftrightarrow (4r+4r+11r)\times 6=57 \Leftrightarrow 114r=57 \Leftrightarrow r=\tfrac12

3.º — Termo geral e ordem de 500

u_n=u_1+r(n-1)=2+\tfrac12(n-1)=\dfrac{n+3}{2}

\dfrac{n+3}{2}=500 \Leftrightarrow n+3=1000 \Leftrightarrow n=997

500 é o termo de ordem 997.

20. Monotonia de uma sucessão

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Exame 2020, 1.ª faseResposta aberta

Considera a sucessão \(u_n\) de termo geral \(u_n=\dfrac{8n-4}{n+1}\).

Estuda a sucessão quanto à monotonia.

Como interpretar. Para estudar a monotonia calcula-se a diferença \(u_{n+1}-u_n\) e estuda-se o seu sinal. Se for sempre positiva, a sucessão é crescente; se sempre negativa, decrescente.

Diferença entre termos consecutivos

u_{n+1}-u_n=\dfrac{8(n+1)-4}{n+2}-\dfrac{8n-4}{n+1}=\dfrac{(8n+4)(n+1)-(8n-4)(n+2)}{(n+2)(n+1)}

=\dfrac{12}{(n+2)(n+1)}>0,\quad \forall n\in\mathbb{N}

Porquê é positiva? O numerador (12) é positivo e o denominador \((n+2)(n+1)\) é positivo para todo o \(n\in\mathbb{N}\).

Como \(u_{n+1}-u_n>0\), a sucessão é monótona crescente.

21. Menor ordem — termos maiores que −0,01

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Exame 2019, época especialResposta aberta

Considera a sucessão \(u_n\) de termo geral \(u_n=\dfrac{(-1)^{\,n+1}}{n+2}\).

Determina a menor ordem a partir da qual todos os termos da sucessão \(u_n\) são maiores do que \(-0{,}01\).

Como interpretar. O fator \((-1)^{\,n+1}\) faz o sinal alternar: os termos de ordem ímpar são positivos e os de ordem par são negativos. Os positivos já são maiores que \(-0{,}01\); o problema está nos termos negativos (ordem par), que é onde se aplica a condição.

u_n=\dfrac{(-1)^{\,n+1}}{n+2}=\begin{cases}\dfrac{1}{n+2}\,,& n\text{ ímpar}\\[4pt]-\dfrac{1}{n+2}\,,& n\text{ par}\end{cases}

Termos de ordem par

-\dfrac{1}{n+2}>-0{,}01 \Leftrightarrow \dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{100} \Leftrightarrow n+2>100 \Leftrightarrow n>98

Os termos de ordem ímpar são sempre positivos (maiores que \(-0{,}01\)); os de ordem par só verificam a condição para \(n>98\). Assim, a partir da ordem 99, todos os termos (ímpares e pares) são maiores do que \(-0{,}01\).

A menor ordem é 99.

22. PG e PA — determinar a e b

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Exame 2019, 2.ª faseResposta aberta

Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais diferentes de zero. Sabe-se que \(2\), \(a\) e \(b\) são três termos consecutivos de uma progressão geométrica.

Sabe-se ainda que \(a-2\), \(b\) e \(2\) são três termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Determina \(a\) e \(b\).

Como interpretar. Usam-se as duas propriedades dos termos consecutivos: numa PG, o quociente entre termos seguidos é constante (\(\tfrac{a}{2}=\tfrac{b}{a}\)); numa PA, a diferença entre termos seguidos é constante (\(b-(a-2)=2-b\)). Daí sai um sistema em \(a\) e \(b\).

1.ª condição (progressão geométrica)

\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{a} \Leftrightarrow a^{2}=2b

2.ª condição (progressão aritmética)

b-(a-2)=2-b \Leftrightarrow 2b=a

Resolver o sistema

\begin{cases}a^{2}=2b\\ a=2b\end{cases} \Rightarrow a^{2}=a \Leftrightarrow a(a-1)=0 \Leftrightarrow a=0\ \lor\ a=1

Como \(a\neq 0\), vem \(a=1\) e \(b=\dfrac{a}{2}=\dfrac12\).

\(a=\textbf{1}\) e \(b=\textbf{1/2}\).

23. Progressão geométrica — determinar a razão

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Exame 2019, 1.ª faseResposta aberta

Seja \(r\) um número real maior do que 1. Sabe-se que \(r\) é a razão de uma progressão geométrica de termos positivos.

Sabe-se ainda que, de dois termos consecutivos dessa progressão, a sua soma é igual a 12 e a diferença entre o maior e o menor é igual a 3.

Determina o valor de \(r\).

Como interpretar. Sejam dois termos consecutivos: o menor e o maior (o maior é \(r\) vezes o menor, pois \(r>1\)). Conhecendo a sua soma e a sua diferença, encontram-se os dois termos; a razão é o quociente entre eles.

1.º — Encontrar os dois termos

Sejam \(t\) o menor termo e \(rt\) o maior. Então:

\begin{cases}t+rt=12\\ rt-t=3\end{cases}

Somando as equações: \(2rt=15\Rightarrow rt=\tfrac{15}{2}\) (maior). Subtraindo: \(2t=9\Rightarrow t=\tfrac92\) (menor).

2.º — Calcular a razão

r=\dfrac{rt}{t}=\dfrac{15/2}{9/2}=\dfrac{15}{9}=\dfrac53

Coerência. \(r=\tfrac53>1\), como o enunciado exige.

\(r=\dfrac53\).

24. Progressão aritmética — é termo?

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Exame 2018, 2.ª faseResposta aberta

De uma progressão aritmética \(u_n\) sabe-se que o terceiro termo é igual a 4 e que a soma dos doze primeiros termos é igual a 174.

Averigua se 5371 é termo da sucessão \(u_n\).

Como interpretar. O termo \(u_3\) dá uma relação entre \(u_1\) e \(r\); a soma \(S_{12}\) dá outra. Resolvido o sistema, escreve-se o termo geral e testa-se \(u_n=5371\).

1.º — Sistema

\(u_3=4 \Leftrightarrow u_1+2r=4 \Leftrightarrow u_1=4-2r\).

S_{12}=174 \Leftrightarrow \dfrac{u_1+u_{12}}{2}\times 12=174 \Leftrightarrow (2u_1+11r)\times 6=174 \Leftrightarrow 2u_1+11r=29

2(4-2r)+11r=29 \Leftrightarrow 8+7r=29 \Leftrightarrow r=3 \;\Rightarrow\; u_1=4-2\times3=-2

2.º — Termo geral e teste

\(u_n=-2+3(n-1)=3n-5\)

3n-5=5371 \Leftrightarrow n=\dfrac{5376}{3}=1792\in\mathbb{N}

Sim: 5371 é o termo de ordem 1792.

25. Progressão geométrica — primeiro termo

25

Exame 2018, 1.ª faseResposta aberta

Seja \(a\) um número real. Sabe-se que \(a\), \(a+6\) e \(a+18\) são três termos consecutivos de uma progressão geométrica.

Relativamente a essa progressão geométrica, sabe-se ainda que a soma dos sete primeiros termos é igual a 381.

Determina o primeiro termo dessa progressão.

Como interpretar. Em três termos consecutivos de uma PG, o quociente entre termos seguidos é constante — isso dá uma equação que determina \(a\) e, com ele, a razão. Depois, da soma dos 7 primeiros termos obtém-se o primeiro termo \(u_1\) (que pode não coincidir com \(a\)).

1.º — Determinar \(a\) e a razão

\dfrac{a+18}{a+6}=\dfrac{a+6}{a} \Leftrightarrow a(a+18)=(a+6)^{2} \Leftrightarrow 6a=36 \Leftrightarrow a=6

r=\dfrac{a+6}{a}=\dfrac{12}{6}=2

2.º — Usar a soma dos 7 primeiros

S_7=u_1\times\dfrac{1-2^{7}}{1-2}=381 \Leftrightarrow 127\,u_1=381 \Leftrightarrow u_1=3

O primeiro termo é 3.

26. Identificar a progressão

26

Exame 2017, 2.ª faseEscolha múltipla

Seja \(u_n\) a sucessão definida por \(u_n=\left(\dfrac12\right)^{1-n}\). Qual das afirmações é verdadeira?

(A) \(u_n\) é uma progressão geométrica de razão \(\tfrac12\).

(B) \(u_n\) é uma progressão geométrica de razão 2.

(C) \(u_n\) é uma progressão aritmética de razão \(\tfrac12\).

(D) \(u_n\) é uma progressão aritmética de razão 2.

Como interpretar. Simplifica-se o termo geral usando regras de potências, até ficar na forma \(u_1\times r^{\,n-1}\) (PG) ou \(u_1+r(n-1)\) (PA). A forma obtida identifica o tipo de progressão e a razão.

u_n=\left(\tfrac12\right)^{1-n}=\left(\left(\tfrac12\right)^{-1}\right)^{n-1}=2^{\,n-1}

É uma progressão geométrica de razão 2 (com \(u_1=1\)).

Opção: (B)

27. Progressão geométrica — quinto termo

27

Exame 2016, 2.ª faseEscolha múltipla

De uma progressão geométrica \(u_n\), monótona crescente, sabe-se que \(u_4=32\) e que \(u_8=8192\).

Qual é o quinto termo desta sucessão, \(u_5\)?

(A) 64

(B) 128

(C) 256

(D) 512

Como interpretar. Com dois termos quaisquer determina-se a razão por \(u_8=u_4\times r^{\,8-4}\). A indicação "monótona crescente" serve para escolher o sinal de \(r\). Depois calcula-se \(u_5=u_4\times r\).

u_8=u_4\times r^{4} \Leftrightarrow 8192=32\times r^{4} \Leftrightarrow r^{4}=256 \Leftrightarrow r=4

Porquê \(r=4\) (e não \(-4\))? A progressão é monótona crescente (de termos positivos), logo a razão é positiva.

u_5=u_4\times r=32\times 4=128

Opção: (B)

28. Progressão geométrica — vigésimo termo

28

Exame 2015, época especialEscolha múltipla

De uma progressão geométrica \(a_n\), sabe-se que o terceiro termo é igual a \(\dfrac14\) e que o sexto termo é igual a 2.

Qual é o valor do vigésimo termo?

(A) 8192

(B) 16384

(C) 32768

(D) 65536

Como interpretar. Determina-se a razão com \(a_6=a_3\times r^{\,6-3}\) e, depois, "salta-se" de \(a_3\) para \(a_{20}\) com \(a_{20}=a_3\times r^{\,20-3}\).

a_6=a_3\times r^{3} \Leftrightarrow 2=\tfrac14\, r^{3} \Leftrightarrow r^{3}=8 \Leftrightarrow r=2

a_{20}=a_3\times r^{17}=\tfrac14\times 2^{17}=\dfrac{2^{17}}{2^{2}}=2^{15}=32768

Opção: (C)

29. Sucessão por recorrência

29

Exame 2015, 1.ª faseEscolha múltipla

Seja \(a\) um número real. Considera a sucessão \(u_n\) definida por \(\begin{cases}u_1=a\\ u_{n+1}=-3u_n+2\,,\ \forall n\in\mathbb{N}\end{cases}\)

Qual é o terceiro termo desta sucessão?

(A) \(6a+4\)

(B) \(9a-4\)

(C) \(6a-4\)

(D) \(9a+4\)

Como interpretar. Como a sucessão é definida por recorrência e o primeiro termo é uma letra (\(a\)), aplicam-se as regras dos termos calculando \(u_2\) e depois \(u_3\), mantendo \(a\) na expressão.

\(u_2=-3u_1+2=-3a+2\)

\(u_3=-3u_2+2=-3(-3a+2)+2=9a-6+2=9a-4\)

Opção: (B)

30. Igualar duas sucessões

30

Teste Intermédio 11.º ano · maio de 2011Escolha múltipla

Seja \(u_n\) a sucessão definida por recorrência do seguinte modo: \(\begin{cases}u_1=3\\ u_2=u_{n-1}+2n\,,\ \text{se } n>1\end{cases}\)

Seja \(w_n\) a sucessão de termo geral \(w_n=5n-13\).

Qual é o valor de \(n\) para o qual se tem \(w_n=u_2\)?

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

Como interpretar. Primeiro calcula-se o valor concreto de \(u_2\) (pela recorrência). Depois resolve-se a equação \(w_n=u_2\), substituindo no termo geral de \(w_n\).

1.º — Calcular \(u_2\)

u_2=u_1+2\times 2=3+4=7

2.º — Resolver \(w_n=u_2\)

5n-13=7 \Leftrightarrow 5n=20 \Leftrightarrow n=4

Opção: (B)