- Progressão aritmética (razão \(r\)): \(a_n = a_1 + r(n-1)\); relação entre termos: \(a_n = a_p + r(n-p)\); soma: \(S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\times n\).
- Progressão geométrica (razão \(r\)): \(a_n = a_1\times r^{\,n-1}\); relação entre termos: \(a_n = a_p\times r^{\,n-p}\); soma: \(S_n = a_1\times\dfrac{1-r^{\,n}}{1-r}\).
- Monotonia: estuda-se o sinal de \(a_{n+1}-a_n\) (crescente se \(>0\), decrescente se \(<0\)).
1. Limite com o número e
Qual é o limite da sucessão de termo geral \(u_n=\left(\dfrac{n+2}{n}\right)^{3n}\)?
2. Monotonia de uma sucessão
Considere a sucessão \((u_n)\) definida por
Estude a sucessão \((u_n)\) quanto à monotonia.
Para todo o \(n\in\mathbb{N}\), \((n+2)(n+3)\gt0\), logo \(u_{n+1}-u_n\gt0\).
3. Sucessão monótona decrescente
Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona decrescente?
(A) não é monótona: \(u_1=-3\), \(u_2=-4\), \(u_3=-3\). (B) e (C) são crescentes. Em (D), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac23\in\,]0,1[\) com termos positivos, logo é decrescente.
4. Progressão geométrica com soma finita
Qual das expressões seguintes é termo geral de uma progressão geométrica cuja soma de todos os termos tem um valor finito?
(A) e (B) não são progressões geométricas. Em (C), \(r=\dfrac32\gt1\). Em (D), \(r=\dfrac23\) e \(\left|\dfrac23\right|\lt1\): a soma é \(\dfrac{\frac23}{1-\frac23}=2\).
5. Triângulo de Pascal — segundo elemento
Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.
A soma dos quatro últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é \(288\,101\).
Determine o segundo elemento dessa linha, sabendo também que o quarto elemento da linha seguinte é \(287\,980\).
Sejam \(a,b,c,d\) os quatro últimos elementos da linha, por esta ordem.
O penúltimo elemento, \(c\), é igual ao segundo elemento da linha.
6. Progressão aritmética — ordem de um termo
Seja \((a_n)\) a progressão aritmética, de termos positivos, em que \(a_{10}-a_{4}=3\) e \(a_{4}\times a_{10}=40\). Sabe-se que 173 é termo da sucessão \((a_n)\).
Determine a ordem desse termo.
Como \(a_{10}=a_1+9r\) e \(a_{4}=a_1+3r\):
Substituindo \(r=\tfrac12\) em \(a_{4}\times a_{10}=40\):
7. Sucessão com limite zero
Seja \((u_n)\) uma sucessão tal que \(\lim u_n=0\).
Qual das expressões seguintes pode ser termo geral de \((u_n)\)?
(A) \(\lim\left(\dfrac2n-n\right)=-\infty\); (B) \((-2)^{n}\) não tem limite; (C) \(\left|-\dfrac12\right|\lt1\), logo \(\lim\left(-\dfrac12\right)^{n}=0\); (D) \(\lim(2n+3)=+\infty\).
8. Tapete de Sierpinski
Na figura, apresentam-se as quatro primeiras composições geométricas da construção do Tapete de Sierpinski.
Tal como a figura sugere, nesta construção:
- a 1.ª composição é um quadrado;
- a 2.ª composição, com 8 quadrados, obtém-se decompondo a 1.ª em 9 quadrados iguais e removendo o quadrado central;
- cada uma das composições seguintes obtém-se decompondo cada um dos quadrados obtidos na composição anterior em 9 quadrados iguais e removendo os quadrados centrais.
Admita que, fixada uma unidade de medida, o quadrado inicial tem área igual a 9 e que se continuará a construção, de acordo com o procedimento descrito, até se obter a 50.ª composição.
Determine a área da 50.ª composição, ou seja, a área total dos quadrados que formam essa composição.
Apresente o resultado arredondado às milésimas.
De cada composição para a seguinte remove-se \(\tfrac19\) da área, restando \(9-\tfrac19\times 9=\tfrac{8}{9}\) da área anterior. A razão é \(\tfrac{8}{9}\) e \(a_1=9\):
9. Limite de uma sucessão racional
Qual é o limite da sucessão de termo geral \(u_n=\dfrac{2n+4}{3n+5}\)?
10. Semicírculos — perímetro
Considere uma sucessão de composições geométricas, construídas a partir de um semicírculo de raio 1.
Na figura, estão representadas as três primeiras composições dessa sucessão.
Tal como ilustrado na figura:
- a 1.ª composição foi obtida retirando-se ao semicírculo inicial um semicírculo nele contido, de raio \(\tfrac12\);
- a 2.ª composição foi obtida retirando-se à 1.ª composição um semicírculo nela contido, de raio \(\tfrac14\);
- a 3.ª composição foi obtida retirando-se à 2.ª composição um semicírculo nela contido, de raio \(\tfrac18\);
- e assim sucessivamente, retirando-se, em cada composição, um semicírculo contido na composição anterior, com metade do raio do semicírculo retirado nessa composição, de modo que o diâmetro de cada semicírculo retirado seja colinear com o diâmetro do semicírculo inicial.
Determine o perímetro da 20.ª composição geométrica dessa sucessão.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
É sempre o mesmo (semicircunferência de raio 1), logo é uma sucessão constante:
Cada segmento é metade do anterior — progressão geométrica de razão \(\tfrac12\), com \(b_1=1\):
\(c_1=\dfrac{2\pi\times\frac12}{2}=\dfrac{\pi}{2}\); \(\;c_2=\dfrac{\pi}{4}\); \(\;c_3=\dfrac{\pi}{8}\). É uma progressão geométrica de razão \(\tfrac12\). A soma dos 20 primeiros:
11. Limite com o número e
Qual é o limite da sucessão de termo geral \(u_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{3n}\)?
12. Triângulo de Pascal — quinto elemento
O produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento de uma dada linha do triângulo de Pascal é \(625\).
Qual é o quinto elemento da linha anterior?
A linha anterior é a dos elementos \({}^{24}C_k\); o quinto elemento é
13. Sucessão por recorrência
Seja \((u_n)\) a sucessão definida por \(\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=2u_n+2\,,\ \forall n\in\mathbb{N}\end{cases}\)
Qual é o terceiro termo da sucessão \((u_n)\)?
14. Triângulo de Pascal — cartões
Usando cartões numerados, constrói-se uma figura, com forma triangular, constituída pelas \(n\) primeiras linhas do triângulo de Pascal.
Na figura, estão representadas as cinco primeiras linhas dessa construção.
Calcule o valor de \(n\), sabendo que, na construção da figura, foram utilizados, exatamente, 3081 cartões.
Sendo o número de cartões da linha \(k\) igual a \(k\), o total das \(n\) linhas é \(S_n=\dfrac{1+n}{2}\times n\). Igualando a 3081:
15. Progressão aritmética — é termo?
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
De uma progressão aritmética \((u_n)\), sabe-se que a soma do primeiro com o quinto termo é igual a 26 e que o nono termo é igual a 31.
Averigue se 385 é termo da progressão \((u_n)\).
16. Audições — minutos de prática
Uma orquestra está a realizar audições para novos instrumentistas.
Para se preparar para a audição de violino, a Constança praticou \(m\) dias.
Sabe-se que a Constança praticou:
- em cada dia, exceto no primeiro, sempre mais 10 minutos do que no dia anterior;
- 60 minutos no quarto dia;
- 2970 minutos no total dos \(m\) dias.
Determine o valor de \(m\).
Com \(r=10\) e \(u_4=60\): \(u_n=u_4+10(n-4)=60+10n-40\), logo \(u_n=10n+20\).
2.º — Equação da soma17. Sucessão monótona
Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona?
(A) \((n-5)^2\) — parábola com a concavidade para cima e zero em \(n=5\): decresce até \(n=5\) e cresce depois. Não é monótona.
(B) \(\dfrac{(-1)^n}{n+3}\) — oscila entre valores positivos e negativos. Não é monótona.
(C) \((-2)^n\) — oscila entre positivos e negativos. Não é monótona.
(D) \(\dfrac1n\) — estuda-se \(d_{n+1}-d_n\):
Logo é monótona decrescente.
18. Semicircunferências
Uma composição geométrica é constituída por uma sequência de 25 semicircunferências em que, à exceção da primeira, o raio de cada semicircunferência é o dobro do raio da semicircunferência anterior.
A figura ao lado representa parte dessa composição, em que \(c_1\), \(c_2\) e \(c_3\) são as três primeiras semicircunferências, com 1 cm, 2 cm e 4 cm de raio, respetivamente.
Determine o comprimento total da linha obtida com esta composição geométrica.
Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades.
19. Triângulos encaixados
Considere um triângulo equilátero, \([ABC]\), com \(\overline{AB}=1\). Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo equilátero; unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se o terceiro triângulo equilátero. Continuando a proceder deste modo, obtém-se uma sequência de \(n\) triângulos, sendo \(n>4\).
Na figura ao lado, representam-se os primeiros quatro triângulos da sequência.
Mostre que a soma dos perímetros dos \(n\) triângulos da sequência é menor do que 6 unidades, qualquer que seja o valor de \(n\).
\(P_{[ABC]}=3\times 1=3\). Unindo pontos médios, o lado passa a \(\tfrac12\), logo \(P_2=3\times\tfrac12=\tfrac32\). A razão é \(\dfrac{P_2}{P_1}=\tfrac12\): progressão geométrica de razão \(\tfrac12\) com \(P_1=3\).
2.º — Soma dos \(n\) perímetrosComo \(\left(\tfrac12\right)^{n}>0\) para todo o \(n\in\mathbb{N}\), tem-se \(6\left(\tfrac12\right)^{n}>0\), logo:
20. Linha poligonal
A figura ao lado representa uma linha poligonal simples que começa a ser construída a partir do segmento de reta \([AB]\). O segundo segmento de reta, com uma das extremidades em \(B\), foi construído com mais 2 cm do que o primeiro; o terceiro segmento foi construído com mais 2 cm do que o segundo, e assim sucessivamente, tendo cada segmento de reta sempre mais 2 cm do que o anterior.
![Linha poligonal construída a partir do segmento [AB]](img-sucessoes/ex11_poligonal.png)
Continuando a construção da linha poligonal, do modo acima descrito, até ao 100.º segmento de reta, obtém-se uma linha poligonal com o comprimento total de 104 metros.
Determine o comprimento do segmento de reta \([AB]\).
Apresente o valor pedido em centímetros.
Razão \(r=2\) (pois \(u_{n+1}-u_n=2\)), logo \(u_{100}=u_1+99\times 2=u_1+198\).
2.º — Equação da soma21. Progressão aritmética — é termo?
De uma progressão aritmética, \((v_n)\), sabe-se que \(v_3=1\) e \(v_{10}=\dfrac54\,v_9\).
Averigue, sem recorrer à calculadora, se \(-50\) é termo da progressão \((v_n)\).
De \(v_3=1\): \(v_1+2r=1\Leftrightarrow v_1=1-2r\). Então \(v_9=1+6r\) e \(v_{10}=1+7r\).
22. Progressão geométrica — quinto termo
A soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \(\dfrac23\) é 211.
Determine o quinto termo desta progressão.
23. Soma de termos de ordem ímpar
Seja \((u_n)\) a sucessão definida por \(u_n=2n+1\).
Determine, sem recorrer à calculadora, a soma dos primeiros duzentos termos de ordem ímpar da sucessão \((u_n)\).
A ordem ímpar é \(2p-1\). Substituindo em \(u_n=2n+1\):
É uma progressão aritmética de razão 4 (com primeiro termo \(4\times1-1=3\)).
2.º — Soma dos 200 primeiros24. Progressão aritmética — soma de 16 termos
Seja \((u_n)\) uma progressão aritmética. Sabe-se que, relativamente a \((u_n)\), a soma do sexto termo com o vigésimo é igual a \(-5\) e que o décimo nono termo é igual ao quádruplo do sétimo termo.
Determine a soma dos dezasseis primeiros termos desta progressão.
\(u_{16}=u_1+15r=\tfrac12+15\left(-\tfrac14\right)=-\tfrac{13}{4}\). Então:
25. Progressão geométrica — um termo
Seja \((u_n)\) uma progressão geométrica. Sabe-se que \(v_3=4\) e \(v_6=108\).
Qual é o valor de \(v_4\)?
26. Termos num intervalo
Seja \((u_n)\) a sucessão definida por \(u_n=2+\dfrac{(-1)^{\,n+1}}{n}\).
Determine, sem recorrer à calculadora, quantos termos de ordem ímpar da sucessão \((u_n)\) pertencem ao intervalo \(\left[\dfrac{83}{41},\dfrac{67}{33}\right]\).
As ordens ímpares entre 33 e 41 são: \(33,35,37,39\) e \(41\).
27. Progressão geométrica — termo geral
Considera uma progressão geométrica não monótona \((u_n)\). Sabe-se que \(u_3=\dfrac{1}{12}\) e que \(u_{18}=4u_{20}\).
Determina uma expressão do termo geral de \(u_n\). Apresenta essa expressão na forma \(a\times b^{\,n}\), em que \(a\) e \(b\) são números reais.
De \(u_3=u_1 r^{2}=\tfrac{1}{12}\) vem \(u_1=\dfrac{1}{12r^{2}}=\dfrac{1}{12\cdot\frac14}=\dfrac13\). Então:
28. Progressão aritmética — ordem de um termo
De uma progressão aritmética \(u_n\) sabe-se que o sétimo termo é igual ao dobro do segundo e que a soma dos doze primeiros termos é igual a 57.
Sabe-se ainda que 500 é termo da sucessão \(u_n\). Determina a ordem deste termo.
29. Monotonia de uma sucessão
Considera a sucessão \(u_n\) de termo geral \(u_n=\dfrac{8n-4}{n+1}\).
Estuda a sucessão quanto à monotonia.
30. Menor ordem — termos maiores que −0,01
Considera a sucessão \(u_n\) de termo geral \(u_n=\dfrac{(-1)^{\,n+1}}{n+2}\).
Determina a menor ordem a partir da qual todos os termos da sucessão \(u_n\) são maiores do que \(-0{,}01\).
Os termos de ordem ímpar são sempre positivos (maiores que \(-0{,}01\)); os de ordem par só verificam a condição para \(n>98\). Assim, a partir da ordem 99, todos os termos (ímpares e pares) são maiores do que \(-0{,}01\).
31. PG e PA — determinar a e b
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais diferentes de zero. Sabe-se que \(2\), \(a\) e \(b\) são três termos consecutivos de uma progressão geométrica.
Sabe-se ainda que \(a-2\), \(b\) e \(2\) são três termos consecutivos de uma progressão aritmética.
Determina \(a\) e \(b\).
Como \(a\neq 0\), vem \(a=1\) e \(b=\dfrac{a}{2}=\dfrac12\).
32. Progressão geométrica — determinar a razão
Seja \(r\) um número real maior do que 1. Sabe-se que \(r\) é a razão de uma progressão geométrica de termos positivos.
Sabe-se ainda que, de dois termos consecutivos dessa progressão, a sua soma é igual a 12 e a diferença entre o maior e o menor é igual a 3.
Determina o valor de \(r\).
Sejam \(t\) o menor termo e \(rt\) o maior. Então:
Somando as equações: \(2rt=15\Rightarrow rt=\tfrac{15}{2}\) (maior). Subtraindo: \(2t=9\Rightarrow t=\tfrac92\) (menor).
2.º — Calcular a razão33. Progressão aritmética — é termo?
De uma progressão aritmética \(u_n\) sabe-se que o terceiro termo é igual a 4 e que a soma dos doze primeiros termos é igual a 174.
Averigua se 5371 é termo da sucessão \(u_n\).
\(u_3=4 \Leftrightarrow u_1+2r=4 \Leftrightarrow u_1=4-2r\).
34. Progressão geométrica — primeiro termo
Seja \(a\) um número real. Sabe-se que \(a\), \(a+6\) e \(a+18\) são três termos consecutivos de uma progressão geométrica.
Relativamente a essa progressão geométrica, sabe-se ainda que a soma dos sete primeiros termos é igual a 381.
Determina o primeiro termo dessa progressão.
35. Identificar a progressão
Seja \(u_n\) a sucessão definida por \(u_n=\left(\dfrac12\right)^{1-n}\). Qual das afirmações é verdadeira?
É uma progressão geométrica de razão 2 (com \(u_1=1\)).
36. Progressão geométrica — quinto termo
De uma progressão geométrica \(u_n\), monótona crescente, sabe-se que \(u_4=32\) e que \(u_8=8192\).
Qual é o quinto termo desta sucessão, \(u_5\)?
37. Progressão geométrica — vigésimo termo
De uma progressão geométrica \(a_n\), sabe-se que o terceiro termo é igual a \(\dfrac14\) e que o sexto termo é igual a 2.
Qual é o valor do vigésimo termo?
38. Sucessão por recorrência
Seja \(a\) um número real. Considera a sucessão \(u_n\) definida por \(\begin{cases}u_1=a\\ u_{n+1}=-3u_n+2\,,\ \forall n\in\mathbb{N}\end{cases}\)
Qual é o terceiro termo desta sucessão?
39. Igualar duas sucessões
Seja \(u_n\) a sucessão definida por recorrência do seguinte modo: \(\begin{cases}u_1=3\\ u_2=u_{n-1}+2n\,,\ \text{se } n>1\end{cases}\)
Seja \(w_n\) a sucessão de termo geral \(w_n=5n-13\).
Qual é o valor de \(n\) para o qual se tem \(w_n=u_2\)?