Exercícios de Exame — Equações de Retas e Planos | 11.º ano

Ferramentas úteis.

Equação vetorial da reta: \((x,y,z)=P+k\,\vec{v}\), \(k\in\mathbb{R}\), com \(P\) ponto e \(\vec{v}\) vetor diretor.
Equação cartesiana do plano: \(ax+by+cz+d=0\), em que \((a,b,c)\) é um vetor normal ao plano.
Uma reta é perpendicular a um plano quando o seu vetor diretor é vetor normal do plano (e vice-versa).
Planos paralelos têm vetores normais colineares (a mesma "parte" \(ax+by+cz\)); determina-se \(d\) substituindo um ponto.
Um vetor \(\vec u\) é perpendicular a \(\vec v\) quando \(\vec u\cdot\vec v=0\).
Plano mediador de \([AB]\): passa pelo ponto médio de \([AB]\) e tem \(\overrightarrow{AB}\) como vetor normal.

As resoluções seguem as propostas oficiais (IAVE).

1. Prisma — reta e volume

Exame 2025, época especialEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma reto de bases quadradas \([ABCDEFGH]\).

Sabe-se que: a base \([ABCD]\) está contida no plano de equação \(x=3\); o vértice \(F\) tem coordenadas \((-9,0,2)\); o plano \(CDE\) é definido pela equação \(5y+2z-62=0\).

1.1. Em qual das opções seguintes se apresentam as coordenadas de um ponto pertencente à reta \(CD\)?

(A) \((3,4,21)\)

(B) \((3,6,18)\)

(C) \((2,4,21)\)

(D) \((2,6,18)\)

1.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do prisma \([ABCDEFGH]\).

1.1 — Ponto da reta CD

Como interpretar. A reta \(CD\) está na base \([ABCD]\) (plano \(x=3\)), logo qualquer ponto dela tem abcissa 3 — isso deixa só (A) ou (B). Além disso, \(CD\) está no plano \(CDE\), pelo que as coordenadas têm de verificar \(5y+2z-62=0\).

Testando (A) \((3,4,21)\):

5\times 4+2\times 21-62=20+42-62=0 \checkmark

Opção: (A)

1.2 — Volume do prisma

Como interpretar. Precisamos da área da base (quadrado de lado \(\overline{EF}\)) e da altura (aresta lateral, distância entre os planos das bases). Para isso determina-se primeiro o vértice \(E\), interseção da reta \(EF\) (perpendicular ao plano \(CDE\)) com esse plano.

\(EF\) é perpendicular a \(CDE\), logo tem vetor diretor \(\vec{v}(0,5,2)\). Reta \(EF\): \((x,y,z)=(-9,0,2)+k(0,5,2)\), ponto genérico \((-9,5k,2+2k)\). \(E\) é a interseção com o plano \(CDE\):

5\times 5k+2(2+2k)-62=0 \Leftrightarrow 29k=58 \Leftrightarrow k=2 \;\Rightarrow\; E(-9,10,6)

Lado da base:

\overline{EF}=\sqrt{(-9-(-9))^2+(10-0)^2+(6-2)^2}=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}

A base \([ABCD]\) está em \(x=3\) e \(E\) tem abcissa \(-9\), logo a altura do prisma é \(\overline{AF}=3-(-9)=12\).

V=\overline{EF}^{\,2}\times\overline{AF}=116\times 12=1392\text{ u.v.}

O volume do prisma é 1392.

2. Pirâmide — vértice V

Exame 2025, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxyz\), a pirâmide regular de base quadrada \([ABCD]\) e vértice \(V\).

Sabe-se que: \(\overline{AB}=\sqrt6\); o centro da base \(M\) tem coordenadas \((2,-1,3)\); o ponto \(V\) tem abcissa positiva; o plano \(ABC\) é definido por \(2x-y+z-8=0\); o volume da pirâmide é \(4\sqrt6\).

Determine as coordenadas do ponto \(V\).

Como interpretar. \([VM]\) é a altura da pirâmide (\(M\) é o centro da base). Do volume obtém-se \(\overline{VM}\). A reta \(VM\) é perpendicular à base, logo tem a direção do vetor normal do plano \(ABC\). Impondo \(\|\overrightarrow{VM}\|=\overline{VM}\) encontram-se dois candidatos; a abcissa positiva escolhe o correto.

1.º — Altura da pirâmide

V_{\text{pir}}=\tfrac13\times\overline{AB}^{\,2}\times\overline{VM}=4\sqrt6 \Leftrightarrow \tfrac13\times 6\times\overline{VM}=4\sqrt6 \Leftrightarrow \overline{VM}=2\sqrt6

2.º — Reta VM

Vetor normal do plano \(ABC\): \(\vec{n}(2,-1,1)\). Reta \(VM\): \((x,y,z)=(2,-1,3)+k(2,-1,1)\), ponto genérico \((2+2k,-1-k,3+k)\).

\overrightarrow{VM}=M-V=(-2k,k,-k)

\|\overrightarrow{VM}\|=2\sqrt6 \Leftrightarrow \sqrt{4k^2+k^2+k^2}=2\sqrt6 \Leftrightarrow 6k^2=24 \Leftrightarrow k=\pm 2

3.º — Escolher V

\(k=-2\Rightarrow(-2,1,1)\); \(k=2\Rightarrow(6,-3,5)\). Como a abcissa é positiva:

\(V(6,-3,5)\).

3. Prisma triangular — reta e plano mediador

Exame 2025, 1.ª faseEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma triangular \([ABCDEF]\).

Sabe-se que: os pontos \(A\) e \(B\) têm coordenadas \((4,2,0)\) e \((2,3,-3)\), respetivamente; o ponto \(C\) pertence ao plano mediador do segmento de reta \([AB]\); a reta \(DF\) é definida pela equação vetorial \((x,y,z)=(-7,4,2)+k(1,1,-5)\), \(k\in\mathbb{R}\).

3.1. Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta \(DF\) e que passa em \(A\)?

(A) \((x,y,z)=(-1,2,1)+k(5,0,-1)\), \(k\in\mathbb{R}\)

(B) \((x,y,z)=(4,-3,-1)+k(0,5,1)\), \(k\in\mathbb{R}\)

(C) \((x,y,z)=(-6,2,-2)+k(5,0,-1)\), \(k\in\mathbb{R}\)

(D) \((x,y,z)=(4,8,-2)+k(0,5,1)\), \(k\in\mathbb{R}\)

3.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto \(C\).

3.1 — Reta perpendicular a DF

Como interpretar. Uma reta perpendicular a \(DF\) tem vetor diretor \(\vec{w}\) tal que \(\vec{w}\cdot(1,1,-5)=0\). Isso reduz as hipóteses; depois escolhe-se a que passa pelo vértice indicado.

(1,1,-5)\cdot(5,0,-1)=5+0+5=10\neq 0 \qquad (1,1,-5)\cdot(0,5,1)=0+5-5=0\ \checkmark

Logo o vetor diretor tem de ser \((0,5,1)\) — restam (B) e (D). Substituindo o ponto \(A\) nas retas (B) e (D), obtém-se a opção (B).

Opção: (B)

3.2 — Ponto C (interseção de BC com o plano mediador de [AB])

Como interpretar. \(C\) está no plano mediador de \([AB]\) e na reta \(BC\) (paralela a \(DF\)). Escreve-se a equação do plano mediador, escreve-se a reta \(BC\) e faz-se a interseção.

Ponto médio de \([AB]\): \(\left(3,\tfrac52,-\tfrac32\right)\). Vetor normal \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,1,-3)\). Plano mediador \(-2x+y-3z+d=0\); com o ponto médio:

-2\times 3+\tfrac52-3\left(-\tfrac32\right)+d=0 \Leftrightarrow d=-1 \;\Rightarrow\; -2x+y-3z-1=0

\(BC\) é paralela a \(DF\), diretor \((1,1,-5)\): \(BC:(x,y,z)=(2,3,-3)+k(1,1,-5)\), ponto \((2+k,3+k,-3-5k)\). Substituindo no plano:

-2(2+k)+3+k-3(-3-5k)-1=0 \Leftrightarrow 14k+7=0 \Leftrightarrow k=-\tfrac12

\(C\left(\tfrac32,\tfrac52,-\tfrac12\right)\).

4. Cone — plano e vértice

Exame 2024, época especialEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um cone reto de vértice \(V\).

Sabe-se que: a base do cone interseta o semieixo positivo \(Ox\) no ponto \(A\) e o semieixo positivo \(Oy\) no ponto \(B\); o segmento de reta \([AB]\) é um diâmetro da base do cone; a base está contida no plano definido por \(x+2y-8=0\); a abcissa do ponto \(V\) tem menos uma unidade do que a sua ordenada.

4.1. Qual das seguintes equações define um plano paralelo que contém a base do cone e que passa no ponto de coordenadas \((1,-3,5)\)?

(A) \(-2x+y+5=0\)

(B) \(x+2y-10=0\)

(C) \(x+2y+5=0\)

(D) \(x-3y+5=0\)

4.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto \(V\).

4.1 — Plano paralelo à base

Como interpretar. Planos paralelos têm o mesmo vetor normal; muda só o termo independente \(d\), determinado pelo ponto dado.

A base tem normal \((1,2,0)\), logo o plano paralelo é \(x+2y+d=0\); com \((1,-3,5)\):

1+2\times(-3)+d=0 \Leftrightarrow d=5 \;\Rightarrow\; x+2y+5=0

Opção: (C)

4.2 — Vértice V

Como interpretar. O centro da base é o ponto médio do diâmetro \([AB]\). A reta que passa no centro e é perpendicular à base (direção do vetor normal) contém \(V\); a condição da abcissa/ordenada fixa o ponto.

\(A\) em \(Ox\): \(x_A+2\times 0-8=0\Rightarrow A(8,0,0)\). \(B\) em \(Oy\): \(0+2y_B-8=0\Rightarrow B(0,4,0)\). Centro \(M(4,2,0)\).

Reta pelo centro, direção \((1,2,0)\): \((x,y,z)=(4,2,0)+k(1,2,0)\), \(V(4+k,2+2k,0)\). Abcissa = ordenada \(-1\):

4+k=2+2k-1 \Leftrightarrow k=3 \;\Rightarrow\; V(7,8,0)

\(V(7,8,0)\).

5. Prisma — equação do plano ABF

Exame 2024, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma reto \([ABCDEFGH]\), de base \([ABCD]\) e \([EFGH]\).

Sabe-se que: as bases do prisma são trapézios retângulos; o ponto \(A\) tem coordenadas \((4,-4,-3)\); uma equação da reta \(BC\) é \((x,y,z)=(3,5,1)+k(2,3,6)\), \(k\in\mathbb{R}\). Qual das equações seguintes é uma equação do plano \(ABF\)?

(A) \(2x+3y+6z+22=0\)

(B) \(2x+3y+6z-20=0\)

(C) \(3x-2y-20=0\)

(D) \(3x-2y-22=0\)

Como interpretar. Num prisma reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases. A reta \(BC\) é perpendicular ao plano \(ABF\), pelo que o seu vetor diretor é vetor normal desse plano. Determina-se \(d\) com o ponto \(A\).

\vec{v}(2,3,6)\text{ é normal} \;\Rightarrow\; ABF:\ 2x+3y+6z+d=0

2\times 4+3\times(-4)+6\times(-3)+d=0 \Leftrightarrow 8-12-18+d=0 \Leftrightarrow d=22

ABF:\ 2x+3y+6z+22=0

Opção: (A)

6. Prisma triangular — plano e volume

Exame 2023, época especialEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma triangular reto \([OABCDE]\), de bases \([OAB]\) e \([CDE]\).

Sabe-se que: as coordenadas do ponto \(A\) são \(\left(2\sqrt3,6,0\right)\); o ponto \(B\) pertence ao plano mediador do segmento de reta \([AO]\); a reta \(AB\) é definida pela equação vetorial \((x,y,z)=(0,16,0)+k\left(\sqrt3,-5,0\right)\), \(k\in\mathbb{R}\); o ponto \(D\) pertence ao eixo \(Oz\) e tem cota 5.

6.1. Qual das seguintes equações define o plano que passa no ponto \(A\) e é perpendicular ao eixo \(Ox\)?

(A) \(z=0\)

(B) \(y=6\)

(C) \(x=2\sqrt3\)

(D) \(x+y+z=0\)

6.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do prisma \([OABCDE]\).

6.1 — Plano perpendicular ao eixo Ox

Como interpretar. Um vetor diretor do eixo \(Ox\) é \((1,0,0)\). Um plano perpendicular a \(Ox\) tem esse vetor como normal, logo é da forma \(x=\text{constante}\); a constante é a abcissa de \(A\).

x=2\sqrt3

Opção: (C)

6.2 — Volume do prisma

Como interpretar. O volume é área da base \([OAB]\) vezes a altura \(\overline{OD}\). Para a área do triângulo \([OAB]\) usa-se a base \([OA]\) e a altura \([BM]\) (\(M\) = ponto médio de \([OA]\)), obtida do plano mediador. \(B\) é a interseção da reta \(AB\) com o plano mediador de \([OA]\).

\(M\) (ponto médio de \([OA]\)) \(=\left(\sqrt3,3,0\right)\). Plano mediador de \([OA]\) (normal \(\overrightarrow{OA}=(2\sqrt3,6,0)\)): \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\), que dá \(\sqrt3x+3y-12=0\). Com \(B\) na reta \(AB\), \(B\left(k\sqrt3,16-5k,0\right)\):

\sqrt3\times k\sqrt3+3(16-5k)-12=0 \Leftrightarrow 3k+48-15k-12=0 \Leftrightarrow k=3 \;\Rightarrow\; B\left(3\sqrt3,1,0\right)

\overline{OA}=\sqrt{12+36}=4\sqrt3 \qquad \overline{BM}=\sqrt{(\sqrt3-3\sqrt3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{12+4}=4 \qquad \overline{OD}=5

V=\dfrac{\overline{OA}\times\overline{BM}}{2}\times\overline{OD}=\dfrac{4\sqrt3\times 4}{2}\times 5=40\sqrt3\text{ u.v.}

O volume do prisma é \(40\sqrt3\).

7. Prisma hexagonal — vértice F

Exame 2023, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma hexagonal reto \([ABCDEFGHIJKL]\), de bases \([ABCDEF]\) e \([GHIJKL]\).

Sabe-se que: as coordenadas dos vértices \(A\) e \(G\) são, respetivamente, \((4,0,0)\) e \(\left(12,\tfrac{13}{2},2\right)\); a reta \(EL\) é definida pela equação vetorial \((x,y,z)=(-2,-8,4)+k(3,4,0)\), \(k\in\mathbb{R}\).

Determine as coordenadas do vértice \(F\) do prisma.

Como interpretar. \(FG\) é paralela a \(EL\) (arestas laterais do prisma), o que dá a reta \(FG\). O vetor \((3,4,0)\), sendo direção das arestas laterais, é normal ao plano da base \(EFA\). \(F\) é a interseção da reta \(FG\) com o plano \(EFA\).

1.º — Reta FG e plano EFA

\(FG\) paralela a \(EL\): \(FG:\left(12,\tfrac{13}{2},2\right)+k(3,4,0)\), ponto \(\left(12+3k,\tfrac{13}{2}+4k,2\right)\). O plano \(EFA\) tem normal \((3,4,0)\): \(3x+4y+d=0\); com \(A(4,0,0)\): \(12+d=0\Rightarrow d=-12\), logo \(EFA:3x+4y-12=0\).

2.º — Interseção

3(12+3k)+4\left(\tfrac{13}{2}+4k\right)-12=0 \Leftrightarrow 25k+50=0 \Leftrightarrow k=-2

\(F\left(12+3(-2),\tfrac{13}{2}+4(-2),2\right)=\left(6,-\tfrac32,2\right)\).

8. Prisma — reta OD e ponto C

Exame 2023, 1.ª faseEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma triangular reto \([OABCDE]\), de bases \([ABC]\) e \([OED]\).

Prisma triangular reto com bases inscritas em semicircunferências

Sabe-se que: as bases do prisma estão inscritas em semicircunferências, respetivamente, de diâmetros \([AB]\) e \([OE]\); os vértices \(A\) e \(E\) do prisma pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos \(Ox\) e \(Oy\); \(\overline{OE}=12{,}5\); a reta \(AC\) é definida pela equação vetorial \((x,y,z)=(10,0,0)+k(0,4,3)\), \(k\in\mathbb{R}\).

8.1. Qual das seguintes equações vetoriais define a reta \(OD\)?

(A) \((x,y,z)=(0,6,8)+k\left(0,2,\tfrac32\right)\)

(B) \((x,y,z)=(0,-4,-3)+k\left(0,2,\tfrac32\right)\)

(C) \((x,y,z)=(0,3,4)+k(0,2,3)\)

(D) \((x,y,z)=(0,4,3)+k(0,2,3)\)

8.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto \(C\).

8.1 — Reta OD

Como interpretar. \(OD\) é paralela a \(AC\), pelo que tem a mesma direção (o vetor diretor pode ser \((0,4,3)\) ou proporcional). Além disso, \(O(0,0,0)\) pertence à reta. Testa-se cada opção.

Só (A) e (B) têm direção proporcional a \((0,4,3)\). Verificando qual contém \(O(0,0,0)\): em (B), \((0,0,0)=(0,-4,-3)+k\left(0,2,\tfrac32\right)\) dá \(k=2\) coerente; (A) não.

Opção: (B)

8.2 — Ponto C

Como interpretar. \(C\) está na reta \(AC\) e na superfície esférica que "fecha" a base (de centro no ponto médio de \([AB]\) e raio metade de \([AB]\)). Escreve-se \(C\) em função de \(k\) e impõe-se que pertence a essa superfície esférica.

\(A(10,0,0)\); \(\overline{AB}=\overline{OE}=12{,}5\Rightarrow B(10;12{,}5;0)\). Ponto genérico de \(AC\): \((10,4k,3k)\). Centro \(M\) (ponto médio de \([AB]\)) \(=\left(10,\tfrac{25}{4},0\right)\), raio \(\tfrac{25}{4}\):

(10-10)^2+\left(4k-\tfrac{25}{4}\right)^2+(3k)^2=\left(\tfrac{25}{4}\right)^2 \Leftrightarrow 25k^2-50k=0 \Leftrightarrow k=0\ \lor\ k=2

\(k=0\) dá o ponto \(A\); logo \(k=2\):

\(C(10,8,6)\).

9. Prisma hexagonal — plano LEF

Exame 2022, época especialEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma hexagonal reto \([ABCDEFGHIJKL]\), cujas bases são hexágonos regulares.

Sabe-se que: os vértices \(A\) e \(B\) pertencem ao semieixo positivo \(Ox\) e o vértice \(F\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\); o plano \(BCJ\) é definido pela equação \(3x-\sqrt3y-6=0\); o centro do prisma, ponto equidistante de todos os vértices, é o ponto \(M\left(\tfrac43,\tfrac{2\sqrt3}{3},2\right)\).

9.1. Qual das seguintes equações define o plano que contém a face \([GHIJKL]\)?

(A) \(z=2\)

(B) \(z=4\)

(C) \(x=\tfrac43\)

(D) \(x=\tfrac83\)

9.2. Determine, sem recorrer à calculadora, uma equação cartesiana do plano \(LEF\), na forma \(ax+by+cz+d=0\).

9.1 — Plano da face [GHIJKL]

Como interpretar. A base \([ABCDEF]\) está no plano \(Oxy\); a outra base é paralela, logo \(z=k\). O centro \(M\) está a igual distância das duas bases; como tem cota 2, a base de cima está em \(z=4\).

\(z=4\)

Opção: (B)

9.2 — Plano LEF

Como interpretar. Num prisma hexagonal, as faces laterais opostas são paralelas: \(LEF\) e \(BCJ\) têm normais colineares. Usa-se o mesmo vetor normal e determina-se \(d\) com um ponto de \(LEF\) (o vértice \(L\), obtido a partir do centro \(M\)).

Normal de \(BCJ\): \((3,-\sqrt3,0)\), logo \(LEF:3x-\sqrt3y+d=0\). \(B\) em \(Ox\) e em \(BCJ\): \(3x_B-6=0\Rightarrow B(2,0,0)\). \(M\) é o ponto médio de \([BL]\), logo \(L=M+\overrightarrow{BM}\):

\overrightarrow{BM}=\left(-\tfrac23,\tfrac{2\sqrt3}{3},2\right) \;\Rightarrow\; L=\left(\tfrac23,\tfrac{4\sqrt3}{3},4\right)

3\times\tfrac23-\sqrt3\times\tfrac{4\sqrt3}{3}+d=0 \Leftrightarrow 2-4+d=0 \Leftrightarrow d=2

\(LEF:\ 3x-\sqrt3y+0z+2=0\).

10. Cubo — vértice E

Exame 2022, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Na figura, está representado o cubo \([ABCDEFGH]\). Fixado um determinado referencial o.n. \(Oxyz\), tem-se \(A(-2,5,0)\), \(B(1,-1,2)\) e \(C(3,2,8)\).

Sabe-se que o vértice \(E\) do cubo pertence à reta definida pela equação \((x,y,z)=(0,0,3)+k(1,-1,-1)\), \(k\in\mathbb{R}\). Determine as coordenadas do vértice \(E\).

Como interpretar. \(E\) está na reta dada, logo \(E(k,-k,3-k)\). No cubo, as arestas \([AB]\) e \([AE]\) são perpendiculares, o que dá \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}=0\) — uma equação em \(k\).

\overrightarrow{AB}=(3,-6,2) \qquad \overrightarrow{AE}=(k+2,-k-5,3-k)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}=0 \Leftrightarrow 3k+6+6k+30+6-2k=0 \Leftrightarrow 7k=-42 \Leftrightarrow k=-6

\(E(-6,6,9)\).

11. Cone — plano e volume

Exame 2022, 1.ª faseEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), um cone reto de vértice \(V\) e base de centro no ponto \(A\).

Cone reto de vértice V e base de centro A

Sabe-se que: o ponto \(V\) pertence ao eixo \(Oz\), e o ponto \(A\) pertence ao eixo \(Oy\); a base do cone tem raio 3 e está contida no plano definido por \(4y-3z=16\).

11.1. Qual das seguintes equações define um plano perpendicular ao plano que contém a base do cone e que passa no ponto de coordenadas \((1,2,-1)\)?

(A) \(4y-3z=11\)

(B) \(3x+4y+z=10\)

(C) \(3y+4z=8\)

(D) \(x+3y+4z=3\)

11.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do cone.

11.1 — Plano perpendicular à base

Como interpretar. O plano da base tem normal \(\vec{u}=(0,4,-3)\). Um plano perpendicular a ele tem normal \(\vec{v}\) perpendicular a \(\vec{u}\) (\(\vec{v}\cdot\vec{u}=0\)). Encontra-se um tal \(\vec{v}\) e determina-se \(d\) com o ponto dado.

Tomando \(\vec{v}=(1,3,4)\) (pois \((1,3,4)\cdot(0,4,-3)=12-12=0\)): plano \(x+3y+4z+d=0\); com \((1,2,-1)\): \(1+6-4+d=0\Rightarrow d=-3\).

\(x+3y+4z=3\)

Opção: (D)

11.2 — Volume do cone

Como interpretar. Determina-se \(A\) (em \(Oy\), no plano da base) e \(V\) (em \(Oz\), na reta perpendicular à base). A altura é \(\overline{AV}\); o volume é \(\tfrac13\pi r^2 h\).

\(A\) em \(Oy\): \(4y-0=16\Rightarrow A(0,4,0)\). Reta \(AV\) (direção da normal \((0,4,-3)\)): \((0,4,0)+k(0,4,-3)\). \(V(0,0,z)\): \(0=4+4k\Rightarrow k=-1\), \(z=3\), logo \(V(0,0,3)\).

\overrightarrow{AV}=(0,-4,3),\ \overline{AV}=\sqrt{16+9}=5

V_{\text{cone}}=\tfrac13\times 3^2\pi\times 5=\tfrac13\times 9\pi\times 5=15\pi

O volume do cone é \(15\pi\).

12. Pirâmide — plano perpendicular

Exame 2021, época especialEscolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxyz\), a pirâmide regular de base quadrada \([ABCD]\) e vértice \(E\).

Sabe-se que: a base da pirâmide está contida no plano \(Oxz\); o vértice \(A\) pertence ao semieixo positivo \(Oz\) e o vértice \(B\) pertence ao semieixo negativo \(Ox\); o vértice \(E\) tem coordenadas \((-2,6,2)\); o vetor \(\overrightarrow{BE}\) tem coordenadas \((-1,6,2)\); o volume da pirâmide é 20. Seja \(\alpha\) o plano perpendicular à reta \(BE\) e que passa no ponto de coordenadas \((1,0,1)\). Qual das equações seguintes é uma equação do plano \(\alpha\)?

(A) \(-x+6y+2z=0\)

(B) \(x+6y+2z-3=0\)

(C) \(x-6y-2z+1=0\)

(D) \(2x-y+4z-5=0\)

Como interpretar. \(\alpha\) é perpendicular à reta \(BE\), logo \(\overrightarrow{BE}(-1,6,2)\) é vetor normal de \(\alpha\). Determina-se \(d\) com o ponto dado.

\alpha:\ -x+6y+2z+d=0 \;\Leftrightarrow\; x-6y-2z-d=0

Com \((1,0,1)\): \(-1+0+2+d=0\Rightarrow d=-1\), ou seja \(-x+6y+2z-1=0 \Leftrightarrow x-6y-2z+1=0\).

Opção: (C)

13. Trapézio — plano perpendicular

Exame 2021, 2.ª faseResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um trapézio \([PQRS]\), de bases \([PQ]\) e \([RS]\), em que o lado \([PS]\) é perpendicular às bases.

Tem-se \(P(1,-1,2)\), \(Q(-2,1,1)\) e \(R(-5,5,-3)\). Determine uma equação do plano perpendicular à reta \(RS\) e que passa no ponto \(P\). Apresente essa equação na forma \(ax+by+cz+d=0\).

Como interpretar. As bases \([PQ]\) e \([RS]\) são paralelas, logo um plano perpendicular a \(RS\) também é perpendicular a \(PQ\). Assim, \(\overrightarrow{PQ}\) é vetor normal do plano; determina-se \(d\) com \(P\).

\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-3,2,-1)\ \text{(vetor normal)} \;\Rightarrow\; -3x+2y-z+d=0

Com \(P(1,-1,2)\): \(-3-2-2+d=0\Rightarrow d=7\).

-3x+2y-z+7=0 \Leftrightarrow 3x-2y+z-7=0

Uma equação do plano é \(3x-2y+z-7=0\).

14. Paralelepípedo — reta e superfície esférica

Exame 2021, 1.ª faseEscolha múltipla + resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\).

Sabe-se que: o vértice \(A\) pertence ao eixo \(Ox\) e o vértice \(B\) pertence ao eixo \(Oy\); as coordenadas dos vértices \(E\) e \(G\) são \((7,2,15)\) e \((6,10,13)\), respetivamente; a reta \(EF\) é definida pela equação \((x,y,z)=(1,-2,19)+k(-3,-2,2)\), \(k\in\mathbb{R}\).

14.1. Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta \(EF\) e que passa por \(E\)?

(A) \((x,y,z)=(7,-3,3)+k(-2,3,0)\)

(B) \((x,y,z)=(7,2,15)+k(0,3,-3)\)

(C) \((x,y,z)=(7,-10,3)+k(0,3,3)\)

(D) \((x,y,z)=(7,2,3)+k(2,0,-3)\)

14.2. Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto \(B\) e que passa no ponto \(D\).

14.1 — Reta perpendicular a EF

Como interpretar. Uma reta perpendicular a \(EF\) tem vetor diretor \(\vec w\) com \(\vec w\cdot(-3,-2,2)=0\). Restam as hipóteses cujo produto escalar dá 0; depois escolhe-se a que passa por \(E(7,2,15)\).

(-3,-2,2)\cdot(-2,3,0)=0 \quad\text{e}\quad (-3,-2,2)\cdot(0,3,3)=0

Restam (A) e (C). Verificando \(E(7,2,15)\): em (A) obtém-se \(15=3\) (impossível); em (C), \(7=7\), \(2=-10+3k\Rightarrow k=4\), \(15=3+3k\Rightarrow k=4\) \(\checkmark\).

Opção: (C)

14.2 — Superfície esférica de centro B

Como interpretar. O raio é \(\overline{EG}\) (uma diagonal espacial, que é igual à distância do centro \(B\) a \(D\)). \(B\) está em \(Oy\); obtém-se \(B\) usando o plano \(BGF\) (perpendicular a \(EF\)).

\overline{EG}=\sqrt{(6-7)^2+(10-2)^2+(13-15)^2}=\sqrt{1+64+4}=\sqrt{69}

\(B(0,y_B,0)\). Plano \(BGF\) tem normal \((-3,-2,2)\): com \(G(6,10,13)\), \(-18-20+26+d=0\Rightarrow d=12\), logo \(-3x-2y+2z+12=0\). Em \(B\): \(-2y_B+12=0\Rightarrow y_B=6\), ou seja \(B(0,6,0)\).

Superfície esférica: \(x^2+(y-6)^2+z^2=69\).

15. Cubo — volume da pirâmide

Exame 2020, época especialResposta aberta

Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um cubo \([ABCDEFGH]\) em que cada aresta é paralela a um dos eixos coordenados.

Sabe-se que: o vértice \(B\) tem coordenadas \((0,2,4)\); o vetor \(\overrightarrow{BE}\) tem coordenadas \((2,2,-2)\); a aresta \([BG]\) é paralela ao eixo \(Oz\). Seja \(\alpha\) o plano que passa por \(G\) e é perpendicular à reta \(OE\). Sejam \(P\), \(Q\) e \(R\) os pontos de \(\alpha\) que pertencem aos eixos coordenados. Determine o volume da pirâmide \([OPQR]\).

Pirâmide [OPQR] determinada pelo plano α

Como interpretar. Determina-se o plano \(\alpha\) (perpendicular a \(OE\), passando por \(G\)); os pontos \(P\), \(Q\), \(R\) são as interseções de \(\alpha\) com os eixos. A pirâmide \([OPQR]\) tem base num triângulo retângulo e altura ao longo de um eixo.

1.º — O plano α

\(E=B+\overrightarrow{BE}=(2,4,2)\), logo \(\overrightarrow{OE}=(2,4,2)\) é normal de \(\alpha\): \(2x+4y+2z+d=0\). A aresta do cubo é 2; com \([BG]\parallel Oz\), \(G(0,2,2)\). Como \(G\in\alpha\): \(0+8+4+d=0\Rightarrow d=-12\), logo \(\alpha:2x+4y+2z-12=0\).

2.º — Pontos P, Q, R

P\,(y=z=0):\ 2x-12=0\Rightarrow P(6,0,0)

Q\,(x=z=0):\ 4y-12=0\Rightarrow Q(0,3,0)

R\,(x=y=0):\ 2z-12=0\Rightarrow R(0,0,6)

3.º — Volume

A base \([OPQ]\) é um triângulo retângulo e a altura é \(\overline{OR}=6\):

V=\dfrac{A_{[OPQ]}\times h}{3}=\dfrac{\frac{6\times 3}{2}\times 6}{3}=\dfrac{9\times 6}{3}=18\text{ u.v.}

O volume da pirâmide \([OPQR]\) é 18.

16. Cubo — equação do plano EFG

Exame 2020, 2.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o cubo \([ABCDEFGH]\) (o ponto \(H\) não está representado na figura).

Sabe-se que: o ponto \(A\) tem coordenadas \((7,1,4)\); o ponto \(G\) tem coordenadas \((5,3,6)\); a reta \(AE\) é definida pela equação vetorial \((x,y,z)=(7,1,4)+k(3,-6,2)\), \(k\in\mathbb{R}\).

Determine uma equação do plano \(EFG\). Apresente o resultado na forma \(ax+by+cz+d=0\).

Como interpretar. No cubo, a aresta \([AE]\) é perpendicular à face \([EFG H]\); logo o vetor diretor de \(AE\), \((3,-6,2)\), é vetor normal do plano \(EFG\). Determina-se \(d\) com o ponto \(G\).

EFG:\ 3x-6y+2z+d=0

Com \(G(5,3,6)\): \(3\times 5-6\times 3+2\times 6+d=0\Rightarrow 15-18+12+d=0\Rightarrow d=-9\).

\(EFG:\ 3x-6y+2z-9=0\).

17. Cilindro — BC e ponto mais próximo

Exame 2020, 1.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um cilindro reto.

Sabe-se que: o ponto \(A\) pertence ao eixo \(Oy\) e é o centro de uma das bases do cilindro, e o ponto \(B\) pertence ao eixo \(Ox\) e é o centro da outra base; o ponto \(C\) pertence à circunferência de centro \(B\) que delimita uma das bases do cilindro; o plano \(ABC\) é definido pela equação \(3x+4y+4z-12=0\).

17.1. Determine \(\overline{BC}\), sabendo que o volume do cilindro é igual a \(10\pi\).

17.2. Seja \(P\) o ponto de coordenadas \((3,5,6)\). Determine as coordenadas do ponto do plano \(ABC\) que se encontra mais próximo do ponto \(P\).

17.1 — Determinar BC

Como interpretar. \(\overline{AB}\) é a altura do cilindro; determinam-se \(A\) e \(B\) (nos eixos, no plano \(ABC\)). Com o volume \(V=\pi\,\overline{BC}^{\,2}\times\overline{AB}\) obtém-se \(\overline{BC}\).

\(A\) em \(Oy\): \(4y_A-12=0\Rightarrow A(0,3,0)\). \(B\) em \(Ox\): \(3x_B-12=0\Rightarrow B(4,0,0)\).

\overline{AB}=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2+0^2}=\sqrt{25}=5

\pi\,\overline{BC}^{\,2}\times\overline{AB}=10\pi \Leftrightarrow \pi\,\overline{BC}^{\,2}\times 5=10\pi \Leftrightarrow \overline{BC}^{\,2}=2 \Rightarrow \overline{BC}=\sqrt2

\(\overline{BC}=\sqrt2\).

17.2 — Ponto do plano mais próximo de P

Como interpretar. O ponto \(Q\) do plano mais próximo de \(P\) é o pé da perpendicular de \(P\) ao plano. A reta \(PQ\) tem a direção do vetor normal do plano \((3,4,4)\); \(Q\) é a interseção dessa reta com o plano.

Reta \(PQ:(3,5,6)+k(3,4,4)\), ponto \((3+3k,5+4k,6+4k)\). Substituindo no plano \(ABC\):

3(3+3k)+4(5+4k)+4(6+4k)-12=0 \Leftrightarrow 41k+41=0 \Leftrightarrow k=-1

\(Q(0,1,2)\).