Exercícios de Exame — Produto Escalar

Geometria Analítica · Ângulos entre vetores · Perpendicularidade · Aplicações

Matemática A · 11.º ano · matematicaparatodos.pt

Ferramentas úteis. As resoluções seguem as propostas oficiais (IAVE).

1. Retângulo — coordenadas de D

1
Exame 2025, época especialResposta aberta

Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), o retângulo \([OABC]\) e os segmentos de reta \([CD]\) e \([DB]\).

Retângulo [OABC] com os segmentos [CD] e [DB]

Sabe-se que:

  • o ponto \(A\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\);
  • o ponto \(C\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\);
  • o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AO]\);
  • \(\overline{OC}=8\) e \(\overline{OA}=15\);
  • \(\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DB}=50\);
  • \(\overline{OD}<\overline{DA}\).

Determine as coordenadas do ponto \(D\).

Como interpretar. Como \(D\) está no eixo \(Ox\), \(D(x_D,0)\). Escrevem-se \(\overrightarrow{DC}\) e \(\overrightarrow{DB}\) em função de \(x_D\), aplica-se o produto escalar por coordenadas e resolve-se a equação. A última condição serve para escolher a solução correta.
1.º — Coordenadas e vetores

Do retângulo: \(C(0,8)\), \(A(15,0)\), \(B(15,8)\). Com \(D(x_D,0)\):

\(\overrightarrow{DC}=C-D=(-x_D,\,8) \qquad \overrightarrow{DB}=B-D=(15-x_D,\,8)\)
2.º — Aplicar o produto escalar
\(\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DB}=50 \Leftrightarrow -x_D(15-x_D)+64=50 \Leftrightarrow x_D^{2}-15x_D+14=0\)
\(x_D=1\ \lor\ x_D=14\)
Porquê \(x_D=1\)? A condição \(\overline{OD}<\overline{DA}\) diz que \(D\) está mais perto de \(O\) do que de \(A\); logo \(x_D<7{,}5\) e escolhe-se \(x_D=1\).
\(D(1,0)\).

2. Pirâmide — produto escalar

2
Exame 2025, 2.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxyz\), a pirâmide regular de base quadrada \([ABCD]\) e vértice \(V\).

Pirâmide regular de base quadrada [ABCD] e vértice V

Sabe-se que \(\overline{AB}=\sqrt6\); o centro da base \(M\) tem coordenadas \((2,-1,3)\); \(V\) tem abcissa positiva; o plano \(ABC\) é definido por \(2x-y+z-8=0\); o volume da pirâmide é \(4\sqrt6\).

Qual é o valor do produto escalar \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)?

(A) \(-6\)
(B) 0
(C) \(2\sqrt6\)
(D) 6
Como interpretar. \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\) são um lado e uma diagonal do quadrado da base. Como conhecemos os comprimentos e o ângulo entre eles (o ângulo da diagonal do quadrado é \(45°=\tfrac{\pi}{4}\)), usa-se \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta\).
Base quadrada [ABCD] com a diagonal [AC] e o ângulo de 45°
1.º — Comprimento da diagonal
\(\overline{AC}^{\,2}=\left(\sqrt6\right)^2+\left(\sqrt6\right)^2 \Leftrightarrow \overline{AC}=\sqrt{12}\)
2.º — Produto escalar
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\|\overrightarrow{AB}\|\times\|\overrightarrow{AC}\|\times\cos\left(B\hat{A}C\right)=\sqrt6\times\sqrt{12}\times\cos\tfrac{\pi}{4}=\sqrt{72}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{12}{2}=6\)
Opção: (D)

3. Circunferência — comprimento de arco

3
Exame 2025, 1.ª faseResposta aberta · sem calculadora

Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro \(C\), definida pela equação \((x+1)^2+(y-1)^2=4\), o triângulo \([ABC]\) e o ângulo \(BAC\), de amplitude \(\alpha\), em radianos, com \(\alpha\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\).

Circunferência de centro C e triângulo [ABC]

Sabe-se que os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência e que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\).

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato do comprimento do arco \(AB\).

Como interpretar. O triângulo \([ABC]\) é isósceles (\(\overline{CA}=\overline{CB}=\) raio \(=2\)), logo os ângulos em \(A\) e em \(B\) são iguais a \(\alpha\). O produto escalar dá \(\cos\alpha\) e, daí, \(\alpha\). Com o ângulo ao centro \(A\hat{C}B\) obtém-se o comprimento do arco (\(=\) ângulo \(\times\) raio).
1.º — Determinar α

Sendo o triângulo isósceles com \(\overline{CA}=2\) e base \(\overline{AB}=4\cos\alpha\):

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\|\overrightarrow{AB}\|\|\overrightarrow{AC}\|\cos\alpha=4\cos\alpha\times 2\times\cos\alpha=8\cos^2\alpha=6\)
\(\cos^2\alpha=\dfrac34 \Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{6}\)
2.º — Ângulo ao centro e arco

No triângulo isósceles: \(A\hat{C}B=\pi-\alpha-\alpha=\pi-\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}\). O comprimento do arco é o ângulo (ao centro) vezes o raio:

\(\text{arco } AB=\dfrac{2\pi}{3}\times 2=\dfrac{4\pi}{3}\)
O comprimento do arco \(AB\) é \(\dfrac{4\pi}{3}\).

4. Triângulo inscrito — ângulo

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Exame 2024, 2.ª faseResposta aberta

Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de equação \((x-1)^2+y^2=9\) e o triângulo \([PQR]\), inscrito na circunferência.

Circunferência e triângulo [PQR] inscrito

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(QPR\). Sabe-se que \([PQ]\) é um diâmetro da circunferência e que \(\overrightarrow{QR}\cdot\overrightarrow{QP}=27\).

Determine o valor de \(\alpha\).

Como interpretar. Como \([PQ]\) é diâmetro, o triângulo é retângulo em \(R\). Isso dá o ângulo em \(Q\) (\(=\tfrac{\pi}{2}-\alpha\)) e permite escrever \(\overline{QR}\) em função de \(\operatorname{sen}\alpha\). O raio é 3, logo o diâmetro \(\overline{PQ}=6\).
1.º — Aplicar o produto escalar

Ângulo em \(Q\): \(P\hat{Q}R=\tfrac{\pi}{2}-\alpha\). Com \(\overline{QP}=6\):

\(\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=27 \Leftrightarrow 6\times\overline{QR}\times\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=27 \Leftrightarrow 6\,\overline{QR}\operatorname{sen}\alpha=27\)
2.º — Usar o triângulo retângulo

Como o triângulo é retângulo em \(R\): \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\overline{QR}}{\overline{PQ}}=\dfrac{\overline{QR}}{6}\), logo \(\overline{QR}=6\operatorname{sen}\alpha\). Substituindo:

\(6\times 6\operatorname{sen}\alpha\times\operatorname{sen}\alpha=27 \Leftrightarrow 36\operatorname{sen}^2\alpha=27 \Leftrightarrow \operatorname{sen}^2\alpha=\dfrac34 \Rightarrow \operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\).

5. Prisma — ângulo AOB

5
Exame 2024, 1.ª faseResposta aberta · sem calculadora (exceto cálculos numéricos)

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma reto \([ABCDEFGH]\), de base \([ABCD]\) e \([EFGH]\).

Prisma reto de bases trapezoidais

Sabe-se que: as bases do prisma são trapézios retângulos; o ponto \(A\) tem coordenadas \((4,-4,-3)\), e o ponto \(B\) tem a ordenada igual ao dobro da abcissa; uma equação da reta \(BC\) é \((x,y,z)=(3,5,1)+k(2,3,6)\), \(k\in\mathbb{R}\).

Determine a amplitude do ângulo convexo \(AOB\).

Como interpretar. Primeiro descobre-se \(B\), usando a reta \(BC\) e a condição "ordenada = dobro da abcissa". Depois calcula-se o ângulo entre \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\) com a fórmula do produto escalar.
1.º — Determinar B

Um ponto da reta \(BC\) é \((3+2k,\,5+3k,\,1+6k)\). Como a ordenada de \(B\) é o dobro da abcissa:

\(5+3k=2(3+2k) \Leftrightarrow 5+3k=6+4k \Leftrightarrow k=-1\)
\(B(3-2,\,5-3,\,1-6)=(1,2,-5)\)
2.º — Ângulo entre \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\)

\(\overrightarrow{OA}=(4,-4,-3)\), \(\overrightarrow{OB}=(1,2,-5)\).

\(\cos(A\hat{O}B)=\dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\|\overrightarrow{OA}\|\times\|\overrightarrow{OB}\|}=\dfrac{4-8+15}{\sqrt{41}\times\sqrt{30}}=\dfrac{11}{\sqrt{1230}}\)
\(A\hat{O}B=\cos^{-1}\left(\dfrac{11}{\sqrt{1230}}\right)\approx 72°\).

6. Retângulo — determinar OA

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Exame 2023, 2.ª faseResposta aberta

Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), o retângulo \([OABC]\).

Retângulo [OABC] com pontos D em [AO] e E em [CB]

Sabe-se que: o ponto \(A\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\); o ponto \(C\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\); o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AO]\); o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([CB]\); \(\overline{EB}=\overline{OD}=\dfrac{\overline{OA}}{3}\); \(\overline{OC}=\dfrac{\overline{OA}}{4}\); \(\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DE}=-7\).

Determine \(\overline{OA}\).

Como interpretar. Decompõem-se os vetores \(\overrightarrow{DC}\) e \(\overrightarrow{DE}\) em somas de vetores perpendiculares entre si (horizontais e verticais); os produtos escalares "cruzados" anulam-se. Fica uma equação só em \(\overline{OA}\).
1.º — Decompor os vetores

Seja \(G\) o ponto de \([AO]\) tal que \([EG]\) é perpendicular à reta \(EB\). Então:

\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC} \qquad \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GE}\)
\(\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DO}\cdot\overrightarrow{DG}+\underbrace{\overrightarrow{DO}\cdot\overrightarrow{GE}}_{=0}+\underbrace{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{DG}}_{=0}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{GE}\)
Porquê dois termos são 0? \(\overrightarrow{DO}\) é horizontal e \(\overrightarrow{GE}\) é vertical (perpendiculares \(\Rightarrow\) produto escalar 0); o mesmo com \(\overrightarrow{OC}\) e \(\overrightarrow{DG}\).
2.º — Comprimentos iguais

De \(\overline{OD}=\dfrac{\overline{OA}}{3}\) e \(\overline{EB}=\overline{GA}=\dfrac{\overline{OA}}{3}\), resulta \(\overline{DG}=\overline{OA}-\overline{OD}-\overline{GA}=\dfrac{\overline{OA}}{3}\). Logo \(\overline{OD}=\overline{DG}=\overline{GA}=\dfrac{\overline{OA}}{3}\).

3.º — Calcular os dois produtos escalares

\(\overrightarrow{DO}\) e \(\overrightarrow{DG}\) têm sentidos opostos; \(\overrightarrow{OC}\) e \(\overrightarrow{GE}\) têm o mesmo sentido:

\(\overrightarrow{DO}\cdot\overrightarrow{DG}=-\dfrac{\overline{OA}}{3}\times\dfrac{\overline{OA}}{3}=-\dfrac{\overline{OA}^2}{9} \qquad \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{GE}=\dfrac{\overline{OA}}{4}\times\dfrac{\overline{OA}}{4}=\dfrac{\overline{OA}^2}{16}\)
4.º — Resolver
\(-\dfrac{\overline{OA}^2}{9}+\dfrac{\overline{OA}^2}{16}=-7 \Leftrightarrow -\dfrac{7}{144}\overline{OA}^2=-7 \Leftrightarrow \overline{OA}^2=144 \Leftrightarrow \overline{OA}=12\)
\(\overline{OA}=12\).

7. Cubo — produto escalar

7
Exame 2022, 2.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representado um cubo \([ABCDEFGH]\). Fixado um determinado referencial o.n. \(Oxyz\), tem-se \(A(-2,5,0)\), \(B(1,-1,2)\) e \(C(3,2,8)\).

Cubo [ABCDEFGH]

Qual é o valor de \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HE}\)?

(A) \(-49\)
(B) 0
(C) 7
(D) 49
Como interpretar. Não é preciso calcular coordenadas: basta perceber a relação geométrica entre as arestas. Num cubo, \(\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{AD}\) e \([AD]\) é perpendicular a \([AB]\).
\(\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{AD} \quad\text{e}\quad \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\)
Porquê 0? Vetores perpendiculares têm produto escalar nulo (\(\cos 90°=0\)). As arestas \([AB]\) e \([AD]\) do cubo são perpendiculares.
Opção: (B)

8. Parábola — ângulo reto

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Exame 2022, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^2\), e uma reta \(r\), não vertical, que passa no ponto de coordenadas \((0,1)\).

Sejam \(A\) e \(B\) os pontos de interseção da reta \(r\) com o gráfico da função \(f\).

Mostre que o ângulo convexo \(AOB\) é um ângulo reto.

Como interpretar. "Ângulo reto" traduz-se por \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\). Determinam-se \(A\) e \(B\) (interseção da reta genérica \(y=mx+1\) com \(y=x^2\)) e mostra-se que o produto escalar dá 0, qualquer que seja o declive \(m\).
1.º — Interseção reta–parábola

A reta é \(y=mx+1\). Resolvendo \(x^2=mx+1 \Leftrightarrow x^2-mx-1=0\):

\(x=\dfrac{m\pm\sqrt{m^2+4}}{2}\)

Logo \(A\left(\dfrac{m-\sqrt{m^2+4}}{2},\left(\dfrac{m-\sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2\right)\) e \(B\left(\dfrac{m+\sqrt{m^2+4}}{2},\left(\dfrac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2\right)\).

2.º — Produto escalar
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\dfrac{m-\sqrt{m^2+4}}{2}\times\dfrac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}+\left(\dfrac{m-\sqrt{m^2+4}}{2}\times\dfrac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2\)
\(=\dfrac{m^2-(m^2+4)}{4}+\left(\dfrac{m^2-(m^2+4)}{4}\right)^2=\dfrac{-4}{4}+\left(\dfrac{-4}{4}\right)^2=-1+1=0\)
Truque. Usou-se o produto \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) com \(a=m\) e \(b=\sqrt{m^2+4}\): as raízes "encaixam" e sobra sempre \(-1+1\).
Como \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\), o ângulo convexo \(AOB\) é reto, c.q.m.

9. Circunferência — CA·CB

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Exame 2022, 1.ª faseResposta aberta

Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de equação \((x+2)^2+(y-1)^2=9\). O ponto \(C\) é o centro da circunferência. \(A\) e \(B\) são dois pontos da circunferência. O arco de circunferência \(AB\) tem comprimento \(2\pi\).

Circunferência de centro C com pontos A e B

Determine o valor do produto escalar \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\).

Como interpretar. \(\overrightarrow{CA}\) e \(\overrightarrow{CB}\) têm ambos comprimento igual ao raio (3). Falta o ângulo entre eles, o ângulo ao centro \(A\hat{C}B\), que se obtém do comprimento do arco (arco \(=\) ângulo \(\times\) raio).
1.º — Ângulo ao centro

Raio \(=3\), perímetro \(=2\pi\times 3=6\pi\). Por proporcionalidade (arco \(2\pi\) para perímetro \(6\pi\)):

\(A\hat{C}B=\dfrac{2\pi\times 2\pi}{6\pi}=\dfrac{2\pi}{3}\)
2.º — Produto escalar
\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\|\overrightarrow{CA}\|\|\overrightarrow{CB}\|\cos\left(A\hat{C}B\right)=3\times 3\times\cos\dfrac{2\pi}{3}=9\times\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac92\)
\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-\dfrac92\).

10. Cubo — ângulo OBE

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Exame 2020, época especialResposta aberta

Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um cubo \([ABCDEFGH]\) em que cada aresta é paralela a um dos eixos coordenados.

Cubo [ABCDEFGH] com arestas paralelas aos eixos

Sabe-se que: o vértice \(B\) tem coordenadas \((0,2,4)\); o vetor \(\overrightarrow{BE}\) tem coordenadas \((2,2,-2)\); a aresta \([BG]\) é paralela ao eixo \(Oz\).

Determine a amplitude do ângulo \(OBE\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. O ângulo \(OBE\) é o ângulo entre os vetores \(\overrightarrow{BO}\) e \(\overrightarrow{BE}\). Calcula-se \(\overrightarrow{BO}\) (a partir de \(B\) e \(O\)) e aplica-se a fórmula do cosseno.
1.º — Vetores
\(\overrightarrow{BO}=O-B=(0,-2,-4),\ \|\overrightarrow{BO}\|=\sqrt{0+4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)
\(\overrightarrow{BE}=(2,2,-2),\ \|\overrightarrow{BE}\|=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt3\)
\(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BO}=0\times2+(-2)\times2+(-4)\times(-2)=-4+8=4\)
2.º — Ângulo
\(\cos(B\hat{}\,)=\dfrac{4}{2\sqrt3\times 2\sqrt5} \Rightarrow O\hat{B}E=\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{2\sqrt3\times 2\sqrt5}\right)\approx 75°\)
\(O\hat{B}E\approx 75°\).

11. Pirâmide — ângulo VAC

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Exame 2019, 1.ª faseResposta aberta

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxyz\), uma pirâmide quadrangular regular \([ABCDV]\).

Pirâmide quadrangular regular [ABCDV]

Os vértices \(A\) e \(C\) têm coordenadas \((2,1,0)\) e \((0,-1,2)\), respetivamente. O vértice \(V\) tem coordenadas \((3,-1,2)\).

Determine a amplitude do ângulo \(VAC\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. O ângulo \(VAC\) tem vértice em \(A\); é o ângulo entre \(\overrightarrow{AV}\) e \(\overrightarrow{AC}\). Calculam-se os dois vetores e aplica-se a fórmula do cosseno.
\(\overrightarrow{AV}=V-A=(1,-2,2),\ \|\overrightarrow{AV}\|=\sqrt{1+4+4}=3\)
\(\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,-2,2),\ \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}\)
\(\overrightarrow{AV}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+4+4=6\)
\(A\hat{V}C=\cos^{-1}\left(\dfrac{6}{3\times\sqrt{12}}\right)\approx 55°\)
\(V\hat{A}C\approx 55°\).

12. Superfície esférica — ângulo ROP

12
Exame 2018, época especialResposta aberta

Considere num referencial o.n. \(Oxyz\) a superfície esférica de equação \(x^2+y^2+z^2=3\) e o ponto \(P\) de coordenadas \((1,1,1)\) pertencente a essa superfície esférica.

Seja \(R\) o ponto de interseção da superfície esférica com o semieixo negativo das ordenadas.

Determine a amplitude do ângulo \(ROP\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. Primeiro determina-se \(R\) (na superfície esférica e no semieixo negativo \(Oy\)); depois o ângulo \(ROP\) é o ângulo entre \(\overrightarrow{OR}\) e \(\overrightarrow{OP}\).
1.º — Determinar R

\(R\) está em \(Oy\) com ordenada negativa: \(R(0,y_R,0)\), \(y_R<0\). Na superfície: \(y_R^2=3 \Rightarrow y_R=-\sqrt3\), logo \(R(0,-\sqrt3,0)\).

2.º — Ângulo
\(\overrightarrow{OP}=(1,1,1),\ \|\overrightarrow{OP}\|=\sqrt3 \qquad \overrightarrow{OR}=(0,-\sqrt3,0),\ \|\overrightarrow{OR}\|=\sqrt3\)
\(\cos(O\hat{}\,)=\dfrac{(1,1,1)\cdot(0,-\sqrt3,0)}{\sqrt3\times\sqrt3}=\dfrac{-\sqrt3}{3} \Rightarrow R\hat{O}P=\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\approx 125°\)
\(R\hat{O}P\approx 125°\).

13. Superfície esférica — ângulo AOC

13
Exame 2018, 2.ª faseResposta aberta

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), a superfície esférica de equação \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=10\).

Seja \(C\) o centro da superfície esférica e seja \(A\) o simétrico do ponto \(C\) relativamente ao plano \(Oxy\).

Determine a amplitude do ângulo \(AOC\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. Da equação lê-se o centro \(C\). O simétrico em relação ao plano \(Oxy\) troca o sinal da cota (\(z\)). Depois calcula-se o ângulo entre \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OC}\).
1.º — Pontos C e A

Centro: \(C(1,2,-1)\). Simétrico relativamente a \(Oxy\) (troca o sinal de \(z\)): \(A(1,2,1)\).

2.º — Ângulo
\(\overrightarrow{OA}=(1,2,1),\ \|\overrightarrow{OA}\|=\sqrt6 \qquad \overrightarrow{OC}=(1,2,-1),\ \|\overrightarrow{OC}\|=\sqrt6\)
\(\cos(O\hat{}\,)=\dfrac{(1,2,-1)\cdot(1,2,1)}{\sqrt6\times\sqrt6}=\dfrac{1+4-1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac23\)
\(A\hat{O}C=\cos^{-1}\left(\dfrac23\right)\approx 48°\)
\(A\hat{O}C\approx 48°\).

14. Prisma hexagonal — PQ·PR

14
Exame 2018, 1.ª faseResposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um prisma hexagonal regular.

Prisma hexagonal regular

Sabe-se que \([PQ]\) e \([PR]\) são arestas de uma das bases do prisma e que \(\overline{PQ}=4\).

Determine o produto escalar \(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}\).

Como interpretar. \([PQ]\) e \([PR]\) são lados consecutivos de um hexágono regular; o ângulo entre eles é o ângulo interno do hexágono. Conhecidos os comprimentos e esse ângulo, aplica-se o produto escalar.
1.º — Ângulo interno do hexágono
\(\dfrac{(6-2)\times 180°}{6}=\dfrac{720°}{6}=120° \Rightarrow \cos\left(Q\hat{P}R\right)=\cos(120°)=-\dfrac12\)
2.º — Produto escalar

Ambas as arestas têm comprimento 4:

\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=\|\overrightarrow{PQ}\|\times\|\overrightarrow{PR}\|\times\cos\left(Q\hat{P}R\right)=4\times 4\times\left(-\dfrac12\right)=-8\)
\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=-8\).

15. Conjunto de pontos

15
Exame 2017, época especialEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), dois pontos distintos, \(R\) e \(S\). Seja \(A\) o conjunto dos pontos \(P\) desse plano que verificam a condição \(\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{PS}=0\) (\(\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{PS}\) designa o produto escalar de \(\overrightarrow{PR}\) por \(\overrightarrow{PS}\)).

Qual das afirmações é verdadeira?

(A) \(A\) é a mediatriz do segmento \([RS]\).
(B) \(A\) é o segmento de reta \([RS]\).
(C) \(A\) é o triângulo \([ROS]\).
(D) \(A\) é a circunferência de diâmetro \([RS]\).
Como interpretar. \(\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{PS}=0\) significa que \(\overrightarrow{PR}\perp\overrightarrow{PS}\), ou seja, o ângulo \(RPS\) é reto. O lugar geométrico dos pontos que "veem" \([RS]\) segundo um ângulo reto é a circunferência de diâmetro \([RS]\).

Para qualquer ponto \(P\) da circunferência de diâmetro \([RS]\), o ângulo \(RPS\) é reto (\(\Rightarrow\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{PS}=0\)). Se \(P\) estiver dentro, o ângulo é obtuso (produto \(<0\)); se estiver fora, é agudo (produto \(>0\)). Só a circunferência dá produto exatamente 0.

Opção: (D)

16. Cubo e pirâmide — ângulo OGP

16
Exame 2017, 2.ª faseResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o cubo \([ABCDEFGH]\).

Cubo [ABCDEFGH]

Sabe-se que: a face \([ABCD]\) está contida no plano \(Oxy\); a aresta \([CD]\) está contida no eixo \(Oy\); o ponto \(D\) tem coordenadas \((0,4,0)\); o plano \(ACG\) é definido por \(x+y-z-6=0\); o vértice \(A\) tem abcissa igual a 2. Seja \(P\) o vértice de uma pirâmide regular de base \([EFGH]\), com cota superior a 2 e volume 4.

Determine a amplitude do ângulo \(OGP\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. É preciso primeiro encontrar as coordenadas de \(P\) (usando o volume e a cota da pirâmide) e de \(G\). Depois o ângulo \(OGP\) é o ângulo entre \(\overrightarrow{GO}\) e \(\overrightarrow{GP}\).
1.º — Altura da pirâmide e ponto P

Aresta do cubo \(=\overline{AD}=2\), logo \(A_{[EFGH]}=2^2=4\). Do volume:

\(V=\dfrac13\times A_{[EFGH]}\times h=4 \Leftrightarrow \dfrac13\times 4\times h=4 \Leftrightarrow h=3\)

A cota da base \([EFGH]\) é 2 (aresta do cubo), logo \(z_P=2+3=5\). Como \(P\) está sobre o centro da base: \(P(1,5,5)\).

2.º — Vetores em G

\(G(2,6,2)\). Então:

\(\overrightarrow{GP}=P-G=(-1,-1,3),\ \|\overrightarrow{GP}\|=\sqrt{11} \qquad \overrightarrow{GO}=(-2,-6,-2),\ \|\overrightarrow{GO}\|=\sqrt{44}\)
3.º — Ângulo
\(\cos(G\hat{}\,)=\dfrac{(-1,-1,3)\cdot(-2,-6,-2)}{\sqrt{11}\times\sqrt{44}}=\dfrac{2+6-6}{\sqrt{484}}=\dfrac{2}{\sqrt{484}}\)
\(O\hat{G}P=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{484}}\right)\approx 85°\)
\(O\hat{G}P\approx 85°\).

17. Prisma — UP·RS

17
Exame 2017, 1.ª faseResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma quadrangular regular \([OPQRSTUV]\).

Prisma quadrangular regular [OPQRSTUV]

Sabe-se que: a face \([OPQR]\) está contida no plano \(Oxy\); o vértice \(Q\) pertence ao eixo \(Oy\) e o vértice \(T\) pertence ao eixo \(Oz\); o plano \(STU\) tem equação \(z=3\).

Determine o valor do produto escalar \(\overrightarrow{UP}\cdot\overrightarrow{RS}\).

Como interpretar. \([UP]\) e \([RS]\) são arestas laterais do prisma, logo são paralelas e têm o mesmo comprimento. Basta perceber se têm o mesmo sentido ou sentidos opostos e aplicar o produto escalar.
Comprimento e sentido

As arestas laterais têm comprimento igual à altura do prisma, que é 3 (plano \(z=3\)). Os vetores \(\overrightarrow{UP}\) e \(\overrightarrow{RS}\) têm a mesma direção mas sentidos opostos, logo \(\cos\left(\overrightarrow{UP}\,\widehat{}\,\overrightarrow{RS}\right)=\cos(\pi)=-1\).

\(\overrightarrow{UP}\cdot\overrightarrow{RS}=\|\overrightarrow{UP}\|\times\|\overrightarrow{RS}\|\times\cos(\pi)=3\times 3\times(-1)=-9\)
\(\overrightarrow{UP}\cdot\overrightarrow{RS}=-9\).

18. Prisma — ângulo RAP

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Exame 2016, época especialResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma quadrangular regular \([OABCDEFG]\).

Prisma quadrangular regular [OABCDEFG]

Sabe-se que: os pontos \(C\), \(A\) e \(E\) pertencem aos eixos coordenados \(Ox\), \(Oy\) e \(Oz\), respetivamente; o ponto \(A\) tem coordenadas \((0,2,0)\); o plano \(OFB\) é definido por \(3x+3y-z=0\). Seja \(P\) o ponto de cota igual a 1 que pertence à aresta \([BG]\). Seja \(R\) o simétrico do ponto \(P\) relativamente à origem.

Determine a amplitude do ângulo \(RAP\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. Determinam-se \(P\) (na aresta \([BG]\), cota 1) e \(R\) (simétrico de \(P\) em relação à origem: trocam-se os sinais das três coordenadas). O ângulo \(RAP\) é o ângulo entre \(\overrightarrow{AP}\) e \(\overrightarrow{AR}\).
1.º — Pontos P e R

\(P\) na aresta \([BG]\) com cota 1: \(P(-2,2,1)\). Simétrico em relação a \(O\): \(R(2,-2,-1)\).

2.º — Vetores e ângulo
\(\overrightarrow{AP}=P-A=(-2,0,1),\ \|\overrightarrow{AP}\|=\sqrt5 \qquad \overrightarrow{AR}=R-A=(2,-4,-1),\ \|\overrightarrow{AR}\|=\sqrt{21}\)
\(\cos(A\hat{}\,)=\dfrac{(-2,0,1)\cdot(2,-4,-1)}{\sqrt5\times\sqrt{21}}=\dfrac{-4+0-1}{\sqrt{105}}=-\dfrac{5}{\sqrt{105}}\)
\(R\hat{A}P=\cos^{-1}\left(-\dfrac{5}{\sqrt{105}}\right)\approx 109°\)
\(R\hat{A}P\approx 109°\).

19. Plano — ângulo agudo APB

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Exame 2016, 2.ª faseResposta aberta · demonstração

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), o plano \(\alpha\) definido pela equação \(3x+2y+4z-12=0\).

Sejam \(A\) e \(B\) os pontos pertencentes ao plano \(\alpha\), tais que \(A\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\) e \(B\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\). Seja \(P\) um ponto com cota diferente de zero e que pertence ao eixo \(Oz\).

Justifique, recorrendo ao produto escalar de vetores, que o ângulo \(APB\) é agudo.

Como interpretar. "Ângulo agudo" traduz-se por \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}>0\). Escrevem-se \(A\), \(B\) e \(P\) genericamente (com as coordenadas que se sabem serem nulas) e mostra-se que o produto escalar é sempre positivo.
1.º — Coordenadas genéricas

\(A(x_A,0,0)\) com \(x_A\in\mathbb{R}^+\); \(B(0,y_B,0)\) com \(y_B\in\mathbb{R}^+\); \(P(0,0,z_P)\) com \(z_P\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

2.º — Produto escalar
\(\overrightarrow{PA}=(x_A,0,-z_P) \qquad \overrightarrow{PB}=(0,y_B,-z_P)\)
\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0+0+(-z_P)^2=z_P^{\,2}\)
Conclusão. Como \(z_P\neq 0\), tem-se \(z_P^{\,2}>0\); logo \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}>0\) e o ângulo \(APB\) é agudo.
O ângulo \(APB\) é agudo, c.q.m.

20. Triângulo isósceles — BA·BC

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Exame 2016, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura, está representado um triângulo isósceles \([ABC]\). Sabe-se que \(\overline{AB}=\overline{BC}=\sqrt2\) e \(B\hat{A}C=75°\).

Triângulo isósceles [ABC]

Qual é o valor do produto escalar \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\)?

(A) \(\sqrt2\)
(B) \(2\sqrt2\)
(C) \(\sqrt3\)
(D) \(2\sqrt3\)
Como interpretar. \(\overrightarrow{BA}\) e \(\overrightarrow{BC}\) partem de \(B\); o ângulo entre eles é \(A\hat{B}C\). Como o triângulo é isósceles, esse ângulo obtém-se dos outros dois.
1.º — Ângulo em B
\(A\hat{B}C=180°-2\times 75°=30°\)
2.º — Produto escalar
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\|\overrightarrow{BA}\|\times\|\overrightarrow{BC}\|\times\cos\left(A\hat{B}C\right)=\sqrt2\times\sqrt2\times\cos(30°)=2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\)
Opção: (C)

21. Hexágono — BA·BC

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Exame 2015, época especialEscolha múltipla

Os segmentos de reta \([AB]\) e \([BC]\) são lados consecutivos de um hexágono regular de perímetro 12.

Qual é o valor do produto escalar \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\)?

(A) \(-3\)
(B) \(-2\)
(C) 2
(D) 3
Como interpretar. \(\overrightarrow{BA}\) e \(\overrightarrow{BC}\) partem de \(B\); o ângulo entre eles é o ângulo interno do hexágono. O comprimento de cada lado vem do perímetro.
1.º — Ângulo interno e lado
\(\dfrac{(6-2)\times 180°}{6}=\dfrac{720°}{6}=120° \qquad \text{lado}=\dfrac{12}{6}=2\)
2.º — Produto escalar
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\|\overrightarrow{BA}\|\times\|\overrightarrow{BC}\|\times\cos\left(A\hat{B}C\right)=2\times 2\times\cos(120°)=4\times\left(-\dfrac12\right)=-2\)
Opção: (B)

22. Plano — ângulo BAC

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Exame 2015, época especialResposta aberta

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), o plano \(\beta\) definido pela condição \(2x-y+z-4=0\). Considere o ponto \(A(1,2,3)\).

Seja \(B\) o ponto de interseção do plano \(\beta\) com o eixo \(Ox\). Seja \(C\) o simétrico do ponto \(B\) relativamente ao plano \(Oyz\).

Determine a amplitude do ângulo \(BAC\). Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Como interpretar. Determina-se \(B\) (interseção do plano com o eixo \(Ox\): \(y=z=0\)); depois \(C\) (simétrico de \(B\) em relação a \(Oyz\): troca o sinal de \(x\)). O ângulo \(BAC\) é o ângulo entre \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\).
1.º — Pontos B e C
\(\begin{cases}2x-y+z-4=0\\ y=0\\ z=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=2\\ y=0\\ z=0\end{cases} \Rightarrow B(2,0,0)\)

Simétrico de \(B\) em relação a \(Oyz\) (troca o sinal de \(x\)): \(C(-2,0,0)\).

2.º — Vetores e ângulo
\(\overrightarrow{AB}=(1,-2,-3),\ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{14} \qquad \overrightarrow{AC}=(-3,-2,-3),\ \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{22}\)
\(\cos(A\hat{}\,)=\dfrac{(1,-2,-3)\cdot(-3,-2,-3)}{\sqrt{14}\times\sqrt{22}}=\dfrac{-3+4+9}{\sqrt{308}}=\dfrac{10}{\sqrt{308}}\)
\(B\hat{A}C=\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{308}}\right)\approx 55°\)
\(B\hat{A}C\approx 55°\).

23. Poliedro — abcissa de A

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Exame 2015, 2.ª faseResposta aberta · calculadora

Na figura, está representado num referencial o.n. \(Oxyz\), o poliedro \([NOPQRSTUV]\), que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Poliedro decomposto num cubo e numa pirâmide

Sabe-se que: o vértice \(P\) pertence ao eixo \(Ox\); o vértice \(N\) pertence ao eixo \(Oy\); o vértice \(T\) pertence ao eixo \(Oz\); o vértice \(R\) tem coordenadas \((2,2,2)\); o plano \(PQV\) é definido por \(6x+z-12=0\). Seja \(A\) um ponto pertencente ao plano \(QRS\). Sabe-se que o ponto \(A\) tem cota igual ao cubo da abcissa e que os vetores \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{TQ}\) são perpendiculares.

Determine a abcissa do ponto \(A\), recorrendo à calculadora gráfica (arredondada às centésimas).

Como interpretar. Escrevem-se as coordenadas de \(A\) em função da abcissa \(x_A\) (usando o plano \(QRS\) e a condição "cota = cubo da abcissa"). A perpendicularidade \(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{TQ}\) dá uma equação; resolve-se graficamente.
1.º — Coordenadas de A

O plano \(QRS\) tem equação \(y=2\), logo \(A(x_A,2,z_A)\). Como a cota é o cubo da abcissa, \(z_A=x_A^3\), pelo que \(A\left(x_A,2,x_A^3\right)\).

2.º — Condição de perpendicularidade
\(\overrightarrow{OA}=\left(x_A,2,x_A^3\right) \qquad \overrightarrow{TQ}=Q-T=(2,2,0)-(0,0,2)=(2,2,-2)\)
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{TQ}=0 \Leftrightarrow 2x_A+4-2x_A^3=0 \Leftrightarrow -2x_A^3+2x_A+4=0\)
3.º — Resolução gráfica

Representando \(f(x)=-2x^3+2x+4\) na calculadora (janela \(x\in[-4,4]\), \(y\in[-2,7]\)) e determinando o zero:

\(x_A\approx 1{,}52\)
A abcissa do ponto \(A\) é, aproximadamente, 1,52.

24. Pontos — ordenada de P

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Exame 2015, 1.ª faseResposta aberta

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), os pontos \(A(0,0,2)\) e \(B(4,0,0)\).

Seja \(P\) o ponto pertencente ao plano \(Oxy\) tal que: a sua abcissa é igual à abcissa do ponto \(B\); a sua ordenada é positiva; \(B\hat{A}P=\dfrac{\pi}{3}\).

Determine a ordenada do ponto \(P\).

Como interpretar. Escreve-se \(P\) em função da ordenada desconhecida \(y_B\) (cota 0 por estar em \(Oxy\), abcissa 4). A condição do ângulo \(B\hat{A}P=\tfrac{\pi}{3}\) traduz-se pela fórmula do produto escalar e origina uma equação em \(y_B\).
1.º — Ponto P e vetores

\(P(4,y_B,0)\) com \(y_B\in\mathbb{R}^+\).

\(\overrightarrow{AB}=(4,0,-2),\ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{20} \qquad \overrightarrow{AP}=(4,y_B,-2),\ \|\overrightarrow{AP}\|=\sqrt{y_B^2+20}\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=16+0+4=20\)
2.º — Equação do ângulo
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=\|\overrightarrow{AB}\|\|\overrightarrow{AP}\|\cos\tfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow 20=\sqrt{20}\times\sqrt{y_B^2+20}\times\dfrac12\)
\(\sqrt{20y_B^2+400}=40 \Leftrightarrow 20y_B^2+400=1600 \Leftrightarrow y_B^2=60 \Rightarrow y_B=\sqrt{60}\)
Porquê \(+\sqrt{60}\)? A ordenada de \(P\) é positiva, por isso rejeita-se \(-\sqrt{60}\).
A ordenada de \(P\) é \(\sqrt{60}\).