Exercícios de Exame — Funções Polinomiais de Graus 3 e 4

Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) números reais não nulos, e seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:

Seja \(r\) uma reta que intersecta o gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa zero.

Mostre que, se a reta \(r\) intersectar o gráfico da função \(f\) noutros dois pontos distintos, então esses pontos têm abcissas simétricas.

Na figura ao lado, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico de uma função, \(h\), e uma reta, \(s\).

Sabe-se que:

• a função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), é definida por \(h(x)=x^{2}\);
• a reta \(s\) tem declive positivo, \(m\), e intersecta o gráfico da função \(h\) nos pontos \(A\) e \(B\);
• o ponto \(A\) tem coordenadas \((-1,1)\).

2.1. Qual das expressões seguintes representa a ordenada na origem da reta \(s\)?

2.2. Sabe-se que as coordenadas do ponto \(B\) são da forma \((m+1,(m+1)^{2})\). Considere o ponto \(C\), projeção ortogonal do ponto \(B\) sobre o eixo \(Oy\).

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de \(m\) para o qual a área do triângulo \([ABC]\) é igual a 4, sabendo-se que existe e é único. Apresente o valor de \(m\) arredondado às centésimas. Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita obter o valor de \(m\);
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às milésimas.

2.1 — Ordenada na origem de s

Como interpretar. A ordenada na origem é o \(b\) da equação \(y=mx+b\). Como conhecemos um ponto da reta (\(A(-1,1)\)), basta substituí-lo e isolar \(b\).

\(1=m\times(-1)+b \Leftrightarrow b=m+1\)

Opção: (A)

2.2 — Determinar m

Como interpretar. Os vértices são \(A(-1,1)\), \(B(m+1,(m+1)^2)\) e \(C(0,(m+1)^2)\) (a projeção de \(B\) em \(Oy\) mantém a ordenada e zera a abcissa). Escolhe-se \([BC]\) como base (é horizontal) e monta-se a equação "área = 4", que se resolve graficamente.

1.º — Base e altura

\(B\) e \(C\) têm a mesma ordenada \((m+1)^2\), logo \([BC]\) é horizontal:

\(\text{base}=x_B-x_C=(m+1)-0=m+1 \qquad \text{altura}=(m+1)^{2}-1\)

Porquê esta altura? A altura relativa à base \([BC]\) é a distância vertical de \(A\) (que está à altura \(y=1\)) à reta horizontal que contém \([BC]\) (à altura \((m+1)^2\)).

2.º — Equação e resolução gráfica

\(\dfrac{(m+1)\times\left((m+1)^{2}-1\right)}{2}=4\)

Na calculadora inserem-se \(Y_1=\dfrac{(x+1)\left((x+1)^2-1\right)}{2}\) e \(Y_2=4\) e determina-se a interseção para \(x>0\):

\(m\approx 1{,}17\).

Um município construiu, num dos seus parques, uma rampa de skate entre duas paredes verticais distanciadas 21 metros uma da outra. Na figura seguinte, estão representados um corte longitudinal da rampa e dois jovens, cada um no seu skate.

Nesta figura, o arco \(BD\) representa a rampa, os segmentos de reta \([AB]\) e \([CD]\) representam as paredes e o segmento de reta \([AC]\) representa o solo. Os pontos \(P\) e \(Q\) representam as posições dos dois jovens na rampa.

Admita que a distância ao solo, em metros, de um ponto da rampa situado \(x\) metros à direita da parede representada na figura por \([AB]\) é dada por:

3.1. Qual é, em metros, com arredondamento às décimas, o valor absoluto da diferença entre as alturas das duas paredes da rampa de skate?

3.2. Num certo instante, os dois jovens estão à mesma distância do solo, um mais próximo da parede representada por \([AB]\) e o outro mais próximo da parede representada por \([CD]\). O jovem que se encontra mais próximo da parede \([AB]\) está a um metro desta parede.

Seja \(d\) a distância a que se encontra da parede representada por \([CD]\) o jovem que dela está mais próximo.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de \(d\), sabendo-se que esse valor existe e é único.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas;
• apresente o valor de \(d\) em metros, arredondado às décimas.

3.1 — Diferença entre as alturas das paredes

Como interpretar. A parede \([AB]\) está em \(x=0\) e a parede \([CD]\) em \(x=21\); as alturas são \(f(0)\) e \(f(21)\).

\(f(0)=3{,}4\text{ m} \qquad f(21)=0{,}0001\times 21^{4}-0{,}005\times 21^{3}+0{,}11\times 21^{2}-21+3{,}4\approx 4{,}053\text{ m}\)

\(|4{,}053-3{,}4|=0{,}653\approx 0{,}7\)

Opção: (B)

3.2 — Determinar d

Como interpretar. "Estão à mesma distância do solo" significa que as duas posições têm a mesma imagem por \(f\). O primeiro jovem está em \(x=1\), à altura \(f(1)\); procura-se o outro ponto (na metade direita da rampa) com \(f(x)=f(1)\). No fim, \(d\) é a distância à parede \([CD]\): \(d=21-x\).

1.º — A equação

\(f(x)=f(1)\ ,\quad\text{com } f(1)\approx 2{,}5051\)

2.º — Resolução gráfica

Inserem-se \(Y_1=f(x)\) e \(Y_2=f(1)\) e procura-se a interseção na metade direita da rampa:

3.º — Calcular d

\(d=21-18{,}288\approx 2{,}712\)

\(d\approx 2{,}7\) metros.

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x^{4}+2x^{3}-1\). O gráfico da função \(g\), num referencial o.n. \(xOy\), intersecta a reta de equação \(y=3\) em dois pontos.

Sejam \(A\) e \(B\) esses dois pontos, sendo o ponto \(A\) o que tem menor abcissa. Determine a área do triângulo \([AOB]\), recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Apresente o resultado arredondado às décimas.

Na sua resposta deve:

• reproduzir, num referencial, a parte do gráfico da função \(g\) que visualizou na sua calculadora;
• representar, no mesmo referencial, o triângulo \([AOB]\);
• indicar as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\), arredondadas às centésimas;
• apresentar a área do triângulo \([AOB]\), com o arredondamento pedido.

Como interpretar. Os pontos \(A\) e \(B\) resultam da equação \(g(x)=3\), resolvida graficamente. Como ambos estão na reta horizontal \(y=3\), o segmento \([AB]\) serve de base do triângulo e a altura (até à origem \(O\)) é simplesmente 3.

1.º — Pontos A e B

Inserindo \(Y_1=x^{4}+2x^{3}-1\) e \(Y_2=3\) na calculadora, obtêm-se as interseções:

2.º — Base, altura e área

\(\text{base}=\overline{AB}=1{,}09-(-2{,}32)=3{,}41 \qquad \text{altura}=3\)

Porquê altura 3? A base está sobre a reta \(y=3\) e o terceiro vértice é a origem \(O(0,0)\); a distância da origem a essa reta horizontal é 3.

\(\text{Área}=\dfrac{3{,}41\times 3}{2}\approx 5{,}115\)

Área \(\approx\) 5,1 unidades de área.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6\).

5.1. O gráfico da função \(f\) interseta o eixo das abcissas em quatro pontos. Designemos esses quatro pontos por \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), sendo \(A\) o que tem menor abcissa e sendo \(D\) o que tem maior abcissa. O ponto \(A\) tem abcissa \(-3\) e o ponto \(C\) tem abcissa \(1\).

Seja \(E\) o ponto de interseção do gráfico da função \(f\) com o eixo das ordenadas.

Determine a área do triângulo \([BED]\), sem recorrer à calculadora.

5.2. O contradomínio de \(f\) é um intervalo da forma \([a,+\infty[\). Determine o valor de \(a\), arredondado às décimas, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora.

Obtenha o gráfico de \(f\) numa janela que lhe permita visualizar o ponto relevante para a resolução do problema. Reproduza, na sua folha de prova, o gráfico visualizado e assinale, nesse gráfico, o ponto relevante.

5.1 — Área do triângulo [BED]

Como interpretar. Conhecem-se dois zeros (\(-3\) e \(1\)); dividindo o polinómio por \((x+3)(x-1)\) baixa-se o grau e encontram-se os outros dois zeros — as abcissas de \(B\) e \(D\). O ponto \(E\) é a interseção com \(Oy\): \(E(0,f(0))\).

Como \(-3\) e \(1\) são zeros de \(f\), divide-se por \((x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3\):

\(\dfrac{x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6}{x^{2}+2x-3}=x^{2}-x-2\)

Os outros dois zeros vêm de \(x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow x=-1\ \lor\ x=2\). Ordenando as abcissas: \(A(-3,0)\), \(B(-1,0)\), \(C(1,0)\) e \(D(2,0)\).

\(\text{base}=\overline{BD}=x_D-x_B=2-(-1)=3 \qquad E(0,f(0))=E(0,6)\Rightarrow\text{altura}=6\)

Porquê a altura é 6? A base \([BD]\) está sobre o eixo \(Ox\); a altura é a distância de \(E\) a esse eixo, ou seja, a ordenada de \(E\).

Área \(=\dfrac{3\times 6}{2}=\textbf{9}\) unidades de área.

5.2 — Valor de a

Como interpretar. Se o contradomínio é \([a,+\infty[\), então \(a\) é a ordenada do mínimo absoluto da função — determina-se na calculadora.

\(a\approx\textbf{−12,9}\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8\).

6.1. Sem recorrer à calculadora, resolva a inequação \(f(x)\le 0\) sabendo que um dos zeros de \(f\) é 4. Apresente o conjunto solução utilizando a notação de intervalos de números reais.

6.2. Sejam \(A\) e \(B\) os pontos do gráfico de \(f\) cujas abcissas são \(-3\) e \(0\), respetivamente. A reta \(AB\) interseta o gráfico de \(f\) em mais um ponto. Designemos esse ponto por \(C\).

Determine as coordenadas do ponto \(C\), percorrendo as etapas indicadas a seguir:

• determine a equação reduzida da reta \(AB\);
• recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico de \(f\) e a reta \(AB\), escolhendo uma janela que lhe permita visualizar também o ponto \(C\);
• reproduza o que visualiza na calculadora, assinalando também os pontos \(A\), \(B\) e \(C\);
• recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determine as coordenadas do ponto \(C\) e indique-as no gráfico (as coordenadas de \(C\) são números inteiros).

6.1 — Resolver f(x) ≤ 0

Como interpretar. Conhecido o zero \(x=4\), aplica-se a Regra de Ruffini para fatorizar; com os três zeros faz-se um quadro de sinais e leem-se os intervalos onde o produto é negativo ou nulo.

\(x^{3}-3x^{2}-6x+8=(x-4)\left(x^{2}+x-2\right)\)

De \(x^{2}+x-2=0\) vêm os zeros \(x=-2\) e \(x=1\). O polinómio fatorizado é \((x-4)(x+2)(x-1)\); com o quadro de sinais das três raízes \((-2,\,1,\,4)\):

Solução: \(\left]-\infty,-2\right]\cup\left[1,4\right]\).

6.2 — Coordenadas do ponto C

Como interpretar. Primeiro calculam-se \(A\) e \(B\) (imagens de \(-3\) e \(0\)) e a equação da reta \(AB\). O terceiro ponto de interseção \(C\) vem de igualar \(f(x)\) à equação da reta.

1.º — Pontos A e B e reta AB

\(f(-3)=-27-27+18+8=-28\Rightarrow A(-3,-28) \qquad f(0)=8\Rightarrow B(0,8)\)

\(m=\dfrac{8-(-28)}{0-(-3)}=12 \;\Rightarrow\; AB:\ y=12x+8\)

2.º — Intersetar a reta com o gráfico

\(x^{3}-3x^{2}-6x+8=12x+8 \Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}-18x=0 \Leftrightarrow x\left(x^{2}-3x-18\right)=0\)

As raízes de \(x^{2}-3x-18=0\) são \(x=-3\) (o ponto \(A\)) e \(x=6\). Logo a abcissa de \(C\) é 6 e a ordenada é \(y=12\times 6+8=80\):

\(C(6,80)\).

Seja a função de domínio \(\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+14x\).

Sabe-se que o gráfico de \(f\) intersecta o eixo \(Ox\) em apenas dois pontos. Um deles tem abcissa \(-2\).

7.1. Decomponha o polinómio \(x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+14x\) num produto de três polinómios, sendo dois do primeiro grau e um do segundo grau.

7.2. O contradomínio de \(f\) é um intervalo da forma \([a,+\infty[\).

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o valor de \(a\) arredondado às décimas. Reproduza o gráfico de \(f\) visualizado na calculadora e assinale esse ponto no seu gráfico.

7.1 — Fatorização

Como interpretar. O polinómio não tem termo independente, por isso o primeiro passo é pôr \(x\) em evidência (o zero \(x=0\) fica logo à vista). Depois aplica-se Ruffini ao fator cúbico com o zero \(-2\).

\(x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+14x=x\left(x^{3}-3x^{2}-3x+14\right)\)

Aplicando a Regra de Ruffini ao fator de 3.º grau com \(x=-2\), obtém-se o quociente \(x^{2}-5x+7\):

Porquê só dois pontos no eixo Ox? O fator quadrático \(x^{2}-5x+7\) tem discriminante negativo (\(\Delta=25-28=-3\)), logo não tem raízes reais — os únicos zeros de \(f\) são \(0\) e \(-2\), em coerência com o enunciado.

\(f(x)=x(x+2)\left(x^{2}-5x+7\right)\).

7.2 — Valor de a

Como interpretar. Tal como no exercício 5.2, \(a\) é a ordenada do mínimo absoluto, que se localiza na calculadora.

\(a\approx\textbf{−13,9}\).

Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função \(g\), polinomial do terceiro grau. A função \(g\) admite um máximo relativo igual a \(3\) para \(x=-1\) e admite mínimo relativo igual a \(2\) para \(x=1\).

Qual é o conjunto dos valores de \(b\) para os quais a equação \(g(x)=b\) tem três soluções distintas?

Na figura ao lado está representada parte de uma parábola, que é o gráfico de uma certa função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=g(x)(x+3)^{2}\). Qual pode ser o conjunto dos zeros da função \(h\)?

Seja \(f\) uma função polinomial do terceiro grau, cujo gráfico se encontra parcialmente representado na figura ao lado.

Quantas são as soluções da equação \(f(x)=2\)?