Demonstração Analítica

1. Como a reta $r$ interseta $f$ no ponto de abcissa zero, o ponto de interseção é $(0, f(0))$. Calculando $f(0)$:
   $f(0) = a(0)^3 + b(0) + c = c$
2. Logo, a reta $r$ passa por $(0, c)$, o que significa que a sua equação reduzida é do tipo $y = mx + c$, onde $m$ é o declive.
3. Para encontrar as interseções entre a reta e o gráfico da função, igualamos as expressões:
   $ax^3 + bx + c = mx + c$
   $ax^3 + bx - mx = 0$
   $x(ax^2 + b - m) = 0$
4. Pela Lei do Anulamento do Produto, temos $x = 0$ (o ponto inicial já conhecido) ou $ax^2 + b - m = 0$.
5. Resolvendo a equação do 2.º grau:
   $ax^2 = m - b \implies x^2 = \frac{m-b}{a}$
6. Como o enunciado garante que a reta interseta a função em outros dois pontos distintos, a expressão $\frac{m-b}{a}$ tem de ser estritamente positiva. Assim, as abcissas dos outros dois pontos são $x = -\sqrt{\frac{m-b}{a}}$ e $x = \sqrt{\frac{m-b}{a}}$. Como diferem apenas no sinal, são números simétricos! C.Q.D.

Resolução 2.1.

A reta $s$ passa pelo ponto $A(-1, 1)$ e tem declive $m$. A equação de uma reta é $y = mx + b$. Substituindo as coordenadas de $A$:

O valor $b$ corresponde precisamente à ordenada na origem.

Resolução 2.2.

Os vértices do triângulo $[ABC]$ são $A(-1, 1)$, $B(m+1, (m+1)^2)$ e $C(0, (m+1)^2)$.

1. Como os pontos $B$ e $C$ têm a mesma ordenada $(m+1)^2$, o segmento $[BC]$ é horizontal. O seu comprimento será a base do triângulo:
   $\text{Base } = x_B - x_C = (m+1) - 0 = m+1$
2. A altura do triângulo em relação a esta base é a diferença entre a ordenada de $[BC]$ e a ordenada de $A$:
   $\text{Altura } = y_B - y_A = (m+1)^2 - 1$
3. A área do triângulo é $\frac{\text{Base} \times \text{Altura}}{2}$. Igualando a 4, obtemos a equação:
   $$\frac{(m+1) \times ((m+1)^2 - 1)}{2} = 4$$
4. Introduzindo na calculadora as funções $Y_1 = \frac{(x+1)((x+1)^2 - 1)}{2}$ e $Y_2 = 4$, determinamos o ponto de interseção para $x>0$.

Resolução 3.1.

Calculamos a altura do muro da esquerda ($x=0$) e do da direita ($x=21$):

A diferença absoluta é $|4,053 - 3,4| = 0,653$, que arredondado às décimas dá $0,7$.

Resolução 3.2.

A altura do jovem mais próximo de $[AB]$ (que está em $x=1$) é $f(1) \approx 2,5051$ m.

O jovem mais próximo de $[CD]$ está a uma distância $d$ dessa parede, o que significa que $d = 21 - x$. Como estão à mesma altura, a equação a resolver é:

(Usamos $x$ na equação a inserir na calculadora em vez de $d$). Inserimos $Y_1 = f(x)$ e $Y_2 =f(1)$ e procuramos a interseção (sabendo que o jovem está na metade direita da rampa).

Assim, o jovem mais próximo de $[CD]$ está a uma distância $d = 21 - 18,288 \approx 2,712 \text{ metros}$.

Interseção Gráfica e Área

Para descobrir os pontos $A$ e $B$, igualamos a função a 3: $x^4+2x^3-1 = 3$.

Inserindo $Y_1 = x^4+2x^3-1$ e $Y_2 = 3$ na calculadora, encontramos os pontos de interseção $A(-2,32; 3)$ e $B(1,09; 3)$.

O triângulo $[AOB]$ tem base $[AB]$ contida na reta horizontal $y=3$. O seu comprimento é $1,09 - (-2,32) = 3,41$. A altura relativa a esta base (até à origem $O$) é $3$.

Resolução 5.1.

Sabemos que $-3$ e $1$ são zeros de $f$. Podemos fatorizar o polinómio usando a Regra de Ruffini sucessivamente, ou dividindo por $(x+3)(x-1) = x^2+2x-3$.

Os outros dois zeros saem da equação $x^2-x-2 = 0 \implies x=-1 \lor x=2$. Os quatro pontos são ordenados pelas abcissas: $A(-3,0)$, $B(-1,0)$, $C(1,0)$ e $D(2,0)$.

A base do triângulo $[BED]$ é o segmento $[BD]$ sobre o eixo $Ox$, cujo comprimento é $x_D - x_B = 2 - (-1) = 3$.

O ponto $E$ é a interseção com o eixo $Oy$, logo $E(0, f(0)) \implies E(0, 6)$. A altura do triângulo é $6$.

Resolução 5.2.

O valor de $a$ no contradomínio $[a, +\infty[$ corresponde à ordenada do mínimo absoluto da função.

Recorrendo à calculadora, determinamos que o mínimo global ocorre perto de $x \approx -2,3$ com o valor $y \approx -12,9$.

Resolução 6.1.

Sendo $x=4$ um zero, aplicamos a Regra de Ruffini para baixar o grau de $f(x)$:

Encontramos os restantes zeros: $x^2+x-2 = 0 \implies x=-2 \lor x=1$. O polinómio fatorizado é $(x-4)(x+2)(x-1)$. Fazendo um quadro de sinais com as três raízes ($-2, 1, 4$), verificamos que o produto é negativo nos intervalos $]-\infty, -2]$ e $[1, 4]$.

Resolução 6.2.

Nota: foi usada a abcissa corrigida $-3$ para o ponto A, de modo a existir um terceiro ponto $C$ na reta secante.

1. Coordenadas: $f(-3) = -27 - 27 + 18 + 8 = -28 \implies A(-3, -28)$. $f(0) = 8 \implies B(0,8)$.
2. Reta AB: $m = \frac{8 - (-28)}{0 - (-3)} = 12$. A ordenada na origem é 8, logo $y = 12x + 8$.
3. Intersetando os gráficos para achar $C$:
   $x^3-3x^2-6x+8 = 12x+8 \implies x^3-3x^2-18x = 0 \implies x(x^2-3x-18) = 0$
4. As raízes de $x^2-3x-18=0$ são $x=-3$ (ponto A) e $x=6$. Logo, a abcissa de $C$ é $6$. A ordenada é $y = 12(6) + 8 = 80$.

Resolução 7.1.

Colocando o $x$ em evidência: $x(x^3-3x^2-3x+14)$.

Sabemos que $-2$ é raiz. Aplicando a Regra de Ruffini ao fator de 3.º grau com $x = -2$, obtemos o quociente $x^2-5x+7$.

O polinómio quadrático $x^2-5x+7$ tem um discriminante negativo ($\Delta = 25 - 28 = -3$), logo é irredutível (não tem raízes reais).

Resolução 7.2.

O valor de $a$ no contradomínio é o valor do mínimo absoluto da função. Inserindo $f(x)$ na calculadora, localizamos o mínimo global.

O mínimo ocorre perto de $x \approx -1,24$, e a sua ordenada é $y \approx -13,9$.

Interpretação Gráfica

Uma função de 3.º grau tem a forma característica de "onda". O seu máximo local (pico superior) encontra-se em $y=3$ e o mínimo local (vale inferior) em $y=2$.

A equação $g(x) = b$ corresponde a intersetar o gráfico com uma linha reta horizontal. Para que esta reta intersete o gráfico em exatamente três pontos distintos, ela tem de "passar pelo meio" da onda, ou seja, ter uma altura estritamente entre o mínimo e o máximo locais.

Zeros de um Produto

Pela Lei do Anulamento do Produto, $h(x) = 0$ quando $g(x) = 0$ ou $(x+3)^2 = 0$.

Da equação $(x+3)^2 = 0$ retiramos diretamente o zero $x = -3$.

Pela análise visual do gráfico de $g$ (uma parábola voltada para cima, deslocada para a direita), os seus zeros estão em valores positivos, aparentemente em $x=1$ e $x=4$. Cruzando com as opções fornecidas, a única que integra o zero $-3$ e as raízes positivas é a opção B.

Leitura de Extremos

Analisando o gráfico da função polinomial do terceiro grau $f$, identificamos um mínimo relativo com ordenada igual a 1 e um máximo relativo com ordenada igual a 3.

A equação $f(x) = 2$ corresponde aos pontos de interseção entre a curva e a reta horizontal $y=2$. Como a altura $y=2$ se encontra perfeitamente entre os extremos ($1 < 2 < 3$), a reta atravessa o gráfico na sua totalidade em três pontos distintos.