- Definições: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\), \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) e \((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\), todas de domínio \(D_f\cap D_g\); \(\left(\tfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\), de domínio \(\{x\in D_f\cap D_g:\ g(x)\neq 0\}\).
- Zeros de \(f\times g\): são a união dos zeros de \(f\) e dos zeros de \(g\) (lei do anulamento do produto).
- Zeros de \(\tfrac{f}{g}\): são os zeros do numerador \(f\) que pertencem ao domínio (isto é, que não anulam \(g\)).
- Sinal: \(f\times g\) e \(\tfrac{f}{g}\) têm o mesmo sinal — resulta da regra dos sinais, organizada num quadro de variação de sinal.
- Função \(\tfrac{1}{s}\): tem assíntotas verticais nos zeros de \(s\) e mantém o sinal de \(s\) (onde \(s\) é grande, \(\tfrac{1}{s}\) é pequeno, e vice-versa).
1. Zeros de f×g e f/g
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que:
- a função \(f\) é definida por \(f(x)=3x+6\);
- a função \(g\) é uma função quadrática e o eixo \(Oy\) é um eixo de simetria do seu gráfico;
- \(g(2)=0\).
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
\(g\) é quadrática com eixo de simetria \(Oy\) (isto é, \(x=0\)). Como \(g(2)=0\), pela simetria também \(g(-2)=0\). Logo \(g\) tem os zeros \(-2\) e \(2\).
2.º — Zeros de f×gO domínio de \(\tfrac{f}{g}\) exclui os zeros de \(g\): \(x\neq-2\) e \(x\neq 2\). O único zero do numerador é \(-2\), mas \(-2\) foi retirado do domínio.
2. Zeros com interseção em (3, 0)
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que:
- as funções \(f\) e \(g\) são funções quadráticas;
- a função \(f\) tem dois zeros distintos;
- a função \(g\) tem um único zero;
- os gráficos das funções \(f\) e \(g\) intersectam-se no ponto de coordenadas \((3,0)\).
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
Como \((3,0)\) pertence aos dois gráficos, \(f(3)=0\) e \(g(3)=0\).
- \(g\) tem um único zero, logo o seu zero é \(3\).
- \(f\) tem dois zeros distintos: o \(3\) e um outro valor \(a\) (com \(a\neq 3\)).
O domínio de \(\tfrac{f}{g}\) exclui o zero de \(g\), ou seja \(x\neq 3\). Dos zeros do numerador \(\{3,a\}\), o \(3\) é retirado e sobra apenas \(a\).
3. Caracterizar a função f×g
Considere:
- a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-11\);
- a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), definida por \(g(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\).
Sabe-se que \(-1\) é um zero da função \(f\). Utilizando métodos exclusivamente analíticos, caracterize a função \(f\times g\). Na sua resposta deve:
- indicar o domínio da função \(f\times g\);
- apresentar \(f\times g\) na forma de um polinómio do terceiro grau.
Como \(-1\) é zero de \(f\), divide-se \(f(x)\) por \((x+1)\). O quociente é \(x^{2}+2x-11\), logo:
4. Zeros do quociente f/g
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções reais de variável real. Sabe-se que:
- a função \(f\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e tem cinco zeros;
- a função \(g\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e tem três zeros;
- um, e só um, dos zeros da função \(f\) também é zero da função \(g\).
Quantos zeros tem a função \(\tfrac{f}{g}\)?
A função \(f\) tem 5 zeros. Como exatamente 1 deles anula também o denominador \(g\), esse valor não pertence ao domínio e não pode ser zero do quociente.
5. Inequação f×g ≤ 0
Na figura está representada, em referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função \(f\), bem como as duas assíntotas deste gráfico.
Tal como a figura sugere:
- a origem do referencial pertence ao gráfico de \(f\);
- uma das assíntotas é paralela ao eixo \(Ox\);
- a outra assíntota é paralela ao eixo \(Oy\) e intersecta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa 2.
Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=3x+9\). Tendo em conta o gráfico de \(f\) e a expressão analítica de \(g\), resolva a inequação \(f(x)\times g(x)\le 0\), recorrendo a uma tabela de variação de sinal. Apresente o conjunto solução utilizando a notação de intervalos de números reais.
O gráfico passa na origem (\(x=0\) é zero de \(f\)) e tem assíntota vertical em \(x=2\). Da figura:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | n.d. | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(f\times g\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | n.d. | \(+\) |
6. Qual a equação impossível?
Na figura estão representadas, em referencial o.n. \(xOy\), partes dos gráficos de duas funções, \(f\) e \(g\), contínuas em \(\mathbb{R}\).
Tal como a figura sugere:
- nenhum dos gráficos intersecta o eixo \(Ox\);
- os gráficos de \(f\) e de \(g\) intersectam o eixo \(Oy\) nos pontos de ordenadas \(0{,}5\) e \(2\), respetivamente.
Apenas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas?
- (A) \(f(x)+g(x)=0\): soma de duas quantidades positivas — nunca dá zero. Impossível.
- (B) \(f(x)-g(x)=0\): possível onde os gráficos se cruzam (\(f=g\)).
- (C) \(f(x)\times g(x)=1\): possível (o produto assume vários valores positivos).
- (D) \(\tfrac{f(x)}{g(x)}=1\): possível, também onde \(f=g\).
7. Conjunto solução de f/g ≤ 0
Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função quadrática \(f\) e parte do gráfico de uma função afim \(g\).
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o conjunto solução da inequação \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\le 0\)?
\(f\): zeros em \(-4\) e \(0\); positiva entre eles, negativa fora. \(g\): zero em \(-2\); negativa antes, positiva depois.
- \(x\in]-\infty,-4[\): \(f<0,\ g<0\Rightarrow \tfrac{f}{g}>0\) — não serve.
- \(x\in[-4,-2[\): \(f\ge 0,\ g<0\Rightarrow \tfrac{f}{g}\le 0\) — serve (inclui \(-4\), onde \(f=0\)).
- \(x\in]-2,0]\): \(f\ge 0,\ g>0\Rightarrow \tfrac{f}{g}\ge 0\) — não serve.
- \(x\in[0,+\infty[\): \(f\le 0,\ g>0\Rightarrow \tfrac{f}{g}\le 0\) — serve (inclui \(0\), onde \(f=0\)).
8. Determinar f tal que f×g = h
Na figura estão representadas partes dos gráficos de duas funções polinomiais, \(g\) e \(h\), ambas de domínio \(\mathbb{R}\).
Qual das expressões seguintes pode definir uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), tal que \(f\times g=h\)?
À esquerda, a parábola \(g\) está muito acima do eixo (\(g>0\)) e a cúbica \(h\) vem de baixo (\(h<0\)). Logo \(f=\tfrac{h}{g}<0\) para \(x\) muito negativo.
Os zeros comuns de \(g\) e \(h\) (onde ambos cortam o eixo, em \(x=-1\) e \(x=2\)) simplificam-se em \(\tfrac{h}{g}\) e não são zeros de \(f\). O zero que sobra para \(f\) é o zero "extra" da cúbica, situado em \(x=1\).
Confirma-se com um ponto: em \(x=0\), \(g(0)<0\) e \(h(0)>0\) (a cúbica está no seu arco acima do eixo), logo \(f(0)=\tfrac{h(0)}{g(0)}<0\). Uma reta de declive positivo, negativa em \(x=0\) e com zero em \(x=1\), é \(f(x)=x-1\).
9. Domínio da função r/s
Na figura estão parcialmente representados os gráficos de duas funções polinomiais \(r\) e \(s\).
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função \(\dfrac{r}{s}\)?
Pelo gráfico, \(s\) é a parábola, que corta o eixo \(Ox\) em dois pontos: \(x=-1\) e \(x=1\). São esses os únicos valores a retirar do domínio.
10. Zeros de h = g·(x+3)²
Na figura está representada parte de uma parábola, que é o gráfico de uma certa função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\).
Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=g(x)\cdot(x+3)^{2}\). Qual pode ser o conjunto dos zeros da função \(h\)?
Pelo gráfico, a parábola \(g\) tem dois zeros positivos. Assim, o conjunto dos zeros de \(h\) é \(\{-3\}\) mais dois valores positivos.
11. Zeros de h = g·(x−3)²
O conjunto dos zeros de uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), é \(\{1,2\}\). Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=g(x)\cdot(x-3)^{2}\). Quais são os zeros da função \(h\)?
Os zeros de \(h\) são, então, a união: \(\{1,2\}\cup\{3\}=\{1,2,3\}\).
12. Operações a partir dos gráficos
Na figura estão representadas graficamente as funções \(s\) e \(t\).
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
- (A) Falsa: \(t\) toca o eixo em \(x=5\), logo tem um zero.
- (B) Falsa: em \(x=2\), \(s\) vale cerca de \(2\), não \(0\).
- (C) Falsa: em \(x=5\), \(t=0\), pelo que \(5\) nem sequer pertence ao domínio de \(\tfrac{s}{t}\).
- (D) Verdadeira: os gráficos intersetam-se em \((3,4)\), logo \(s(3)=t(3)=4\) e \((s-t)(3)=4-4=0\).
13. Identificar g e h em f = g×h
Na figura está representada parte do gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), com zeros \(a\) (\(a<0\)), \(0\) e \(b\) (\(b>0\)).
Em qual das figuras seguintes poderá estar representada parte dos gráficos de duas funções \(g\) e \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), tais que \(f=g\times h\)?
Na opção (C), \(g\) é uma parábola com a concavidade voltada para cima e zeros em \(a\) e \(b\), e \(h\) é uma reta crescente que passa na origem (zero em \(0\)). Os sinais:
- \(]-\infty,a[\): \(g>0,\ h<0\Rightarrow g\times h<0\) ✔
- \(]a,0[\): \(g<0,\ h<0\Rightarrow g\times h>0\) ✔
- \(]0,b[\): \(g<0,\ h>0\Rightarrow g\times h<0\) ✔
- \(]b,+\infty[\): \(g>0,\ h>0\Rightarrow g\times h>0\) ✔
14. Gráfico de t = 1/s
Na figura está parte da representação gráfica de uma função \(s\) de domínio \(\mathbb{R}\), com zeros em \(-1\) e \(1\).
Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da função \(t\) definida por \(t(x)=\dfrac{1}{s(x)}\).
Como \(s(-1)=0\) e \(s(1)=0\), a função \(t=\tfrac{1}{s}\) tem assíntotas verticais em \(x=-1\) e \(x=1\).
2.º — Sinais- Em \(]-1,1[\), \(s>0\Rightarrow t>0\): entre as assíntotas, \(t\) fica acima do eixo, com um mínimo em \(x=0\) (onde \(s\) é máximo) e disparando para \(+\infty\) junto às assíntotas.
- Em \(]-\infty,-1[\) e \(]1,+\infty[\), \(s<0\Rightarrow t<0\): fora das assíntotas, \(t\) fica abaixo do eixo.
15. Gráfico de f/g
Na figura estão representadas graficamente duas funções afins \(f\) e \(g\). A reta \(f\) tem zero em \(-1\) e a reta \(g\) tem zero em \(2\).
Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função \(\dfrac{f}{g}\)?
Da figura, \(f(x)=x+1\) (zero em \(-1\)) e \(g(x)=x-2\) (zero em \(2\)). Logo:
- Zero: onde o numerador se anula, \(x=-1\).
- Assíntota vertical: onde o denominador se anula, \(x=2\).
- Assíntota horizontal: \(y=1\) (o quociente dos declives, \(\tfrac{1}{1}\)).
- Sinal: positivo em \(]-\infty,-1[\), negativo em \(]-1,2[\) (desce para \(-\infty\)) e positivo em \(]2,+\infty[\) (desce de \(+\infty\) até \(y=1\)).