Exercícios de Exame — Funções Racionais

Um tanque, que inicialmente tinha um certo volume de água salgada, dispõe de duas torneiras, uma de enchimento e outra de vazamento. As duas torneiras são abertas, em simultâneo, sendo vertida água do mar para o tanque até este estar cheio. Admita que a massa de sal, \(m\), em quilogramas, no tanque, \(t\) minutos após a abertura das torneiras, até o tanque estar cheio, é dada por:

1.1. Qual é, com aproximação às unidades, a percentagem de aumento da massa de sal no tanque, no primeiro minuto após a abertura das torneiras?

1.2. Existe um instante a partir do qual, passada meia hora, a massa de sal no tanque triplica. Determine, recorrendo à calculadora, esse instante, sabendo-se que existe e é único. Apresente o resultado em minutos e segundos (com os segundos arredondados às unidades). Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às centésimas.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte da hipérbole que é o gráfico de uma função \(f\).

O gráfico da função \(f\) intersecta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(-1\). As retas de equações \(x=1\) e \(y=-2\) são as assíntotas do gráfico da função \(f\). Qual é o conjunto solução da condição \(f(x)\le 0\)?

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:

3.1. Resolva analiticamente, em \(]1,+\infty[\), a condição \(f(x)<\dfrac{1}{x-2}\). Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais.

3.2. Considere, para cada número real \(k\), a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=kx+2\). Determine o valor de \(k\) para o qual se tem \((g\circ f)(-3)=6\).

3.3. Determine o contradomínio da função \(f\). Para resolver este item, recorra à calculadora gráfica (sugere-se a janela \(x\in[-5,5],\ y\in[-15,10]\)).

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), definida por \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\). Considere a função \(g\) definida por \(g(x)=f(x+a)+k\), com \(a\in\mathbb{R}\). Sabe-se que as retas de equações \(x=-2\) e \(y=2\) são assíntotas do gráfico de \(g\). Quais são os valores de \(a\) e de \(k\)?

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte da hipérbole que é o gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). As retas de equações \(x=2\) e \(y=-1\) são as assíntotas do gráfico da função \(f\).

5.1. Responda aos dois itens seguintes sem apresentar cálculos.

5.1.1. Qual é o valor de \(k\) para o qual a equação \(f(x)=k\) é impossível?

5.1.2. Qual é o limite de \(f(x)\) quando \(x\) tende para \(+\infty\)?

5.2. Admita agora que a função \(f\) é definida pela expressão \(f(x)=\dfrac{6-x}{x-2}\).

5.2.1. Resolva analiticamente a condição \(f(x)\le\dfrac{4-x}{x-2}\). Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais.

5.2.2. Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x^{3}\). A equação \((f\circ g)(x)=x\) tem exatamente duas soluções. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, essas soluções, arredondadas às centésimas.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte da hipérbole que é o gráfico de uma função \(f\).

As retas de equações \(x=2\) e \(y=1\) são as assíntotas do gráfico da função \(f\). Para um certo número real \(k\), a função \(g\), definida por \(g(x)=f(x)+k\), não tem zeros. Qual é o valor de \(k\)?

Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n. \(xOy\), parte da hipérbole que é o gráfico de uma função \(f\). O gráfico da função \(f\) intersecta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(-1\). As retas de equações \(x=1\) e \(y=-2\) são as assíntotas do gráfico da função \(f\).

7.1. Responda aos dois itens seguintes recorrendo apenas à leitura do gráfico.

7.1.1. Indique o contradomínio da função \(f\).

7.1.2. Apresente, usando a notação de intervalos de números reais, o conjunto solução da condição \(f(x)\le 0\).

7.2. Defina, por uma expressão analítica, a função \(f\).

Seja \(h\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=x+1\). Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(g(x)=\dfrac{1}{x}\). Para um certo número real \(a\), tem-se \((g\circ h)(a)=\dfrac{1}{9}\). Qual é o valor de \(a\)?

Considere:

• a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-11\);
• a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), definida por \(g(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\).

Seja \(P\) o ponto de interseção das assíntotas do gráfico da função \(g\). Para um certo número real \(k\), o ponto \(P\) pertence ao gráfico da função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=f(x)+k\). Determine, utilizando métodos exclusivamente analíticos, o valor de \(k\).

Num certo ecossistema habitam as espécies animais A e B. Admita que, \(t\) anos após o início do ano 2009, o número de animais, em milhares, da espécie A é dado aproximadamente por \(A(t)=\dfrac{11t+6}{t+1}\ (t\ge 0)\) e que o número de animais, em milhares, da espécie B é dado aproximadamente por \(B(t)=\dfrac{t+9}{t+3}\ (t\ge 0)\). Resolva os dois itens seguintes usando exclusivamente métodos analíticos.

10.1. Desde o início do ano 2009 até ao início do ano 2010, morreram 500 animais da espécie A. Determine quantos animais dessa espécie nasceram nesse intervalo de tempo.

10.2. Tal como os gráficos sugerem, a diferença entre o número de animais da espécie A e o da espécie B vai aumentando com o tempo e tende para um certo valor. Determine esse valor, recorrendo às assíntotas horizontais dos gráficos, cujas equações deve apresentar.

Considere:

• a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(f(x)=3+\dfrac{6}{x}\);
• a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-3x^{2}+8x-3\).

11.1. Determine, usando exclusivamente métodos analíticos, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação \(f(x)\le 5\). Apresente a resposta em notação de intervalos.

11.2. A equação \(f(x)=g(x)\) tem exatamente duas soluções, uma positiva e outra negativa. Determine a solução positiva, com a calculadora gráfica, arredondada às centésimas.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\), definida por \(f(x)=4-\dfrac{4}{x+2}\). Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.

12.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação \(f(x)\ge 3\). Apresente a resposta em notação de intervalos.

12.2. Na figura estão representados: parte do gráfico de \(f\); as retas \(r\) e \(s\), assíntotas do gráfico de \(f\); o quadrilátero \([ABCD]\). \(A\) e \(B\) são os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados; \(C\) é a interseção das retas \(r\) e \(s\); \(D\) é a interseção da reta \(r\) com o eixo \(Oy\). Determine a área do quadrilátero \([ABCD]\).

Na figura está representada, em referencial o.n. \(xOy\), parte do gráfico de uma função \(f\), bem como as duas assíntotas deste gráfico.

Tal como a figura sugere:

• a origem do referencial pertence ao gráfico de \(f\);
• uma das assíntotas é paralela ao eixo \(Ox\) e tem equação \(y=3\);
• a outra assíntota é paralela ao eixo \(Oy\) e intersecta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa 2.

Sabendo que \(f\) é definida por uma expressão do tipo \(f(x)=a+\dfrac{b}{x-c}\), indique os valores de \(a\) e de \(c\) e determine o valor de \(b\).

Considere um retângulo cuja área é igual a 5. Qual das seguintes expressões representa o perímetro deste retângulo, em função do comprimento, \(x\), de um dos seus lados?

Para um certo valor de \(a\) e um certo valor de \(b\), a expressão \(f(x)=a+\dfrac{1}{x-b}\) define a função cujo gráfico está parcialmente representado na figura ao lado.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Pretende-se construir um prisma quadrangular regular com \(64\ \text{cm}^{3}\) de volume. A altura \(y\) do prisma, medida em cm, depende do comprimento da aresta da base, igualmente medido em cm. Qual dos gráficos seguintes traduz corretamente a relação entre estas duas variáveis?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), definida por \(f(x)=2+\dfrac{1}{1-x}\).

17.1. Sem recorrer à calculadora, determine o conjunto dos números reais \(x\) tais que \(f(x)\le -1\). Apresente a resposta na forma de intervalo (ou união de intervalos).

17.2. O gráfico da função \(f\) tem duas assíntotas. Escreva as suas equações.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\), definida por \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-3}\). Em qual das opções as duas equações definem as assíntotas do gráfico de \(f\)?

Sabe-se que:

• o nível de álcool no sangue de uma pessoa, uma hora depois de ter tomado uma bebida alcoólica, é, numa certa unidade, igual ao quociente entre o peso do álcool ingerido (em gramas) e 70% do peso dessa pessoa (em quilogramas);
• num decilitro de um certo tipo de vinho existem 5 gramas de álcool.

Qual das expressões seguintes dá o nível de álcool no sangue de uma pessoa, em função do seu peso \(x\) (em quilogramas), uma hora depois de ter bebido dois decilitros desse vinho?

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

Mostre que a área total da embalagem é dada por \(A(x)=\dfrac{2x^{3}+8}{x}\), sendo \(x\) o comprimento da aresta da base, em dm. (Recorde que 1 litro \(=1\ \text{dm}^{3}\).)

O coeficiente de ampliação \(A\) de uma certa lupa é dado, em função da distância \(d\) (em decímetros) da lupa ao objeto, por \(A(d)=\dfrac{5}{5-d}\). Indique a que distância do objeto tem de estar a lupa para que o coeficiente de ampliação seja igual a 5.